高中数学抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨


过抛物线
y?2px
(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A
(x
1
,y
1
)
、B
(x
2
,y
2
)
两点
2

结论1：
AB?x
1
?x
2
?p

pp< br>)?(x
2
?)?x
1
?x
2
?p

22
2p
结论2：若直线L的倾斜角为
?
，则弦长
AB?

2
sin
?
AB?AF?BF?(x
1
?
证: (1)若
?
?
(2)若
?
?
?
2
时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,
?AB?2p?结论得证

?< br>2
时,设直线L的方程为：
y?(x?
pp
)tan
?
即
x?y?cot
?
?
代入抛物线方程得
22
y
2
?2py?cot
?
?p
2
?0
由韦达定理
y
1
y
2
??p
2
,y
1
?y
2< br>?2pcot
?

由弦长公式得
AB?1?cot
2
?
y
1
?y
2
?2p(1?cot
2
?
) ?
2p

2
sin
?
结论3： 过焦点的弦中通径长最小
?sin
2
?
?1?
2p
?2p

?
AB
的最小值为
2p
,即过焦点的弦长中通径长最短.
sin
2
?
S
2
?oAB
p
3
结论4：
?(为定值)

AB8
.

1 1
OF?BF?sin
?
?OF?AF?sin
?
22
11 1p2pp
2
?sin
?
?

?OF?
?
AF?BF
?
sin
?
?OF?AB?sin
?
? ??

2222
sin
2
?
2sin< br>?
2
S
?
P
3
OAB
??
AB8< br>S
?OAB
?S
?OBF
?S
?0AF
?
p
2
结论5： (1)
y
1
y
2
??p
(2) x
1
x
2
=
4
2
y
1
y
2
(y
1
y
2
)
2
P
2
证
?x
1
?

,x
2
?,?x
1
x
2
??
2p2p4< br>4P
2
22
结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA
1
， 过B点作准线的垂线BB
1
，
过M点作准线的垂线MM
1
，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

MM
1
?
AA
1
?BB
1
2
?< br>AF?BF
2
?
AB
2
故结论得证
结论7：连接A
1
F、B
1
F 则 A
1
F
?
B
1
F
?AA
1
?AF,??AA
1
F??AFA
1
?A A
1
OF??AA
1
F??A
1
FO??A
1FO??A
1
FA

同理
?B
1
FO??B< br>1
FB??A
1
FB
1
?90?

?
A
1
F
?
B
1
F
结论8：（1）AM
1
?
BM
1
（2）M
1
F
?
AB （3）
M
1
F
2
?AF?BF

（4）设AM
1
与A
1
F相交于H ，M
1
B与

FB
1
相交于Q 则M
1
，Q，F ，H四点共圆
（5）
AM
1
2
?M
1
B?4M
1
M

22
证：由结论（6）知M
1
在以AB为直径的圆上
?
AM
1
?
BM
1

?
?A
1
FB
1
为直角三角形， M
1
是斜边A
1
B
1
的中点
?A
1
M
1
?M
1
F??M
1
FA
1
??M
1A
1
F??AA
1
F??AFA
1
??AA
1
F??FA
1
M
1
??AA
1
M
1
?90?

??AFA
1
??A
1
FM
1
?90?


?
M
1
F
?
AB
2

?M
1
F?AF?BF

?
AM
1
?
BM
1
??AM
1
B?90?又?A
1
F?B
1
F


??A
1
FB
1
?90?
所以M
1
，Q，F,H四点共圆，
AM
1

?AF?BF
2
?M
1
B?AB

2
22
??
?
?
AA
2
1
?BB
1
?< br>?
?
2MM
1
?
?4MM
1

22
结论9： （1）
A、
O、B
1
三点共线 （2）B，O，A
1
三点共线
（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B
1
，则BB
1
平行于X轴 （4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A
1
，则AA
1
平行于X轴
.

证：因为
k
oA
?
y
1
yy2y
2p
?
1
2
?,k
oB
1
?
2
??
2
，而
y
1
y
2< br>??p
2

p
x
1
y
1
p
y
1
?
2
2p
所以
k
oA
?
2y
2
2p
（3）（4）
???k
oB
1
所以三点共 线。同理可征（2）
2
p
?p
y
2
结论10：
112
??

FAFBp
证：过A点作AR垂直X轴于点R，过 B点作BS垂直X轴于点S，设准线与
x
轴交点为
E,
因为直线L的倾斜角为
?

则
ER?EF?FR?P?AFcos
?
?AF?AF ?
11?cos
?
P
?

?

AFP
1?cos
?
同理可得
11?cos
?
112
???

