高中数学 极限的概念素材

极 限 的 概 念（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其
半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的 过程可以无限制地
进行下去。（1）求第
n
天剩余的木棒长度
a
n< br>(尺)，并分析变化趋势；（2）求前
n
天截下的
木棒的总长度
bn
(尺)，并分析变化趋势。







观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数
n
无限增大时，数列的项a
n
无限趋近于
某个常数A（即
a
n
?A
无限 趋近于0）。
a
n
无限趋近于常数A，意指“
a
n
可以任意 地靠近
A，希望它有多近就有多近，只要
n
充分大，就能达到我们所希望的那么近。” 即“动点
a
n
到A的距离
a
n
?A
可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数
n
无限增大时，无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋 近于某个常数A（即
．．．．．
，那么就说数列
{a
n
}
的 极限是A，记作
a
n
?A
无限趋近于0）

lima
n
?A

n??
注：①上式读作“当
n< br>趋向于无穷大时，
a
n
的极限等于A”。“
n?
∞”表示“< br>n
趋向于无
穷大”，即
n
无限增大的意思。
lima
n
?A
有时也记作当
n?
∞时，
a
n
?
A
n??
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________ ，____________________
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，

111123n
，，…，，… ；（2），，，…，，…；
23n234n?1

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4 ）－0.1，0.01，－0.001，…，
(?0.1)
，…；
（5）－1,1，－1，…，
(?1)
，…；








注：几个重要极限：
（1）
lim
n
n
1
?0
（2）
limC?C
（C是常数）
n??
n
n??
n
（3）无穷等比数列
{q}
（
q?1
）的极限是0，即 ：
limq?0(q?1)

n??
n
2、当
x??
时函数的极限
1
的图像， 观察当自变量
x
取正值且无限增大时，函数值的变化情
x
1
况：函数 值无限趋近于0，这时就说，当
x
趋向于正无穷大时，函数
y?

y
x
1
的极限是0，记作：
lim?0

x???
x
一般地，当自变量
x
取正值且无限增大时，如果函数
x
（1） 画出函数
y?
O
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于正无穷大时，函
数
y?f(x)
的极限是A，记作：
lim f(x)?A

x???
也可以记作，当
x
???
时，f(x)?A

1
的值无限趋
x
1
1
?0
近于0，这时就说，当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?
的极限是0，记作：
lim
x???
x
x
（2）从图中还可以看出，当自变量
x
取负值而
x
无限增大时，函数
y?
一般地，当自变量
x
取负值而x
无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一
个常数A，就说 当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
li mf(x)?A

x???

也可以记作，当
x???
时，
f(x)?A

1
的值都无
x
1
1
限 趋近于0，这时就说，当
x
趋向于无穷大时，函数
y?
的极限是0，记作lim?0

x??
x
x
（3）从上面的讨论可以知道， 当自变量
x
的绝对值无限增大时，函数
y?
一般地，当自变量
x的绝对值无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个
常数A，就说当
x
趋向于无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
limf (x)?A

x??
也可以记作，当
x??
时，
f(x)?A

特例：对于函数
f(x)?C
（
C
是常数），当自变量
x
的 绝对值无限增大时，函数
f(x)?C
的值保持不变，所以当
x
趋向于无穷大 时，函数
f(x)?C
的极限就是
C
，即

limC?C

x??
例2：判断下列函数的极限：
1
x
x
x???
2
x???
1
（3）
lim
2
（4）
lim4

x??
x
x??






三、课堂小结
1、数列的极限
2、当
x??
时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，
（1）
lim()
（2）
lim10

111
，，…，
2
，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
49
n
111(?1)
n
,?
； （3）
?,,?,?,
n
248
2
（4）2，4，6，8，…，2n，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，
1
，…；
n
10