高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

（3）
S
?AOB
p
2
?
2sin
?
（这里，
?
为直线
AB
的倾斜角）；
（4）以线段
AB
为直径的圆与该抛物线的准线相切；
（5）
?ANB?90
，
?CFD?90
；
（6）以线段
CD
为直径的圆切直线
AB
于点
F
.
证明：由于当直线
AB
的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免 分情
??
p
F(,0)
2
，我们可巧设其方程为况进行讨论而使得证 明过程比较繁琐，根据直线
AB
过点
x?cot
?
?y?
p
2
，这里，
?
为直线
AB
的倾斜角.
?
y
2
??2px
?
p
?
x?cot
?
?y ?
22
?
y?2pcot
?
?y?p?0

2
?
（1）联立，得
?2pcot
?
?p
2??p
2
y
1
?y
2
???2pcot
?y
1
y
2
?
1
1
由韦达定理，有 ，
22
y
1
2
y
2
y
1
2
?y< br>2
(y
1
?y
2
)
2
?2y
1y
2
(2pcot
?
)
2
?2(?p
2
)
x
1
?x
2
?????
2p2p2p2p2p
故
4p
2
cot
2
?
?2p
2
??2p cot
2
?
?p?p(2cot
2
?
?1)
2p< br>
2
y
1
2
y
2
(y
1
y
2
)
2
(?p
2
)
2
p
4
p
2
x
1
x
2
??????
222
2p 2p4p4p4p4

pp
AB?AF?BF?AC?BD?[x
1
?(?)]?[x
2
?(?)]
22
（2）由抛物线的定义，有
p ppp
?(x
1
?)?(x
2
?)?x
1
?x2
?p?(cot
?
?y
1
?)?(cot
?
?y
2
?)?p
2222

?cot
?
(y
1
?y
2
)?2p?cot
?
?2pcot
?
? 2p?2p(cot
2
?
?1)?2p?csc
2
?
?（3）
2p
sin
2
?

11ppp
S
?AOB
?OF?y
1
?y
2
???(y
1
?y
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2?4y
1
y
2
?(2pcot
?
)
2
?4(?p
2
)
22244

?
ppppp
4p< br>2
cot
2
?
?4p
2
?4p
2
( cot
2
?
?1)?4p
2
csc
2
?
? 2pcsc
?
??2pcsc
?
44444

p
2
1p
2
???
2sin
?
2sin
?

（4）设
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)

ppx
1
?x
2
px
1
? x
2
?pp(2cot
2
?
?1)?p2p(cot
2?
?1)
x
0
?(?)?x
0
???????p(co t
2
?
?1)
2222222
则
2222
AB? (x?x)?(y?y)?(x?x)?4xx?(y?y)?4y
1
y
212121 21212
又
?

p
2
?[p(2cot
?
?1)]?4??(2pcot
?
)
2
?4(?p
2
)?
4
22
p
2
(4cot
4
?
?4cot< br>2
?
?1)?p
2
?4p
2
cot
2
?
?4p
2


?4p
2
cot
4?
?8p
2
cot
2
?
?4p
2
?4 p
2
(cot
4
?
?2cot
2
?
?1) ?4p
2
(cot
2
?
?1)
2
?2p(cot< br>2
?
?1)
?2p(cot
2
?
?1)

p1
?x
0
?(?)?AB
22

这表明，
AB
的中点
M(x
0
,y
0
)
到准线
l
：
x??
p
2
的距离等于
AB
的一半，即以线段< br>AB
为
直径的圆的圆心
M(x
0
,y
0
)< br>到准线
l
：
x??
p
2
的距离等于圆的半径.
故以线段
AB
为直径的圆与该抛物线的准线相切
（5）
?A(x< br>1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2)
，
N(?
py
1
?y
2
,)
22< br>
?k
NA
y
1
?y
2
y
1
?y
2
y?y
2
y?y
2
y
2
?
1
?
1
2
?
222
?k
NB
??
pppp
x
1
?(?)x
1
?x
2
?(?)x< br>2
?
22
，
22

y
1
?
于是k
NA
?k
NB
y
1
?y
2
y
1
?y
2
(y
1
?y
2
)
2
( y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2< br>?
22
??
44
????
2
pppp
pp< br>x
1
?x
2
?(x
1
?)(x
2
? )
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
2222
24
(2pcot
?
)
2
?4(?p2
)4p
2
cot
2
?
?4p
2
p< br>2
cot
2
?
?p
2
44
??
2< br>??
2
??
2
??1
22
22
ppppp< br>pcot
?
?p
??p(2cot
2
?
?1)??( 2cot
2
?
?1)
42422

?
故
NA?NB
，即
?ANB?90

又
?
C(?
ppp
,y
1
)D(?,y
2)F(,0)
222
，，
?FC?(?p,y
1
)
，
FD?(?p,y
2
)

222
FC?FD?p?yy?p?(?p)?0

12
于是
?
故
FC?FD
，即
?CFD?90

ppy?y
2
2
?NF?[?(?)]
2
?(0?
1
)?
2 22
（6）
p
2
?(
y
1
?y
2
2
)?
2
p
2
?(
2pcot
?
2
)?
2
p
2
?p
2
cot
2
?

