高一数学-极限的概念 精品

极 限 的 概 念
（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国 时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其
半，万世不竭。”也就是说 一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地
进行下去。（1）求第
n
天剩余的木棒长度
a
n
(尺)，并分析变化趋势；（2）求前
n
天 截下的
木棒的总长度
b
n
(尺)，并分析变化趋势。







观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数< br>n
无限增大时，数列的项
a
n
无限趋近于
某个常数A（即a
n
?A
无限趋近于0）。
a
n
无限趋近于常数A，意 指“
a
n
可以任意地靠近
A，希望它有多近就有多近，只要
n
充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点
a
n
到A的距离
an
?A
可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数
n
无限增大时，无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋近于某个常数A（即
．．．．．
，那么就说数列
{a
n
}
的极限是A，记作
a
n
?A
无限趋近于0）

lima
n
?A

n??
注：①上式读作“当
n< br>趋向于无穷大时，
a
n
的极限等于A”。“
n?
∞”表示“< br>n
趋向于无
穷大”，即
n
无限增大的意思。
lima
n
?A
有时也记作当
n?
∞时，
a
n
?
A
n??
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________ ，____________________
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，



111123n
，，…，，… ；（2），，，…，，…；
n?1
2
3
n234

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，
( ?0.1)
n
，…；
（5）－1,1，－1，…，
(?1)
n
，…；








注：几个重要极限：
（1）
lim
1
?0
（2）
limC?C
（C是常数）
n??
n??
n
n
n??
（3）无穷等比数列
{q
n
}
（
q?1
）的极限是0，即 ：
limq?0(q?1)

2、当
x??
时函数的极限
1
的图像，观察当自变量
x
取正值且无限增大时，函数值的变化情
x
1
况：函数值无限趋近于0，这时就说，当
x
趋向于正无穷大时，函数
y?< br>
y
x
1
的极限是0，记作：
lim?0

x???
x
一般地，当自变量
x
取正值且无限增大时，如果函数
x
（1） 画出函数
y?
O
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于正无穷大时，
函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
lim f(x)?A

x???
也可以记作，当
x
???
时，f(x)?A

1
的值无限趋
x
11
近于0，这时就说 ，当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?
的极限是0，记作：
lim?0

x???
x
x
（2）从图中还可以看出，当自变量
x
取负值而
x
无限增大时，函数
y?
一般地，当自变量
x< br>取负值而
x
无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A， 记作：
limf(x)?A

x???

也可以记作，当
x???
时，
f(x)?A

1
的 值都无
x
11
限趋近于0，这时就说，当
x
趋向于无穷大时，函数< br>y?
的极限是0，记作
lim?0

x??
x
x
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量
x
的绝对值无限增大时，函数
y?
一般地，当自变量
x
的绝对值无限增大时， 如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个
常数A，就说当
x
趋向于 无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
limf(x)?A

x??
也可以记作，当
x??
时，
f(x)?A

特例：对于函数
f(x)?C
（
C
是常数），当自变量
x
的 绝对值无限增大时，函数
f(x)?C
的值保持不变，所以当
x
趋向于无穷大 时，函数
f(x)?C
的极限就是
C
，即

limC?C

x??
例2：判断下列函数的极限：
1
x
x
x???
2
x???
1
（3）
lim
2
（4）
lim4

x??
x??
x






三、课堂小结
1、数列的极限
2、当
x??
时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，
（1）
lim()
（2）
lim10

111
，，…，
2
，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
4
9
n
111(?1)
n
,?
； （3）
?,,?,?,
n
248
2
（4）2，4，6，8，…，2n，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，
1
，…；
n
10

121
,?,
…，
?1
，…；
23n
1111
n?1
（7）
,?,,
…，
(?1)
，…；
234n?1
（6）0，
?
149
n
2
（8）
,,,
…，，…；
555
5
（9）－2, 0，－2，…，
(?1)
n
?1
,…，
2、判断下列函数的极限：
（1）
lim0.4
（2）
lim1.2

x???x???
xx
1

x??
x
4
x??
1
x
5
x
（5）
lim()
（6）
lim()

x???
10
x???
4
1
（7）
lim
2
（8）
lim5

x??
x??
x?1
（3）
lim(?1)
（4）
lim
补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面A BCD，M、N分
别是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；
P
（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。
N

A
D

M

C
B