?
BFPFAFBp
结论11：
AFAE
? (3) K
AE
?K
BE
?0

(1)

线段

EF平分角?PEQ (2)
BFBE
(4) 当
?
?
?
2
时 AE?BE , 当
?
?
?
2
时 AE不垂直于BE
证:
?BB
1
EFAA
1
?
B
1
E
EA
1
?
BF
FA
?BF?B
1
B,FA?A< br>1
A?
B
1
E
EA
1
?
B
1
B
A
1
A

??AA
1
E??BB1
E?90???A
1
EA相似于?B
1
EB ??A
1
EA＝?B
1
EB

??AEF＋?A
1
EA＝?BEF＋?B
1
EB＝90???AEF＝?BEF即EF平分角?PEQ< br>
?
AF
BF
?
AE
BE
?直线AE和直线BE关于X轴对称?K
AE
＋K
BE
＝0

(4)
当
?
?

当
?
?
?
2
时，AF＝EF＝FB ??AEB＝90?

?
?
p
?
时，设直线L的方程为y?k
?
x-
?
将其代入方程y
2
?2px

2
?< br>2
?
22
k
2
p
2
pk
2
?2
得kx-p(k?2)x??0 设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) 则x
1
?x
2
?

2
4
k
2
??
p
2
1 ?
x
1
x
2
= 假设
AE?BE则 K
AE
?K
BE
＝－
4
.
y
1
pp
x
1
?x
2
?
22
?
y
2
??1

?
即y
1
y
2
?-
?
x
1
?
?
p
??
p< br>?
p
??
p
???
??
x
2
??
?k
?
x
1
-
?
?k
?x
2
-
?
?-
?
x
1
?
2< br>??
2
?
2
??
2
???
p
??< br>p
?
??
x
2
?
?
2
??
2
?

pp
2
2
p
2
2
p
2
k
2
?2k
2
?1
2
?k?1x
1< br>x
2
?
?
x
1
?x
2
?
k ?1?k?1?0?k?1?
242
2k
2
?
2
????? ??
????

??2?0?不可能?假设错误?结论得证

111
??
结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则

|AB||CD|2p


推广与深化：
深化 1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0）， 则有
y
1
y
2
??2pa
．

22
y?2pxy?2pmy?2ap?0
，∴
y
1
y
2
?? 2pa
． 证：设AB方程为my=x-a，代入．得：
|FR|1
?
|AB|2
深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则

p
y?tga(x?)
2
， 证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为 ：
p
2
tga(x?px?)?2px
2
y?2px
4 代入得：，
22
p
2
x?x(p?2pctga)??0
4
即：．
22
由性质1得
|AB|?x
1
?x
2
?p ?2p?2pctg
2
a?
2p
sin
2
a
， < br>x
1
?x
2
p
?
pctg
2
a22
|FM|?||?||
cosacosa
， 又设AB的中点为M，则
pctg
2
ap
|FM|
|FE|??||?
|cosa|
cos
2
asin
2
a
， ∴
|FR|1
?
|AB|2
． ∴

.

?
深化3：过抛物线的焦点F作n条弦
A
1
B
1
、A
2
B
2
、A
n
Bn
，且它们等分周角2π，则有
（1）
?
i?1
n
1
|A
i
F|?|FB
i
|
为定值； （2）
?
i?1
n
1
|A
i
B
i
|
为定值．
证明：（1）设抛物线方程为
??
p
,?A
1
Fx?a
1?cos?
．
由题意
?A
2
Fx?a?
?2?n?1
,?A
3
Fx?a?
?
?A
n
Fx?a??
nnn
，
11?cosa
1?cos(??a)
1?cos
2
asin
2
a
????
2
p p
pp
2
， 所以
|A
1
F|?|FB
1|
?n?1
sin
2
(a?)sin
2
(a??)11
nn
?
?,,?
2
|AF|?|FB||AF|?|FB|
pp
2
2nn
同理
2

?2?n?1n
sin
2
a?sin
2
(a?)sin
2
(a?)??
?sin
2
(a??)?
nnn2
， 易知
∴
?
i?1
n
?n?1
22
sin(a?)sin(a?? )
1sin
2
an
nn
?
?????
|A
i
F|?|FB
i
|
p
2
p
2
p
2
2p
2
．
（2）∵

|A
1
B
1
|?
pp2p2p
???
1?cosa1?cos(??a)< br>1?cos
2
asin
2
a
，
n?1
?)
n
2p
，
1
∴
|A1
B
1
|
sin
2
a
?
1
? ,,?
2p|A
n
B
n
|
2
sin
2(a?
∴
?
i?1
n
?n?1
sin
2< br>(a?)sin
2
(a??)
1sinan
n
?
?< br>?
n
???
|A
i
B
i
|2p2p2p4p
．


.