关于高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
x?x
0
lim
f(x)?A
，
（i）若A
?0
，则有
?
?0
，使得当
0?|x?x
0
|?
?
时，
f(x)?0
；
（ii）若有
?
?0,
使得当
0?|x?x
0
|?
?
时，
f(x)?0,则A?0
。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为
x??
时函数的 极限和
x?x
0
的极限。要特
别注意判定极限是否存在在：
收敛于a的充要条件
是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数 （i）数列
?
x
n
?
列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）
(iii)
x??
x?x
0
lim
f (x)?A?
x???
x?x
0
?
lim
f(x)?
x???
?
lim
?A

lim
f(x)?A?
lim
?
lim
?A

x?x
0
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限< br>lim
f(x)
存在的充分必要条件是：
x?x
0
?
?
?0,?
?
?0,使得当x
1
、x
2
?U
?
o
(x
0
)时，恒有|f(x
1
)?f(x
2
)|?
?

二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
．．
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
?? 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转
化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须
是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，
必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
0
?
”“”时候直接用
0
?
(ii)“
0??< br>”“
???
”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒（i）“
数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即
f(x)g(x)?
f(x)
或f(x)g(x)?
g(x)
；
11
g(x)f(x)

11
?
g(x)f(x)

f(x)?g(x)?< br>1
f(x)g(x)
(iii)“
0
”“
1
?
”“
?
0
”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即
0
f(x)
g(x)
?
e
g(x)lnf(x)
，这样就能把幂上的 函数移下来了，变成“
0??
”型未定式。
3.泰勒公式(含有
e
的时候，含有正余弦的加减的时候）
x
x< br>2
x
n
e
?
x
????x
n?1
? ； ?
e?1?x?
2!n!(n?1)!
x
2m
x
2< br>x
4
cos
?
x
2m?2m
x
????(? 1)?(?1)
m?1
x
cos=
1?

2!4!(2 m)!(2m?2)!
n
x
2
x
3
x
n?1
n?1
x
n
ln（1+x）=x-
????(?1)?(?1)
n?1
23n
(n?1)(1?
?
x)
(1+x)=
1?u x?
u
u(u?1)
2
x???C
u
n
x
n
?C
u
n?1
(1?
?
x)
u?n?1
x
n?1

2!
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设
a
n
,b
m
均不为零
， < br>P（x）=
a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
???a
1
x?a
0
,
Q(x)?b
mx
m
?b
m?1
x
m?1
???b
1
x?b
0

?
a
n
?
b
,(m?n)n
P(x)
P(x
0
)
P(x)
?
?
(i)（ii）若
Q(x
0
)?0
，则
?
lim
Q(x)
?
?
0,(n?m)
Q(x)Q(x)
0
x?x< br>0
?
?,(n?m)
x??
?
?
?
lim< br>5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其 他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面
对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）
设
a?b?c?0
，
x
n
?
n
a?b?c
，求
解：由于
a?x
n
?a
n3,以及
nnn
lim
x
n??
n

n
a?a,(a
limlim
3)?a
，由夹逼定理可知
lim
x< br>n
?a

n??n??
n??
??
（2） 求
lim
?
1
?
1
???
1
?

2
(n?1)
2
(2n)
2
?
n??
?< br>n

解：由
0?
1
?
2< br>n
111111
????
2
?
2
???
2< br>?
，以及
22
n
(n?1)(2n)nnn
1
0?? 0
可知，原
limlim
n??n??
n
式=0
(3 )求
lim
?
n??
?
1
?
11
?

????
?
2
?
22
n?2n?n
??
n?1
1
n?1
2
解：由
1
?
1
??< br>1
?1?
nnn
?
11
????
2
n?2< br>n?n
1
n?n
2
?
1
n?n
2
? ?
1
n?n
2
?
n
n?n
2
,以及
1
n
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：
n??n??
lim
1?
lim
n
n?n
2
?
lim
n??
1
1?
?1
得，原式=1
求
lim
?
1?2x?3x
n??
2
???nx
n ?1

(|x|?1)
。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。
?
8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

?
111
?
=
?
111
?
1
?< br>1
1??????
??
????
??
?
lim
?
?
1?
1
(n?1)
?
?
?1
lim
lim
?
1?22?3
?
n(n?1)
?
n(n?1)
?
n??
?
223
?
n??
?n??
?
9.利用
x
x
与x
n?1
极限相同求 极限。例如：
（1）已知
a
1
?2,a
n?1
?2?
1
，且已知
lim
a
n
存在，求该极限值。
a
n
n??
解:设
lim
a
n
=A，（显然A
?0
）则
A?2?
1
，即
A
2< br>?2A?1?0
，解得结果并舍去负值得A=1+
2

n??
A
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
设
x
1
?2,x
2
?2?2,?,x
n
?2?x
n ?1
,求
lim
x
n

n??
解：（i） 显然
x
1
?x
2
?2
（ii）假设
x
k? 1
?x
k
?2,
则
2?x
k?1
?2?x
k
?2?2
，即
x
k
?x
k?1
?2
。所 以，
?
x
n
?
是单调递增数列，且有上界，收敛。设
则A?
lim
?A
，（显然
A?0)
n??
2?A
，即
A
2
?A?2?0
。解方程并舍去负值得A=2.即
lim< br>x
n
?2

n??
10.两个重要极限的应用。?
（i）
lim
x?0
sinx
?1
常用语含三角函数的“
0
” 型未定式
x
0
1
(ii)< br>lim
?
1?x
?
x
?e
，在“
1
”型未定式中常用
?
x?0
11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不 同函数趋近于无穷的速度是不一样的，
n
快
于n！,n！快于指数型函数
b< br>(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋
近无穷的时候，它们比值的极 限就可一眼看出。
12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会 夹杂其中。例如：
n
n

求极限
lim
x?0
arccosx?
sin2x
?
2
。解：设
t?arccosx?< br>?
,则x?0时，t?0,且x?cos(t?)??sint
。
22
?
原式=
2x
lim
x?0
sin2x
arccosx?
2x
?
2
?
lim
x?0
arccosx?
2x
?
2
?
lim
t?0
t1
??
< br>?2sint2
1
1
111
?
13．利用定积分求数列极限。 例如：求极限
lim
?
?
n
，
????
??
。由于
i
n?i
n?2n?n
?
n??
?
n?1
1?
n
??
?
2
111
?
11
?
1
?
1
所以
??
?????????ln2
??
limlim
?
1n
?
n
1
xn?2n? n
?
n??
?
n??
?
n?1
1?
??< br>1?
nn
??
14.利用导数的定义求“
0
”型未定式极限。 一般都是x
?
0时候，分子上是“
f(a?x)?f(a)
”的形
0
'
式，看见了这种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你
f（a）?m< br>告诉函数在具体
某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）
例:设
f(a)?0,f
'
(a)
?
?
1
?
?
fa?
??
??
n
?
?
存在，求
lim
?
?
f
?
a
?
?
n??
?
??< br>??
n
f(a)
1
f(a?)?f(a)
n
?nf(a)
n
??
1
??
1
??
f(a?
1
)?f(a)
??
fa??fa
??
n
??
?
f(a?
n
)?f(a)
?
n
??
?
?< br>lim
?
1?
解：原式=
lim
?
1?
?< br>f(a)f(a)
?
n??
?
n??
??
??
??
??
1
f(a?)?f(a)
1
n
1
f(a )
n
f'(a)
f(a)

=
lim
e
n??
?e