数学高二(上)沪教版(数列地极限(三))教师版

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年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
1、 理解数列极限的概念；
2、 掌握数列极限的运算法则；
3、 掌握常用的数列极限。
4、掌握公比
q
<1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即 无穷等比数列各项和公式，并能
用于解决简单问题。
教学内容
数列的极限（三）
教学目的
【知识梳理】

1、数列极限的概念：
一般地，在n
无限增大的变化过程中，如果无穷数列
?
a
n
?
中的
a
n
无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列
?
a
n
?
的极限，或叫做数列
?
a
n
?
收敛于A。
2、对概念的理解：
（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列__不一定_____极限；
（2）数列是否有极限与数列前面的有限项__无关_____；
（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个_确定_____的常数。
3可以通过几个反面的例子来理解数列极限的概念：
??
又如：
?
(?1)
?
，当
n
无限增大时，数列的项始终在1和-1之间摆动，因此也不 能与某一个常数无限的接近；
如：
n
2
，当
n
无限增大时 ，数列的项也无限增大，显然他们不能与某一个常数无限的接近；
n?1
再如：
??
，虽然当
n
无限增大时，数列的项与-1会逐渐接近，但这种接近不是无限接近，数列 的项与-1的距离始
终大于1，即
?
?(?1)
?
不能无限趋近于0 。

4、数列极限的运算法则
如果
n??
a
n
=A，
n??
b
n
=B，那么(1)
n??
(a
n
±b
n
)=A±B (2)
n??
(a
n
·b
n
)=A·B (3)
n??
limlimlimlimlim
?
1
?
?
n
?
?
1
?
n
?
?
a
n
A
=(B≠0)
b
n
B
极限不存在的情况是（1）
lima
n
???
；（2）极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….
n??
注意：数列极限运算法则运用的前提:
(1)参与运算的各个数列均有极限;
(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用.

思考：如何正确运用数列极限的运算法则？

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1、
lim
a与
lim
b存在是
lim
(a±b)
lim
(a·b)存在的__充分非必要_______条件。
nnnnnn
n??
n??
n??
n??
3、几个重要极限
①
n??
C=C（常数列的极限就是这个常数）
②设a>0，则特别地
lim
lim
lim
1
?0

n??
n< br>n
③设q∈(-1，1)，则
n??
q=0；
q?1,limq?1;
q??1,
或
q?1,limq
不存在。
n??n??
n n
若无穷等比数列
a
1
,aq,
?
,aq
n?1< br>?
,q?1
叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：
s?lims
n
?
n??
a
1

1?q
关于无穷等比数列各项和：
1、 使用条件：若公比为
q
， 则
q
的范围是_____
0?q?1
;
2、 常见的应用：循环小数化分数；几何应用。
【典型例题讲解】
例1、求下列极限。
lim
(1)
n??
n
2
n
3
lim
( -) (2)
n??
[
n
(
n?1
-
n
)]
2
2n?1
2n?1
lim
(3)
n??
1473 n?2
a
n
(1?a)?(1?a
n?1
)
lim
(
2
+
2
+
2
+…+) (4)
n??
n?1
(a≠1)
2
n
nnnn
a(1?a)?(1?a)
113
(2) (3)
422
解： (1)
(4)当|a|<1时，原式=1；当|a|>1时，原式=a；当a=-1时极限不存在
变式练习：
?
n
3
?1n
2
?1
?1
（1）
lim
?
2
??__________;
< br>?
n??
3n?n3n?43
??
（2）
lim
?< br>?
111
???
n??
1?44?77?10
?
?< br>?
11
?__________;

?
(3n?2)?(3n ?1)
?
3
例
lim
2、已知
n??
3n
2
?cn?1
(?4n)
=5，求常数a、b、c的值。
an
2< br>?bn
解：a=0，b=
lim
变式练习：若
n??
315< br>，c=
44
?
n
3
?1
?
11
a ?,b??
?an?b?0
=5，求常数a、b、的值。
?
2
?
39
?
3n?n
?

