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高中数学平面向量公式.docx

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 00:15
tags:高中数学平面向量

高中数学log的公式-高中数学选修一第一章知识点

2020年10月6日发(作者:杜鹤桂)






2019 年高中数学《平面向量》公式



一,基本概念

1,向量的概念:有大小有方向的量称为向量。






B





a

A


2,向量的表示:几何表示为有向线段(如图)


3,向量的大小:即是向量的长度(或称模)

;字母表示为
a
或者
AB



,记作
a
或者
AB


4,零向量:长度为 0 的向量称为零向量,记为

0
,零向量方向是任意的。


5,单位向量:长度为一个单位的向量称为单位向量,一般用















e

i
来表示。

e

1 i 1


6,平行向量(也称共线向量)

:方向相同或相反的向量称为平行向量,规定零向量与任意向量平行。若

a
平行于
b
,则表

示为
a

b


7,相等向量:方向相同,大小相等的向量称为相等向量。若

a

b
相等,记为
a
=
b

8,相反向量:大小相等,方向相反的向量称为相反向量。若

a

b
是相反向量,则表示为

a
=
b

;向量
AB








BA

二,几何运算

1,向量加法:








a



a b

b

( 1)平行四边形法则(起点相同)

,可理解为力的合成,如图所示:









B

b

a

b

C

a






































( 2)三角形法则(首尾相接) ,可理解为:位移的合成,如图所示,

( 3)两个向量和仍是一个向量;

( 4)向量加法满足交换律、结合律:

( 5)加法几种情况(加法不等式)





AB





BC AC

A


a b b a

(a

b) c

a (b




c)


b

a b

a









a

b a

a b a b

2,减法:



b
?

a b a b a b


a b

a b


B

A

( 1)两向量起点相同,方向是从减数指向被减数,如图


AB AC


CB






( 2)两向量差依旧是一个向量;
( 3)减法本质是加法的逆运算:
AB AC CBAB CA CB

3,加法、减法联系:

C




B

( 1)加法和减法分别是平行四边行两条对角线,

AB AD AC

AB AD

DB

C

D

A

( 2)若有

AB AD

AB AD
,则四边形

ABCD
为矩形





4,实数与向量的积:


( 1)实数


与向量
a
的积依然是个向量,记作

a
,它的长度与方向判断如下:




0
时,

a

a
方向相同; 当

(

a)


0
时,

a

a
方向相反; 当

(


0
时,

a 0
;当
a

a


0
时,
a

0

a

a

( 2)实数与向量相乘满足:

5,向量共线:


)a


(


) a


a

( a b)


ab






( 1)向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是:有且只有一个实数

,使得
b

a


O



( 2)如图,平面内

A, B, C
三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数

使得
qOA


m, n, q





mOB

nOC


0
,且

m

n


q 0
,反之也成立。




A





B





C







( 3)
AB


AC
,则
OB


(1

)OA


OC
(证明略)











6,向量的数量积




( 1)数量积公式:

a b


a b

cos


cos


a b


a

b


( 2)向量夹角

:同起点两向量所夹的角,范围是

0
0
,180
0


( 3)零向量与任一向量的数量积为


( 4)数量积与夹角关系:





0,即
0 a

0

b


a

b

a b

a











a

b

0
0

90
0



a


a

b

90
0





a

0
0


a b a b

b




b

180
0

a b





a

b

90
0


0 a b

a b

b






180
0

a b a b 0

a b

a


a b 0

a b






A




a b

( 5)投影:
b cos


称为
b

a
的方向上的投影;


2

a cos







成为








a

b
的方向上的投影








C





( 6)重要结论:直角三角形


( 7)向量数量积的运算律:


2


2


ABC
中,

AC AB









AB

B


a


a



a

a









e

(向量
e
为与
a
方向相同的单位向量)


a b


b a



( a) b

(a b) a ( b)

2

2

( a b) c

a c b c

2

2


2

2









(a

b)
2

a

2a b

b

( a b)
2

a 2a b

b

(a

b)

(a b) a

b





三,坐标运算


1,平面向量基本定理:如果




e
1
, e
2

是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量

a
,有且只有一对实

,
,使得

ae
1

e
2

,我们把不共线的向量
e
1
, e
2

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

(证明略)

2,坐标定义: 如图,在直角坐标系内, 我们分别取与


x
轴、

y

轴方向相同的两个单位向量
i
,

j

作为基底。 任作一个向量
a


由向量的基本定理可知,有且只有一对实数,使得:






a




xi


y j
,我们把

(x, y)

叫做



j



y


i

























向量的(直角)坐标,记作


a


(x, y)
,其中

x


y
分别为向量的横纵坐标。这个式子



( x, y)

a







叫做向量的坐标表示。















y j


3,如图,已知点


A

( x
1
, y
1
)

B

(x
2
, y
2
)
,由向量的坐标定义可知,


0

x i

y

A




x




OA ( x
1
, y
1
)

OB


(x
2
, y
2
)

AB OB


OA


(x
2



x
1
, y
2


y
1
)
由此可知,一个向量


B


的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标,即,




AB



(x
2
x
1
, y
2



y
1
)





































0


x




4,向量的加减乘坐标运算:已知

a

(x
1
, y
1
)

b


(x
2
, y
2
)


a

b


( 1)加、减、乘:
a

b

( x
1

x
2
,

y
1

y
2
)


( x
1

x
2
, y
1


y
2
)


a b

x
1
x
2

y
1
y
2


( 2)实数与向量乘积的坐标运算:


a

( x
1
,

y
1
)


a

x
1

2


( 3)向量模(大小)的坐标形式:


y
1

2
, b




x
2

2

y
2



2


( 4)
a,b
夹角余弦值

cos




x
1
x
2

y
1
y
2


x
2

y
2

1


1

2

2



























x

2

y
2



























5,向量间关系的坐标形式,已知

a

(x
1
, y
1
)

b


(x
2
, y
2
)


( 1)
a b,(b

0)

的充要条件是,
x
1
y
2


x
2
y
1

0


0






( 2)若
a

b,
则有

a b


0
,即

x
1
x
2

y
1
y
2





















6,柯西不等式的向量形式

设向量
m

(a,b), n

(c, d )
,则有
m n

ac

bd

m

n


a
2


b
2

c
2

d
2

,因为
m n

m n
,所以有柯西不等



式的向量形式:
ac

bd

a
2

b
2

c
2

d
2

,化简得:

(ac

bd )
2

(a
2

b
2
)( c
2

d
2
)


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