类比推理(公开课教学设计)

2020年10月6日发(作者：赵力)

选修2-2《2.1.1 合情推理之类比推理》教案设计
教案内容分析
推 理与证明贯穿于整个数学课程，但是作为一章的内容却是第一次出现在中学的教
材中，对之进行系统学习 是新课程的一个变化。推理与证明是数学的基本思维过程，是
做数学的基本功，也是人们在一般的学习和 生活中常用的思维方式，是发展理性思维的
重要方面。数学与其它学科的区别除了研究对象的不同，最突 出的就是数学内部规律的
正确性必须用演绎推理的方式来证明，而在证明或学习数学的过程中，又经常要 用合情
推理去猜测和发现结论，探索和提供思路。两者紧密联系、相辅相成。因此，无论是学
习 数学、做数学，还是对于学生理性思维的培养，都需要在基础教育阶段的高中数学中
加强这方面的学习和 训练。
本节课是合情推理的第二课时，在前面已经学习了归纳推理。学生已经初步体会并
认识 到合情推理在数学发展中的作用。对于类比，学生其实并不陌生，它出现在各个章
节中，但实际上，学生 对它的认识是模糊的。通过本节课的系统学习，学生会了解什么
是类比、如何进行类比，会感受到数学的 创造过程。
学生情况分析
【知识基础】学生已经学完了所有的必修模块，即已经学完了高中 阶段传统的数学
基础知识和基本技能的主要部分。初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，有的学< br>生已经在自觉不自觉的应用着。
【学习水平】授课班级虽然是高二年级的一个侧重班，整体成绩 较好，但优生较少；
而且用一年多的时间学完了高中阶段的数学基础知识和基本技能的主要部分，所以基 础
掌握得不够扎实，知识遗忘现象严重。
【学习态度】学生比较喜欢学习数学，在课堂上基本 上能做到认真听讲，积极思考。
但是主动发言表达看法的同学不多。
教案方式
问题 导引式：通过精心设计的问题，激发学生的学习兴趣和动机，使学生产生疑而
未解，又欲解之的强烈愿望 ，调动学生学习的积极性和主动性。
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教案手段
多媒体辅助教案
教案目标分析
（1）结合数学实例和生活中的实例，了解类比推理的含义及作用，掌握类比推理的一般步骤。
（2）能利用类比进行简单的推理，体会并认识类比推理在发现中的作用；
（3）了解经类比推理得到的结论是否正确，在数学上需要严格证明。
（4）通过证明，感受 类比推理在探索和提供解决问题的思路和方向的作用，建构类比推理的
思维方式，培养和发展逻辑思维能 力和创新思维能力。
教案重点：
了解类比推理的含义，掌握类比推理的方法和步骤
教案难点：
找到合适的类比对象，分析两类事物在结构或功能等方面的关系，正确运用类比推 理的
思想方法.
教案流程示意
情境创设
引出概念
体会类比推理
应用类比


教案过程
（一）创设情境
师：前面我们了解了合情推理及归纳推理的含义，接触了数学史上一些非常著 名的
猜想。牛顿说过，“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。本节课我们继续合情猜想。
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情境1、朋友想投资一部电影，故做
了调查。《阿凡达》是 2009年美国科幻
巨作，以外星生命为题材，目前为止全
球票房收入超过26亿美元。以外星 生命
为题材的科幻片还有很多，比如《长江
七号》、《火星宝贝》等。由于《阿凡
达》 、《长江七号》、《火星宝贝》票
房收入都不错，故推测以外星生命为题
材的科幻片票房收入都 不错。这样的推理是什么推理？（归纳推理）
情境2、真的存在外星生命吗？科学家做了下面的研究：








问：这是归纳推理吗？它是一种类比推理。（板书课题）
（二）新课探究
问题（一）什么是类比推理？
问1：你能说说科学家的推理思路吗？（学生回答，老师总结,见图）
师： 运用这种推理方法的例子还有很多，比如：
（1）鲁班发明锯子
（2）奥地利医生奥恩布鲁 格观察到父亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声音推
测桶内的酒还剩多少。联想到胸腔和酒桶有类似之 处，从而发明了叩诊法——通过叩击
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人体胸腔的方法判断其中有无积水或积水的多少；
问2：你能说出鲁班发明锯子的思路吗？（学生回答，老师总结,见图）

