高中数学必修三《分层抽样》优秀教学设计

2．1．3 分层抽样

1．记住分层抽样的特点和步骤．(重点)
2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点)
3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易
混点)

[基础·初探]
教材整理1 分层抽样的概念
阅读教材P
60
～P
61
上半部分内容，完成下列问题．
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定
的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体 ，将各层取出的个体合在
一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2016·兰州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表：
(每名同学只参加一个小组)
(单位：人)

高一
高二
篮球组
45
15
书画组
30
10
乐器组
a
20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样
的方法，从参加 这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果蓝球组被
抽出12人，则a的值为________．
【解析】 因为
＝30．
【答案】 30
教材整理2 分层抽样的适用条件
阅读教材P
61
“探究”上面的内容，完成下列问题．
分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样
本结构与总体结构的一致性，这 对提高样本的代表性非常重要．当总
体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
分层抽样的步骤
3012
＝，所以解得a
45＋15＋30＋10＋a＋2045＋15


1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分层抽样实际上是按比例抽样．( )
(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．( )

(3)分层抽样中不能用简单随机抽样和系统抽样．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学
生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中
三个学段学生的视力情况有较大差 异，而男女视力情况差异不大．在
下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样
C．按学段分层抽样
B．按性别分层抽样
D．系统抽样
【解析】 因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有
较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C．
【答案】 C
3．有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．用
分 层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析，则抽取的一等品有
____________件．
8
【解析】 抽样为×10＝2．
10＋25＋5
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：

疑问3：
解惑：

[小组合作型]

分层抽样的概念
(1) 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入
的家庭280个，低收入的家庭 95个，为了了解生活购买力的某项指
标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后
每类抽取若干个个体构成 样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能
抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽个体数量相同
【精彩点拨】 当总体由差异明显的几部分组成时，该样本的抽< /p>

取适合用分层抽样，结合(1)中的四个选项及分层抽样的特点可对
(1)(2) 作出判断．
【尝试解答】 (1) A中总体个体无明显差异且个数较少，适合
用简单随机抽 样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用
系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽 样．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同
特征，为了保证这一点 ，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等
可能抽取．
【答案】 (1)B (2)C

1．使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区
别，而层内个体间差异较小．
2．使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各 个个
体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样 ，需遵循在各层中进行
简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[再练一题]
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴
趣与 业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学
生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) 【导学号：28750032】

A．抽签法
C．系统抽样法
B．随机数法
D．分层抽样法
【解析】 由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分
层抽样法．
【答案】 D

分层抽样的方案设计
某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10
人 ，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的
意见，要从中抽取一个容量为20的 样本，试确定用何种方法抽取，
请具体实施操作．
【精彩点拨】 观察特征→确定抽样方法→求出比例→
确定各层样本数→从各层中抽样→成样
【尝试解答】 因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分
层抽样方法较妥．
100
∵
20
＝5，
107020
∴
5
＝2，
5
＝14，
5
＝4．
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从
工人中抽取4人．
因 副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和

1～20编号，然后采用抽 签法分别抽取2人和4人；对一般干部70
人进行00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取1 4人．这样便
得到了一个容量为20的样本．

1．在分层抽样的过程中，为了保证 每个个体被抽到的可能性是
相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等
于样本容量与总体的个体数之比，即n
i
∶N
i
＝n∶N．
2．分 层后，各层的个体较多时，可采用系统抽样或简单随机抽
样取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．
[再练一题]
2．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000辆
和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46
辆进行检验 ，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________
辆、________辆．
【解析】 三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则
4611
按
9 200
＝
200
的比例抽样，所以依次应抽取1 200×
200
＝6(辆)，6 000
11
×
200
＝30(辆)，2 000×
200
＝10(辆)．
【答案】 6 30 10
[探究共研型]

分层抽样的特点

探究1 分层抽样的特点有哪些？
【提示】 (1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分
组成的；
(2)分成的各层互不交叉；
n
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即
N
，其中
n为样本容量，N为总体容量．
n
探究2 计算各层所抽取个体的个数时，若N
i
·
N
的值不是整数
怎么办？
n
【提示】 为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比
N
，
n
若N
i
·
N
的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地 剔除
多余的个体．
探究3 分层抽样公平吗？
【提示】 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与
层数、分层无关．
如果总体的个数为N， 样本容量为n，N
i
为第i层的个体数，则
N
i
n
i
1N
i
第i层抽取的个体数n
i
＝n·，每个个体被抽到的可能性是
NN
＝
N
·n·
N
ii
n
＝
N
．

