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高中数学极限

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 00:29
tags:高中数学极限

高中数学双曲线画法-初三升高中数学考卷

2020年10月6日发(作者:文德恩)


高中数学极限、数学归纳法
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分)
111
1.(精选考题·江西高考)
lim
(1++
2
+…+
n
)=( )
n??
333
53
A. B. C.2 D.不存在
32
解析:
lim
(1++2
+…+
n
)=
n??
11
33
1
3
3
=.
12
1-
3
1
答案:B
f′?x?
2.设函数f(x)=(x+1)(x-2),则
x
lim 等于( )
→-
1
x+1
2
A.6 B.2
C.0 D.-6
f′?x??x+1?
2
+2?x+1??x-2?
解析:∵==3x-3,
x+1x+1
f′?x?

x
lim =-6.
→-
1
x+1
答案:D
2
x+2x-3
?
?
x-1
?x>1?
3.已知函数f(x)=
?
?
?ax+1 ?x≤1?

在x=1处连续,则f

1
(3)
等于( )
A.0
2
C.-
3




B.1
2
D.
3
x
2
+2x-3
解析:∵函数f(x )在x=1处连续,∴f(1)=lim =4.
x

1
x-1


x
2
+2x-3
又当x=1时,f(1)=a+1,∴a=3.当x>1时 ,令=3,得
x-1
2
x=0或1,不满足题设.当x≤1时,令3x+1=3,得x =,满足题
3
2
设.∴f(3)=.
3

1
答案:D
4.用数学归纳法证明
11111
++…+>时,由n=k到n
2n34
n+1n+2
=k+1,不等式左边的变化是 ( )
1
A.增加一项
2?k+1?
11
B.增加和两项
2k+12k+2
C.增加
111
,两项,同时减少一项
2k+12k+2k+1
D.以上结论均错
解析:n=k时,不等式左边为
111
++…+,n=k+1
2k
k+1k+2
11111
时,不等 式左边为++…+++,
2k
2k+12k+2k+2k+3
故增加
111
,两项,减少一项.
2k+12k+2k+1
答案:C
5.已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
a
n
(n≥2 ),而a
1
=1,通过计
算a
2
,a
3
,a
4
,猜想a
n

( )

2
B.
n?n+1?
2
A.
?n+1?
2


2
C.
n

2-1

2
D.
2n-1
解析:由S
n
=n
2
a
n
知S
n

1
=(n+1)
2
a
n

1

∴S
n

1
-S
n
=(n+1)
2
a
n

1
-n
2
a
n

n
∴a
n

1
=(n+1)a< br>n

1
-na
n
,∴a
n

1=a(n≥2).
n+2
n
22
当n=2时,S
2
= 4a
2
,又S
2
=a
1
+a
2

a
1
12131
∴a
2
==,a
3
=a
2
=,a
4
=a
3
=.
3346510
111< br>由a
1
=1,a
2
=,a
3
=,a
4
=.
3610
猜想a
n

答案:B
x
2-bx-2x+2ba
n

1
+ab
n

1< br>6.设a,b满足lim =-1,则lim 等

x

2n
→∞
a
n1
+2b
n
x-a
于( )
A.1
1
C.
3




1
B.
2
1
D.
4
2
.
n?n+1?
解析:依题意得a=2,
x
2
-bx-2x+2b?x-b??x-2?
lim =lim
x

2x

2
x-ax-2
a
n
1
+ab
n

1
=lim (x-b)=2-b=-1,因此b=3.故lim

x

2n
→∞
a
n1
+2b
n
2
n

1
4 ×??+2
2
n

1
+2×3
n

13
1
=lim =lim =.

n
→∞
2
n1
+2×3
n
n
→∞
2
n

1
3
??+2×3
3


答案:C
二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分)
x
3
-x
23
7.设a=lim ,则1+a+a+a+…=________.
4
x

1
x-1< br>x
3
-xx?x-1??x+1?
解析:∵a=lim =lim
x

1
x
4
-1
x

1
?x-1 ??x+1??x
2
+1?
1
x
=lim =,
x

1
x
2
+1
2
∴1+a+a
2
+a< br>3
+…=2.
答案:2
?
?
acosx ?x≥0?8.已知函数f(x)=
?
2
在点x=0处连续,则a=
?
?< br>x-1 ?x<0?

