解题高手高中数学第六版pdf-高中数学解析几何中的变式研究
基础练习
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.已知线段
AB
所在的直线与平面
?
相交于点
B
,
且与平面
?
所成的角为
30
,
AB?23
,C
,
D
为
平面
?
内的两个动点,且
BC?1<
br>,
?BAD?30?
,则
C
,
D
两点间的最小距离为
(
)
A
.
23?1
B
.
1
C
.
3
D
.
3?1
2
.在用反证法证
明命题
“
三个正数
a
,
b
,
c
满足
a?b?c?6
,则
a
,
b
,
c
中至少有一个不
大于
2”
时,下
列假设正确的是(
)
A
.假设
a
,
b
,
c
都大于
2
C
.假设
a
,
b
,
c
至多有一个不大于<
br>2
3
.已知函数
f
?
x
?
?sin
?
?
x?
?
?
?
?
?0,?
B
.假设
a
,
b
,
c
都不大于
2
D
.假设
a
,
b
,
c
至少有一个大于
2
?
?
?
2
?
?
?
?
?
2
?
?
在区间
?
?
?
??
?
,
?<
br>上为单调函数,且
66
??
?
?
??
?
?<
br>f
??
?f
??
??f
?
6
??
3
?
A
.
f
?
x
?
?sin
??
?
?
?
?
?
,则函数
f
?
x
?
的解析式为(
)
?
6
?
B
.
f
?
x
?
?sin
?
2x?
D
.
f
?
x
?
?sin
?
??
1<
br>x?
?
3
??
2
?
?
?
?
?
3
?
C
.
f
?
x
?
?sin2x
1
x
2
4.甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是,没有平局.若采用
三局两胜制比赛,
即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于( )
A.
B. C. D.
5
.一个单位有职工
800
人,其中具有高
级职称的
160
人,具有中级职称的
320
人,具有初级职称的
20
0
人,其余人员
120
人
.
为了解职工收入情况,决定采用分层抽样
的方法,从中抽取容量为
40
的样本
.
则从上
述各层中依次抽取的人
数分别是
(
)
A
.
12,24,15,9 B
.
9,12,12,7
C
.
8,15,12,5 D
.
8,16,10,6
6
.
在极坐标系中,设圆
C:
?
?4cos
?
与直线
l:
?
?
圆的极坐标方程为( )
?
A
.
?
?22sin(
?
?)
4
?
4
(
?
?R)
交于
A,B
两点,则
以线段
AB
为直径的
B
.
?
?22sin(
??
?
4
)
C
.
?
?22cos(<
br>?
?
?
4
)
D
.
?
??22co
s(
?
?
?
4
)
7
.如图所示,在边长
为
1
的正方形
OABC
中任取一点
P
,则点
P恰好取自阴影部分的概率为(
)
A
.
1
5
B
.
1
6
C
.
2
3
D
.
1
3
8
.设
f
?
?
x
?
是偶函数<
br>f
?
x
??
x?0
?
的导函数,当
x??
0,??
?
时,
xf
?
?
x
??2f
?
x
?
?0
,则不等式
4f
?
x?2019
?
?
?
x?2019
?
f
?
?2
?
?0
的解集为(
)
A
.
?
??,?2021
?
C
.
?
?2021,?2017
?
B
.
?
?2021,?2019
?
D
.
?
??,?20
19
?
2
?
?2019,?2017
?
?
?2019,?2017
?
D
.8
9
.学号分别为1,2,3,4的4位同学排成一排,若学号相邻的同学不相邻,则不同的排法种数为( )
A
.2
B
.4
10
C
.6
2
??
10
.二项式
?
x
2
?
?
的展开式中的常数项是
x
??
A
.第
10
项
B
.第
9
项
C
.第
8
项
D
.第
7
项
2
11
.
已知函
数
f(x)?xcosx?(a?1)x
是奇函数,则曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程是(
)
A
.
2x?y?0
B
.
x?y?0
C
.
2x?y?0
D
.
x?2y?0
12.现有
A、B、C、D、E
五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞
赛,每人限
报一组,那么不同的报名方法种数有( )
A
.120种
B
.5种
C
.
5
3
种
D
.
3
5
种
二、填空题:本题共4小题
1
??
13
.二项式
?
x
2
?
3
?
的展
开式中,含
x
7
的系数为
_______
.
x
?