?p
2
(1?cot
2
?
)?p(1?cot
2< br>?
)

CD?y
1
?y
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(y
1
?y
2
)< br>2
?4y
1
y
2
?(2pcot
?
)
2
?4(?p
2
)


?4p
2
cot
2
?
?4p
2
?4p
2
(cot
2
?
?1)?2p(cot
2
?
?1)

?NF?
1
CD
2

N(?
py
1
?y
2
p
,)F(,0)
222
的距离等于
CD
的一半，到点即以线段
CD
为
CD
的中点这表明，
N(?
直 径的圆的圆心
py
1
?y
2
p
,)F(,0)
22 2
的距离等于圆的半径. 到点
故以线段
CD
为直径的圆切直线
AB
于点
F


【例题选讲】
题型1：抛物线定义的应用
2
y?x
的 焦点，
A
、
FB
是该抛物线上的两点，
AF?BF?3
，1 . 已知是抛物线则线段
AB
的中点到
y
轴的距离为___________.
解：在抛物线
y?x
中，
2p?1
，即
2
p?1
2

11
F(,0)x??
4

?
该抛物线的焦点为
4
，准线方程为

11
AF?BF???1< br>22
，与已知
AF?BF?3
矛盾 由此可知，直线
AB
不垂 直于
x
轴，否则
设
A(x
1
,y
1
)，
B(x
2
,y
2
)

则线段
AB< br>的中点到
y
轴的距离
d?
x
1
?x
2
2
，并且由抛物线的定义，有
1111
AF?x
1
?(?)?x
1
?BF?x
2
?(?)?x
2
?
44
，
44

AF?BF?3
于是由，有
x
1
?x2
?
15
?3?x
1
?x
2
?
22< br>
5
x?x5
d?
12
?
2
?
22 4
故线段
AB
的中点到
y
轴的距离

2
y?8x
的焦点为
F
，准线为
l
，点
P
为该抛物线 上一点，
PA?l
，点
A
为垂2. 设抛物线
PF
足，如果 直线
AF
的斜率为
?3
，那么=___________.
2
y?8x
中，
2p?8
，即
p?4
解：在抛物 线
?
该抛物线的焦点为
F(2,0)
，准线方程为
x??2

由
k
AF
??3
，
F(2,0)
可知，直线
AF
的方程为
y?0??3(x?2)
，即
y??3x?23

?
y??3x?23
?
x??2
联立
?
，得
?
x??2
?
?
y?43

?A(?2,43)

于是由
PA?l
于点
A
知，
y
P
?y
A
?43

(43)
2
x
P
??6
2
y?8x
8
将其代入方程中，得
故由抛物线的定义，有

2
y?4x
上的两点
A
、
B
满足
AF?3FB
，
F
3. 已知以为焦点的抛物线则弦
AB
的中点到准
PF?PA?x
P
?(?2)?6?2?8

线的距离为___________.

2
y?4x
中，2p?4
，即
p?2
解：在抛物线
?
该抛物线的焦点为
F(1,0)
，准线方程为
x??1

设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

则弦
AB
的中点到准线的距离
d?
x
1
?x
2
x?x
?(?1)?
12
?1
22
，并且
AF ?(1?x
1
,?y
1
)
，
FB?(x
1
?1,y
2
)

?
1?x
1
?3(x
2< br>?1)
?
x
1
??3x
2
?4
?
? ?
?y?3y
12
?
y
1
??3y
2
， 于是由
AF?3FB
，有
?
又由
AF?3FB
可知，直线< br>AB
的斜率存在，不妨设为
k

则直线
AB
的方程为
y?0?k(x?1)
，即
y?kx?k

?
y
2
?4x
?
2
y?kx?k
ky?4y?4k?0

?
联立，得
由韦达定理，有
2
yy??3y
122
而
y
1
y
2
?
?4k
??4
k

22
??3y
2
??4?y
2
?
44
2< br>y
1
2
?9y
2
?9??12
3
，
3

2
4
y12
y1
x
1
?
1< br>??3
x
2
?
2
?
3
?
44
443
于是，
2
故弦
AB
的中点到准线的距离

题型2：求抛物线的方程
d?
x
1
?x
2
?1?
2
3?
1
3
?1?
5
?1?
8
2 33

4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为
x??2
，则该抛物线 的方程是___________.
2
y?2px
（
p?0
） < br>x??2
解：由所求抛物线的准线方程为，可设其方程为

?
则有
p
??2?p?4
2

2
y?8x
故所求抛物线的方程为

5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的 距离为2，则该抛物线的
方程是___________.
22
y??2pxxp?0
解：由题设条件可设所求抛物线的方程为（）或
??2py
（
p? 0
）
则由焦准距为2，有
p?2

22
y??4xx
故所求抛物线的方程为或
??4y


6. 已知抛物线过点
P(?3,2)
，则该抛物线的标准方程为_________ __，其准线方程为
___________.
22
y??2pxx
P(? 3,2)p?0
解：由所求抛物线过点，可设其方程为（）或
?2py
（
p? 0
）
则有
4?6p
或
9?4p

p?
于是
29
p?
3
或
4

49
y
2
??xx
2
?y
3
或
2
故所求抛物线的方程为

7. 已知抛物线的焦点
F
在直线
x?2y ?4?0
上，则该抛物线的标准方程为___________，
其准线方程为_______ ____.
解：在方程
x?2y?4?0
中，令
x?0
，得
y??2
；令
y?0
，得
x?4

于是所求抛物线的焦点为
F(0,?2)
或
F(4,0)

2
x
F(0,?2)
（ⅰ）当所求抛物线的焦点为时，据此可设所求抛物线的方程为< br>??2py
（
p?0
）
p
??2?p?4
2
则有
?

