2013高中数学精讲精练(新人教A版)第07章 立体几何初步

2013高中数学精讲精练 第六章 不等式
【知识图解】
2013高中数学精讲精练 第七章 立体几何初步
【知识图解】
构成几何体
的基本元素
空间几何体
柱、锥、台、
球的特征
表面积与体
积
直观图与三
视图的画法
直观认识线
面平行与垂
中心投影与
平行投影
平面的基本性质
点、线、面
之间的位置
关系
确定平面的位置关系
直线与直线的平行关系
空间中的平行关系 直线与平面平行的判断及性质
平面与平面平行的判断及性质
直线与直线的垂直关系
空间中的垂直关系
直线与平面垂直的判断及性质
平面与平面垂直的判断及性质

【方法点拨】
立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推 理论证
能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对
于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、
棱锥和球 。在复习时我们要以下几点：
1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图 形，并明确已知元
素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能 从复
杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与
计算。
2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直 是位置关系的核心，而线面
垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。

4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想 方法，如：将
空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断
及角与距离的求解转化成空间向量的运算。


第1课 空间几何体
【考点导读】
1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描 述现实生活
中简单物体的结构；
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合）的三视图，能识
别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； < br>3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不
同表示 形式；
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】
1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②
如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。
2.（1）如 图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△
EFG在 该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。
A
F
?
G
?


B
?
E
C



① ② ③ ④
D
（2）如图，
E
、F
分别为正方体的面
ADD
1
A
1
、面
BCC
1
B
1
的中心，则四边形
BFD
1
E
在该 正方体
的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都填上）.
．


【范例导析】
例1．下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）

（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
（1）中将 两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交
于一点。
例 2．
?A
?
B
?
C
?
是正△
ABC
的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若
?A
?
B
?
C
?
的面积为
3
，那么△
ABC
的面积为_____________ __。
解析：
26
。
点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于 建立实物图元素与直观图元素之间的对
应关系。特别底和高的对应关系。
例3．（1）画出下列几何体的三视图




（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状










分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：







（2）该几何体为一个正四棱锥。
点评：画三视图之前，应把几何体的 结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视
图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮 廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚
线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视 图反映物体的主要形状特征，
主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体 的长要相等。左
视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。
【反馈演练】

1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆 柱的全面积与侧面积的比是
1?2
?
。
2
?
2．如图，一 个底面半径为
R
的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为
r
的实心铁 球，
水面高度恰好升高
r
，则
R
23
=。
3
r

解析：水面高度升高
r
，则圆柱体积增加π
R
·
r
。恰好是半径为
r
的实心铁球的体积，因此
有
2
4
3
R23
23
2
π
r
=π
Rr
。故
?
。答案为。
3
3
r3
点评：本题主要 考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3．在△
ABC
中，
AB
=2，
BC
=1.5，∠
ABC
=120°（如图所示 ），若将△
ABC
绕直线
BC
旋转
一周，则所形成的旋转体的体积是
3
?
。
2
F、G、H
分别是
AB、BC、CD、 DA
4．空间四边形
ABCD
中，
AC?8
，
BD?12< br>，
E、
边上的点，且
EFGH
为平行四边形，则四边形
EFG H
的周长的取值范围是
_
(16,24)

_。
P
5．三棱锥
P?ABC
中，
PC?x
，其余棱长均为1。
（1）求证：
PC?AB
；
（2）求三棱锥
P?ABC
的体积的最大值。
解：（1）取
AB< br>中点
M
，∵
?PAB
与
?CAB
均为正三角形，
∴
AB?PM,AB?CM
，
∴
AB?
平面
PCM
。
∴
AB?PC
(2)当
PM?
平面
ABC
时，三棱锥的高为
PM
，
1
此时
V
max
?
1
3
S
?AB C
?PM?
3
?
3
4
A
M
B
C
?
3
2

?
1
8
6．已知圆 锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O
1
且平行于母线AB的平面所截，
若截 面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为
l
，
由题意得：
?
l?2
?
R
,
R1
即
cosACO
1
??
,
l2
0
所以母线和底面所成的角为
60.



(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，

其中O为截面与AC的 交点，则OO
1
AB且
OO
1
?
1
AB.

2
在截面MON内，以OO
1
所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，
2
则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x=－2py，
2
点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R=－2p（－R），
得：R=2p，
l
=2R=4p.
∴圆锥的全面积为
?
Rl?
?
R


< br>2
?8
?
p
2
?4
?
p
2
?12
?
p
2
.
说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.
第2课 平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图 形想象它们
之间的位置关系。
2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。
3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。
（1）∵
A ?
?
,B?
?
，∴
AB?
?
． （2）∵
a?
?
,a?
?
，∴
?
?
?
?a
．
（3）∵
A?a,a?
?
，∴
A?
?
． （4）∵
A?a,a?
?
，∴
A?
?
．
2．下列推断中，错误的是 （4） 。
（1）
A?l,A?
?
,B?l,B?
?
?l?
?

（2）
A,B,C?
?
,A,B,C?
?
，A,B,C不共线
?
?
,
?
重合
（3）
A?
?
,A?
?
,B?
?
,B?
?
?
?
?
?
?AB

（4）
l?
?
,A?l?A?
?