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例3、设无穷等比数列
?
a
n
?
满足
lim(a
1
?a
3
?a
5
?
n??
8
?a
2n?1
)?
，求首项
a
1
的取值范围。
3
解：

a
1
8
?
8< br>?
2
?,0?q?1,?a?
1
?
0,
?
。
2
1?q3
?
3
?
变式练习：在等比数列中，
a< br>1
>1,前项和
S
n
满足
limS
n
?n??
1
，那么
a
1
的取值范围是……………………（ ）
a
1
（
A
）（1，＋∞） （
B
）（1，4） （
C
）（1，2） （
D
）（1，
2
）


例4、以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点
A
1
,B
1
,C
1
,D
1
，
再在正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
内用同样的方法得到又一个正方形
A
2
B
2
C
2
D
2
，这样无限的 继续下去，求所有这些正方形的面
积之和（包括正方形ABCD）.
(3?1)a
2
解：（提示）
a
1
?a,q?2?3,S
n
?

2
2

变式练习：设T
1
，T
2
，T3
……为一组多边形，其作法如下：
T
１
是边长为1的三角形以Tn
的每一边中间
1
的线段为一边向外作正三角形，然后将该13线段抹
3
去所得的多边形为T
n+1
，如图所示。令a
n
表示T
n< br>的周长，A(T
n
)表示T
n
的面积。
(Ⅰ)计算T
1
，T
2
，T
3
的面积A(T
1
)，A(T2
)，A(T
3
)
(Ⅱ)求
lim
(
n??
1
1
1
+…+)的值。
a
1
a
2
a
n
3
1
·1·1·sin60°=
4
2
解： (Ⅰ)A(T
1
)=
A(T
2
)=3·
433
10
1
11
1
11
···sin60°++A(T
1
) == A(T
3
)=12····sin60°+A(T
2
)=
3

123
27
2
33
2
99
(Ⅱ)由分析知 a< br>n
=
44
n-1
1
1
4
n-1
a< br>n-1
(T
n
的边数是T
n-1
边数的4倍且每边是原来的1 4)故 a
n
=3·()∵=·()
a
n
3
3331
11
1
4
lim
(++∴…+)=
3
= < br>n??
a
3
3
a
2
a
n
1
1?
4

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注：本题综合考察由图像的变化中抽象 出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律
与数列联系起来。求面积时 ，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列来求答。
能力点：由图像变化联系数列知识。
2
例5、已知公比
q(0?q?1)
的无穷等比数列
a
n
各项的和为9，无穷等比数列
a
n
各项的和为
????
81
。
5
（1） 求数列
a
n
的首项
a
1
和公比
q
；
（2） 对给定的
k(k?1,2,
(i)
??
,n)
，设
T
(k)
是首项为
a
k
，公差为
2a
k< br>?1
的等差数列。求
T
(2)
的前10项之和；
?b
n
。求
S
n
，并求正整数
m(m?1)
，使得
l im
（3） 设
b
i
为数列
T
的第
i
项，
S
n
?b
1
?b
2
?
s
n
存在且不等
x??
n
m
于零。
（注：无穷等比数列各项和即当< br>n??
时该无穷等比数列前
n
项和的极限）
?
a
1
?
1?q
?9(1)
a
9
?
解：（Ⅰ）.依题意得
?
2
，⑴代入⑵得
1
?
1?q5
?
a1
?
81
(2)
2
?
5
?
1?q?
a
1
?3
?
即
?
2
，
q ?
?
3
?
(3)
，⑴
?
⑶得
1?q
2
?5
，解得
q?
，代入⑴得
a
1
?3
1?q
3
2
（Ⅱ）.由（Ⅰ）知
a
n
?a
1
q
n?1
?3?()
n?1
，所以
22
3
?3 ?()
n?1
?(m?1)[6?()
n?1
?1]
33
T
(k)
?a
k
?(m?1)(2a
k
?1)
所以< br>T
(2)
?2?3(m?1)?3m?1(m?N
?
)
，数列 {
T
(2)
}是以2为首项，3为公差的等差数列，记{
T
(2)< br>}的前
m
项和为
S
m
，
所以
S
10
?10?2?
10(10?1)
?3?155
，
2
22< br>（Ⅲ）.由（Ⅱ）知
T
(i)
?a
i
?(m?1)(2ai
?1)?3()
i?1
?(m?1)[6()
i?1
?1]< br>，所以
33
2
b
i
?(6i?3)()
i?1?(i?1)
，所以
3
222
S
n
?[3()
0
?9()
1
?15()
2
?
333
2
0
2
1
2
2
令
S
?
n
?3()? 9()?15()?
333
22
1
2
2
所以
S?
n
?3()?9()?
333
12
1
2
2< br>所以
S
?
?3?6[()?()?
n
333
2
?(6n?3)()
n?1
]?[(1?1)?(2?1)?3?1)?
3
2
?(6n?3)()
n?1
，
3
?(n?1)]
，
2
?(6n?3)()
n?1
，
3
2222
?( )
n?1
]?(6n?3)()
n
?3?18[1?()
n?1]?3(6n?3)()
n