?
14
.集合
A?xx?4,x?R
,
集合
B?xkx?4
,x?R
,
若
B?A
,则实数
k?
_________.
15
.
l
1
:x?y?0
,
l
2
:ax?y?1?0
,若
l
1
l
2
,则实数a
的值为
_______
.
6
?
2
?
??
x
2
y
2
16
.已知双曲线
??1
的焦距为
23
,则其离心率为
__________
.
3?mm?2
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
2
4
2
(2n)
2
2n
2
?2n
????
?n?N
*
.
17
.用数学归纳法证明:
1?33?5
?
2n?1
??
2n?1
?
2n?1
??
18
.假设关于某设备的使用年限
x
(年)和所支
出的年平均维修费用
y
(万元)(即维修费用之和除以使用年
限),有如下的统计资料
:
(1)求
y
关于
x
的线性回归方程;
(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?
参考公式:
b?<
br>?
?
x?y
??
y?y
?
?
xy?nxy<
br>iiii
i?1
nn
?
?
x?x
?
i
i?1
n
?
2
i?1
n
2
i
?
x
i?1
?nx
2
19
.(
6
分)已知
函数
f(x)?2xlnx?mx
.
(
1
)若
m?0,求曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程;
(
2
)若函数
f(x)
在
[1,e]
上的最小值为
?e
,求
m
的值
.
1
1
??
20
.(
6
分)已知
?
1?
的展开式中所有项的系数和为.
?
6
4
?
2x
?
n
1
??
(1)求
?
1?
?
的展开式中二项式系数最大的项;
?
2x
?
1??
(2)求
?
x?2
?
?
1?
?
的
展开式中的常数项.
?
2x
?
21
.(
6
分)已
知函数
f(x)?
n
n
lnx
(a?R)
,曲线
y
?f(x)
在点
(1,f(1))
处切线与直线
x?y?8?0
垂直
.
x?a
(1)试比较
2018
2019
与
20192018
的大小,并说明理由;
2
(2)若函数
g(x)?f(x)
?k
有两个不同的零点
x
1
,
x
2
,证明:
x
1
?x
2
?e
.
22
.(
8
分)在
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边
分别是
a,b,c
,且
acosB?bcosA?2ccosC
.
(
1
)求角
C
的大小;
?
2
?
(
2
)已知等差数列
?
a
n
?
的公差不为零,若<
br>a
1
cosC?1
,且
a
1
,
a
3
,
a
7
成等比数列,求数列
??
的
aa
?
nn?1
?
前
n
项和
S
n
.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
D
【解析】
【分析】
过
A
作
AO?
面
?
,垂足为
O
,连结
BO
,得到
C
点的运动轨迹,以
O
为原点,建立空间直角坐标系,
在
?ADB
中,利用余弦定理得到动点
D
的轨迹方程,从而得到
B
、
D
两点间距离的最小值,再得到
C
,
D
两点间的
最小距离.
【详解】
如图,过
A
作
AO?
面<
br>?
,垂足为
O
,连结
BO
,
根据题意,因为
BC?1
,所以
C
在以
B
为圆心,
1
为半径的圆
上运动;
以
O
为原点与
OB
垂直的方向为
x
轴,
以
OB
为
y
轴,以
OA
为
z
轴,建立空间
直角坐标系,
则
O
?
0,0,0
?
,
A
?
0,0,3
?
,
B
?
0,3,0
?
,
因为
D
为平面
?
内动点,所以设
D
?
x,
y,0
?
在
?ADB
中,根据余弦定理可得
AD
2
?BD
2
?AB
2
cos?AD
B?
2AD?BD
即
cos30??
x
2
?y
2<
br>?3?12?x
2
?
?
y?3
?
2?23?x?y?
3
22
2
,
整理得
y?
1
2
x?1
,
2
1
2
x?1
上运动,
2
2
平面
?
内,
D
点在曲线
y?
2
2
所以
BD?
x
2
?
?
y?3
?
?y?4y?7
,
?<
br>y?1
?
所以当
y?2
时,
BD
2
min
?3
,即
BD
min
?3
,
所以
C
,
D
两点间的最小距离为
3?1
.
故选:D.
【点睛】
本
题考查圆上的点到曲线上点的距离的最值,考查求动点的轨迹方程,余弦定理解三角形,属于中档题
.
2
.