3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）
（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）
（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）
（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
A
1
B
1
A
B
C
D
1
C
1
E
D
4．如右图，点E是正 方体
ABCD?A
则过点E与直线
AB
和
B
1
C< br>11
BC
11
D
1
的棱
DD
1
的中 点，

都相交的直线的条数是： 1 条
5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A?a，D?a，B?b，E?c
求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于?，则点A、E、B、D都在平面_ _内
?A?a，D?a，∴__?γ. ?P?a，∴P?__.
?P?b，B?b，P?c，E?c ∴_ _??， __??，这与____矛盾

∴BD、AE__________
答案：假设BD、AE共面于?，则点A、E、B、D都在平面 ? 内。
∵A?a，D?a，∴ a ??. ∵P?a，P? ? .
∵P?b，B?b，P?c，E?c. ∴ b ??，c ??，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线

【范例导析】
例1．已知
ABCD
，从平面
AC
外一点
O
引向量
?
O

D

A

B

? ????????????????????????????????
OE?kOA,OF?KOB, OG?kOC,OH?kOD
，
（1）求证：四点
E,F,G,H
共面；（ 2）平面
AC

平面
EG
．
分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，
也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
C

H

E

G

F

????????????
解：法一：（1）∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AC?AB?AD
，
????????????
∵
EG?OG?OE
，
??????? ?????????????????????
?k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k (AB?AD)
?????????????????????????????????
?k (OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE

????????
?EF?EH
∴
E,F,G,H
共面；
????????
????????????????????????
（2）∵
EF ?OF?OE?k(OB?OA)?k?AB
，又∵
EG?k?AC
，
∴
EFAB,EGAC

所以，平面
AC
平面
EG
．
????????????< br>????????????????
法二：（1）
?
EF?OF?OE
OE?kOA,OF?KOB,

????????????????
∴
EF?k(OB?OA)?kAB

∴
EFAB
同理
HGDC
又
ABDC
∴
EFHG

∴
E,F,G,H
共面；
（2）由（1）知：
EFAB
，从而可证
EF面ABCD

同理可证
FG面ABCD
，所以，平面
AC
平面
EG
．
点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。
例2．已知空间四边形ABCD.
(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;
( 2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状 ;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.
分析：证明两条直线异面通常采用反证法。
证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，
所以A、B、C、D四点共面
这与空间四边形ABCD的定义矛盾
所以对角线AC与BD是异面直线
(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EFA C,且EF=
同理HGAC,且HG=
1
AC.
2
1
AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
2
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FGBD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
o
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
点评：在空间四边形中我 们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别
是遇到等腰三角形的时候。
例3．如图，已知E，F分别是正方体
ABCD?A
1
BC
11
D< br>1
的棱
AA
1
和棱
CC
1
上的点，且
AE?C
1
F
，求证：四边形
EBFD
1
是平行四边形
简证：由
AE?C
1
F
可以证得
?ABE
≌
?C
1
D
1
F

所以
BE?D
1
F
又可以由正方体的性质证明
BED
1
F

所以四边形
EBFD
1
是平行四边形
D
1
A
1
E
A
B
1
D

C
1
F
C
B
例4：如图，已知平面
?
,< br>?
，且
?
?
?
?AB,PC?
?
,PD?< br>?
,C,D
是垂足．
（Ⅰ）求证：
AB?
平面
PCD
；
（Ⅱ）若
PC ?PD?1,CD?2
，试判断平面
?
与平面
?
的位置关系，并证明 你的结论．
解：（Ⅰ）因为
PC?
?
,AB?
?
，所以< br>PC?AB
．
同理
PD?AB
．
又
PC?PD?P
，故
AB?
平面
PCD
． （Ⅱ）平面
?
?
平面
?
。证明如下：设
AB
与 平面
PCD
的交点为
H
，
连结
CH
、
D H
．因为
AB?
平面
PCD
，所以
AB?CH,AB?DH
，
?
C
B
P
?
D
A

所以
?CHD
是二面角
C?AB?D
的平面角．
又
PC?PD?1,CD?2
，所以
CD?PC?PD?2
，即
?CPD?9 0
．
在平面四边形
PCHD
中，
?PCH??PDH??CPD?90
，
0
所以
?CHD?90
．故平面
?
?
平面
?
．
0
2220
【反馈演练】
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60? （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使 △ABC的三个顶点到α的距离相等，这
样的平面共有 4 个。
3．给出以下四个 命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点
在平面外，则该直线在平面 外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c
共面；（4）两两相交的三条直线 共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。

C

4．如图，已知
?
?
?
?l,A?l,B?l,
（A,B不重合）
A
B
β
l

过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。
D
求证：AC和BD是异面直线。
α
证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，
设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是异面直线。


第3课 空间中的平行关系
【考点导读】
1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2 ．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多
是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】 < br>1．若
a、b
为异面直线，直线
c
∥
a
，则
c
与
b
的位置关系是 异面或相交
2．给出下列四个命题:
。