（随着 老师的问题学生认真思考着发明家、设计者的思路。从学生熟悉的事例出发，从
生活与实践的类比开始， 让学生感受到数学源于生活，又服务于生活）
问3：你能根据自己的认识用你自己的语言说说什么是类比推理吗？
（学生回答，最后老师给出课本定义）
类比推理的含义和特点：
由两类对象具有某 些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具
有这些特征的推理称为类比推理.简言 之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
问4：你认为任何两个事物都能进行类比吗？
（学生 在下面摇头，说不能。于是很自然的引出怎样的两个事物才能进行类比，必须是
具有某种相似性的两个事 物才能进行类比。通过该问题，强调类比的对象）
问5：你能举出生活中或数学学科或其它学科中可以进行类比的两类事物吗？
（学生自由发言）
问题（二）数学中的类比推理有哪些？
问1：数学家波利亚曾说 ：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往依赖于平
面几何中的类比问题”，你能举些例子出 来吗？
（学生先思考后交流，最后以组为单位回答）
（通过这个问题体会类比推理在立几中的应用）
共同总结： 平面 空间
点 点或线
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直线 线或面
平面图形 立体图形
问2：平面中的三角形可以与空间中的什么图形进行类比？为什么？
（学生马上说出了四面体 ，紧接着，又说出了圆锥、三棱柱，并且都指出了它们分别与
三角形的某种相似性。老师对三角形与四面 体的相似性进行分析，并进一步说明三角形
还可以和棱锥进行类比）
师：由这个例子可以看出 ，对一个事物可能会找出一个或多个事物进行类比，而且可
类比的两个事物相似性越多，我们所推测的结 论正确的可能性越大。
（通过问题2，学生进一步明确了要把具有某种相似性的两个事物进行类比，而 且知道了
如何恰当地选择类比对象）
问3：可根据三角形的一些结论类比猜想四面体的结论吗？
（学生讨论交流后以组回答）
（从这个问题开始探讨如何运用类比推理，由一类事物的性质得到另一类事物的性质）
师：所猜想的结论可能真，可能假，所以类比推理也是一种合情推理。
问4：如果我们想得到球的一些性质，你会想到用类比的思维方式吗？
（学生能够想到将球与 圆进行类比，利用PPT给出了圆的一些性质，由学生推测出相对
应的球的性质）
圆的性质：
①同圆或等圆的半径相等，直径是半径的两倍.
②与弦垂直的直径过弦的中点.
③连结圆心和弦（非直径）中点的直线垂直于弦.
④圆半径的平方=圆心到弦的距离平方+弦长一半的平方.
⑤不过圆心的弦小于直径，经过圆心的弦是直径，且直径是最大的弦.
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< p>
问5：实数运算中加法和乘法是一对非常典型的可类比对象，请大家类比实数的加法和
乘法 ，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
运算结果
运算律
逆运算
单位元

问6：通过上节课的学习我们体会到了归纳推理在数列中 的应用，那么数列中有可进行
类比的对象吗？
问7：等差数列与等比数列可以进行类比，请将等差数列与等比数列的一些常用结论进
行对比。
（这是数学中典型的可类比的两个事物。从学生较熟悉的知识出发，加深学生对类比的
认识。学 生基本说出了等差数列和等比数列的常用结论，这个问题中让学生将常用结论
进行对比，而不是类比。因 为，毕竟学生已经学习了这两种数列的性质，不适宜再假装
猜测。通过对性质的对比，可知等差数列和等 比数列是非常适合类比的两个对象，而其
实质在于加法和乘法是可类比的，因为它们有着相似的运算规律 ）
问8：类比等差数列、等比数列定义是否可以定义等和数列或等积数列？
问题（三）类比推理的结论是否正确？类比推理的作用是什么？
（到此，学生对类比已经有了一定的认识，认识到类比的奇妙）
师：试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c。(1) a＞b?a+c＞b+c。
(2) a=b? ac=bc。(2) a＞b? ac＞bc。
(3) a=b?a
2
=b
2
。等等。(3) a＞b?a
2
＞b
2
。等等。
师：虽然类比的结论不一定正确，但它能帮我们发现新结论；为我们提供研究的方向。
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实数的加法
若
a,b?R,
则
a?b?R

a?b?b?a

(a?b)?c?a?(b?c)
加法的逆运算是减法，使 得方
程
a?x?0
有唯一解
x??a

a?0?a

实数的乘法
若
a,b?R,
则
ab?R

ab?ba

(ab)c?a(bc)
乘法的逆运算是除法，使得
1
方程
ax?1
有唯一解
x?

a
a?1?1

（三）课堂练习
1、（课本P74 例3）：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出
空间中四面体性质的猜想．

直角三角形
∠C＝90°
3个边的长度a，b，
c
2条直角边a，b和
1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF
＝90°
4个面的面积S1，S2，S3
和S
3个“直角面” S1，S2，S3
和1个“斜面” S

类比勾股定理的结构，我们可以猜想
2
S
2
?S
1
2
?S
2
?S
3
2
成立。
2、在三角形ABC中有结论：AB+BC>AC，类似地在四面体P- ABC中有。
P

3、求证：正
四面体内一
S
1
C
S
3
S
2
B
点到四个面
的距离之和
为一常 数。
（当一个问
A
题难以解决的时候，不妨退一步，通过类比，思考更为简单的问题 是如何解决的。该问
题可类比到平面中的“正三角形内一点到三边的距离之和为一常数”，用面积法可轻 松
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解决，那么原问题是不是可以类比到体积法呢？由此，原来解决问 题的方法也是可以类
比的，类比提供了研究的方向）
（四）课堂小结
本节课你学到了什么？（学生答）
1.类比推理的含义、特点、步骤和作用
2.合 情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，
再进行归纳、类比， 然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.通俗的
说，合情推理是指“合乎情理”的推理，推理 结果正确与否需要经过验证.
从具体问题
出发
观察、分析、
比较、联想
归纳、类比

提出猜想


（五）课后作业
1、习题2.1A组 6，练习3.
2、课后探究 ：数学中还有哪些可类比的对象？
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本教案设计的特点
1．引入生活化，关注学 生的“经验”。学习要建立在学生已有经验的基础上，若缺
乏旧知识和生活经验的停靠点，则无法形成新 的认知结构。数学来源于生活，在教案
中，创设贴近学生生活的、贴近学生经验的情境，不但可以激发学 生学习数学的兴趣，
更让他们体会到数学就在他们身边，感受到数学的作用，体会到数学的魅力，并且容
易创造出和谐积极的学习气氛。
2．问题贯穿本节课的始终。由老师提出问题，给学生创建一 个开放的、有活力、
有个性的数学学习环境。激发学生积极思考，充分发挥学生的主观能动性，参与到学
习活动中来。
3．重视学生，力争每个学生都能得到发展．教案中所选择的内容都是学生比较熟悉
的。


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