高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题

高中数学平面向量组卷

一．选择题（共18小题）
1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一 个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若
=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（ ）
A． 4 B． C． 6 D． 2
2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）?=（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（ ）
A． 2 B． C． 0 D． ﹣
4．向量，，且∥，则=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（ ）

A． B． C． D．
6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（ ）
A． B． C． D．
7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sin α），O（0，0），若，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（ ）
A． 等边三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D． 钝角三角形
9．已知点G是△ABC的重心，若A=，?=3，则||的最小值为（ ）
A． B． C． D． 2
10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量?=（ ）

A． ﹣ B． C． ﹣ D．
11．已知函数f（x）=sin （2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图
象交于D， E两点，则（）?的值为（ ）

A． B． C． 1 D． 2
1 2．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）?（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定 为（ ）
A． 等边三角形 B． 直角三角形 C． 钝三角形 D． 等腰三角形

13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积 之比等于（ ）

A． B． C． D．
14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（ ）
A． 垂心 B． 外心 C． 重心 D． 内心
15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（ ）
A． B． C． D．



16．已知空 间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（
A． B． C． D．
17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（ ）
A． 9：4：1 B． 1：4：9 C． 3：2：1 D． 1：2：3
18．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（ ）
A． 2 B． 4 C． 5 D． 10
二．解答题（共6小题）
19． 如图示，在△ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C在AB上，且OC平分∠BOA ．
（1）求∠AOB的余弦值；
（2）求点C的坐标．


20．已知向量=（cosθ，sinθ）和．
（1）若∥，求角θ的集合；
（2）若，且|﹣|=，求的值．







）

21．如图所示，若D是△ABC内 的一点，且AB﹣AC=DB﹣DC．求证：AD⊥BC．




22．已知向量，，其中A、B是△ABC的内角，．
（1）求tanA?tanB的值；
（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求的值．





23．已知向量且，函数f（x）=2
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求tanx及的值．



24．已知，函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）当时，求函数f（x）的值域．

2222

高中数学平面向量组卷
（2014年09月24日）

参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一 个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若
=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（ ）
A． 4

考点： 平面向量数量积的运算．
B． C． 6 D． 2
专题： 平面向量及应用．
分析： 利用数量积运算和向量的夹角公式可得=．再利用平方关系可得，利用新定义即可得出．
解答： 解：由题意，
则，∴=6，==2，=2．
∴===．
即，得，
由定义知，故选：D．
点评： 本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题．

2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）?=（ ）
A． ﹣1

考点： 平面向量数量积的运算．
B． 0 C． 1 D． 2
专题： 平面向量及应用．
分析： 由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）?的值．
解答： 解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）?=2﹣=0，故选：B．
点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（ ）
A． 2

考点： 数量积表示两个向量的夹角．
B． C． 0 D． ﹣
专题： 平面向量及应用．
分析： 由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．
解答： 解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．

点评： 本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．

4．向量，，且∥，则=（ ）
A．

考点： 平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．
B． C． D．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系与诱导公式，化简即可得到的值．
解答： 解：∵，，且∥，∴，
即，得sinα=，由此可得=﹣sinα=．故选：B
点评： 本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求的值．着重考查了同角三角函 数的基本关
系、诱导公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．

5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（ ）

A．

考点： 向量的加法及其几何意义．
B． C． D．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由题意可得=，而，，代入化简可得答案．
解答： 解：由题意可得=====故选C
点评： 本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题．

6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（ ）
A．

考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．
B． C． D．
专题： 平面向量及应用．
分析： 直接由向量共线的坐标表示列式计算．
解答： 解：∵向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则2cosα?tanα﹣（﹣1）×=0，
即2sinα=．∴．故选：B．
点评： 共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出 现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特

别注意垂直与平行的区别．若= （a
1
，a
2
），=（b
1
，b
2
），则 ⊥?a
1
a
2
+b
1
b
2
=0，∥?a< br>1
b
2
﹣a
2
b
1
=0．是基础题．

7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若 ，则的夹角为（ ）
A．

考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
B． C． D．
专题： 计算题．
分析： 根据题意求出的坐标，再由它的模求出角α，进而求出点C的坐标，利用数量积的坐标表示求出 和夹角的余
弦值，再求出夹角的度数．
解答： 解：∵A（3，0），C（cosα，sinα），O（0，0），∴=（3+cosα，sinα），
∵，∴（3+cosα）+sinα=13，
解得，cosα=，则α=，即C（，），∴和夹角的余弦值是==，
∴和的夹角是．故选：D．
点评： 本题考查向量线性运算的坐标运算，以及数量积坐标表示 的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量
的模，以及它们的夹角的余弦值，进而结合夹角的范围 求出夹角的大小．
8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（ ）
A． 等边三角形 B． 直角三角形
22
C． 锐角三角形 D． 钝角三角形
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 对|+|=1，|﹣|=3分别平方并作差可得，由其符号可判断∠AOB为钝角，得到答案．
解答： 解：由|+|=1，得=1，即①，
由|﹣|=3，得，即②，
①﹣②得，4=﹣8，解得＜0，∴∠AOB为钝角，△OAB为钝角三角形，故选：D．
点评： 本题考查平面向量数量积运算，属基础题．
9．已知点G是△ABC的重心，若A=，?=3，则||的最小值为（ ）
A． B．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用．
C． D． 2
分析：
由A=，?=3，可求得=6，由点G是△ABC的重心 ，得=，利用不等式则||==（+6）≥，代入数值可得．
解答： 解：∵A=，?=3，∴=3，即=6，
∵点G是△ABC的重心，∴=，
∴||==（+6）≥==2，
∴||≥，当且仅当=时取等号，∴||的最小值为，故选B．
点评： 本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值，注意不等式求最值时适用的条件．
10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量?=（ ）
2
2