2
x
于是此时所求抛物线的方程为
??8y
，其准线方程为
y?
p
?2
2

2
y?2px
（
p?0
）
F( 4,0)
（ⅱ）当所求抛物线的焦点为时，据此可设所求抛物线的方程为
p
?4?p?8
则有
2

于是此时所求抛物线的方程为y?16x
，其准线方程为
2
x??
p
??4
2

22
x??8yy?16x
，它们对应的准线方程分别为
y?2
，
x??4
. 故所求抛物线的方程为或

22
(x?3)?y?9
外切，且与
y
轴相切，则动圆圆心
M
的轨迹方程为
A
8. 已知动圆与圆：
___________.
解：设
M(x,y)

则由动圆
M
与圆
A
外切，且与
y
轴相切，有
MA?x?3
（
x?0
）
（
x?0
）（
?
）
?(x?3)
2
?( y?0)
2
?x?3
（
x?0
），即
y
2
?6(x?x)
22
y?12xy?0

x?0x?0
??
当时，由（）式，有；当时，由（）式，有
?
y
2
?12x,x?0
?
2
y?0,x?0
故动圆圆心
M
的轨迹方程为
?


222
y?2pxx?y?2
的右焦点，
p?0
9. 若抛物线（）的焦点恰好是双曲线则
p
=___________.
pp
F (,0)x??
2
y?2px
的焦点为
2
，准线方程为
2< br> 解：抛物线
x
2
y
2
??1
22
2222 2
x?y?2
22
在双曲线，即中，
a?b?2
，
c?a? b?2?2?4

?a?b?2
，
c?2

22
x ?y?2
的左、右焦点分别为
F
1
(?2,0)
、
F
2
(2,0)
于是双曲线

p
F(,0)
2
y?2px
2
恰好是点
(2,0)
又
?
抛物线的焦点
p
?2
2

故
p?4

?

222
y?2pxx?y?1
的一个焦点，则
p?0
10. 若抛物线（）的准线经过双曲线
p
=___________.
pp
F(, 0)x??
2
y?2px
的焦点为
2
，准线方程为
2
解：抛物线
22
x?y?1
中，
a
2
?b
2< br>?1
，
c
2
?a
2
?b
2
?1?1 ?2
在双曲线
?a?b?1
，
c?2

于是双曲线
x?y?1
的左、右焦点分别为
F
1
(?2,0)
、
F< br>2
(2,0)

2
22
又
?
抛物线
y?2px
的准线
x??
p
2
经过点
(?2,0)

??

p
??2
2

故
p?22


22
16x?9y?144
的左顶点，则该抛物线的标准方程为11. 已知抛物线的焦点是双曲线
___________.
x
2
y
2< br>??1
2222222
16x?9y?144a?9,b?16,c?a?b?9?16 ?25

916
解： 在双曲线，即中，
?a?3,b?4,c?5

于是该双曲线的左顶点为
(?3,0)

2
y??2px
（
p?0
）
F(?3,0)
因而 所求抛物线的焦点为，据此可设所求抛物线的方程为
p
??3?p?6
2
则有
?

2
y??12x
故所求抛物线的方程为

12. 已知抛物线的焦点
F
在
x
轴上，直线
y??3与该抛物线交于点
A
，并且
抛物线的标准方程为___________.
22
y?2pxy??2px
p?0
x
解： 由所求抛物线的焦点在轴上，可设其方程为（）或（
p?0
）
2
y?2px
（
p?0
）（ⅰ）对于抛物线，设
A(m,?3)
，
m?0

AF?5
，则该
pp
m?(?)?5m??5
AF?5< br>22
则由，有，即①
2
y?2px
上
A(m,?3)
?
又点在抛物线
?9?2pm
②
联立①、②， 得
p?1
或
p?9

22
y?2xy?18x
于是此时所求抛物线的方程为或
2
y?? 2px
（
p?0
）（ⅱ）对于抛物线，设
A(n,?3)
，
n?0

p
?n?5
AF?5
2
则由，有③
2
y??2px
上
A(n,?3)
?
又点在抛物线
?9??2pn
④
联立③、④， 得
p?1
或
p?9

22
y??2xy??18x
于是此时所求抛物线的方程为或
22
y??2xy??18x
故所求抛物线的方程为或

题型3：抛物线的性质
2
y?2px
（
p?0
）过点
A(1,?2)
，与抛物线
C
有公共点的直线
l
平行
C
13. 已知抛物线：
5
于
OA
（
O
为坐标原点），并且直线
OA
与
l
之间的距离等于5
，则直线
l
的方程为

___________. 2
y?2px
过点
A(1,?2)
，有
4?2p?p?2

C
解：由抛物线：
2
?
抛物线
C
的方程为y?4x
，其焦点为
F(1,0)
，准线方程为
x??1
由直线
lOA
且
OA
的方程为
y??2x
，即
2x?y?0
，可设直线
l
的方程为
2x?y?t?0

5
又
?
平行直线
OA
：
2x?y?0
与
l< br>：
2x?y?t?0
之间的距离等于
5

?d?
t? 0
2
2
?1
2
?
t
5
?
5
?t??1
5

?
y
2
?4x
?
2y??2x?t
y?2y?2t?0

?
联立，得
则由直线
l
与抛物线
C
有公共点，有
于是
t??1
（舍去
t?1
）
故直线
l
的方程为
2x?y?1?0


14. 过抛物线
x?2py
（
p?0
）的焦点作斜率为1的直线
l
与该抛物线交于
A
、
B
两点，
A
、
2
?? 2
2
?4?1?2t?4?8t?0?t?
1
2

B
在
x
轴上的正射影分别为
D
、
C
. 若 梯形
ABCD
的面积为
122
，则
p
=_________ __.
pp
F(0,)y??
2
，准线方程为
2
解：抛 物线
x?2py
的焦点为
2
ppp
F(0,)y??1?(x?0) y?x?
2
可知，
22
由直线
l
的斜率为1，且过点直线
l
的方程为，即
设
A(x
1
,y
1
)，
B(x
2
,y
2
)

?
x
2
?2py
?
p
?
y?x?
22
?
x?2 px?p?0
解得：
x
1
?p?2p
，
x
2
?p?2p

2
?
联立， 得
S
梯形ABCD
pp
(x?)? (x?)
12
BC?AD
y
2
?y
1
y
1
?y
2
22
??CD??(x
1
?x
2
) ??(x
1
?x
2
)??(x
1
?x
2
)
2222
又
?

