高中数学双曲线画法-初三升高中数学考卷
高中数学极限、数学归纳法
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分)
111
1.(精选考题·江西高考)
lim
(1++
2
+…+
n
)=( )
n??
333
53
A. B.
C.2 D.不存在
32
解析:
lim
(1++2
+…+
n
)=
n??
11
33
1
3
3
=.
12
1-
3
1
答案:B
f′?x?
2.设函数f(x)=(x+1)(x-2),则
x
lim
等于( )
→-
1
x+1
2
A.6
B.2
C.0 D.-6
f′?x??x+1?
2
+2?x+1??x-2?
解析:∵==3x-3,
x+1x+1
f′?x?
∴
x
lim =-6.
→-
1
x+1
答案:D
2
x+2x-3
?
?
x-1
?x>1?
3.已知函数f(x)=
?
?
?ax+1 ?x≤1?
在x=1处连续,则f
-
1
(3)
等于( )
A.0
2
C.-
3
B.1
2
D.
3
x
2
+2x-3
解析:∵函数f(x
)在x=1处连续,∴f(1)=lim =4.
x
→
1
x-1
x
2
+2x-3
又当x=1时,f(1)=a+1,∴a=3.当x>1时
,令=3,得
x-1
2
x=0或1,不满足题设.当x≤1时,令3x+1=3,得x
=,满足题
3
2
设.∴f(3)=.
3
-
1
答案:D
4.用数学归纳法证明
11111
++…+>时,由n=k到n
2n34
n+1n+2
=k+1,不等式左边的变化是
( )
1
A.增加一项
2?k+1?
11
B.增加和两项
2k+12k+2
C.增加
111
,两项,同时减少一项
2k+12k+2k+1
D.以上结论均错
解析:n=k时,不等式左边为
111
++…+,n=k+1
2k
k+1k+2
11111
时,不等
式左边为++…+++,
2k
2k+12k+2k+2k+3
故增加
111
,两项,减少一项.
2k+12k+2k+1
答案:C
5.已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
a
n
(n≥2
),而a
1
=1,通过计
算a
2
,a
3
,a
4
,猜想a
n
=
( )
2
B.
n?n+1?
2
A.
?n+1?
2
2
C.
n
2-1
2
D.
2n-1
解析:由S
n
=n
2
a
n
知S
n
+
1
=(n+1)
2
a
n
+
1
,
∴S
n
+
1
-S
n
=(n+1)
2
a
n
+
1
-n
2
a
n
,
n
∴a
n
+
1
=(n+1)a<
br>n
+
1
-na
n
,∴a
n
+
1=a(n≥2).
n+2
n
22
当n=2时,S
2
=
4a
2
,又S
2
=a
1
+a
2
,
a
1
12131
∴a
2
==,a
3
=a
2
=,a
4
=a
3
=.
3346510
111<
br>由a
1
=1,a
2
=,a
3
=,a
4
=.
3610
猜想a
n
=
答案:B
x
2-bx-2x+2ba
n
+
1
+ab
n
-
1<
br>6.设a,b满足lim =-1,则lim 等
-
x
→
2n
→∞
a
n1
+2b
n
x-a
于( )
A.1
1
C.
3
1
B.
2
1
D.
4
2
.
n?n+1?
解析:依题意得a=2,
x
2
-bx-2x+2b?x-b??x-2?
lim =lim
x
→
2x
→
2
x-ax-2
a
n
+1
+ab
n
-
1
=lim
(x-b)=2-b=-1,因此b=3.故lim
-
x
→
2n
→∞
a
n1
+2b
n
2
n
-
1
4
×??+2
2
n
+
1
+2×3
n
-
13
1
=lim =lim =.
-
n
→∞
2
n1
+2×3
n
n
→∞
2
n
-
1
3
??+2×3
3
答案:C
二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分)
x
3
-x
23
7.设a=lim
,则1+a+a+a+…=________.
4
x
→
1
x-1<
br>x
3
-xx?x-1??x+1?
解析:∵a=lim =lim
x
→
1
x
4
-1
x
→
1
?x-1
??x+1??x
2
+1?
1
x
=lim =,
x
→
1
x
2
+1
2
∴1+a+a
2
+a<
br>3
+…=2.
答案:2
?
?
acosx ?x≥0?8.已知函数f(x)=
?
2
在点x=0处连续,则a=
?
?<
br>x-1 ?x<0?