①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线
l
1
,l
2与同一平面所成的角相等,则
l
1
,l
2
互相平行.
④若直线
l
1
,l
2
是异面直线,则与
l
1
,l
2
都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是 4 个。
．
3．对于任意的直线
l
与平面
a
,在平面
a
内必有直线
m
,使
m
与
l
垂直 。
4. 已知
a
、
b
、
c
是三条不重合的直线，α、 β、
r
是三个不重合的平面，下面六个命题：
①
a
∥
c< br>，
b
∥
c
?
a
∥
b
；②
a
∥
r
，
b
∥
r
?
a
∥
b
；③α∥
c
，β∥
c
?
α∥β；
④α∥
r
，β∥
r
?
α∥β；⑤
a
∥
c
，α∥< br>c
?
a
∥α；⑥
a
∥
r
，α∥
r< br>?
a
∥α．
其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】
例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．
求证：AB∥平面EFG．
证明 ：∵面EFGH是截面．
∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．
∴EH 面ABC，GF 面ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面EFG．
例2． 如图，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，点N在BD上，点M在B
1
C上，并且CM=DN.
求证:MN∥平面AA
1
B
1
B.
分析：“线线平行”、 “线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种
转化方式。
简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面
ABB
1
A
1
内找一条直线与
MN
平行，如图所示作平行线即可。
法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连
CN
并延长交直线
BA
于 点
P
，
连
B
1
P
，就是所找直线，然后再设法证 明
MN
∥
B
1
P
.
法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M作MQBB
1
交BC 于B
1
，连NQ,则平面MNQ与平面
ABB
1
A
1
平行，
从而证得
MN
∥平面
ABB
1
A
1
.
A
1
D
N
A
E
F
B
D
1
C
1
B
1
M
C

点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
【反馈演练】
1．对于平面
?
和共面的直线
m
、
n,
下列命题中真命题是（3）。
（1）若
m?
?
,m?n,
则
n∥
?
（2）若
m∥
?
,n∥
?
,
则
m∥n
< br>（3）若
m?
?
,n∥
?
,
则
m∥n
（4）若
m
、
n
与
?
所成的角相等，则< br>m∥n

2. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。
（1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
（2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
（4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
3．关于直线
a
、< br>b
、
l
及平面
M
、
N
，下列命题中正确的是 （4） 。
（1）若
a
∥
M
，
b
∥
M
，则
a
∥
b
（2）若< br>a
∥
M
，
b
⊥
a
，则
b
⊥
M

（3）若
aM
，
bM
，且
l
⊥
a
，
l
⊥
b
，则
l
⊥
M
（4）若
a
⊥
M
，
a
∥
N
， 则
M
⊥
N

4．“任意的
a?
?
，均有< br>a
?
”是“任意
b?
?
，均有
b
?
”的 充要条件 。
5.在正方体AC
1
中，过A
1
C且平行于AB的截面是 面A
1
B
1
CD .
6．在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，经过其对角线BD< br>1
的平面分别与棱AA
1
,CC
1
相交于E,F两点，
则四边形EBFD
!
的形状为 平行四边形 。
7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，
求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ
?
平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如图，已知
P
是平行四边形
ABCD
所在平面外一点，
M
、
N
分别是
AB
、
P C
的中点
N?BC
（1）求证：
MN
平面
PAD
； （2）若
M?4
，
PA?43
， 求异面直线
PA
与
MN
所成的角的大小
略证：（1）取PD的中点H，连接AH，
1

?NHDC,NH?DC

2
P
H
D
A
B
N
C
?NHAM,NH?AM?AMNH
为平行四边形
?MNAH,MN?PAD,AH?PAD
?MNPAD

M
(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等
于 PA的一半，所以
?ONM
就是异面直线
PA
与
MN
所成的 角，由
MN?BC?4
，
PA?43
得，OM=2，ON=
23
所以
?ONM?30
，即异面直线
PA
与
MN
成
30
的角
00

9．两个全等的正方形
ABCD
和
ABEF
所在平面相交于
AB
，
M
∈
AC
，
N
∈
FB
，且
AM
=
FN
，求证：
MN
∥平面
BCE。

证法一：作
MP< br>⊥
BC
，
NQ
⊥
BE
，
P
、
Q
为垂足，
则
MP
∥
AB
，
NQ
∥
AB
。
D
∴
MP
∥
NQ
，又
AM
=
NF
，
AC
=
BF
，
M
∴
MC
=< br>NB
，∠
MCP
=∠
NBQ
=45°
∴Rt△
MCP
≌Rt△
NBQ

A
∴
M P
=
NQ
，故四边形
MPQN
为平行四边形
N
∴
MN
∥
PQ

F
∵
PQ?
平面
BCE
，
MN
在平面
BCE
外，
∴
MN
∥平面
BCE
。
证法二：如图过
M
作
MH
⊥
AB
于
H
，则
MH
∥
BC
，
∴
C
P
B
Q
E
AMAH

?
ACAB
FNAH

?
BFAB
D
M< br>C
连结
NH
，由
BF
=
AC
，
FN
=
AM
，得
∴ NHAFBE
由MHBC, NHBE得:平面MNH平面BCE
∴
MN
∥平面
BCE
。
A
F
H
N
E
B

第4课 空间中的垂直关系
【考点导读】
1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定 理，并能用它们证明和解决有关
问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚 它们之间的关系，学会互相转化，善
于利用转化思想。
【基础练习】
1．“直线< br>l
垂直于平面
?
内的无数条直线”是“
l⊥
?
”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关
系是 平行、相交或在另一个平面内 。
5．在正方体
ABCD?A
1
BC< br>11
D
1
中，写出过顶点A的一个平面__AB
1
D
1
_____，使该平面与正
方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确 的一个平面即可，不必考虑
所有可能的情况)。
【范例导析】
例1．如图,在四棱 锥
P
—
ABCD
中,底面
ABCD
是正方形,侧棱
PD
⊥底面
ABCD
,
PD
=
DC
,
E< br>是
PC
的中点,作
EF
⊥
PB
交
PB
于点
F
.
（1）证明
PA
平面
EDB
； （2）证明
PB
⊥平面
EFD
.
解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象