?
x
1
?x
2
?p2p?p
?(x
1
?x
2
)??22p?32p< br>2
?122
22

?p
2
?4

又
p?0

故
p?2


2
y??12x
有一个公共点的直线方程为_________.
M(0,6)
15. 过点且与抛物线
解：显然，点
M(0,6)
在抛物线
y??12x
外
（1）当所求直线的斜率不存在时，
2
y??12x
有一个公共点的直线方程为
x?0

M(0 ,6)
显然，过点且与抛物线
2
（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为k

则由其过点
M(0,6)
可知，所求直线的方程为
y?6? k(x?0)
，即
y?kx?6

?
y
2
??12 x
22
联立
?
，得
kx?(12k?12)x?36?0
（
?
）
?
y?kx?6
（ⅰ）若
k?0
，则由（< br>?
）式，有
12x?36?0?x??3

而此时所求直线的方程为
y?6

2
y??12x
的唯一公共点为
(?3,6)
，满足题意 即此时所求直线与抛物线
于是当
k?0
时，所求直线的方程为
y?6

（ⅱ）若
k?0
，则对（
?
）式，由所求直线与抛物线仅有一个公共 点，有
??(12k?12)
2
?4?k
2
?36?144k2
?288k?144?144k
2
?288k?144?0

1
?k??
，满足题意
2
于是当
k?0
时，所 求直线的方程为
y??
1
x?6

2
1
x?6
2

故所求直线的方程为
x?0
或
y?6
或
y??

16. 以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，交
C
的准线于
D
、
E
两点。已知

AB?42
，
DE?25
，则
C
的焦点到准 线的距离为___________.
2
y?2px
（
p?0
）
C
解：设抛物线的方程为
pp
F(,0)x??
2
，准线方 程为
2
则其焦点为
pp
?(?)?p
2
于是抛物线
C
的焦点到准线的距离为
2

由抛物线的对称性可知，
A
、
B
两点关于
x
轴对称，
D
、
E
两点也关 于
x
轴对称
设
AB
与
x
轴交于点
G，
DE
与
x
轴交于点
H

AG?
则< br>1111
AB??42?22DH?DE??25?5
2222
，
设以抛物线
C
的顶点为圆心的圆的半径为
r

则
OD?OA?r

22
2
pp
2
222
r?(5)?()?5?
OD?DH?OH
Rt?DHO
24
① 在中，，即
设
A(x
A
,y
A
)

(22 )
2
84
x
A
???
2
AG?22y
A< br>?AG?22
2p2pp
，则由知，，代入方程
y?2px
中，得
OG?
即
4
p

222
416
r
2
?(22)
2
?()
2
?8?
2
OA?AG?O G
pp
② 在
Rt?AGO
中，，即
p
2
16?
2
?3?0?p
4
?12p
2
?64?0
2 2
p?16p??4
（舍去）
4p
①-②,得 ，解得：或
又
p?0

故
p?4
，即
C
的焦点到准线的距离为4

2< br>y?x
上，
C
、
D
两点在直线
l
：
ABCD
AB
17. 已知正方形的两个顶点、在抛物线

y?x?4< br>上，则正方形
ABCD
的面积为___________.
解：在抛物线y?x
中，
2p?1
，即
2
p?
1
2

11
F(,0)x??
4

?
该抛物线的焦点为
4
，准线方程为
由
ABCD
及
CD
所在直线
l
的方程为
y?x?4
，即
x?y?4?0
，可设直线
AB
的方程为
x?y?c?0
，即
y?x?c

设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

?
y
2
?x
?
22
y?x?c
x?(2c?1)x?c?0

?
联立， 得
2c?1
?
x?x???1?2c
?
12
1
?
2
c
?
x
1
x
2
??c
2
1
由韦达定理，有
?

于是
222
AB?1?k
AB
x
1
?x
2
?1?k
AB
?(x
1
?x
2
)
2
?1?k
AB
?(x
1
?x
2
)
2< br>?4x
1
x
2

?1?1
2
?(1?2c)
2
?4c
2
?2?1?4c?2?8c

BC?
又 平行直线
AB
：
x?y?c?0
与
CD
：
x?y? 4?0
之间的距离
c?4
1?(?1)
22
?
c?4
2
?AB

?
c?4
2
?2?8c?c
2
?8c?16?4?16c
，即
c?8c?12?0
解得：
c??2
或
c??6


2
于是
故

AB?2?8?(?2)?18?32
或
或
AB?2?8?(?6)?50?52
S
正方形ABCD
?(32)2
?18S
正方形ABCD
?(52)
2
?50
，即正 方形
ABCD
的面积为18或50.
题型4：与抛物线有关的最值问题
2
y?2px
18. 若抛物线（
p?0
）上的动点
Q到焦点的距离的最小值为1，则
p
=___________.
pp
F(,0)x??
2
，准线方程为
2
解： 抛物线< br>y?2px
的焦点为
2

