高中数学抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论，了 解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相
关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一
：若AB是抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点弦（过焦点 的弦），且
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则：
p
2
x
1
x2
?
，
y
1
y
2
??p
2
。
4




例：已知直线AB是过抛物线

y
2
?2px(p?0)
焦点F，求证：
11
为定值。
?
AFBF



2
结论二
：（1）若A B是抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则
AB?2P
（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）
2
s in
?
最短。




例：已知过抛物线
y
2
?9x
的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。AB倾斜角为
?
2
?
或
。
3
3





结论三：
两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆
与焦点弦相切。
例：已知AB是抛物线
相切。
(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切
。
y
2
?2px(p?0)
的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与 抛物线的准线


y
M
P
O
N
B
A
.
Q
F
x

结论四：
若抛物线方程为
y
2
?2px(p?0)
，过（< br>2p
，0）的直线与之交于A、B两点，则OA
⊥OB。反之也成立。










结 论五：
对于抛物线
x
2
?2py(p?0)
，其参数方程为
?
2pt)
，
O
为抛物线的顶点，显然
k
OP
坐标 为
(2pt，
2
?
x?2pt，
2
设抛物线
x2
?2py
上动点
P
?
y?2pt，
2pt
2
??t
，即
t
的几何意义为过抛物线顶
2pt
点
O
的动弦
OP
的斜率．





例 直线
y?2x
与抛物线
y?2px(p?0)
相交于原点和且线段
AB
长为
513
，求
P
的值．
2A
点，
B
为抛物线上一点，
OB
和
OA
垂直，
2pt
A
)，(2pt
B
，2pt
B
)
， 则
t
A
?
，B
分别为
(2pt
A
，
解析：设点
A
22
111
?
，
t
B
?? ?k
OA
??2
．
k
OA
2k
OB
分别 为
A，B
的坐
2
标
p
?
5
?
p< br>?
?
2
．
，p，(8p，?4p)
∴AB?8p??(p?4 p)
?13p?513
．
∴p?2
．
??
??
2
?
2
?
2
?
?
.

练习：
1.过抛物线
y?ax
2
(a?0)
的 焦点
F
作一直线交抛物线于
P，Q
两点，若线段
PF
与FQ
的长分
别是
p，q
，则
1111
?
=
故
??4a
】
pqpq
2.设抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点为
F
，经过点
F
的直线交抛物线于A，B
两点．点
C
在抛
物线的准线上，且
BC∥x
轴． 证明直线
AC
经过原点
O
．
p
?
p
?< br>【证明：抛物线焦点为
F
?
，0
?
．设直线
AB的方程为
x?my?
，代入抛物线方程，得
2
?
2
?< br>y
2
?2pmy?p
2
?0
．若设
A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)
，则
y
1
y
2
??p
2
．
∵BC∥x
轴 ，且点
C
在准线
k
CO
?
2p
；
y
1
2
又由
y
1
?2px
1
，得
k
AO
?
y
1
2p
， 故
k
CO
?k
AO
，即直线
AC
经过原点
O
．】
?
x
1
y
1


3.已知抛物线的焦点是
F(11)，
，准线方程是
x?y?2?0
，求抛物线的方程以及顶点坐标和 对
称轴方程．
【解：设
P(x，y)
是抛物线上的任意一点，由抛物线的定 义得
(x?1)?(y?1)?
整理，得
x?y?2xy?8x?8y?0
，此即为所求抛物线的方程．
抛物线 的对称轴应是过焦点
F(11)，
且与准线
x?y?2?0
垂直的直线，因此 有对称轴方程
22
22
x?y?2
2
．
y?x
．
设对称轴与准线的交点为
M
，可求得
M(?1，?1)
，于是线段
MF
的中点就是抛物线的顶点，坐标是
(0，0)
】



备选
1.抛物线的顶点坐标是
A(1，0)
，准线
l< br>的方程是
x?2y?2?0
，试求该抛物线的焦点坐标和
方程．

解：依题意，抛物线的对称轴方程为
2x?y?2?0
．
设对称轴和准 线的交点是
M
，可以求得
M
?
，?
?
6
?
5
2
?
?
．设焦点为
F
，则
FM
的中点是
A
，故得焦点
5
?
坐标为
F
?
，
?
． 再设
P(x，y)
是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得
22
x?2y?2
4
??
2
??
22
，化简整理 得
4x?y?4xy?4x?12y?0
，即为所求抛物线的
x??y??
? ???
5
??
5
?
5
?
?
42
?
?
55
?
.

方程．
例2 已知
A，B
为抛物线
x
2
?4y
上两点，且
OA?OB
，求线段
AB
中点的轨迹方程．
1
?
44
?
解析：设
k
OA
?t
，
OB?OA?kOB
??
，据
t
的几何意义，可得
A(4t，4t
2< br>)，B
?
?，
2
?
．设线
t
?
tt
?
?1
?
4
??
1
?
?
x?2
?
4t?
t
?
?2
?
t?
t
?
，
????
?
段中点
P(x，y)
，则
?
141
?
y?
?
4t
2
?
?
?2
?
t
2
?
?
.
????
22
.
?
?
2
?
t
??
t
?