P

能力和推理论证能力.
证明：（1）连结
AC
,AC
交
BD
于
O
,连结
EO
.
∵底面
ABCD
是正方形,∴点
O
是
AC
的中点
F

D

E

C

A

B

在
?PAC
中,
EO
是中位线,∴
PA

EO

而
EO?
平面
EDB
且
PA?平面
EDB
,
所以,
PA
平面
EDB

（2）∵
PD
⊥底面
ABCD
且
DC?
底面
ABCD
,∴
PD?DC

∵
PD
=
DC
,可知
?PDC
是等腰直角三角形,而
DE
是斜边
PC
的 中线,
∴
DE?PC
. ①
同样由
PD
⊥底面< br>ABCD
,得
PD
⊥
BC
.
∵底面
ABC D
是正方形,有
DC
⊥
BC
,∴
BC
⊥平面
PDC
.
而
DE?
平面
PDC
,∴
BC?DE
. ②
由①和②推得
DE?
平面
PBC
. 而
PB?
平面
PBC
,∴
DE?PB

又
EF?PB
且
DE?EF?E
,所以
PB
⊥平面
EFD.
例2．如图，△
ABC
为正三角形，
EC
⊥平面
ABC
，
BD
∥
CE
，
CE
＝
CA
＝2
BD
，
M
是
EA
的中点，
求证：（1）
DE
＝
DA
；（2）平面
BDM
⊥平面
ECA
；
（3）平面
DEA
⊥平面
ECA
。
分析：（1）证明
DE
＝
DA
，可以通过图形分割，证明△
DEF
≌△
DBA
。（2）证
明面面 垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知
DM
⊥
EA
，取
AC
中
点
N
，连结
MN
、
NB
，易得四边形
MNBD
是矩形。从而证明
DM
⊥平面
ECA
。

证明：（1）如图，取
EC
中点
F
，连结
DF
。
∵
EC
⊥平面
ABC
，
BD
∥
CE
，得
DB
⊥平面
ABC
。
∴
DB
⊥
AB
，
EC
⊥
BC
。
∵
BD
∥
CE
，
BD
＝
1
CE
＝
FC
，
2
则四边形
FCBD
是矩形，
DF
⊥
EC
。
又
BA
＝
BC
＝
DF
，∴
Rt
△
DEF
≌
Rt
△
ABD
，所以
DE
＝
DA
。
（2）取
AC
中点
N
，连结
MN
、
NB
，
∵
M
是
EA
的中点，∴
MN

由
BD

1
EC
。
2
1
EC
，且
BD
⊥平面
ABC
，可得四边形
MNBD
是矩形，于是
DM
⊥
MN
。
2
∵
DE
＝
DA
，
M
是
EA
的中点，∴
DM
⊥
EA
．又
EA

?
MN
＝
M
，
∴
DM
⊥平面
ECA
，而
DM

?
平面
BDM
，则平面
ECA
⊥平面
BDM
。
（3）∵
DM
⊥平面
ECA
，
DM

?
平面
DEA
，
∴ 平面
DEA
⊥平面
ECA
。

点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3．如图，直三棱柱< br>ABC
—
A
1
B
1
C
1
中，
AC
＝
BC
＝1，
∠
ACB
＝90°，
AA
1
＝
2
，
D
是
A
1
B
1
中点．
（1） 求证
C
1
D
⊥平面
A
1
B
；（2）当点
F
在
BB
1
上什么位置时，
会使得
AB
1
⊥平面
C
1
DF
？并证明你的结论。
分析：（1）由于
C
1
D
所在平面
A
1
B
1
C
1
垂直平面
A
1
B
，只要证明
C
1
D
垂直交线
A
1
B
1
，由直线
与平面垂直判定定理可得
C
1
D
⊥平面
A
1
B
。（2）由（1）得
C
1
D
⊥
AB
1
，只要过
D
作
AB
1
的
垂线，它与
BB
1
的交点即为所求的
F
点位置。
证明：（1）如图，∵
ABC
—
A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，
∴
A
1
C
1
＝
B
1
C
1
＝1，且∠
A
1
C
1
B
1
＝90°。又
D
是
A
1
B
1
的中点，
∴
C
1
D
⊥
A
1
B
1
.∵
AA
1
⊥平面
A
1
B
1
C
1
，
C
1
D

?
平面
A
1
B
1
C
1
，
∴
AA
1
⊥
C
1
D
，∴
C
1
D
⊥平面
AA
1
B
1
B
。
（2）解：作
DE
⊥
AB
1
交
AB
1
于
E
，延长
DE
交
BB
1
于
F
，连结
C
1
F
，则
AB
1
⊥
平面
C
1
DF
，点
F
即为所求。
∵
C
1
D
⊥平面
AA
1
BB
，
AB
1

?
平面
AA
1
B
1
B
，
∴
C
1
D
⊥
AB
1
．又
AB
1
⊥
DF
，
DF

?
C
1
D
＝
D
，∴
AB
1
⊥平面
C
1
DF
。
点评：本题（1）的证明中，证得
C
1
D
⊥
A
1
B
1
后，由
ABC
—
A
1
B
1
C
1
是直三棱柱知平面
C
1
A
1
B
1
⊥
平面
AA
1
B
1
B
，立得
C
1
D
⊥平面
AA
1
B
1
B
。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法
分析问题。
【反馈演练】
1．下列命题中错误的是 （3） 。
（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设
x,y,z
是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
x?z
，且
y?z,则xy
”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号）
①
x
为直线，
y
，
z
为平面 ②
x
，
y
，
z
为平面
③
x
，
y
为直线，
z
为平面 ④
x
，
y
为平面，
z
为直线
⑤
x
，
y
，
z
为直线
3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有___4__个。
4．若
AB的中点
M
到平面
?
的距离为
4cm
，点
A到平面
?
的距离为
6cm
，则点
B
到平面
?< br>
的距离为_2或14________
cm
。
5．命题
A
：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题
A
的等价命题
B
可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。