设
Q(x,y)
p
2
p
2
22
QF?(x?)?(y?0)?x?px??y< br>2
24
则
又
?
点
Q(x,y)
在抛物线
y?2px
上
2
?y
2
?2px

p
2
p
2< br>pp
2
QF?x?px??2px?x?px??(x?)
2
?x?< br>4422
于是
2
又
x?0
，
p?0
?QF?x?
PPP
p
?x??
[QF]?
min
22 2
，当且仅当
x?0
时，
QF
取得最小值，且
2

p
?1
2
于是有
故
p?2


注：由本题可见，抛物线的顶点到其焦点的距离最小。以后在遇到相关问题时，这个结论可
以直接用。

2
y?4x
上一动点
P
到直线
l
14x?3y?6?0
ll
x??1
12
19. 已知直线：和直线：，则 抛物线
和直线
l
2
的距离之和的最小值为___________，此时点< br>P
的坐标为___________.
2
y?4x
中，
2p?4
，即
p?2
解：在抛物 线
?
该抛物线的焦点为
F(1,0)
，准线方程为
x??1

记点
P
到直线
l
1
和直线
l
2
的 距离分别为
d
1
、
d
2

（1）求
[d
1
?d
2
]
min

由抛物线的定义知，点
P
到直线
l
2
的距离
于是
d
2
?PF

d
1
?d
2
?d
1
?PF

显然，
d
1
?PF
的最小值即为点
F(1,0)
到直线
l
1
：
4x?3y?6?0
的距离
[d
1
?d
2
]
min
?
于是
4?1?3?0?6
4
2
?3
2
?
10
?2
5

即 动点
P
到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之和 的最小值为2.
（2）求点
P
的坐标
设过点
F(1,0)
且垂直于直线
l
1
：
4x?3y?6?0
的直线为
l
333
y?0??(x?1)y??x?
444
则
l
的方程为，即
?
y
2
?4x
?
33
1
?
y??x?
x?
?
44
，得
9x
2
?82x?9?0
解得：
P
9
或
x
P
?9
（舍去） 联立
?
313132
?y
P
????????
4941243

1212
P(,)(,)
故
93
，即当动点
P
到直 线
l
1
和直线
l
2
的距离之和取得最小值2时，点
P
的坐标为
93
.

2
y?x
上移动，
F
是该抛物线的焦点，
ABAB
20. 已知定长为3的线段的端点、在抛物线
A
、
B
两点到准线的垂线分别是
AC
、
BD
，则 线段
AB
的中点
M
到
y
轴的距离的最小值
是___ ________，此时点
M
的坐标为___________.
解：在抛物线y?x
中，
2p?1
，即
2
p?
1
2

11
F(,0)x??
4

?
该抛物线的焦点为
4
，准线
l
的方程为
作
MN?l
于点
N

1
MN?(AC?BD)
2
则有
又由抛物线的定义，有
AF?AC
，
BF?BD

113
?MN?(AF?BF)?AB?
222

11
MN?x
M
?(?)?x
M
?
44
而
x
M
?
13315
??x
M
???
42 244
，当且仅当弦
AB
过抛物线的焦点
F
时，“=”成立，
[x
M
]
min
?
5
4

于是有
即此时点
M
到
y
轴的距离
x
M
最小，并且
为求点
M
的坐标，下面我们求
y
M

1
F(,0 )
AB?3
由、
4
可知，直线
AB
的斜率存在，不妨设为< br>k

111
F(,0)y?0?k(x?)y?kx?k
4
， 即
4
则由直线
AB
过点
4
可知，其方程为
设A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y< br>2
)

则
y
M
?
y
1
?y
2
2

?
y
2
?x
?
1
?
y?kx?k
2
?
4ky?4y?k?0

4
?
联立， 得
由 韦达定理，有
y
1
y
2
?
?k1
??
4k 4

1151
2
(y
1
?y
2
)
2
?y
1
2
?y
2
?2y
1
y
2
?x
1
?x
2
?2?(?)?2x
M
??2??? 2
4242
于是有
2
M
?4y?2
，即
2
y
M
?
2
1
?y
M
??
2

2

52
M(,?)
42
故
52
5
(,?)
y
42
4
MM
即当点到轴的距离取得最小值时，点 的坐标为.

注：当设出直线与曲线的交点坐标后，交点既在直线上，又在曲 线上，即交点的坐标不仅满
足直线方程，也满足曲线方程，这一点在解题时，要格外注意。

2
y?64x
上一动点，则当点
P
到直
4x?3y?46? 0
l
P
21. 已知直线的方程为，是抛物线
线
l
的距离最 短时，点
P
的坐标为___________，这个最短距离为___________.
2
y?64x
中，
2p?64
，即
p?32
解： 在抛物线
?
该抛物线的焦点为
F(16,0)
，准线方程为
x??1 6

?
y
2
?64x
?
2
4x?3y?4 6?0
y?48y?736?0

?
联立， 得
???48
2
?4?1?736?2304?2944?0

?
直线
l
与抛物线相离
于是点
P
到直线
l
的最短距离为平行于直线
l
且与该抛物线相切的直线到直线
l
的距 离，此时
点
P
即为切点
2
y?64x
相切的直线方程为
4x?3y?c?0

4x ?3y?46?0
l
设与直线：平行且与抛物线
?
y
2
?6 4x
?
2
4x?3y?c?0
y?48y?16c?0

?
联立， 得
2
??48?4?1?16c?4?16(12?3?c)? 64(36?c)?0
，得
c?36
令
22
y?48y?576?0(y?24)?0
，有
y??24
于是由，即
(?24)
2
x??9
2
y?64x
64
将其代入中，得
故
P(9,?24)
，其到直线
l
：
4x?3y?46?0
的最短距离
d?
4?9?3?(?24)?46
42
?3
2
?
10
?2
5

即当点P
到直线
l
的距离最短时，点
P
的坐标为
(9,?24 )
，这个最短距离为2.