3333
2
n?1
2n
2
n?1
2
n
n(n?1)
所以
S
?
，，
?63?54()?(18n?9)()S?63?54()?(18n?9)()?
nn
33332

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22n(n?1)< br>63?54()
n?1
?(18n?9)()
n
?
S
n
332
当
lim
m
存在且不为零时，
m?2
。
?lim
m
n??
n
n??
n
【练习】
一、填空：
1、求极限：
（1）
lim
(?1)
nn??
3n
2
?2n?1
?
___________； （2）
lim
?
___________；
2
n??n?1
n
?
n
3
n
2
?
2n?1（3）
lim
2
?
?
___________； （4）
lim
?
2
?
=___________； < br>n??
n?1
n??
n?1
n?1
??
（5）
lim
n??
2n
?
1
n
2
?1?
?2
?
?3
n
?
?
__________ =________ ___；（6）
lim
n?1
n?1
n??
2
?
? 2
?
?3
n?1
?
n
an
2
?bn?3< br>??3
，则
a?________,b?________.
2、已知lim
n??
4n?5
3、
lim
(
n??
1 232n
???????)?___________.

2222
n?1n ?1n?1n?1
1?2
2
?2
4
?????2
2n
?__________.
4、
lim
n
n??
4
5、
lim
n??
1?2?3?4?????(2n?1)?2n
?______ ___.

n?1
6、
lim
?
?
n?1
1
??
111
??????
?
?1
?
=
_ __________.
n
?
n??
39273
??
1? 2?4?????2
n?1
7、
lim
?__________
.
n??
1?3?9?27?????(?3)
n?1
8、
lim(< br>n??
1111
???
?
?)
=
_________ __.

1?32?43?5n(n?2)
111
)(1?)
?
(1?)
=
___________.
2
2
3
2
n
2
9、
lim(1?
n??
10、一个无穷等比数列的 各项和为9，各项平方和为27，则
a
1
?_______
.
11 、设等比数列{a
n
}（n∈N）的公比q=－
18
,且
lim（a
1
+a
3
+a
5
+…+a
2n－1
）=,则a
1
=_________________.
n??
2312、首项为1，公比为q(q>0)的等比数列前n项和为S
n
，则
limS
n
?______.

n??
S
n?1

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13、设数列
{a
n
}
是公比< br>q?0
的等比数列，
S
n
是它的前
n
项和，若
lim
S
n
?7
，那么
a
1
的的取值范围是__ ________.
n??
14、无穷等比数列中，若任何一项都等于该项后所有项之和，则 此数列的公比是_______.
15、“无穷等比数列和的极限存在”是“
0?|q|?1
”的________________________条件.
【答案】
一、填空：
1

3
41319
2、0，-12 3、2 4、 5、-1 6、 7、0 8、 9、 10、
34422
1、（1）0；（2）3；（3）0；（4）-1；（5）1；（6）
11、2 12、
二、选择
16、已知数列{a
n
}中，a
1
=1， 2a
n+1
=a
n
(n=1，2，3…)，则这个数列前n项和的极限是（ ）
A、2 B、
0?q?1
1
1
13、
0?a
1
?7
14、 15、充要
q?1
2
0
1
1
C、3 D、
3
2
a
n
?b
n
?
（ ） 1 7、已知a、b是互不相等的正数，则
lim
n
n??
a?b
nA、1 B、－1或1 C、0 D、－1或0
18、
lim
［
n
（1－
1
111
）（1－）（1－）…（1－）］等于（ ）
n??
345
n?2
A、0 B、1 C、2 D、3
19、在等比数列中，
a
1
>1,前项和
S
n
满足
limS
n
?
n??
1
，那么
a
1
的取值范围是（ ）
a
1
A、（1，＋∞） B、（1，4） C、（1，2） D、（1，
2
）
20、等比数列｛
a
n
｝中，
a
1
=－1,前
n
项和为
S
n
，若
S
10
31
?,
则
limS
n
?
（ ）
n??
S
5
32
A
、
22