A
【解析】
【分析】
否定结论
,同时
“
至少有一个
”
改为
“
全部
”
【详解】
因为“
a
,
b
,
c
至
少有一个不大于
2
”的否定是“
a
,
b
,
c
都大于
2
”,故选
A.
【点睛】
本题考查反证法,在
反证法中假设命题反面成立时,结论需要否定的同时,“至少”,“至多”,“都”
等词语需要改变.
3
.
C
【解析】
【分析】
由函数在
区间
?
?
2
?
?
??
??
?
?<
br>,
?
上为单调函数,得周期
T?
,
f
??
?
?f
3
?
66
?
?
6
?
?
??
?
?
?
,得出图像关于
?
0,0
?
对称,
?
6
?
可求出
?
,
f
?
【
详解】
?
?
??
?
?
?f
???
,得出函数的对称轴,结合对称中心和周期的范围,求出周期,即可求解
.
?
6<
br>??
3
?
设
f
?
x
?
的最小正周期
为
T
,
f
?
x
?
在区间
?
??
??
?
,
?
上具有单调性,
66
??
?
?
?
?
?
?
知, <
br>?
6
?
T
?
?
?
?
2
?<
br>?
?
?
???f
T?
则,由
??
??f??
,即
26
?
6
?
3
?
6
?
f
?
x
?
有对称中心
?
0,0
?
,所以
?
?0
.
由
f
?
2
?
?
?
??
?
?
?f
T?
,且,
???<
br>3
?
6
??
3
?
1
?
??
?
?
?
?
?
?
?
.
2
?
63
?
4
所以
f
?
x
?
有对称轴
x?
故
?
4
?0?
?
4
?
T
2
?
?
?
,
.
解得<
br>T?
?
,于是
?
4
解得
?
?2
,所
以
f
?
x
?
?sin2x
.
故选:
C
【点睛】
本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法,属于中档题
.
4
.
A
【解析】
试题分析:“甲队获胜”包括两种情况
,一是获胜,二是获胜.根据题意若是甲队获胜,则比赛只
有局,其概率为;若是甲队获胜,则比赛局,
其中第局甲队胜,前局甲队获胜任意一局,
其概率为,所以甲队获胜的概率等于,故选A.
考点:相互独立事件的概率及次独立重复试验.
【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的
概率及次独立重复试验,属于中档题.本题解答的关键是读
懂比赛的规则,尤其是根据“采用三局两胜制
比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能
情况分成两类,甲队以获胜或获胜,据此分
析整个比赛过程中的每一局的比赛结果,根据相互独立
事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求
得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求
得答案.
5
.
D
【解析】
4011
??8
,中级职称抽取的,所以高级职称抽取的
人数为
160?
8002020
111
?16
,初级职称抽取的人数
为
200??10
,其余人员抽取的人数为
120??6
,所人数为
320?
202020
试题分析:由题意,得抽样比为
以各层中依次抽取的人数分别是
8
人,
16
人,
10
人,
6
人,故选D
.
考点:分层抽样.
【方法点睛】分层抽样满足
“
n
1
n
每层中抽取的个体数量样本容量
?
2
?<
br>=
”
,即
“
N
1
N
2
本层的总个体
数量总体数量
?
n
或
N
n
1
:n
2
::n?N
1
:N
2
::N
”
,据此在已知每层间的个体
数量或数量比,样本容量,总体数量中的两个
时,就可以求出第三个.
6
.
A
【解析】
试题分析:以极点为坐标原点,极轴为
x
轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得圆
C
的直角坐标方
x?0
?
x?2
x
2
?y
2
?4x?0
y?x
{
程
x?y?4x?0
,直线
l
的直角坐标方程.由
{
,解得或
?
,所以
y?0
?
y?2
y?x
22
A
?
0,0
?
,B
?
2,2
?
,从而以
AB
为直径的圆的直角坐标方程为?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
,即<
br>22
2
x
2
?y
2
?2x?2y
.将其化为
极坐标方程为:
?
?2
?
?
cos
?
?sin?
?
?0
,即
?
?2
?
cos
??sin
?
?
?22sin
?
?
?
考点:简单
曲线的极坐标方程.
7
.
B
【解析】
【分析】
?
?
?
?
?
故选
A
.
4
?
根据题意,易得正方形
OABC
的面积,观察图形可得,阴影部分由函数
y=x
与
y?
