高等数学极限习题500道汇总.

当x?x
0
时，设?
1
＝o(?)，?
1
?o(?)且lim
x?x
0
?
存在，
?

???
1
?
求证：lim?lim．
x?x
0
???x?x
0
?
1

若当x?0时，?(x)?(1?ax)
2
1
3
?1与?(x)?cosx?1是等价无穷小，则a?

1 313
A．　B．　C．?　D．?．
2222
　　　　　　　　　　　　　答（　　 ）

当x?0时，下述无穷小中最高阶的是
A　x
2
　B1　?co sx　C　1?x
2
?1　D　x?sinx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
n2

求极限lim(n?

求极限lim(?1)nsin(?n?2)．
求li mn
?
ln(2n?1)?ln(2n?1)
?
之值．
n??
n???
n??
11
)ln(1?)．

2n
e
x
?1?x
2
lim的值?_____________

3
x?0
xsinx

2
设有数列a
1
?a，a
2
?b (b?a)，a< br>n?2
?
求证：limy
n
?lim(a
n?1
?a
n
)及lima
n
．
n??n??n??
a
n?1
?a
n
2


设x
1
?a，x
2
?b．(b?a?0)　x
n?2
?
记：y
n
?
1
x
n?1
2x
n
x
n?1
，
x
n
?x
n?1

1
?，求limy
n
及limxn
．
n??n??
x
n
(1?2x)
sinx
?cosx
求极限lim之值．

x?0
x
2

设 limu(x)?A，A?0；且limv(x)?B
x?x
0
x?x
0试证明：limu(x)
x?x
0
v(x)
?A．
B


lim
?
ln(1?x)
?
x?1
1
( x?1)
2
?

A．?　　B．1　　C．0　　D．ln2
　　　　　　　　　　　　　答（　　）
lim(1?2x)
x?0
sinxx
?

A．1　　B．e
2
　　C．e　　D．2

　　　　　　　　　　　　　答（　　）
设u(x)?1?xsin
1
. f(u)?u
2
x
f(u)?1f
?
u(x)
?
? 1
求：lim及limu(x)之值，并讨论lim的结果．
u?1x?0x?0
u? 1u(x)?1

x
2
?9
lim
2
的值等于_____________

x?3
x?x?6

e< br>x
?4e
?x
lim
x
?
x??
3e?2e
?x

1
A．　　B．2　　C．1　　D．不存在
3
答：（ ）

(2?x)
3
(3?x)
5
lim?
x??
(6? x)
8

1
A.?1　B.1　C.
5
　D.不存在
2?3
3
答：（ ）
3
(1?2x)
10
(1? 3x)
20
x?3x?2
x
lim?____________

lim

求极限lim．
的值等于____________
215
x??
(1?6x)
x?1
x
3
?x
2
?x?1
x?0
e
x
?e
?x
3
1?6x ?
4
1?2x
求lim之值．

x?0
x(x?5)

已知：limu(x)??，limu(x)v(x) ?A?0
x?x
0
x?x
0
问limv(x)?？为什么？
x?x
0


关于极限lim
x?0
5
3?e1
x
结论是：
55
A　　　B　0　　C　　D　不存在

34
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

设limf(x)?A，l img(x)??，则极限式成立的是
x?x
0
x?x
0
f(x)< br>?0
x?x
0
g(x)
g(x)
??
x?x
0
f(x)
(x)g(x)??

x?x
0

(x)
g(x)
??
x?x
0
　　　　　　　　　　 答（　　）
x
f(x)?ecosx，问当x???时，f(x)是不是无穷大量．


limtanx?arctan
x?0
1
?
x
? ?
　D.?

22
　　　　　　　　　　　　答（　　）
A.0　　 B.不存在.　　C.

arctan(x
2
)
li m?
x??
x
?

2
　　　　　　　　　　答（　　）
A.0　　B.?　　C.1　　D.

lim
x??
2x?1
2
x?3
A.2　　B.?2　　C .?2　　D.不存在
?