答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等??）
6．α、β是两个不同的平面，
m
、
n
是平面α及β之外的两条不同 直线.给出四个论断：
①
m
⊥
n
②α⊥β ③
n
⊥β ④
m
⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论 断作为结论，写出你认为正确的一
．
个
．
命
题： 。
答案：
m
⊥α，
n
⊥β，α⊥β
?
m
⊥
n
或
m
⊥
n
，
m
⊥α，
n⊥β
?
α⊥β
7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD， SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=
2a
，在
线段SA上取一点E（不含 端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
CD
的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明.
AB
解：（1）∵
CD
∥
AB
，
AB
?
平面
SAB
∴
CD
∥平面
SAB
（2）设SB的中点为M，当
面
EF CD
∩面
SAB
=
EF
，
∴
CD
∥
EF
∵
?D?90
0
,?CD?AD,

又
SD?
面
ABCD

∴
SD?CD

?CD?
平面SAD，∴
CD?ED
又
EF?AB?CD

?EFCD
为直角梯形
S
E
D
AB
F
M
C
CD
?2
时，
?DMC
为直角三角形 . (2) 当
AB
?AB?a,?CD?2a,BD?AB
2
?AD
2
?2a,?BDC?45
0

?BC?2a,BC?BD
,
?SD ?
平面
ABCD,?SD?BC,?BC?
平面
SBD
.
在
?SBD
中，
SD?DB,M
为
SB
中点，
?M D?SB
.
?MD?
平面
SBC,MC?
平面
SBC,

?MD?MC??DMC
为直角三角形。


















应用





二元一次不等式组
解法
基本不等式
应用
证明
不
等
式
一元二次不等式
应用
几何意义

【方法点拨】
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是 解、证不等式的基础，两个正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和 解决有关不等式
的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念 和
性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式
和 求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数
等知识的综合， 综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.
1. 掌握用基本不等式求解最值问 题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式
求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这 三个条件。
2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次 不
等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作 为最优化方法之一又与人们日常生活密切相
关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组， 能解决简单的线性规划问
题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。







第1课 基本不等式

【考点导读】
1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。
2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。
【基础练习】
a
2
?b
2
1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分
2
条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)
2.
a?b?1,b?c?2, c?a?2,则ab?bc?ca
的最小值为
222222
1
?3

2
?
3.已知
x,y?R
，且
x?4y?1
，则< br>x?y
的最大值为
1

16
4.已知
lgx?lgy?1
，则
【范例导析】
52
?
的最小值是2
xy

例1.已知< br>x?
5
1
，求函数
y?4x?2?
的最大值.
4
4x?5
分析：由于
4x?5?0
，所以首先要调整符号.
解：∵
x?
∴y=4x-2+
5
∴
5?4x?0

4
1
1
??
=
?
?
5?4x?
?
?3
≤-2+3=1
4x?5
5?4x
??
当且仅当5?4x?
1
，即x=1时，上式成立，故当x=1时，
y
max
?1
.
5?4x
例2.（1）已知a，
b
为正常数，x、y为正 实数，且
ab
+=1
，求x+y的最小值。
xy
（2） 已知x?0，y?0
，且
x?2y?xy?30
，求
xy
的最大值．
分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用
基本 不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于
xy
的不
等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式：
x+y=(x+y)(
abbxay
+)=a+b++
≥
xyyx
?
aybx
?
x
=
y
?
?
x=a+ab< br>?
，即
?
时等号成立
a+b+2ab
当且仅当
?< br>ab
?
?
+=1
?
y=b+ab
?
?
xy
法二：
由
abay
+=1
得
x=

xyy-b
aya(y?b)?ab
?y??y
y?by?b
< br>abab
?a??y??(y?b)?a?b
y?by?b
?x?y?
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由
ay
>0得y-b>0 ∴ x+y≥
2ab+a+b

y-b
?
ab
?
y-b
=y-b
?
?
y=b+ab
?
当且仅当
?
，即
?
时，等号成立
?
?
a
+
b
=1< br>?
x=a+ab
?
?
xy
（2）法一：由
x?2y? xy?30
，可得，
y?
30?x
　(0?x?30)
．
2?x

30x?x
2
?(2?x)
2?34(2?x)?64
64
??
xy??

?34?
?
(x?2)?

?
2?x2?x
x?2
??
注意到
(x?2)?
当且仅当
x?2?
最大值为18．
法二：
?x,y?R
?
，
?x?2y?22xy?22?xy
，
代入
x?2y?xy?30
中得：
22?xy?xy?30

解此不等式得
0?xy?18
．下面解法见解法一，下略．
点拨：求条件最 值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的
方法，也可考虑通过变形直接 利用基本不等式解决.