三种抽样方法的特点和适用范围

探究4 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用
范围有什么异同？
【提示】 简单随机 抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样
和分层抽样中．简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无 关．
系统抽样容易实施，可节约抽样成本．系统抽样所得样本的代表
性与个体编号有关，如果 个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性
很差．
分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两
种抽样方法都具有代表性．
三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
类别 简单随机抽样 系统抽样
将总体均分成
各自特
点
从总体中逐个
抽取
几个部分，按事
先确定的规则
在各部分抽取
在起始部分采

用简单随机抽
样
分层抽样
将总体分成几
层，分层进行抽
取
在各层抽样时
采用简单随机
抽样或系统抽
样
总体由存在明
显差异的几部
分组成
相互
联系
适用
范围
总体中的个体
数较少
总体中的个体
数较多

共同点
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每
次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．

(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9
个，抽取3个；
(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，
抽取10个；
(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个；
(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个．
【精彩点拨】 应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活
使用各种抽样方法解决问题．
【尝试解答】 (1)总体容量较小，用抽签法．
①将30个篮球编号，编号为00，01，…，29；
②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，
制成号签；
③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；
④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．
(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．
3021
①确定抽取个数 ．因为
10
＝3，所以甲厂生产的应抽取
3
＝7(个)，

9
乙厂生产的应抽取
3
＝3(个)；
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮 球7个，乙厂生产的篮球3个，
这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．
①将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002，…，300；
②在随机数表中随 机地确定一个数作为开始，如第8行第29列
的数“7”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读 ；
③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳
过去不读，遇到已 经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，
这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样．
①将300个篮球用随机方式编号， 编号为000，001，002，…，
300
299，并分成30段，其中每一段包含
30
＝10(个)个体；
②在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简 单随机
抽样抽出一个(如002)作为起始号码；
③将编号为002，012，022，…，292的个体抽出，即可组成所
要求的样本．

抽样方法的选取：
(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；
(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系

统抽样． < br>当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小
时宜用随机数表法；当总体容量较 大，样本容量也较大时宜用系统抽
样；
(3)采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n 整除时，抽
N
样间隔为k＝
n
；当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单 随机
?
N
?
抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝
?
n
?
．
??
[再练一题]
3．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某学校有160名教职工，其中教师 120名，行政人员16名，
后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟
抽取一个容量为20的样本；
(3)体育彩票000 001～100 000编号中，凡彩票号码最后三位数
为345的中一等奖．
【解】
题号
(1)
(2)
(3)
判断
抽签法
分层抽样
原因分析
总体容量较小，宜用抽签法
由于学校各类人员对这一问题的看法可能差
异较大，用分层抽样
系统抽样 总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用

系统抽样

[构建·体系]


1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是( )
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6
个入样
【解析】 D中总体有明显差异，故用分层抽样．
【答案】 D
2．当前，国家正分批修建经济适用房 以解决低收入家庭住房紧
张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270

户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社
区中90户低 收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社
区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为 ( )
A．40
C．20
B．30
D．36
901
【解析】 抽样比为
＝
9
，则应从甲社区中抽取低
3 60＋270＋180
1
收入家庭的户数为360×
9
＝40，故选A．
【答案】 A
3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁
的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方
法从中抽20人，各年龄段分别 抽取的人数为( ) 【导学号：
28750033】
A．7，5，8
C．7，5，9
B．9，5，6
D．8，5，7
201
【解析】 由于样本容量与总体个体数之比为＝
100
＝
5< br>，故各年
11
龄段抽取的人数依次为45×
5
＝9(人)，25×5
＝5(人)，20－9－5＝6(人)．
【答案】 B
4．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分
层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A B C

产品数量(件)
样本容量


1 300
130


由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污 染看不清
楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，
根据以上信息，可 得C产品的数量是________件．
【解析】 抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每1 0个产品中抽取
1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产
1
品的数量是[(3 000－1 300)－100]×
2
＝800(件)．
【答案】 800
5．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人
数如下表：

女工
男工
第一车间
173
177
第二车间
100
x
第三车间
y
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是
0．15．
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间
抽取多少名？
x
【解】 (1)由
1 000
＝0．15，得x＝150．
(2 )∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是

100＋150 ＝250，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400．
m50
设应从第三车间抽取m名工人，则由
400
＝
1 000
，得m＝20．
∴应在第三车间抽取20名工人．

我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)