　　　　　　　　　　　　　答（　　）
3
设f(x)?，则f(?0)?___________

1
2?e
x

limarccot
x?0
1
?
x
?

2
　　　　　　　　　　　　　答（　　）
a?cosx
lim?0，则其中a?
x?0
ln1?x
A.0　　B.?　　C.不存在.　　D.
3
e
2x
?e
?x
?3x
lim的值等于____________

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
x?0
1?cosx

A.　0　　B.　1　　C.　2　　D.　
?

lim
2(1?cos2x)
?
x?0

x
A.　2　　B.　?2　　C.不存在.　　D.　0
答：（ ）

px
2
?qx?5
设f(x)?，其中p、q为常数．
x?5
问：(1)p、q各取何值时，limf(x)?1；
x??

　　(2)p、q各 取何值时，limf(x)?0；
x??
　　(3)p、q各取何值时，limf(x)?1．
(x
2n
?2)
2
?(x
2n
?2)(3x
2
?2)
3
求极限lim．

求极限lim．

x??
(x
n
?1)
2
?(x
n
?1)
2
x??
(2x
3
?3)
2

x?5
2已知lim
x?1
x
4
?3?A?B(x?1)?c(x?1)
2
?0
2

(x?1)
??
试确定A、B、C之值．

ax
3
?bx
2
?cx?d
已知f(x)?，满足(1)limf(x)?1，(2)lim f(x)?0．
2
x??x?1

x?x?2
试确定常数a，b，c ，d之值．

已知lim
x?1
(a?b)x?b
3x?1?x ?3
x?x
0
?4，试确定a，b之值．

＂若lim?(x)?0，则lim
x?x
0
1

??＂上述说法是否正确？为什么？
?(x)

当x?x
0
时，f(x)是无穷大，且limg(x)?A，
x?x
0
证明：当x?x
0
时，f(x)?g(x)也为无穷大．
2x?1
用无穷大定义证明：lim???．< br>

用无穷大定义证明：limlnx???．
x?1
x?1
x?0
?
1
用无穷大定义证明：limtanx???

用无穷大定义证明：lim???．

?
x?1?0
x??0
x?1
2


＂当 x?x
0
时，f(x)?A是无穷小＂是
＂limf(x)?A＂的：
x?x
0
(A)充分但非必要条件
(B)必要但非充分条件
(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件
　　　　　　　　　　　　　答（　　）


若limf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．
x?x
0
x ?x
0
f(x)
?b的充分必要条件是
x?x
0
g(x)< br>f(x)?b?g(x)
　　　lim?0．
x?x
0
g(x)
证明：lim

用数列极限的定义证明
用数列极限的定义 证明：lima?0，(其中0?a?1)．
：lima
n??
n
1
n
n??

?1　　(0?a?1)．
n(n?2)
1
li m
1?cos(sinx)
的值等于___________

用数列极限的定义证明：lim?．

x?0
2
2
2ln( 1?x)
n??
2n?5
2
(cosx)
sinx
?1求极限lim之值．

3
x?0
x
??

设limf(x)?A，试证明：
x?x
0
对任意给定的
?
?0，必存在正数
?
，使得对适
含不等式0?x
1
?x
0< br>?
?
；0?x
2
?x
0
?
?
的一切
x
1
、x
2
，都有f(x
2
)?f(x
1
)?
?
成立。
已知：limf(x)?A?0，试用极限定义证明：lim< br>x?x
0
x?x
0

f(x)?A．

x
2n?1
?x
求f(x)?lim
2n
的表达式

?
x
n
?y
n
?
是否也必发散？若数列
?
x
n
?
与
?
y
n
?
同发散，试问 数列

n??
x?1

x?cos(a?bx)
2
设f(x)?lim
n??
x
2n
?1
　(其中a、b为常数，0? a?2
?
)，
(1)求f(x)的表达式；
(2)确定a，b之值，使lim f(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．
x?1x??1
x
2n?1sin
?