A． ﹣ B． C． ﹣ D．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由向量的运算可得=（），=，由数量积的定义可得．
解答： 解：∵=，=2，∴=（），=，
∴=====，


∴?=（）?（）=
== 故选：B
点评： 本题考查向量数量积的运算，用已知向量表示未知向量是解决问题的关键，属中档题．
11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点 C的直线与该图
象交于D，E两点，则（）?的值为（ ）

A． B． C． 1 D． 2
考点： 平面向量数量积的运算；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．
解答： 解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T=，则BC=，则C点是一个对称中心，
则根据向量的平行四边形法则可知：=2?∴（）?==2×=．
点评： 本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
12．已知P为三角 形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）?（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（ ）
A． 等边三角形

考点： 平面向量数量积的运算．
B． 直角三角形 C． 钝三角形 D． 等腰三角形
专题： 平面向量及应用．
分析： 利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出．
解答： 解：∵，=，（﹣）?（+﹣2）=0，∴=0．
而一定经过边AB的中点，∴垂直平分边AB，即△ABC的形状一定为等腰三角形．
点评： 本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义，考查了推
理能力，属于难题．
13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与 △ABC的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．

考点： 向量在几何中的应用．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由△ABP与△ABC为同底 不等高的三角形，
故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关 系，进行得到△ABP的面
积与△ABC面积之比．
解答： 解：连接CP并延长交AB于D，∵P、C、D三点共线，∴=λ+μ，且λ+μ=1
设 =k，结合=+，得=+
由平面向量基本定理解之，得λ=，k=3且μ=，∴=+，可得=，
∵△ABP的面积与△ABC有相同的底边AB
高的比等于||与||之比 ∴△ABP的面积与△ABC面积之比为，故选：C
点评： 三角形面积性质：同（等）底同（等）高 的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）
高三角形面积之比等于底之比．


14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（ ）
A． 垂心

考点： 向量在几何中的应用．
B． 外心 C． 重心 D． 内心
专题： 综合题；平面向量及应用．
分析： 首先根据已知条件可知|| =||=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，
从而可确定 直线AD通过△ABC的内心．
解答： 解：∵|AB|=3，|AC|=2 ∴||=||=．
设=，=， 则||=||，∴==+．
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．∴AD为菱形的对角线，
∴AD平分∠EAF．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．
点评： 本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．
15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（ ）
A．

考点： 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
B． C． D．
专题： 计算题．
分析： 先判定三角形形状，然后建立 直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出

答案．
解答： 解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知BC=
由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°
以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系
∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）
又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）
则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+= 故选A．
点评： 本题考查的知识点是平面向 量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的
解答过程．

16．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面 积为（ ）
A．

考点： 平面向量数量积的运算；三角形的面积公式．
B． C． D．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由向量的运算可得， ，以及，代入夹角公式可得cos∠BOA，由平方关系可得sin∠BOA，代入三角形的面积公
式S =，计算可得．
解答： 解：由题意可得====，
同理可得====，
而=（）?（）==6×1﹣1=，
故cos∠BOA===，可得sin∠BOA==，
所以△OAB的面积S===．故选B
点评： 本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题．

17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（ ）
A． 9：4：1 B． 1：4：9
22
C． 3：2：1 D． 1：2：3
考点： 向量在几何中的应用．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积
公式确定面积之比
解答： 解：∵++3=，∴+=﹣+），如图：
∵， ∴

∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线∴====2
而S
△APB
=S
△ABC
∴△APB，△APC，△BPC的面积 之比等于3：2：1故选 C

点评： 本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法 则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向
量共线是解决本题的关键
18．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（ ）
A． 2 B． 4 C． 5 D． 10
考点： 向量在几何中的应用．
专题： 计算题；综合题．
分析： 以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意 得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，
∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标 ，运用两点的距离公式求出|PA|+|PB|和|PC|的值，即可求出的
值．
解答： 解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，∴P（rcosα，rsinα）
∴|PA|=+=+rcosα，
|PB|=+=﹣rcosα，
可得|PA|+|PB|=r 又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|==r所以：==10 故选D
点评： 本题给出直角三角形ABC斜边AB上中线AD的中点P，求P到A、B距离的平方和与PC平方的比值，
着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题．
二．解答题（共6小题） < br>19．如图示，在△ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C在AB上，且OC 平分∠BOA．
（1）求∠AOB的余弦值；
（2）求点C的坐标．