B、
－
C、
2
D、
－2
33
*
21、已知数列
log
2
?
a
n
?1
?
（
n?N
）为等差数列，且
a
1
?3
，
a
2
?5
，
??
则
lim
?
?
111
??????
?
?
（ ）
n??
a?aa?aa?a
32n?1n
??
21
?< br>A、
2
B、

31
C、
1
D、
22

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22、若数列
?
a
n
?
是首项为1，公比为
a?
的值是( )
3
的无穷等比数列， 且
?
a
n
?
各项的和为
a
，则
a

2
15
. D、.
24
A、1 B、2. C、
【答案】
16、A 17、B 18、C 19、D 20、B 21、C 22、B
三、解答题： 2?32
2
?3
2
2
3
?3
3
2n
?3
n
???????).
23、求极限：
lim(
23n
n??
6
666
解：原式=
lim
?
?< br>?()
2
?()
3
?...?()
n
?
?< br>?
?()
2
?()
3
?...?()
n
?< br>?

n??
33
??
2222
?
??
?
33
=
lim
?
?()?()?...?()
?
+
lim
?
?()?()?...?()
?

n??
?
3333
?
n??
?
2222
?
=
?
?
1111
??
1111
?
?
?
11
2
1
3
1
n
??
11
2
1
3
1
n
?
1111
3
???
=
1
2
1
2
3
1?1?
32a
n
.
S
n
24、在等比数列
{a
n
}
中，
S
n
是数列前
n
项和，公比
q?0
，
a
1
?1
，求
lim
n??
解：1）当
q?1
时，
lim
a
n
1
?lim?0
； n??
S
n??
n
n
a
n
q
n?1< br>?q
n
2）当
q?1
时，
lim

?lim
n??
S
n??
1?q
n
n
当
q?1
时，
lim
a
n
q?1
?

n??
Sq
n
a
n
?0

n??
S
n
a
1
1
n
－
q
）=，求首项
a
1
的取值范围.
1?q
2
当
0 ?q?1
时，
lim
25、已知等比数列{
a
n
}的首项为
a
1
,公比为
q
,且有
lim
（
n??< br>解：当
q?1
时，
lim
（
n??
a
a1
11
n
－
q
）=
?
1
－
1 =
，得
a
1
?3

1?q
22
1?1a
1
aa
1
nn
1
－
q
）=
1
－
lim
q
=，得
0?|q|?1
，
1
=
1?q1?q
n??
1?q
22
当
q?1
时，
lim
（
n??

实用文档
111
(1?q)?(0,)?(,1)

222
11
综上所述，
a
1
?(0,)?(,1)?
?
3
?

22

a
1
?
26、已知各项均为正数的等 比数列
{a
n
}
的首项
a
1
?1
，公比为
q
，前n项和为
S
n
，若
lim
S
n?1
?1
，求
q
的取值范
n??
S
n
围。 < br>解：当
q?1
时，
lim
S
n?1
n?1
? lim?1
，满足条件；
n??
S
n??
n
n
S
n?1
1?q
n?1
当
q?1
时，
lim

?lim
n??
S
n??
1?q
n
n
S
n?1
1?q
n?1
1） 当
0?|q|?1
时，
lim?lim?1
，满足条件
n? ?
S
n??
1?q
n
n
S
n?1
1?q< br>n?1
2） 当
q??1
时，
lim?lim?q
?q?1
，不满足条件
n??
S
n??
1?q
n
n
S
n?1
1 ?q
n?1
3） 当
q?1
时，
lim?lim?q
?q?1
，不满足条件
n??
S
n??
1?q
n
n
综上所述，
q?(?1,0)?(0,1]

27、
{a
n
}
是无穷等比数列，且所有项和存在，解答下列问题：
① 若
a
1
?a
2
???a
n
???
1
，求
a
1
的范围；
2
② 若
a
1
?a
2
???a
n
???2a
1
，求 公比
q
的范围。
①解：由条件得
limS
n
?
n ??
a
1
1
，即
1
?
，由
q?(?1,1 )
，得
a
1
?(0,1)

