学而思 60小时学完高中数学-高中数学公式 大于等于
知识改变命运，名师成就人生
抛物线求最值问题（第一类）
1.
已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（
y
轴、准线、
焦点）距离之和的
最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为
y
2
?4x
,直线l的方程为
x?y?4?0
,在抛物线
上
有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2
的最小值为多少？
分析：如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点
F作直线x-y+4=0的垂线，此
时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，
进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．
解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，
∵F（1，0），则|PF|+d2=
则d1+d2的最小值为
=，
．
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抛物线求最值问题（第二类）
2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内
”，求抛物线上的
一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线
“外”，
求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值
的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，
那么点P到点Q（2，-1）的距离
与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
?
1
??
1
?
?
,?1
??
,1
?
4
?
B．
?
4
?
C．A.
?
（1，2）D．（1，-2）
分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q
在抛物线内，再由点P到
抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，
P，Q三点共线时取得，可得到答案．
解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距
离，如图
PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵
坐
标都是-1，
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抛物线求最值问题（第三类）
3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问
题。
此类题常用
方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线
上点的切线斜率等于直线斜率。
<
br>例题抛物线
y
2
?2x
上任一点到直线x-y+1=0的距离的最小值
是多少
分析：由题意可设P
为抛物线上任意一点，则P到直线x-y+1=0
的距离d=
d的最小值
==，由二次函数的性质可求距离
解：方法一 由题意可设P 为抛物线上任意一点，
则P到直线x-y+1=0的距离d===
）时，d=
由二次函数的性质可知，当y=1即P（
故答案为：
方法二
求导
y?2x
，
y
1
?1
可知当y=1即P（
故答案为：
）时，d最小，