________.
2
解析:由题意得
x
limf(x)=lim (x-1)=-1,
x
limf(x)=
x
limacosx
→
0
-→
0
+→
0
+
x
→
0
-
=a,由于f(x)
在x=0处连续,因此a=-1.
答案:-1
b
n
+a
n
9.已知log
a
b>1(0<a<1),则lim =________.
n<
br>→∞
b
n
-a
n
解析:log
a
b>1,0
<a<1得0<b<a,
b
n
?
b+a
a
?+1
∴lim =lim
=-1.
n
→∞
b
n
-a
n
n
→∞b
n
?
a
?-1
nn
答案:-1
三、解答题(本大题共3个小题,共46分)
10.(本小题满分15分)已知数列{an
}的前n项和S
n
=(n
2
+n)·3
n
.
a
n
(1)求lim ;
n
→∞
S
n
a
1
a
2
a
n
(2)证明:
2
+
2
+…+
2
>3
n
.
12n
Sn
-S
n
-
1
a
n
解:(1)因为lim =lim
n
→∞
S
n
→∞
S
nn
S< br>n
-
1
S
n
-
1
=lim (1-
S
)=1-lim
S
,
→∞
n
→∞n
nn
S
n
-
1
1
n-1
1
lim =lim =,
n
→∞
S
n
3
n
→∞< br>n+1
3
a
n
2
所以lim =.
n
→∞
S
n
3
a
1
(2)证明:当n=1时,
2
=S
1
=6>3;
1
S
n
-S
n
-1
a
1
a
2
a
n
S
1
S2
-S
1
当n>1时,
2
+
2
+…+
2
=
2
+
2
+…+
12n12n
2
11 11111
S
n
=(
2
-
2
)·S+(-)·S+ …+[-
2
]S
-
+
2
·S>
2
=
12
1
2
2
3
2
2
?n-1?
2
n
n1
n
n
n
n
2
+n
n
3> 3
n
.
2
·
n
a
1
a
2
a
n
综上知,当n≥1时,
2
+
2
+…+
2>3
n
.
12n
11.(本小题满分15分)已知{a
n}是由非负整数组成的数列,满足
a
1
=0,a
2
=3,a3
=2,a
n
+
1
a
n
=(a
n-
1
+2)(a
n
-
2
+2),n=3,4,5,….
试用数学归纳法证明:a
n
=a
n
-
2
+2,n= 3,4,5,…;
证明:①当n=3时,a
3
=2=a
1
+2,所以等式成立; ②假设当n=k≥3时等式成立,即a
k
=a
k
-
2
+ 2.
而由题设有a
k
+
1
a
k
=(a
k
-
1
+2)(a
k
-
2
+2).
由a< br>k
-
2
是非负整数,得a
k
=a
k
-
2
+2≠0,
∴a
k
+
1
=a
k
-
1
+2,
即当n=k+1时,等式也成立.
综合①②得:对任意正整数n≥3,
都有a
n
=a
n
-
2
+2.
12.(本
小题满分16分)在数列{a
n
}中,a
1
=1,当n≥2时,a
n
,
1
S
n
,S
n
-成等比数列.
2(1)求a
2
,a
3
,a
4
并推出a
n
的表达式,
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
1
解:∵a
n
,S
n
,S
n
-成等比数列,
2
1
2
∴S
n
=a
n
(S
n
-)(n≥2)①
2
2
(1)由a
1
=1,S
2
=a
1
+a
2
=1+a
2
代入①得a
2
=-,
3
212由a
1
=1,a
2
=-,S
3
=+a
3
代入①得a
3
=-.
3315
同理可得a
4
=-
2
,由此可推出
35
?
1 ?n=1?
a
n
=
?<
br>2
?
-
?2n-3??2n-1?
?n≥2?
.
(2)证明:①当n=1、2、3、4时,由(1)知猜想成立,
②假设n=k(k≥2,k∈N
*
)时,
2
a
k
=-成立.
?2k-3??2k-1?
21
2
故S
k
=-·(S
k
-),
2
?2k-3?
?2k-1?
∴(2k-3)(2k-1)S
2
k
+2S
k
-1=0,
∴S
k
=
11
,S
k
=-(舍).
2k-12k-3
由
1
2
S
k
+<
br>1
=a
k
+
1
·(S
k
+
1
-)得
2
2
1
(S
k
+a
k
+
1
)=a
k
+
1
(a
k
+
1
+
S
k
-),
2
2a
k
+
1
a
k
+
1
11
22
∴+a
+
+=a
+
+-a
+
,
?2k-1?