应用等 阶无穷小性质，求极限lim
x?0
1?5x?1?3x
arctan(1?x)?a rctan(1?x)
．

．

求极限lim
2
x ?0
x?2x
x
1
n
求极限lim
(1?4x)?(1?6 x)(1?ax)?1
．

求极限lim　(n为自然数)．a?0．
x?0x?0
xx
1
2
1
3
求极限lim
(5 ?2x)?x?2
．

x?3
x?3
1
3

设当x?x
0
时，
?
(x)与
?
(x)是等价无穷小，
f(x)f(x) ?
?
(x)
且lim?a?1，lim?A，

x?x
0< br>?
(x)
x?x
0
g(x)
f(x)?
?
( x)
证明：lim?A．
x?x
0
g(x)

设当x?x< br>0
时，
?
(x)，
?
(x)是无穷小
且
?< br>(x)?
?
(x)?0
证明：e
?
(x)
?e
?
(x)
~
?
(x)?
?
(x)．


若当x?x
0
时，
?
(x)与
?
1
(x) 是等价无穷小，
?
(x)是比
?
(x)高阶的无穷小．
则当x?x< br>0
时，
?
(x)?
?
(x)与
?
1
(x)?
?
(x)是
否也是等价无穷小？为什么？


设当 x?x
0
时，
?
(x)、
?
(x)是无穷小，
且< br>?
(x)?
?
(x)?0.
证明：ln
?
1?
?
(x)
?
?ln
?
1?
?
(x)
?< br>　　　与
?
(x)?
?
(x)是等价无穷小．

< br>设当x?x
0
时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．
证明：当x?x
0
时，f(x)?g(x)与g(x)是等价无穷小．


若x?x
0
时，?(x)与?
1
(x)是等价无穷小，
?(x)与?(x)是同阶无 穷小，但不是等价
无穷小。试判定：
吗？为什么？

?(x)??(x)与?
1
(x)??(x)也是等价无穷小

sin x
?
x??
x
(A)1　(B)?　(C)0　(D)不存在但不是无穷大< br>
lim
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

1
l imxsin之值
x??
x
(A)?1　(B)?0　(C)??　(D)不存在但不 是无穷大
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


已知li m
x?0
Atanx?B(1?cosx)
Cln(1?2x)?D(1?e
?x
2
)
?1　(其中A、B、C、D是非0常数)

则它们之间的 关系为
(A)B?2D　(B)B??2D　(C)A?2C　(C)A??2C
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　答（　　）
x
n?1
设limx?0及lim?a存在， 试证明：a?1．

设
x?1
计算极限
lim(1?x)(1?x) (1?x)
?
(1?x)

n??
n
n??
xn??
n
242
n
x
3
?(a
2
?1 )x?ax
3
?3x
2
?3x?2
21
x
2
　(a?0)

计算极限lim

求lim(sin?cos)

计算极限lim
222
x?ax?2
x??
x?ax?x?2
xx
x
e?e
xcosx
?
lim(cos
x
c os
x
?
cos
x
)
?

计算极限lim

计算极限
lim
x?0
x?ln(1?x
2
)
x?0
?
2
2
2
2
n
?
?
n??
?
a
n?1
?
a
n
?
满足a
n
?0及lim设有数列?r (0?r?1)，试证明lima
n
?0．

n??
a
n? ?
n
2
设有数列
?
a
n
?
满足a
n
?0且lim
n
a
n
?r， (0?r?1)，试按极限定义证明：
n??
lima
n
?0．
< br>n??
设limf(x)?A　(A?0)，试用???语言证明lim
x?x
0
x?x
0
f(x)?A．

1
试问：当x ?0时，
?
(x)?x
2
sin，是不是无穷小？

x设limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,试证明：必存在x
0
的某去心邻 域，使得
x?x
0
x?x
0
在该邻域为f(x)?g(x)．

ln(1?
3
x?2)
11
计算极限lim．

设f(x)?xsin，试研究极限lim

2
3
x?2
x ?0
f(x)x
arcsin(3x?4x?4)