1?q2
2
② 解：由条件得
limS
n
?2a
1
，
n??
当
a
1
?0
时，
1?q
n
?2
1） 当
0?|q|?1
时，
limS
n
?2a
1
?li m
n??n??
1?q
1?q
n
11
lim??q?(,1 )

n??
1?q1?q2

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2） 当
q?1
时，
limS
n
?limna
1< br>?2a
1
，满足条件
n??n??
1?q
n
?2
3） 当
q?1
时，
limS
n
?2a
1
?lim
n??n??
1?q
1?q
n
n趋近于无穷大时，无穷大，恒大于
2

1?q< br>1?q
n
1?q
n
?2
，n趋近于无穷大时，4） 当
q??1
时，
limS
n
?2a
1
?lim
既可 以趋近无穷大，
n??n??
1?q1?q
也可以趋近无穷小，不满足条件。
当
a
1
?0
时，
1?q
n
?2
1） 当
0?|q|?1
时，
li mS
n
?2a
1
?lim
n??n??
1?q
1? q
n
11
lim??q?(?1,0)?(0,)

n??
1?q1?q2
2） 当
q?1
时，
limS
n
?limna
1
?2a
1
，满足条件
n??n??< br>1?q
n
1?q
n
?2
，n趋近于无穷大时，3） 当
q?1
时，
limS
n
?2a
1
?lim
无穷大 ，不合条件
n??n??
1?q1?q
1?q
n
1?q
n
?2
，n趋近于无穷大时，4） 当
q??1
时，
limS
n
?2a
1
?lim
既可以趋近无穷大，
n??n??
1? q1?q
也可以趋近无穷小，不合条件
综上所述，当
a
1
?0时，
q?(?1,0)?(0,)?
??
1
；当
a
1< br>?0
时，
q?(,??)


28、已知数列{
a< br>n
}、{
b
n
}都是无穷等差数列,其中
a
1
=3,
b
1
=2,
b
2
是
a
2
与
a
3
的等差中项,且
lim

n??
1
2
1
2
a
n
1
=,求{
a
n
}、 {
b
n
}的
b
n
2
通项
解：设等差数列 {
a
n
}的公差为
a
，{
b
n
}的公差为
b
，则
a
n
?an?(3?a)
，
b
n< br>?bn?(2?b)
，由条件得
2b
2
?a
2
?a< br>3
?2b?3a?2
①

lim
a
n
a1
??
②
n??
bb2
n
①，②联立得，
a?2,b?4

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所以
a
n
?2n?1
，
b
n
?4n?2


29、两个数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
中，
a
n
?0，b
n
?0，且a
n
，b
n
2
，a
n?1
成等差数列，且
b
n
,a
n?1,
b
n?1
成等比数列。
22
（一） 证明
?
b
n
?
是等差数列；
（二） 若
a
2
?3a
1
?3，求lim
2b
1
?b
2
?…?b
n
的值。
n??
a
n
（1）证明：由条件得，
2b
n
?a
n
?a
n?1
①

a
n?1
? b
n
?b
n?1
?a
n?1
?b
n
?b< br>n?1
②

?a
n
?b
n?1
?b
n
③
②，③代入①，得
2b
n
?
b
n?1
?b
n
?b
n
?b
n?1


?2b
n
?b
n?1
?b
n

所以
?
b
n
?
是等差数列
（2）由
2b
1
?a
1
?a
2
?b
1
?
2222
2
2
，由
a
2
?b
1
?b2
?b
2
?
32
，
2
得
b
n
?
2
(n?1)

2
由
a
n
?b
n?1
?b
n
?a
n
?
1
n(n?1)

2
??
2
(n?1)
?
?n
?
2?
2
b?b
2
?…?b
n?
?lim
2(n?3)
?
2
lim
1
?li m
?

n??n??n??
2(n?1)a
n
n(n?1)2

3
n?1
?2a
n
1
??
11
n?1
?4l im1???...?(?1)?
30、已知
a?R
且
lim
n，求a的取值范围。
n?1
?
n??
3?2a
n
n? ?
?
39
3
??
?
a
3?2()
n
1
3
，当
0?
a
?1
，即
0?a?3
时 ，左边=右边

?3
，右边=
lim
右边=
4?
n ??
1
a
3
1?(?)
1?2()
n
3
3

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