________.
2
解析:由题意得
x
limf(x)=lim (x-1)=-1,
x
limf(x)=
x
limacosx

0
-→
0
+→
0

x

0

=a,由于f(x) 在x=0处连续,因此a=-1.
答案:-1
b
n
+a
n
9.已知log
a
b>1(0<a<1),则lim =________.
n< br>→∞
b
n
-a
n
解析:log
a
b>1,0 <a<1得0<b<a,
b
n
?
b+a
a
?+1
∴lim =lim =-1.
n
→∞
b
n
-a
n
n
→∞b
n
?
a
?-1
nn
答案:-1
三、解答题(本大题共3个小题,共46分)
10.(本小题满分15分)已知数列{an
}的前n项和S
n
=(n
2
+n)·3
n
.
a
n
(1)求lim ;
n
→∞
S
n

< p>
a
1
a
2
a
n
(2)证明:
2

2
+…+
2
>3
n
.
12n
Sn
-S
n

1
a
n
解:(1)因为lim =lim
n
→∞
S
n
→∞
S
nn
S< br>n

1
S
n

1
=lim (1-
S
)=1-lim
S

→∞
n
→∞n
nn
S
n

1
1
n-1
1
lim =lim =,
n
→∞
S
n
3
n
→∞< br>n+1
3
a
n
2
所以lim =.
n
→∞
S
n
3
a
1
(2)证明:当n=1时,
2
=S
1
=6>3;
1
S
n
-S
n
1
a
1
a
2
a
n
S
1
S2
-S
1
当n>1时,
2

2
+…+
2

2

2
+…+
12n12n
2
11 11111
S
n
=(
2

2
)·S+(-)·S+ …+[-
2
]S


2
·S>
2

12
1
2
2
3
2
2
?n-1?
2
n
n1
n
n
n
n
2
+n
n
3> 3
n
.
2
·
n
a
1
a
2
a
n
综上知,当n≥1时,
2

2
+…+
2>3
n
.
12n
11.(本小题满分15分)已知{a
n}是由非负整数组成的数列,满足
a
1
=0,a
2
=3,a3
=2,a
n

1
a
n
=(a
n
1
+2)(a
n

2
+2),n=3,4,5,….
试用数学归纳法证明:a
n
=a
n

2
+2,n= 3,4,5,…;
证明:①当n=3时,a
3
=2=a
1
+2,所以等式成立; ②假设当n=k≥3时等式成立,即a
k
=a
k

2
+ 2.
而由题设有a
k

1
a
k
=(a
k

1
+2)(a
k

2
+2).
由a< br>k

2
是非负整数,得a
k
=a
k

2
+2≠0,
∴a
k

1
=a
k

1
+2,
即当n=k+1时,等式也成立.


综合①②得:对任意正整数n≥3,
都有a
n
=a
n

2
+2.
12.(本 小题满分16分)在数列{a
n
}中,a
1
=1,当n≥2时,a
n

1
S
n
,S
n
-成等比数列.
2(1)求a
2
,a
3
,a
4
并推出a
n
的表达式,
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
1
解:∵a
n
,S
n
,S
n
-成等比数列,
2
1
2
∴S
n
=a
n
(S
n
-)(n≥2)①
2
2
(1)由a
1
=1,S
2
=a
1
+a
2
=1+a
2
代入①得a
2
=-,
3
212由a
1
=1,a
2
=-,S
3
=+a
3
代入①得a
3
=-.
3315
同理可得a
4
=-
2
,由此可推出
35
?
1 ?n=1?
a
n

?< br>2
?

?2n-3??2n-1?
?n≥2?

.
(2)证明:①当n=1、2、3、4时,由(1)知猜想成立,
②假设n=k(k≥2,k∈N
*
)时,
2
a
k
=-成立.
?2k-3??2k-1?
21
2
故S
k
=-·(S
k
-),
2
?2k-3? ?2k-1?
∴(2k-3)(2k-1)S
2
k
+2S
k
-1=0,
∴S
k