设数列的通项为x
n?
?
1?(?1)
n
?
n
2
n
?n
，
则当n??时，x
n
是
(A)无穷大量
(B)无穷 小量

(C)有界变量，但不是无穷小
(D)无界变量，但不是无穷大
　　　 　　　　　　　　答（　　）

以下极限式正确的是
(A)lim(
??0< br>1?
1
x
)
x
?e　(B)
1
x
l im(
??0
1?
x
)
x
?e
?1
x(C)lim(
x??
1?
1

x
)
x
?e
?1
　(D)lim(
1
x??
1?
x
)< br>?x
?0
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
设x
1
?10，x
n?1
?6?x
n
　(n?1，2，?)，求lim
n ??
x
n
．


?
e
ax
?1< br>设f(x)?
?
?
x
，当x?0
，且limf(x)?
?
x?0
A
?
b，　　当x?0
则a，b，A之间的关系为
(A)a，b可取任意实数，A?1

(B)a，b可取任意实数，A?b
(C)a ，b可取任意实数，A?a
(D)a可取任意实数且A?b?a
答：( )
?设f(x)d?
?
ln(1?ax)
?
x
，当x?0
， 且lim
?
x?0
f(x)?A，
?
b　　，　 当x?0
则a，b，A之间的关系为
(A)a，b可取任意实数，A?a

( B)a，b可取任意实数，A?b
(C)a可取任意实数且a?b?A
(D)a，b可取任意实 数，而A仅取A?lna
答：（ ）

?
1?cosax
，当x?0
?
设f(x)?
?
，且limf(x)?A
x< br>2
x?0
?
当x?0
?
b，　　　
则 a，b，A间正确的关系是
(A)a，b可取任意实数A?
a
2
a
2
(B)a，b可取任意实数A?
2
a
(C)a可取任意实数b?A?
2
a
2
(D)a可取任意实数b?A?
2
　　　　　　　　　　　　 　答（　　）


设有lim
?
(x)?a，limf(
?
)?A，且在x
0
的某去心邻域
x?x
0
u?a
内 复合函数f
?
?
(x)
?
有意义。试判定limf
?
?
(x)
?
?A是否
x?x
0

成立。若判定成 立请给出证明；若判定不成立，请举出
例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。
< br>?
x
2
?2x?b
，当x?1
?
设f(x)?
?
x?1
　适合limf(x)?A
x?1
?
a，　　　　当x? 1
?
则以下结果正确的是
(A)仅当a?4，b??3，A?4
(B)仅当a ?4，A?4，b可取任意实数
(C)b??3，A?4，a可取任意实数
(D)a，b，A都 可能取任意实数
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


?
1?bx?1
　当x?0
?
设f(x)?
?
　且limf(x)?3 ，则
x
x?0
?
a　　　　　当x?0
?
(A)b?3，a ?3
(B)b?6，a?3
(C)b?3，a可取任意实数
(D)b?6，a可取任意 实数
　　　　　　　　　　　答（　　）
e
x
?2e
?x
求 lim．

?1，?(x)?e?e
cosx
，且当x?0时?(x)~?( x)，试求a值。

x??
3e
x
?4e
?x
< br>设?(x)?(1?ax)
2
x?2a
x
sin
设lim() ?8，则a?____________．

lim(1?3x)
x
?__________

__．
x ??
x?0
x?a
2
1
3

当x? 0时，在下列无穷小中与x
2
不等价的是
(A)1?cos2x　　(B)ln1?x
2
(C)1?x
2
?1?x
2
　(D)e
x
?e
?x
?2
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


当x?0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是
(A)ln(x?1?x
2
)　(B)1?x
2
?1
(C)tanx?sinx　(D)e?e
x?x< br>?2