【反馈练习】
1.设a＞1,且
m?log< br>a
(a
2
?1),n?log
a
(a?1),p?loga
(2a)
,则
m,n,p
的大小关系为m＞p
＞n
2.已知下列四个结论：
?
①若
a,b?R,
则
b
?
a
?2
b
?
a
?2
； ②若
x,y?R
,则
lgx?lgy?2lgxlgy
；
6464
?2(x?2)??16
．可得，
xy?18
．
x?2x?2
64
，即
x?6
时等号成立，代入
x?2y?xy?3 0
中得
y?3
，故
xy
的
x?2
abab
③若
x?R
?
,
则
x?
4
??2x?
4< br>??4
； ④若
x?R
?
,
则
2
x
?2
?x
?22
x
?2
?x
?2
。
xx
其中正确的是④
3.已知不等式
(x?y)(?
1
x
a
)?9
对任意正实数
x,y
恒成立，则正实数
a
的最小值为6
y
x
2
?y
2
4.（1）已知：
x ?y?0
，且：
xy?1
，求证：
?22
，并且求等号成立的条件 ．
x?y
xy
（2）设实数x，y满足y+x
2
=0，0log
a
a+a
≤
log
a
2?
? ?
1
。
8
解： （1）分析：由已知条件
x，y?R
?< br>，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有
x?y
，无法利用
x?y?2 xy
，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现
(x?y)?
1
型，再 行论证．
(x?y)
证明：
?x?y?0,?x?y?0.又?xy?1,

2
x
2
?y
2
(x?y)
2
?2xy
2
?(x?y)?
??
?2(x?y)??22.等号成立
x?y
x?yx?y
(x?y)
当且仅当
(x?y) ?
2
时．
?(x?y)
2
?2,x?y?2,x
2
?y
2
?4.

(x?y)
6?26?2

,y?
22
?xy?1,?(x?y)
2
?6,
?x?y?6.
由 以上得
x?
6?26?2
时等号成立．
,y?
22
即当< br>x?
说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，< br>这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要
注意灵 活运用均值不等式．
（2）∵
a?a
≥
2a
xy
x?y
?
x?x
2
2a
2
?
111
?(x?)< br>2
?
2a
228
，
?
111
1
(x?)
2
?
≤，0228
8
111
?(x?)
2
?
2a
228∴ ≥
2a
∴
a
x
?a
y
≥
2a

1
(2a
8
1
8
1
8
∴
log
a
(a?a)
≤
log
a


xy
)?log
a
2?
1

8






第2课 一元二次不等式
【考点导读】
1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。
2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题.
【基础练习】
1.解不等式：
1
2
3
x?x??0

22
1
2
3
2
（3）
?
x?1
??
x?3
?
?2x ?x?2
（4）
?4??x?x???2


22
2
2
解：（1）原不等式化为
3x?4x?4?0
，解 集为
??x?2

3
（1）
?3x?4x?4?0
（2）
2

2
（2）原不等式化为
x?2x?3?0
，解集为R
（3）原不等式化为
x?x?1?0
，解集为
?

2
3
?
1
2
x?x??4
?
?
x
2
?2x?1?0
1
2
3
?
2
?
2
,得< br>?
2
（4）由
2?x?x??4,得
?

13
22
?
?
x?2x?5?0
?
x
2
?x??2< br>?
?22
?
?
x?2?1或x??2?1
得
?
,

?
?
?6?1?x?6?1
?x?(?6 ?1,?2?1)?(2?1,6?1)

点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、 对应方程
?
的判断、以及对应方程两根
大小的比较.
2. 函数
y ?
?
log
1
(x
2
?1)
的定义域为
?
?
?2,?1
?
1,2
?

2
??
3..二次函数y=ax
2
+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：



x
y
-3
6
-2
0
-1
-4
0
-6
1
-6
2
-4
3
0
4
6
则不等式ax
2
+bx+c>0的解集是
(??,?2)?(3,??)

4.若不等式
x?bx?c?0
的解集是
{xx?3或x??1}
，则b=__-2___ _ c=__-3____.
【范例导析】
例.解关于ｘ的不等式
2
a(x?1)
?1(a?1)

x?2
分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.

解:原不等式等价于
(a?1)x?(a?2)
?0
∵
a?1
∴等价 于：
x?2
a?2
?
?
a?1
?
?
?< br>x?
?
a?1
??
?0
（*）
x?2
a?2
a?1
>0∵
a?2
?1?
1
<１∴x<
a?2
或x>２ a>１时，（*）式等价于
a?1
a ?1a?1
x?2
a?2
x?
a?1
<0由２－
a?2＝
a
知： a<１时，（*）式等价于
a?1a?1
x?2
x?

a?2a?2
>２，∴２a?1a?1
a?2a?2
当a<0时，<２，∴a?1a?1
a?2
当a
＝
0时，当＝２，∴x∈φ
a? 1
当0a?2
，2）；当a
＝
0时，原不等式的解集< br>a?1
a?2
为φ；当0１时，原不等 式的解集为（－
a?1
a?2
∞，）∪（2，＋∞）。
a?1
综上 所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字 母分类讨论,要做到不重不漏.

【反馈练习】
1.若关于x的不等式
a x
2
?ax?a?1?0,
的解集为R，则
a
的取值范围是
?
??,0
?

2.不等式
ax?bx?2?0
解集为
?
3.若函数f(x) =
2
2
11
?x?
，则ab值分别为-12，-2
23，
2
x?2ax?a
?1
的定义域为R，则
a
的取值范 围为
?
?10
?