2
k1
2k-1
k1<
br>2k-1
2
k1
-2
∴a
k
+
1
=
,
[2?k+1?-3]·[2?k+1?-1]
即n=k+1时,命题也成立.
?
1 ?n=1?
由①②知a
n
=
?
2
-
?
?2n-3??2n-1?
?n≥2?
对一切n∈N
*
成立.
x-3
x
1.
lim
(+)等于( )
x?1
x-1x
2
-1
A.1 B.2
C.3 D.4
x-3x?x+1?+x-3
x
解析:∵+=
x-1x
2
-1x
2
-1
x
2
+2x-3?x-1??x+3?x+3
=
2
==,
x-1?x+1??x-1?x+1
x-3x+31+3
x
∴
lim
(+)=
lim
==2.
x?1x?1
x-1x
2
-1x+11+1
答案:B
?x
-a??x+b?
2.函数f(x)=在点x=1和x=2处的极限值都是0,
x-c
而在点x=-2处不连续,则不等式f(x)>0的解集为( )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(1,2)
?x-1??x-2?
解析:由已知得:f(x)=,则f
(x)>0的解集为(-2,1)
x+2
∪(2,+∞).
答案:C
3.
设常数a>0,(ax
2
+
1
4
3
)的展开式中x
3
的系数为,则li
n
m (a
→∞
2
x
+a2
+a
3
+…+a
n
)=________.
5r<
br>r4
-
r
解析:∵T
r
+
1
=C
4
ax8-,令
2
数为
3
222
C
4
a=6
a=,则
2
1
a=,
2
1
2
5r
8-=
3,得r=2,∴x
3
的系
2
23n
∴li
n
m
(a+a+a+…+a)=
→∞
=1.
1
1-
2
答案:1
4.(精选考题·上海高考)将直线l
1
:x+y-1=0,l
2
:
nx+y-n
=0,l
3
:x+ny-n=0(n∈N
*
,n≥2)
围成的三角形面积记为S
n
,则
lim
S
n
n??
=________.
解析:如图所示,
?
?
nx+y-n=
0,
由
?
得
?
x+ny-n=0
?
?<
br>?
n
?
y=
n+1
,
n
x=,
n+
1
nn
则直线l
2
、l
3
交于点A(,).
n+1
n+1
1111
nnn
S
n
=×1×+×1×-×1
×1=-,
2
n+1
2
n+1
2
n+1
2
lim
S
n
=
lim
(
n??n??
1
n
-)=
lim
n+1
2
n??
111
-=1-=.
1222
1+
n
1
1
答案:
2
43x<
br>n
5.对于数列{x
n
},满足x
1
=,x
n
+
1
=;函数f(x)在(-2,2)
3
1+x
3
n1
上有意义,f(-)=2,且满足x,y,z∈(-2,2)时,有f(x)+f(y)+f(z
)
2
x+y+z
=f()成立.
1+xyz
4
(1)求f()的值;
3
(2)求证:{f(x
n
)}是等比数列;
3
n
-2
(3)设{f(x
n
)}的前n项和为S
n
,求li
n
m
S
.
→∞
n
解:(1)由x=y=z=0?3f(0)=f(0),∴f(0)=0,
令z=0,得f(x)+f(y)=f(x+y),
再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
则f(-x)=-f(x).
41111
所以f()=f()+f()+f()=3f()
32222
1
=-3f(-)=-6.
2
4
(2)证明:由x
1
=,结合已知可得
3
0
<x
n
+
1
=
3x
n
3
3
=≤4
<2;
1
1+x
3
n
2
+x
x
n
n
x
n
+x
n
+x
n
3x
n
由f(x
n
+
1
)=f()=f()=f(x
n
)+f(x
n
)+f(x
n
)=3f(x
n
),
1+x
3
1+x
3
nn
f?x
n
+
1<
br>?
得=3,即{f(x
n
)}是以-6为首项,以3为公比的等比数列,
f?x
n
?
且f(x
n
)=-2×3
n
. a
1
?1-q
n
?-6×?1-3
n
?
(3)
由S
n
===3×(1-3
n
),
1-q1-3
3
n
-23
n
-2
得
lim
S
=
lim
n
=
lim
n??n??
3×?1-3?
n??
n
1
=-.
13
3×?
n
-1?
3
1-
2
3
n
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