　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
计算极限lim
x?0
1?1?x
2
e
x
?cosx
nn?1
2< br>
lim
3x?5
?sin
4
?_____________ ________

x??
2
5x?3
2
x
3n< br>(x?1)(x?1)?(x?1)
x?x?
?
?x?x?n
计算极限 lim

计算极限lim
n?1

x?1
(x?1)
x?1
x?1
?
1
的存在性。

研究极限limarccot
1
的存在性。


讨论极限limarctan
计算极限 lim(cosx)
x
．
x ?1
x?0
x??0
x
x?1
x
2
?2x?3研究极限lim．

x??
x?1

当x??0时，下列变量中，为无穷大的是
sinx11

　(B)lnx　 (C)arctan　(D)arccot
xx
x
　　　　　　　　　　　　　　　　 　答（　　）
1
lim?________________
。
x?1lnx?1
(A)
设a
n
?0，且lima
n
?0，试 判定下述结论存在一正整数N，使当n?N时，恒有
n??
a
n?1
?an
是否成立？

若lima
n
?A试讨论lima
n
是否存在？

n??n??
设有数列
?
a
n
?
满足lim( a
n?1
?a
n
)?0，试判定能否由此得出极限lima
n
存在的
n??n??
结论。

?
a
n
?
满足a
n
?0；
a
n?1
?r，设有数列0?r?1，试证明lim a
n
?0

n??
a
n
f(x)

设lim存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？
x?x
0
g( x)
x?x
0
x?x
0
f(x)

若limf(x )?0，lim?A?0，则是否必有limg(x)?0．
x?x
0
x?x
0
g(x)
x?x
0

当x??0时，下列变量中为 无穷小量的是
11
sin
x
2
x
2
(B)ln(x ?1)
(A)
1
(C)
lnx
(D)(1?x)
1
x

?1
g(x)

?0．
f(x)
　　　　　　 　　　　答（　　）
设x?x
0
时，f(x)??，g(x)?A(A是常数），试证 明lim

x?x
0
若limg(x)?0，且在x
0
的某 去心邻域内g(x)?0，lim
x?x
0
x?x
0
f(x)
?A，
g(x)

则limf(x)必等于0，为什么？
x?x
0

若limf(x) ?A，limg(x)不存在，则limf(x)?g(x)
x?x
0
x?x
0
x?x
0
是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能
肯定，请举例说 明，并指出为何加强假设条件，使
可肯定f(x)?g(x)的极限(x?x
0
时)必 不存在。

12n?1
nnn
n
lim< br>??
e?e
?
e?e?
(A)1　(B)e　(C)e　(D)e2

　　　　　　　　　　答（　　）
lim
n??
(1?2?
?
?n?1?2?
?
?(n?1))?____．

x
lim
??0
xcos
2
x
2
(A)等于0 (B)等于2
(C)为无穷大　; (D)不存在，但不是无穷大 .
　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）

设f(x)?
1
x
sin
?
x
，试判断：
(1)f(x)在(0，1)，内是否有界

(2)当x??0时，f(x)是否成为无穷大 .

设f(x)?xcosx，试 判断：
(1)f(x)在
?
0，??
?
上是否有界

(2)当x???时，f(x)是否成为无穷大

设?(x )?
1?x
，?(x)?3?3
3
x，则当x?1时（　　）
1?x
(A)?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小 ;
(B)?(x)与?(x)是等价无穷小
(C)?(x)是比?(x)高阶的无穷小 ;
(D)?(x)是比?(x)高阶的无穷小 .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


x
3< br>?ax
2
?x?4
设lim?A，则必有
x?1
x?1
(A)a?2，A?5　 (B)a?4，A??10 ;
(C)a?4，A??6　 (D)a??4，A?10 .

　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

x
2
?1
x ?1
当x?1时，f(x)?e的极限
x?1
(A)等于2　 　(B)等于0
(C)为? 　　　(D)不存在但不是无穷大 .
1

　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
设当x?0，?(x)?(1?ax)
2
?1和?(x)?1?cosx满足?(x)~?(x)．试确定a的值。