注：抛物线上的点到已知直线的最短距离，就是与已知直 线平行且与抛物线相切的直线到已
知直线的距离，即切点到已知直线的距离。

题型5：与抛物线的焦点弦有关的问题
2
y?4x
的焦点，并与该抛物线交 于
A
、
B
两点，则
l
22. 已知斜率为1的直线经过抛物线
线段
AB
的长为___________.
2
y?4x
中，
2p?4
，即
p?2
解：在抛物 线
?
该抛物线的焦点为
F(1,0)
，准线方程为
x??1

由直线
l
的斜率为1，且过点
F(1,0)
可知，直线
l< br>的方程为
y?0?1?(x?1)
，即
y?x?1

设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y2
)

?
y
2
?4x
?
2
y ?x?1
?
x?6x?1?0
联立， 得
?6
?
x?x ???6
?
12
1
?
1
?
x
1
x
2
??1
1
由韦达定理，有
?

（法一）故
AB?1?k
l
x
1
?x
2
?1?k
l
?(x
1
?x
2
)
2
?1?k
l
?(x< br>1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
222

?1?1
2
?6
2
?4?1?2?32?64?8

（法二）

AB?AF?BF?[x
1
?(?1)]?[x
2
?(?1)]?(x
1
?x
2
)?2?6?2?8

?
23. 过抛物线
y?2px
（
p?0
）的焦点
F
作倾斜角为
4
的直线，交抛物线于
A
、
B
两点，
2
AF
点
A
在
x
轴上方，求
2
F B
.
pp
F(,0)x??
2
，准线方程为
2
证：抛物线
y?2px
的焦点为
?
?
直线
AB
的倾 斜角为
4

?k
AB
?1

ppp
F(,0)y?0?1?(x?)y?x?
2
可知，其方程为
2
，即
2
于是由直线
AB
过点
?
y
2
?2px
?
p
?(?2p)?(?2p)
2
?4?1?(?p
2)
?
y?x?
y??p?2p
22
?
y?2py?p? 0
2
?
2?1
联立，得 解得：
又
?
点
A
在
x
轴上方
?y
A
?p?2p
，
y
B
?p?2p
< br>?
过点
A
作
AA
?
?x
轴于点
A< br>?
，过点
B
作
BB?y
轴于点
B
?

则
AA
?
?y
A
?p?2p
，
BB
?
??y
B
?2p?p

故由
?AA
?
F
～
?BB
?
F
，有
AA
?
p?2p???
BFBB
?
2p?p
AF
2?1(2?1)
2< br>?
2?1(2?1)(2?1)

?

3?22
?3?22
2?1

注：有时，当把直线方程与曲线方程联 立后的方程化为关于
y
的一个一元二次方程比化为关
于
x
的一个一元 二次方程要好：一是计算简便，二是更容易得出结果.

24. 点
P
在直 线
l
：
y?x?1
上，若存在过点
P
的直线交抛物线
y?x
于
A
、
B
两点，且
2
PA?AB
，则称点
P
为“好点”，那么下列结论中正确的是_________.
A. 直线
l
上不存在好点
B. 直线
l
上仅有两个点是“好点”
C. 直线
l
上有且仅有一个点是“好点”
D. 直线
l
上有无穷多个点是“好点”
?
y?x
2
?
2
y?x?1
解：联立
?
，得
x?x?1?0

???(?1)
2
?4?1?1??3?0

?直线
l
：
y?x?1
与抛物线
y?x
相离
又
?
PA?AB

2
?PA?AB?
1
P B
2
，这表明点
A
是线段
PB
的中点
设
A(m,n)
，
P(x,x?1)

则
B(2m?x,2n?x?1)

?
n?m
2
?
2
2n?x?1?(2m?x)
2
y?x
A(m,n)B(2m?x ,2n?x?1)
?
于是由、两点在抛物线上，有
?x
2
?(4m ?1)x?2m
2
?1?0
（
?
）
2222
?? ?[?(4m?1)]?4?1?(2m?1)?16m?8m?1?8m?4

?
对 于方程（），
1
?8m
2
?8m?5?8(m?)
2
?3? 0
2

?
方程（
?
）恒有实数解
故直线
l
上有无穷多个点是“好点”

2
y?2px（
p?0
）的焦点
F
作互相垂直的两条直线，分别交抛物线的准线于25 . 过抛物线
P
、
Q
两点，又过
P
、
Q
两 点分别作抛物线的对称轴
OF
的平行线，交抛物线于
M
、
N
两
点，证明：
M
、
F
、
N
三点共线.
pp
F(,0)x??
2
，准线方程为
2
证：抛物线y?2px
的焦点为
2
设
M(x
1
,y
1)
，
N(x
2
,y
2
)

P(?则
pp
,y
1
)Q(?,y
2
)
22
，
于是
FP?(?p,y
1
)
，
FQ?(?p,y
2
)