11
,S
k
=-(舍).
2k-12k-3



1
2
S
k
+< br>1
=a
k

1
·(S
k

1
-)得
2
2
1
(S
k
+a
k

1
)=a
k

1
(a
k

1
+ S
k
-),
2
2a
k

1
a
k

1
11
22
∴+a

+=a

+-a


?2k-1?
2
k1
2k-1
k1< br>2k-1
2
k1
-2
∴a
k

1
= ,
[2?k+1?-3]·[2?k+1?-1]
即n=k+1时,命题也成立.
?
1 ?n=1?
由①②知a
n

?
2

?
?2n-3??2n-1?
?n≥2?
对一切n∈N
*
成立.



x-3
x
1.
lim
(+)等于( )
x?1
x-1x
2
-1
A.1 B.2
C.3 D.4
x-3x?x+1?+x-3
x
解析:∵+=
x-1x
2
-1x
2
-1
x
2
+2x-3?x-1??x+3?x+3

2
==,
x-1?x+1??x-1?x+1
x-3x+31+3
x

lim
(+)=
lim
==2.
x?1x?1
x-1x
2
-1x+11+1
答案:B
?x -a??x+b?
2.函数f(x)=在点x=1和x=2处的极限值都是0,
x-c
而在点x=-2处不连续,则不等式f(x)>0的解集为( )


A.(-2,1) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,2)
?x-1??x-2?
解析:由已知得:f(x)=,则f (x)>0的解集为(-2,1)
x+2
∪(2,+∞).
答案:C
3. 设常数a>0,(ax
2

1
4
3
)的展开式中x
3
的系数为,则li
n
m (a
→∞
2
x
+a2
+a
3
+…+a
n
)=________.
5r< br>r4

r
解析:∵T
r

1
=C
4
ax8-,令
2
数为
3
222
C
4
a=6 a=,则
2
1
a=,
2
1
2
5r
8-= 3,得r=2,∴x
3
的系
2
23n
∴li
n
m (a+a+a+…+a)=
→∞
=1.
1
1-
2
答案:1
4.(精选考题·上海高考)将直线l
1
:x+y-1=0,l
2
: nx+y-n
=0,l
3
:x+ny-n=0(n∈N
*
,n≥2) 围成的三角形面积记为S
n
,则
lim
S
n
n??
=________.

解析:如图所示,
?
?
nx+y-n= 0,

?

?
x+ny-n=0
?

?< br>?
n
?
y=
n+1

n
x=,
n+ 1


nn
则直线l
2
、l
3
交于点A(,).
n+1 n+1


1111
nnn
S
n
=×1×+×1×-×1 ×1=-,
2
n+1
2
n+1
2
n+1
2
lim
S
n

lim
(
n??n??
1
n
-)=
lim

n+1
2
n??
111
-=1-=.
1222
1+
n
1
1
答案:
2
43x< br>n
5.对于数列{x
n
},满足x
1
=,x
n

1
=;函数f(x)在(-2,2)
3
1+x
3
n1
上有意义,f(-)=2,且满足x,y,z∈(-2,2)时,有f(x)+f(y)+f(z )
2
x+y+z
=f()成立.
1+xyz
4
(1)求f()的值;
3
(2)求证:{f(x
n
)}是等比数列;
3
n
-2
(3)设{f(x
n
)}的前n项和为S
n
,求li
n
m
S
.
→∞
n
解:(1)由x=y=z=0?3f(0)=f(0),∴f(0)=0,
令z=0,得f(x)+f(y)=f(x+y),
再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
则f(-x)=-f(x).
41111
所以f()=f()+f()+f()=3f()
32222
1
=-3f(-)=-6.
2
4
(2)证明:由x
1
=,结合已知可得
3
0 <x
n

1

3x
n
3
3
=≤4 <2;
1
1+x
3
n
2
+x
x
n
n


x
n
+x
n
+x
n
3x
n
由f(x
n

1
)=f()=f()=f(x
n
)+f(x
n
)+f(x
n
)=3f(x
n
),
1+x
3
1+x
3
nn
f?x
n

1< br>?
得=3,即{f(x
n
)}是以-6为首项,以3为公比的等比数列,
f?x
n
?
且f(x
n
)=-2×3
n
. a
1
?1-q
n
?-6×?1-3
n
?
(3) 由S
n
===3×(1-3
n
),
1-q1-3
3
n
-23
n
-2

lim

S

lim

n

lim

n??n??
3×?1-3?
n??
n
1
=-.
13
3×?
n
-1?
3
1-
2
3
n

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