3x
2
?2
求a，b使lim(?ax?b)?1

设lim(3x
2
?4x?7?ax?b)?0 , 试确定a，b之值。

x??
x?1
x???
设x
1
?1，x
n?1
?2x
n
?3(n?1，2，?)，求limx
n

n??
2
3
设x
1
?4，x
n?1?2x
n
?3　(n?1，2，??)，求limx
n
．

n???
1?xsinx?cos2x

xtanx
x???
4?tanx?4?sinx2?2cosax
计算极限lim研究极限lim(a?0)的存在性。

tanxsinx
x?0x?0
x
e?e
2

?
x
n
?
收敛，并求极限limx
n
．设x
1
?(0，2)，x
n?1
?2x
n
?x
n
．( n?1，2，
??
)，试证数列
计算极限lim
计算极限lim(x?x?x ?x)

x?0
n??
设x
1
?0，x
n?1?2x
n
?x
n
(n?1，2，??)，试研究极限limx
n
．

n??
2

设x
1
? 2，x
n?1
?2x
n
?x
n
(n?1，2，
??
)，试研究极限limx
n
．
n??
2

设a1
，b
1
是两个函数，令a
n?1
?a
n
b< br>n
，b
n?1
?
lima
n
存在，limb
n
存在，且lima
n
?limb
n
n??n?bn??n??a
n
?b
n
， (n?1，2，?)试证明：
2

e
cosx
?e
计算极限 lim
?
x?x?x?x?x
?
x

21
x
??
计算极限lim

计算极限lim(1??)

x???
x?0
x??
x??
x
2
x
2
若limx
n
y
n?0，且x
n
?0，y
n
?0，则能否得出＂limx
n
?0及limy
n
?0至少有一
n??n??n??

式成立＂的结论。

设数列
?
x
n
??
， y
n
?
都是无界数列，z
n
?x
n
y
n< br>，
?
z
n
?
是否也必是无界数列。试判定：

如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。
31
??
计算极限limx?
sinln(1?)?sinln(1?)
?

x??
xx
??

1
极限lim(cosx)
x< br>?
x?0
2
A．0；　B．　　C．1；　D．e．
　　　　　　　　 　　　　答（　　）

?
1
2

e
x
?e
?x
极限lim的值为（　　）
x?0
x(1?x
2
)A．0；　B．1；　C．2；　D．3．
　　　　　　　　　　　　　答（　　）


极限lim
1?cos3x
的值为（　　）
x?0
xsi n3x
123

A．0；　B．；　C．；　D．．
632
　　　　 　　　　　　　　　　答（　　）
下列极限中不正确的是

x
tan3x3< br>?
2
A．lim?；　B．lim??；
x?0
sin2x
x ??1
x?122

x
2
?1arctanx
C．lim? 2；D．lim?0．
x?1
sin(x?1)
x??
x
　　　　　 　　　　　　　　　　答（　　）

cos
?
ln(1?x?x
2< br>)?ln(1?x?x
2
)
极限lim?
2
x?0
x
A．0；　B．1；　C．2；　D．3．
　　　　　　　　　　　　　答（　　）

极限lim(cosx)?
x?0
1
x
A ．0；　B．e；　C．1；　D．e．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

1
2
?
1
2

当x?0时，与x为等价无穷小量的是
A．sin2x；　 B．ln(1?x)；
C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)．


　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
当x?1时 ，无穷小量
1－x
是无穷小量x?1的
1?2x
A．等价无穷小量；B．同阶 但非等价无穷小量；

C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量．
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　答（　　）
当x?0时，无穷小量2sinx?sin2x与mx
n
等价，其中m，n为常数，则数组
（m，n）中m，n的值为

A．(2，3)；　B ．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）


已知lim(1?kx)
x?0
1
x
?e，则k的值为
1
A．1；　B．?1；　C．；　D．2．

2
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

1
极限lim(1? )
2
的值为
x??
2x
A．e；　B．e；　C．e；　D．e
?14
?
1
4
x

　　　　　　　　　　　 　　　答（　　）
下列等式成立的是
21
A．lim(1?)
2x
? e
2
；　B．lim(1?)
2x
?e
2
；
x?? x??
xx

1
x?2
1
C．lim(1?)?e
2
；D．lim(1?)
x?1
?e
2
．
x??x??xx
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