又
?
FP?FQ

?FP?FQ?(?p ,y
1
)(?p,y
2
)?p
2
?y
1
y
2
?0

2
yy??p
12
于是有
k
MF
?
又
?
0?y
1
y
1y2py2py2p
??
2
1
?
2
1
2
?
2
1
?
pp
y
1
py
1
?p y
1
?y
1
y
2
y
1
?y
2?x
1
x
1
?
?
22
2p2

k
NF
?
0?y
2
y
2
y2py2py2p??
2
2
?
2
2
2
?
2
2< br>?
pp
y
2
py
2
?py
2
?y< br>1
y
2
y
1
?y
2
?x
2
x
2
?
?
22
2p2


?k
M F
?k
NF
故
M
、
F
、
N
三点共 线

注：为证三点共线，只需证明三点中任意两点连线的斜率相等。此外，为证两直线平行， 也
可转化为证明两直线斜率相等。

2
y?2px
（
p? 0
）的焦点为
F
，经过点
F
的直线交该抛物线于
A
、
B
26. 已知已知抛物线
两点，点
C
在该抛物线的准线上，并且
BCx轴
，证明：直线
AC
必经过坐标原点
O
.
pp
F(,0)x??
2
，准线方程为
2
证：抛物线y?2px
的焦点为
2
（ⅰ）当
AB
不垂直于
x
轴时，设其斜率为
k

pp1
F(,0)y?0?k(x?)y?kx?p k
2
可知，其方程为
2
，即
2
则由直线
AB过点
2
t
1
2
t
2
p
A(,t
1
)B(,t
2
)
C(?,t
2
)
2
设
2p
，
2p
则
?
y
2
?2px
?
1
?
y?kx?pk
22
?
ky?2py?kp ?0

2
?
联立， 得
?kp
2
t
1< br>t
2
???p
2
k
由韦达定理，有

k
OA
?
又
?
t
1
?02p
?
k
OC
t
1
2
t
1
?0
2p
，?p
2
2?
t?02t2p
t
1
?
2
??
2
???
p
ppt
1
??0
2
?k
OA
?k
OC
，这表明，
A
、
O
、
C
三点共线
故此时直线
AC
经过坐标原点
O

ppp
A(,p)B(,?p)C(?,?p)
22
（ⅱ）当
AB< br>垂直于
x
轴时，
2
，，
k
OA
?
?
p?0?p?0
?2k
OC
??2
pp
?0??0
22
，
，这表明，
A
、
O
、
C
三点共线
?k< br>OA
?k
OC
故此时直线
AC
也经过坐标原点
O
综上可知，直线
AC
总经过坐标原点
O


题型6：与抛物线有关的综合问题
27. 已知抛物线
C
：
y?4 x
的焦点为
F
，直线
y?2x?4
与抛物线
C
交于
A
、
B
两点，则
2
cos?AFB
=______ _____.
2
y?4x
中，
2p?4
，即
p?2
解：（法一 ）在抛物线
?
该抛物线的焦点为
F(1,0)
，准线方程为
x??1

?
y
2
?4x
?
2
y?2x?4
联立
?
，得
x?5x?4?0
解得：
x?1
或
x?4

?y?2?1?4??2
或
y?2?4?4?4

不妨令
A(4,4)
，
B(1,?2)

则
AF? (4?1)
2
?(4?0)
2
?3
2
?4
2
?5
，
BF?(1?1)
2
?(?2?0)
2
?4?2< br>
，
AB?(4?1)
2
?[4?(?2)]
2
? 3
2
?6
2
?45?35

cos?AFB?
故由余弦定理，有
AF?BF?AB
2AF?BF
222
?
25?4 ?45?164
???
2?5?2205

（法二）由法一知，
A( 4,4)
，
B(1,?2)
，
F(1,0)

于是
FA?(3,4)
，
FB?(0,?2)

故cos?AFB?

FA?FB
FA?FB
?
3?0?4 ?(?2)
3
2
?4
2
?0
2
?(?2)
2
?
?84
??
5?25

28. 已知抛物线
C
：
不重合的点.
y?
1
2
x?1< br>2
，直线
l
：
y?x
. 证明：
C
上不存在 关于直线
l
对称的两个
11
P(m,m
2
?1)y?x2
?1
22
证：设是抛物线
C
：上任意一点
11P(m,m
2
?1)Q(m
2
?1,m)
2
则点关于直 线
l
：
y?x
的对称点为
2

111
Q( m
2
?1,m)y?x
2
?1P(m,m
2
?1)
22
若点
2
是抛物线
C
：上不与点重合的点
111
m?(m
2
?1)
2
?1m?m
2
?1
222< br>则，并且

11
m?(m
2
?1)
2
?1
42
22
由，有
m?4m?8m?4?0

?m
4
?4(m?1)
2
?0
，即
(m
2
?2m?2)( m
2
?2m?2)?0

22
?m?2m?2?(m?1)?1?0
又
?m
2
?2m?2?0

1
m
2
?21
2
m??m?1
m?m
2
?1
22
2
于是 有，而这显然与矛盾
故点
Q
不在抛物线
C
上，即
C
上不存在关于直线
l
对称的两个不重合的点.