4.已知M是关于x的不等式2x
2+(3a－7)x+3＋a－2a
2
<0解集，且M中的一个元素是0，求
实数a 的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由
x?0
适合不 等式故得
(a?1)(2a?3)?0
，所以
a??1
，或
a?若
a??1
，则
?2a?3?
3
.
2
a?1
a?15
?(?a?1)?5
，∴
3?2a?
，
22
2
a?1
?x?3?2a}
； 此时不等式的解集是
{ x|
2
a?1
3a?155
?(?a?1)??
，∴
3?2 a?
若
a?
，由
?2a?3?
，
2224
2
a?1
}
。 此时不等式的解集是
{x|3?2a?x?
2

第3课 线性规划
【考点导读】
1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域， 能由给定的平
面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.
2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究
代数问题的思想.
【基础练习】

1.原点（0,0）和点P（1,1）在直线
x?y?a?0
的两侧，则a的取值范围是02. 设集合
A
则
A
所表示的平面区域(不含边
＝(x,y)|x,y,1?x?y是三角形的三边长< br>，
界的阴影部分)是( A )
1
y
??
1
y
1
y
1
y
1
2
1
2
1
2
1
2
o
1
2
2

A B C D
1
x
o
1
2
1
x
o
1
2
1
x
o
1
1
x

3.下面给出四个点中，位于
?
Ａ．
(0，2)

?
x?y?1?0，
表示的平面区域内的点是（ C ）
?
x?y?1?0
Ｃ．
(0，?2)
Ｄ．
(2，0)
Ｂ．
(?2，0)

4.由直线x+y+2=0
，
x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为
?
x?y?2?0
?
?
x?2y?1?0

?2x?y?1?0
?
5.在坐标平面上，不等式组
?
【范例导析】
?
y?x?1
所表示的平面区域的面积为
3

2
?
y??3x?1
?
x?4y??3
?
例1.设x,y满足约束条件< br>?
3x?5y?25
,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。
?< br>x?1
?
分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化 为一族平行
直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距< br>的最大值与最小值问题.
解：先作出可行域，如图所示中
?ABC
的区域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1,
22
)

5
例1图

作出直线L
0
：6x+10y=0，再将直线L
0
平移
当L
0
的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值

当L
0
的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值
所以z
min
=16;z
max
=50
点拨：几个结论： (1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能
在边界处取得。
（ 2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上
的截距或其相 反数。

?
x?y?2?0
?
例2.已知
?
x? y?4?0
，
?
2x?y?5?0
?
（1） 求
z?x?2y
的最大和最小值。
（2） 求
z?
y
的取值范围。
x
（3） 求
z?x
2
?y
2
的最大和最小值。
解析：注意目标函数是代表的几何意义.
解：作出可行域。
（1）
z?x ?2y?y??
1z1z
x?y?4?0
x?
，作一组平行线l：
y ??x?
，解方程组
{
2x?y?5?0
2222
得最优解B（3， 1），
?z
mni
??3?2?15
x?y?2?0
。解
{
2x?y?5?0
得最优解C（7，9），
?z
x
??29?25< br>ma
?7

（2）
z?
y
?
y?0
表示可行域内的点（x,y）与（0，0）的连线的斜率。从图中可得，
xx?0
k?z?k< br>OBOA
，又
k
1
，
?
1
?z?3
。
?3,k?
OAOB
3
3
2222
（3）
z? x?y?(x?0)?(y?0)
表示可行域内的点（x,y）到（0，0）的距离的平
方。从 图中易得，
z
OF?
0?0?4
2
（OF为O到直线AB的距离），
z
?OF
2
，
?OC
2
。
min
max
2
?8,OC
2
?130
，
?z
?22，
OF
max
?130
，
z
min
?8
。
点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的
取值范围.
例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广 告总费
用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为
500
元分钟和200元 分钟，规定甲、
乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0. 2万
元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益
是多少万元？

分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1） 设出变量，列出约束条件及目标
函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系
z?3000x ?2000y
的运动，求出目标函数的
最值.
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广 告的时间分别为
x
分钟和
y
分钟，总收益为
z
元，由
?
x?y≤300，
?
题意得
?
500x?200y≤90000 ，

?
x≥0，y≥0.
?
目标函数为
z?3000x?2 000y
．
y
500
400
?
x?y≤300，< br>?
二元一次不等式组等价于
?
5x?2y≤900，

?
x≥0，y≥0.
?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线
l:3000x?2000y?0
，
300
l 200
100
M
0 100 200 300
x
即
3x?2y?0
．
平移直线
l
，从图中可知，当直线< br>l
过
M
点时，目标函数取得最大值．
联立
?
例3
?
x?y?300，
解得
x?100，y?200
．
?
5x?2y?900.
200)
．
?
点
M的坐标为
(100，
?z
max
?3000x?2000y?70000 0
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收 益最大，最
大收益是70万元．

【反馈练习】
?
x?y?5≥ ?，
?
1.不等式组
?
y≥a，
表示的平面区域是一个三角形，则< br>a
的取值范围是
5≤a?7

?
0≤x≤2
?
?
x?2?0,
?
2.已知点P（x，y）在不等式组
?
y?1? 0,
表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值
?
x?2y?2?0
?范围是[－1，2]

?
x?y?5,
?
3x ?2y?12,
?
3.设
x
、
y
满足约束条件
?< br>则使得目标函数
z?6x?5y
的最大的点
(x,y)
是
?< br>0?x?3,
?
?
0?y?4.
（2,3）．
?
x ?y≥2，
?
4.已知实数
x，y
满足
?
x?y≤2，则
z?2x?y
的取值范围是
?
?5，7
?