极限lim(1?2x)
x?0
1
x
?
1

A．e；　B．；　C．e
?2
；　D．e
2
．
e
　　　 　　　　　　　　　　　答（　　）

极限lim(
x?1
x ?4
)的值为（　）
x??
x?1
A．e
?2
；　B．e< br>2
；　C．e
?4
；　D．e
4
．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

?
2x?1
?
极限lim
??
x??
?
2x?1
?
2x?1
的值 是
?
1
2
A．1；　B．e；　C．e；　D．e
?2
．< br>　　　　　　　　　　　　　　答（　　）


下列极限中存在的是
x
2
?1111
A．lim；　B．lim；C．limxsin；　D．lim

1
x??x?0x??x?0
2
x
?1
x
x< br>x
1?e
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

tanx?sinx
的值为
x?0
x
3
11
A．0 ；B．　C．　D．?．

b2
　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim

极限lim< br>sinx
?
x?
?
x?
?
A．1；　B．0；　C． ?1；　D．?．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

已知lim
a?cosx1
?，则a的值为
x?0
xsinx2
A．0；　B． 1；　C．2；　D．?1．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

sinkx
??3，则k的值为
x?0
x(x?2)
3
A．?3；　 B．?；　C．6；　D．?6．

2
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
已知lim

x2
?1
设lim(?ax?b)?0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为
x??
x?1

A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．( 1，?1)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

4x
2
?3
设f(x)??ax?b，若limf(x)?0，则
x??< br>x?1
a，b的值，用数组（a，b）可表示为
A．(4，?4)；　B．(?4，4) ；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

极限lim
x
2
?6x?8
x?2
x
2
?8x?12
的值为A．0；　B．1；　C．
1
2
；　D．2．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

下列极限计算正确的是
A．li m
x
2n
n??
1?x
2n
?1；　B．
x
lim
x?sinx
???
x?sinx
?1；
C．lim
x?sinx1
n
x?0
x
3
?0；　D．lim(
n? ?
1?
2n
)?e
2
．
　　　　　　　　　　　　　　　　 　答（　　）

x
3
x
2
极限lim(
x??x
2
?1
?
x?1
)的值为
A．0；　B．1；　C． ?1；　D．?．

　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

数列极限 lim(
n??
n
2
?n?n)的值为
A．0；　B．
1< br>2
；　C．1；　D．不存在．

　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

已知lim
x
2?3x?c
x?1
x?1
??1，则C的值为
A．?1；　B．1；　C ．2；　D．3．

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

已知lim
x
2
?ax?6
x?1
1?x
?5，则a的值为
A ．7；　B．?7　C．2；　D．?2．

　　　　　　　　　　　　　答（　　）

?
e
x
?2， x?0
设函数f(x)?
?
?
1， x?0， 则lim
?
?
x?cosx，x?0
x?0
f(x)?
A． ?1；　B．1；　C．0；　D．不存在．
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

?
1?cosx
，x?0
?
x
?
设f(x)?
?
，则

x?1
，x?0
?
1
?
?
1?e
x
A．limf(x)?0；
x?0
B．limf(x)?limf(x)；
??
x?0
x?0
x?0
C ．limf(x)存在，limf(x)不存在；
??
x?0

D．limf (x)不存在，limf(x)存在．
??
x?0x?0
　　　　　　　　　　　　　 　答（　　）
?
tankx
，x?0
?
设f(x)?
?x
，且limf(x)存在，则k的值为

x?0
?
x?3，x ?0
?
A．1；　B．2；　C．3；　D．4．
　　　　　　　　　　　　　　答（ 　　）
下列极限中，不正确的是

A．lim(x?1)?4；B．lim
?
e
?
x?3x?0
1
1
x

?0；
sin(x?1)
1
C．lim()
x
?0；D．lim?0．

x?0
2
x?1
x
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
f(x)g(x)
若lim?0，lim?c?0(k?0)．

kk?1
x?0x?0
xx
则当x?0，无穷小f(x)与g(x)的关系是
A．f(x)为g (x)的高阶无穷小；
B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；
C．f(x)为g(x)的同阶 无穷小；
D．f(x)与g(x)比较无肯定结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　 　）

