高中数学log的公式-高中数学选修一第一章知识点
2019 年高中数学《平面向量》公式
一,基本概念
1,向量的概念:有大小有方向的量称为向量。
B
a
A
2,向量的表示:几何表示为有向线段(如图)
3,向量的大小:即是向量的长度(或称模)
;字母表示为
a
或者
AB
。
,记作
a
或者
AB
。
4,零向量:长度为 0
的向量称为零向量,记为
0
,零向量方向是任意的。
5,单位向量:长度为一个单位的向量称为单位向量,一般用
e
、
i
来表示。
e
1 i 1
,
6,平行向量(也称共线向量)
:方向相同或相反的向量称为平行向量,规定零向量与任意向量平行。若
a
平行于
b
,则表
示为
a
∥
b
。
7,相等向量:方向相同,大小相等的向量称为相等向量。若
a
与
b
相等,记为
a
=
b
8,相反向量:大小相等,方向相反的向量称为相反向量。若
a
与
b
是相反向量,则表示为
a
=
b
;向量
AB
BA
二,几何运算
1,向量加法:
a
a b
b
(
1)平行四边形法则(起点相同)
,可理解为力的合成,如图所示:
B
b
a
b
C
a
(
2)三角形法则(首尾相接) ,可理解为:位移的合成,如图所示,
(
3)两个向量和仍是一个向量;
( 4)向量加法满足交换律、结合律:
( 5)加法几种情况(加法不等式)
:
AB
BC AC
A
a b b a
,
(a
b) c
a (b
c)
b
a b
a
a
b a
a b a b
2,减法:
b
?
a
b a b a b
a b
a
b
B
A
(
1)两向量起点相同,方向是从减数指向被减数,如图
AB
AC
CB
( 2)两向量差依旧是一个向量;
( 3)减法本质是加法的逆运算:
AB AC CBAB CA CB
3,加法、减法联系:
C
B
(
1)加法和减法分别是平行四边行两条对角线,
AB AD AC
,
AB AD
DB
C
D
A
( 2)若有
AB AD
AB AD
,则四边形
ABCD
为矩形
4,实数与向量的积:
( 1)实数
与向量
a
的积依然是个向量,记作
a
,它的长度与方向判断如下:
当
0
时,
a
与
a
方向相同; 当
(
a)
0
时,
a
与
a
方向相反; 当
(
0
时,
a 0
;当
a
a
0
时,
a
0
;
a
a
(
2)实数与向量相乘满足:
5,向量共线:
)a
(
) a
a
( a b)
ab
( 1)向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是:有且只有一个实数
,使得
b
a
O
( 2)如图,平面内
A,
B, C
三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数
使得
qOA
m, n, q
,
mOB
nOC
0
,且
m
n
q 0
,反之也成立。
A
B
C
( 3)
AB
AC
,则
OB
(1
)OA
OC
(证明略)
6,向量的数量积
( 1)数量积公式:
a b
a b
cos
cos
a b
a
b
( 2)向量夹角
:同起点两向量所夹的角,范围是
0
0
,180
0
( 3)零向量与任一向量的数量积为
( 4)数量积与夹角关系:
0,即
0 a
0
b
a
b
a b
a
a
b
0
0
90
0
a
a
b
90
0
a
0
0
a b a b
b
b
180
0
a
b
a
b
90
0
0 a b
a b
b
180
0
a b a b 0
a
b
a
a b 0
a b
A
a b
( 5)投影:
b cos
称为
b
在
a
的方向上的投影;
2
a cos
成为
a
在
b
的方向上的投影
C
( 6)重要结论:直角三角形
( 7)向量数量积的运算律:
2
2
ABC
中,
AC AB
AB
B
a
a
a
a
e
(向量
e
为与
a
方向相同的单位向量)
a b
b
a
( a) b
(a b)
a ( b)
2
2
( a b)
c
a c b c
2
2
2
2
(a
b)
2
a
2a b
b
( a b)
2
a
2a b
b
(a
b)
(a
b) a
b
三,坐标运算
1,平面向量基本定理:如果
数
e
1
, e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量
a
,有且只有一对实
,
,使得
ae
1
e
2
,我们把不共线的向量
e
1
, e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
(证明略)
2,坐标定义: 如图,在直角坐标系内, 我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
,
j
作为基底。 任作一个向量
a
,
由向量的基本定理可知,有且只有一对实数,使得:
a
xi
y j
,我们把
(x,
y)
叫做
j
y
i
向量的(直角)坐标,记作
a
(x, y)
,其中
x
、
y
分别为向量的横纵坐标。这个式子
( x, y)
a
叫做向量的坐标表示。
y j
3,如图,已知点
A
( x
1
, y
1
)
,
B
(x
2
, y
2
)
,由向量的坐标定义可知,
0
x i
y
A
x
OA ( x
1
, y
1
)
,
OB
(x
2
,
y
2
)
,
AB OB
OA
(x
2
x
1
, y
2
y
1
)
由此可知,一个向量
B
的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标,即,
AB
(x
2
x
1
, y
2
y
1
)
0
x
4,向量的加减乘坐标运算:已知
a
(x
1
, y
1
)
,
b
(x
2
, y
2
)
a
b
( 1)加、减、乘:
a
b
( x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
(
x
1
x
2
, y
1
y
2
)
a b
x
1
x
2
y
1
y
2
( 2)实数与向量乘积的坐标运算:
a
( x
1
,
y
1
)
a
x
1
2
( 3)向量模(大小)的坐标形式:
y
1
2
, b
x
2
2
y
2
2
( 4)
a,b
夹角余弦值
cos
x
1
x
2
y
1
y
2
x
2
y
2
1
1
2
2
x
2
y
2
5,向量间关系的坐标形式,已知
a
(x
1
, y
1
)
,
b
(x
2
, y
2
)
(
1)
a b,(b
0)
的充要条件是,
x
1
y
2
x
2
y
1
0
0
( 2)若
a
b,
则有
a b
0
,即
x
1
x
2
y
1
y
2
6,柯西不等式的向量形式
设向量
m
(a,b), n
(c, d )
,则有
m n
ac
bd
,
m
n
a
2
b
2
c
2
d
2
,因为
m n
m n
,所以有柯西不等
式的向量形式:
ac
bd
a
2
b
2
c
2
d
2
,化简得:
(ac
bd )
2
(a
2
b
2
)( c
2
d
2
)