?
0≤y≤3，
?

5.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、 C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出
该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该 区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值
和最小值.
分析：本例含三个问题：①画指 定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以
所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最 值
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域
直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC内取一点P（1，1），
分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线 系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=
当直线y=
3
x，观察图形可知：< br>2
第10题
311
x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大， t
max
=3×3－2×（－1）
222
311
=11；当直线y= x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为t
min
=
222
3×（－1）－2×1=－5
因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y －1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，
最小值为－5
。

第4课 不等式综合
【考点导读】
能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解 决有关数学问题和实际问题，如最值问
题、恒成立问题、最优化问题等.
【基础练习】 1.若函数
f
?
x
?
?x?
是
f
?< br>x
?
?g
?
x
?

2
2.函数f
?
x
?
?2?ax?a
在区间
?
0,1?
上恒为正，则
a
的取值范围是0＜a＜2
11
?
?
x?2
?
,g
?
x
?
?
?
??< br>x?2
?
2
?
x
2
?2
?
x?0< br>?
，则
f
?
x
?
与
g
?
x
?
的大小关系
??
3.当点
?
x,y
?
在 直线
x?3y?2?0
上移动时，
z?3?27?1
的最小值是7
xy
4.对于0≤m≤4的m，不等式x
2
+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值 范围是x＞3或x＜－1
【范例导析】
例1、已知集合
P?
?
, 2
?
，函数
y?log
2
ax?2x?2
的定义域为Q < br>?
2
?
（1）若
P?Q?
?
，求实数a的取值范围。
?
1
?
?
2
?
（2）若方程
log
2
ax?2x?2?2
在
?
,2
?
内有解，求实数a的取 值范围。
2
分析：问题（1）可转化为
ax?2x?2?0
在
?< br>,2
?
内有有解；从而和问题（2）是同一类
2
型的问题，既可以直接 构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.
2
解：（1）若
P?Q?
?，
?ax?2x?2?0
在
?
,2
?
内有有解
?a??
2
?

x
x
?
2
?
2
?
2
?
?
1
?
??
?
1?
??
?
1
?
22
1
?
221
?
1
??
?
11
?
令
u??
2
???2
?
?
?
?
当
x?
?
,2< br>?
时，
u?
?
?4,
?

2
?x2
x
?
2
??
?
x2
?
所以a>- 4,所以a的取值范围是
aa??4

2
（2）方程
log
2
ax?2x?2?2
在
?
,2
?
内有解， 则
ax?2x?2?0
在
?
,2
?
内有解。
22
2
??
??
?
1
?
??
2
?1
?
??

2
22
?
11?
1
?a?
2
??2
?
?
?
?

x
x
?
x2
?
2
当
x??
,2
?
时，
a?
?
,12
?
22
所以
a?
?
,12
?
时，
log
2
ax
2
?2x?2?2
在
?
,2
?
内有 解
22
点拨：本题用的是参数分离的思想.

例2.甲、乙两地相距skm
，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过
ckmh
，已知汽车
每 小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度
vkmh
的
．．．．．．．．
平方成正比，且比例系数为
b
；固定部分为
a
元 ．
（1）把全程运输成本
y
元表示为速度
vkmh
的函数，并指出 这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速 行驶到乙地所用的时间为
?
1
?
??
?
3
?
?
3
?
?
?
?
?
??
?
1?
??
s
h
，全程运输成本为
v
ssaa
y ?a??bv
2
??s(?bv)
．故所求函数为
y?s(?bv)
，定义域为
v?(0，c)
．
vvvb
（2）由于
s、a、b、v
都为正数，
故有
s( ?bv)?s?2
a
v
a
a
?bv
，即
s(?bv )?2sab
．
v
b
当且仅当
a
a
?bv
，即
v?
时上式中等号成立．
v
b
若
aa
时，全程运输成本
y
最小；
?c
时，则
v?
bb
a
a
?c
，易证
0? v?c
，函数
y?f(v)?s(?bv)
单调递减，即
v?c
时，
v
b
当
a
y
min
?s(?bc)
．
c
综上可知，为使全程运输成本
y
最小，
在
aa
?c
时，行驶速度应为
v?
；
bb

在
a
?c
时，行驶速度应为
v?c
．
b
点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数
学知识、思想和方法 解决实际问题的一道优秀试题．


【反馈练习】
1.设
0?a ?1
，函数
f(x)?log
a
(a
2x
?2a
x
?2)
，则使
f(x)?0
的
x
的取值范围是
(0 ,??)

2.如果函数
y?log
1
(x
2
?2 x?3)
的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是
____
3
a<-1____
2
3.若关于
x
的不等式
x ?4x?m
对任意
x?[0,1]
恒成立，则实数
m
的取值范围为< br>(??,?3]

4已知二次函数f (x)=
ax
2
?bx ?1
?
a,b?R,且a?0
?
,设方程f (x)=x的两个实根为x1
和x
2
．如
果x
1
<2＜x
2
<4 ，且函数f (x)的对称轴为x=x
0
，求证：x
0
＞—1．
证明：设g(x)= f (x)—x=
ax
2
?
?
b?1
?
x?1，且a?0.，由x
1
?2?x
2
?4得g
?
2
?
?0
，且
g(4)>0，即
?
?
4a?2b?1?0,
31311
??4a?b??2a,由?4a??2a,得a?,

2428
?
16a?4b?3?0,
4
∴
2?
3b1b1
???1?,故x???1???1.

1
8a2a4a2a
4?
8