当x?0时，2sinx(1?cosx)与x
2
比较是（　）

A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；
C．高阶无穷小； D．低阶无穷小．

　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
当x?0时，sinx(1?cosx)是x
3
的

A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；
C．高阶无穷小； D．低阶无穷小．

　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
设有两命题：

?
x
n
?
必收敛；命题 a，若数列
?
x
n
?
单调且有下界，则
命题b，若数列?
x
n
??
、y
n
??
、z
n
?
满足条件：y
n
?x
n
?z
n
，且
?
y
n
??
，z
n
?
都有收敛，则
?
x
n
?
必收敛　　　　数列
则
A．a、b都正确； B．a正确，b不正确；
C．a不正确，b正确； D．a，b都不正确．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）

设有两命题：

命题甲：若limf(x)、l img(x)都不存在，则lim
?
f(x)?g(x)
?
必不存在；
x?x
0
x?x
0
x?x
0
x?x
0
命 题乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)?g(x)必不存在。
x? x
0
x?x
0
则
A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；
C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。
　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
设有两命题：

f(x)
命题a：若limf(x)?0，lim g(x)存在，且g(x
0
)?0， 则lim?0；
x?x
0
x?x
0
x?x
0
g(x)

命题b：若limf(x)存 在，limg(x)不存在。则lim(f(x)?g(x))必不存在。
x?x
0
x ?x
0
x?x
0
则
A．a，b都正确； B．a正确，b不正确；
C．a不正确，b正确； D．a，b都不正确。
　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）
若lim,f(x)??，limg(x)?0，则limf(x)?g(x)

x?x
9
x?x
0
x?x
0

A．必为无穷大量 　　　B．必为无穷小量
C．必为非零常数 ;　　　D．极限值不能确定 ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
设有两个数列
?
a
n
??
，b
n
?
，且 lim(b
n
?a
n
)?0，则

n??
?
a
n
??
A．，b
n
?
必都收敛，且极限相等
?
a
n
??
B．，b
n
?
必都收敛，但极限未必 相等
?
a
n
?
收敛，而
?
b
n
?
发散 C．
?
a
n
?
和
?
b
n
?
可能都发散，也可能都D．收敛．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（ 　　）
下列叙述不正确的是

A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；
B． 无穷小量与有界量的积是无穷小量；
C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；
D．无穷大量与无 穷大量的积是无穷大量。
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
下列叙述不正确的是< br>
A．无穷大量的倒数是无穷小量；
B．无穷小量的倒数是无穷大量；
C．无穷 小量与有界量的乘积是无穷小量；
D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。
　　　　　　　 　　　　　　　　　答（　　）
若limf(x)??，limg(x)??，则下式中必定成立的是< br>



A．lim
?
f(x)?g(x)
?
??　 ;　　B．lim
?
f(x)?g(x)
?
?0
x?x
0
x?x
0
x?x
0
x?x
0
C．lim
x?x
0
f(x)
?c?0 　　　D．limkf(x)??，(k?0) ．
x?x
0
g(x)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　答（　　）

设函数f(x)?xcos
1
，则当x??时，f(x )是

x
A．有界变量；　　　　B．无界，但非无穷大量；

C． 无穷小量；　　　　D．无穷大量．
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
若lim f(x)?A(A为常数），则当x?x
0
时，函数f(x)?A是

x?x
0
A．无穷大量 　　　　B．无界，但非无穷大量 ;
C．无穷小量 　　　　D．有界，而未必为无穷小量 ．
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　答（　　）
设函数f(x)?xsin
1
，则当x?0时，f(x) 为

x
A．无界变量; 　　　　B．无穷大量;

C．有界，但非无穷小量; 　D．无穷小量．

　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
f(x)在点x
0
处有定义是 极限limf(x)存在的

x?x
0
A．必要条件;　　　　B．充分条件 ;
C．充分必要条件;　　D．既非必要又非充分条件．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）