考点： 向量在几何中的应用．
222
22
22
222
22
专题： 综合题．
分析： （1）由题意可得，把已知代入可求
（2）设点C（x，y），由OC平分∠BOA 可得cos∠AOC=cos∠BOC即=；再由点C在AB即共线，建立关于x，y
的关系，可求

解答： 解：（1）由题意可得，，
∴==
（2）设点C（x，y），由OC平分∠BOA可得cos∠AOC=cos∠BOC
∵， ∴=
∴， ∴y=2x①
又点C在AB即共线，
∴4x+5y﹣8=0② 由①②解得，∴点C的坐标为
点评： 本题注意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用，向量共线的 坐标表示在三角形中的应用，解题的关键是
借助于已知图象中的条件，灵活的应用向量的基本知识．

20．已知向量=（cosθ，sinθ）和．
（1）若∥，求角θ的集合；
（2）若，且|﹣|=，求的值．

考点： 平面向量的坐标运算．
专题： 计算题．
分析： （1）由题意和共线向量的等价条件，列出关于角θ的方程，求出 θ的一个三角函数值，再根据三角函数求
出角θ的集合．
（2）由题意先求出﹣的坐标，根据此向量的长度和向量长度的坐标表示，列出方程求出
cos（θ﹣），由余弦的二倍角公式和θ的范围求出的值．
解答： 解：（1）由题意知∥ ，则cosθ×cosθ﹣sinθ×（﹣sinθ）=0，∴sinθ=1，sinθ=，
∴角θ的集合={θ|θ=+2kπ或θ=+2kπ，k∈Z}；
（2）由题意得，﹣=（cosθ﹣+sinθ，sinθ﹣cosθ），
∴|﹣|==
=2=，
即cos（θ﹣）=，由余弦的二倍角公式得，= ①，
∵，∴＜＜，∴＜﹣＜，即cos（﹣）＜0，
∴由①得cos（﹣）=﹣．
点评： 本题考查了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示，利用两角正弦（余弦）和差公式和二倍 角公式进行
变形求解，注意由已知条件求出所求角的范围，来确定所求三角函数值的符号．

21．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB﹣AC=DB﹣DC．求证：AD⊥BC．


考点： 向量在几何中的应用．
2222
专题： 计算题；证明题；平面向量及应用．
分析：
设=，=，=，=，=，将=+、=+代入﹣的 式子，化简整理﹣=+2?﹣2?﹣，结合题意﹣=﹣化简，可得?
（﹣）=0，再结合向量的加减法法 则得到?=0，由此结合数量积的性质即可得到AD⊥BC．
解答： 解：设=，=，=，=，=，则=+，=+．
∴﹣=（+）﹣（+）=+2?﹣2?﹣．
∵由已知AB﹣AC=DB﹣DC，得﹣=﹣，∴+2?﹣2?﹣=﹣，即?（﹣）=0．
∵=+=﹣，∴?=?（﹣）=0，因此，可得⊥，即AD⊥BC．

点评： 本题 给出三角形ABC内满足平方关系的点D，求证AD⊥BC．着重考查了平面向量的加减法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．










22．已知向量，，其中A、B是△ABC的内角，．
（1）求tanA?tanB的值；
（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求的值．

考点： 平面向量的综合题．
2222222222
222222
222222222222
专题： 计算题．

分析： （1）根据 推断出 =0，利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanA?tanB；
（2）由于tanA?tanB=＞0，利用基本不等式得出当且仅当 时，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，
sinA，最后由正弦定理求的值．
解答： 解：（Ⅰ）由题意得 =0
即，
﹣5cos（A+B）+4cos（A﹣B）=0
cosAcosB=9sinAsinB
∴tanA?tanB=．
（2）由于tanA?tanB=＞0，且A、B是△ABC的内角，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴=﹣
当且仅当 取等号．
∴c为最大边时，有，tanC=﹣，
∴sinC=，sinA=
由正弦定理得：=．
点评： 本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用， 基本不等式的知识，是一道综合题，考查学
生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力 的高低．

23．已知向量且，函数f（x）=2
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求tanx及的值．

考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性．
专题： 平面向量及应用．
分析： （I）化简函数f（x）=2=2sin（2x+），可得函数的周期，令 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，
即可得到函数的单调递增区间．
（II）由，求得tanx=，再由 ==，运算求得结果．
解答：
（I）解：函 数f（x）=2=2sinxcosx+2cosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
故函数的周期为 =π，令 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
（II）解：若，则sinx=cosx，即 tanx=．
∴====﹣．
2

点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简 求值，正弦函数的增区间，三角函数的
周期性和求法，属于中档题．







24．已知，函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）当时，求函数f（x）的值域．

考点： 平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．
专题： 综合题．
分析： （1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简 函数，利用周期公式，可求函数f（x）的
最小正周期；
（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+，从而可得f（x）的单调减区间；
（3）由，可得，从而可求函数f（x）的值域．
解答： 解：（1）∵，，
∴函数f（x）==5sinxcosx+sinx+6cosx=
==5sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期；
（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+ 得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
（3）∵ ∴ ∴ ∴1≤f（x）≤
即f（x）的值域为[1，]．
点评： 本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键．

22