(沪教版高二上)数学：7.7《数列的极限》教案

7.7（1）数列的极限
一、教学内容分析
极限概念是微积分中最重要和最 基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念
（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的 ，而且它们的运算和性质也要用极限的
运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习 ，所以，极限概念的掌握
至关重要.
二、教学目标设计
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运 动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、
量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽 象思维能力和审美
能力.
3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习
的兴趣.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点：数列极限的定义的理解.
四、教学用具准备
电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发
思考、化解难点，即对极限定 义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实
物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练 习中的优点和不足之处，及时反馈.
五、教学流程设计
实例引入



概念
符号

数列的极限
几何
理解

运用与深化(例题解析、巩固练习)



六、教学过程设计
一、 情景引入
1、创设情境，引出课题
1. 观察
教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话
意思？
学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此
继续下去，永远也无法取完.
2. 思考
教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？
学生 ：
课堂小结并布置作业
1111
, , ,
??
,
n
, ?

48
2

2
3．讨论
教师； 随着
n
的增大，数列
?
a
n
?
的项会怎样变化？
学生： 慢慢靠近0.
教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题
二、学习新课
2、观察归纳，形成概念
（1）直观认识
教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势
（a）
1111
,
2
,
3
,?,
n
,?

10101010
①“项”随
n
的增大而减小 ②但都大于0

③当
n
无限增大时，相应的项
1
可以“无限趋近于”常数 0
10
n
11(?1)
n
,?
（b）
?1,,?,?,
23n
①“项”的正负交错地排列，并且随
n
的增大其绝对值减小
(?1)
n
②当
n
无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0
n
（c）
123n
,,,?,,?

234n?1
①“项”随
n
的增大而增大 ②但都小于1
③当
n
无限增大时，相应的项
n
可以“无限趋近于”常数1
n?1
教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：
（a）从右趋近 （c）从左趋近 （b）从左右
两方趋近，使学生明白不同的趋近方式
教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先
辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽
于公元前 263年 创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，
得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他 的操作方法概括这样几个字：“割
之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣 .”
概念辨析
教师：归纳数列极限的描述性定义
学生：一般地，如果当项数< br>n
无限增大时，数列
?
a
n
?
的项无限的趋近于某一 个常数
n
那么
就说数列
?
a
n
?
以
a
为极限.
教师：是不是每个数列都有极限呢？
学生1：（思考片刻）不是.如
a
n
?n

2n
学生2：
a
n
?n

a
n
?(?1)


教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.

?
1
n是奇数
?
n
（a）
a
n
?
?

n?1
?
n是偶数
?
n
?3,
?
（b ）无穷数列：
0.3,0.33,0.333,?,0.333
???
n
学生 1：数列（a）有极限，当
n
是奇数时，数列
?
a
n
?的极限是0，当
n
是偶数时，数列
?
a
n
?
的极限是
1.数列（b）的极限是0.4.
教师： 有不同意见吗？
学生2：数列（b）的极限是0.34
学生3：数列（b）的极限不存在
（这时课 堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b）的极限持有各自不同的观点，但对
数列（a）的极限的认 识基本赞同学生1的观点.）
教师： 数列（a）有极限吗？数列（b）的极限究竟是多少？（学生们沉思）
学生4：数列（a）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b）的极限是.
教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b）的逼近过程），同学们对（a）判断错误的原
因 是对描述性定义还未很好的理解.对（b）判断错误的原因是描述性定义的局限性导
致的，数列（b）随 着
n
的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一
定的程度 就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.
（2）量化认识
教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？
学生：用
n
a
n
和
a
之间的距离的缩小过程，即
a
n
?a
趋近0
1
3
(?1)
n
教师：现在以数列
n
a
n
?
为例说明这种过程观察：
n

(?1)
n1
1
?0?
，距离量化：
a
n
?0?
随着n
的增大，的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记
n
nn
为ε） ，只要
n
n
充分的大，都有比给定的正数小.
教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找
n
.
问题拓展
学生：老师再来几个其它的数列
1
n
1111
教师：以上我们以提到的
1
,
1
,
1
,
??
,
1
, ?
和
1?,1?
2
,1?
3
,?,1?
n,?
为
10101010
248
2
n
例，大家可以再操作一下.
教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？
学生：只要数列有极限，对于 给定的正数ε，总可以找到一项
a
N
，使得它后面的所有的项
与数列的极限的 差的绝对值小于ε.
教师：顺理成章的给出数列极限的
?
?N
定义： < br>一般地，设数列
?
a
n
?
是一个无穷数列，
a
是一个常数，如果对于预先给定的任意小的
正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数
n?N
，就有
a
n
?a?
?
，那么就说数列
?
a
n
?
以
a
为极限，记作
lima
n
?a< br>，或者
n??
时
a
n
?a
.
n??
教师：常数数列的极限如何？
学生：是这个常数本身.
教师：为什么？
学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.
三、巩固练习
讲授例题
已知数列
?
?
n?1
?
?

n?1
??
① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.
②写出
n
a
n
?1
的解析式.
③
?
1
?
n?1
?
中的第几项以后的所有项都满足
a?1?
?
n
n?1
100
??

④ 指出数列
?
?
n?1
?
?
的极限.
?
n?1
?
课堂练习
第41至42的练习.
四、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
④数列极限的
?
?N
的定义.
五、作业布置
1．课本第42页习题2，3,4
2．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写 一篇《我看极限》的短文，格式
不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识 中去.）
七、教学设计说明
对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞 跃，由于学生知识结构
的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规 律和学生
的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.