2
x
A
、
B
是该抛物线上的两动点，29. 已知抛物线
?4y
的焦点为
F
，且
AF?
?
FB< br>（
?
?0
）.
过
A
、
B
两点分别 作抛物线的切线，设这两条切线的交点为
M
.
（1）证明：
FM?AB
为定值；
（2）设
?ABM
的面 积为
S
，写出
S?f(
?
)
的表达式，并求出
S< br>的最小值.
2
x
证（1）：在抛物线
?4y
中，
2 p?4
，即
p?2

?
该抛物线的焦点为
F(0,1)
，准线方程为
y??1

设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

则
AF?(?x
1
,1?y< br>1
)
，
FB?(x
2
,y
2
?1)

于是由
AF?
?
FB
，有
?x
1
?
?
x
2
?，
1?y
1
?
?
(y
2
?1)
?
又
?
x?4y
，即
2
y?< br>1
2
x
4

11
?y
?
??2x?x
42

2
x于是过抛物线
?4y
上
A(x
1
,y
1
)，
B(x
2
,y
2
)
两点的切线方程分别为
y?y
1
?
11
x
1
(x?x
1
)y?y
2
?x
2
(x?x
2
)
22
，
y?
即
1111111
x
1
x?x
1
2
? y
1
?x
1
x?x
1
2
?x
1
2
?x
1
x?x
1
2
2222424
，
y ?
11
2
11
2
1
2
11
2
x< br>2
x?x
2
?y
2
?x
2
x?x
2
?x
2
?x
2
x?x
2
2222424

x
1
?x
2
?
x?
?
2
?
xx
x?xxx
?
y?
12
?M(
12
,
12
)
4

?
24

11
2
?
y?xx?x
11
?
24
?
11
2
?< br>y?x
2
x?x
2
24
，得 联立
?
FM? (
于是
x
1
?x
2
x
1
x
2?4
,)
24
，而
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)

x
1
?x
2
x
1
x
2
?4x?xxx?4
,)(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)?
12
(x
2
?x
1
)?
12
(y
2
?y
1
)
2424

?FM?AB?(

1
22
x
1
x
2
?41
2
1
2
1
22x
1
x
2
?4
22
xx?4
22
?( x
2
?x
1
)?(x
2
?x
1
)?(x< br>2
?x
1
)?(x
2
?x
1
)?
1 2
(x
2
?x
1
)
244421616
（
?
）
2
xx??
?
x?x??
?
x??
?
?4y
2
??4
?
y
2

12222
由?有，
2
?
，得
x
1
?< br>?
x
2
，即
4y
1
?
?
?4y2
?4
?
y
2

?y
1
?
?
y
2

222222
2
代入?中，得
1?
?
y
2
?
?
y
2
?
?
，即
?
(
??1)y
2
?
?
?1

?y
2
?1
?
，
y
1
?
?
2
?
1?
?
?

于是
x
1
x
2
?? 4
?
?
1
?
??4

故由（
?
） 式，有
FM?AB?
?4?4
2
(x
2
?x
12
)?0
16
，即
FM?AB
为定值，其值为0.
解（2）：由（1）知，
FM?AB?0

?FM?AB

又
?
AB?AF?BF?y
1
?(?1)?y
2
?(?1) ?y
1
?y
2
?2?
?
?
1
?
? 2

x?xxx?4
2
FM?(
12
)
2
?(
12
)?
24
2
x
1
2
?x
2
?2x
1
x
2
?4?4
2
1
2
1
2
1
?()?x
1
?x
2
??(?4)?444442

?y
1
?y
2
?2?
?
?
1
?
?2

?S?f(
?
)?
1111 11
AB?FM?(
?
??2)
?
??2?(
?
? ?2)
3
22
??
2
?

又由
?
?0
，有
“=”成立
?
?
1?
?2?2
?
?
1
?
?2?4
，当且仅当?
?
1
?
，即
?
?1
（舍去
?
??1
）时，
S?
故

111
3
11
(
?
??2)
3
?4?64??8?4
2
?
222< br>，当且仅当
?
?1
时，
S
取得最小值4.
pp
(,0)x??
2
相切，其中
p?0
. 30. 已知 动圆过定点
2
，且与直线

（1）求动圆圆心的轨迹
C
的方程；
（2）设
A
、
B
是轨迹
C
上异于原点< br>O
的两个不同点，直线
OA
和
OB
的倾斜角分别为
?
和
?
，当
?
、
?
变化且
?
??
为定值
?
（
0?
?
?
?
）时，证明 ：直线
AB
恒过某一定点，并
求出该定点的坐标.
pp
(,0)x??
2
于点
N
解（1）：设动圆圆心为< br>M
，记定点
2
为
F
，过点
M
作
MN ?
直线
则由题意知，
MF?MN

pp
F(,0)x??
2
的距离与它到定直线
2
的距离相等 这表明，点
M
到定点
pp
F(,0)x??
2
是其焦点，< br>2
是其准线 于是点
M
的轨迹为抛物线，其中
2
y?2px< br>（
p?0
）
C
故动圆圆心的轨迹的方程为
证（2）：设A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y< br>2
)

则由题意知，
x
1
?x
2
， 并且
x
1
x
2
?0

于是直线
AB
的斜率存在且不为零，不妨设其方程为
y?kx?b
（
k?0
）
?
y
2
?2px
?
2
y?kx?b
ky?2py? 2pb?0

?
联立，得
?2p2p
?
y?y???2
?
1
kk
?
2pb
?
y
1
y
2
?
k
由韦达定理，有
?

（ⅰ）当
?
?
?
?
?
?
?
2
时，
tan?
?tan(
?
?
?
)
不存在，但有
tan< br>?
?cot
?
?
1
tan
?

1? tan
?
?tan
?
?k
OA
?k
OB
于 是
y
1
y
2
y
1
y
2
y
1
y
2
4p
2
4p
2
2pk
????2
???
2
2pb
y
1
y
2
x
1
x
2
x
1
x
2
y
1
y
2
b
?
k
2p2p

?b?2pk