式,计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答
案.
【详解】
根据题意,正方形
OABC
的面积为
1×1=1
,
而阴影
部分由函数
y=x
与
y?
x
围成,由定积分公
x
围
成
,
1
其面积为
?
?
0
1
2
?
2
3
?
x1
x?xdx?
?
x
2
?
?
?
,
2
?
0
6
?
3
?
1
则正方形
OABC
中任取一点
P,
点
P取自阴影部分的概率为
6
1
;
?
16
故选:
B.
【点睛】
本题考查定积分在
求面积中的应用
,
几何概型求概率,属于综合题,难度不大,属于简单题
.
8
.
B
【解析】
【分析】
设
F
?
x
?
?
f
?
x
?
,计算<
br>F
?
?
x
?
?0
,变换得到
F
?<
br>x?2019
?
?F
?
?2
?
,根据函数
F
?
x
?
的单调性和奇偶
2
x
性得到
x?2
019?2
,解得答案
.
【详解】
由题意
xf
?
?
x
?
?2f
?
x
?
?0
?
x?0
?
,得
xf
?
?
x
?
?2xf
?
x
?
?0
,
2
f
?
x
?
x
2
f
?
?
x
?
?2xf
?
x
?
进而得到,令,
Fx?
?0
??
2
4
x
x
f
?
?2
?
Fx?2019?
f
?
x?2019
?
x
2
f
?
?
x
?
?2xf
?
x
?
?
则
F
?
?
x
?
?
,
?
?
0
,
F
?
?2
?
?
2
.
4x?2019
??
4
x
由
4f
?
x?2019
?
?
?
x?2019
?
f
?
?2
?
?0
,得
即
F
?
x?2019
?
?F<
br>?
?2
?
.
当
x?
?
0,??
?
时,
F
?
?
x
?
?0
,
?F?
x
?
在
?
0,?
?
?
上是增函数<
br>.
函数
f
?
x
?
是偶函数,
?F
?
x
?
?
2
f
?
x?2019
?
?
x?2019
?
2
?
f
?
?2
?
,
4
f
?
x
?
也是偶函数,且
F
?<
br>x
?
在
?
??,0
?
上是减函数,
2x
?x?2019?2
,解得
?2021?x??2017
,又
x?2019?0
,即
x??2019
,
?x?
?
?202
1,?2019
?
故选:
B
.
【点睛】
本题考
查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,构造函数
F
?
x
?
?题的关键
.
9
.
A
【解析】
【分析】
先排
1,2
,再将
3
、
4插空,用列举法,即可得出结果
.
【详解】
先排好1、2,数字3、4插空,排除相邻学号,只有2种排法:3142、1.
故选A
【点睛】
本题主要考查计数原理,熟记概念即可,属于基础题型
.
10
.
B
【解析】
展开式的通项公式T
r+1
=
C2x
r
10
r
5
20?r
2
?
?2019,?2017
?
.
f
?
x
?
,确定其单调性和奇偶性是解
x
2
,令
20?
5
r
=0,得r=8.展开式中常数项是第9项.选B.
2
点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第
r?1
项,再由特定项的特点求出r
值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项
写出第
r?1
项,由特定项得出
r
值,最后求出其参数.
11
.
B
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义或性质求出
a
,然后可求出导函数,得切线斜率,从而得切线方程
【详解】
∵
f(x)
是奇函数,
∴
f(?x)
??xcos(?x)?(a?1)(?x)
2
??xcosx?(a?1)x
2??xcosx?(a?1)x
2
,
∴
(a?1)x?0
,
a?1
,
2
f(x)?x
cosx
是奇函数,
f'(x)?cosx?xsinx
,
f'(0)?1<
br>,
f(0)?0
,
切线方程为
y?x
,即
x?y?0
.
故选
B
.
【点睛】
本题考查导数的几何意义,考查函数的奇偶性,本题难度一般.
12
.
D
【解析】
【分析】
先计算每个同学的报名方法种数
,
利用乘法原理得到答案
.
【详解】
A
同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.
同理BCD
E四位同学也各有3种选择,乘法原理得到
3?3?3?3?3?3
5
答案为D
【点睛】
本题考查了分步乘法乘法计数原理
,
属于简单题目
.
二、填空题:本题共4小题
13
.
1
【解析】
【分析】
根据题意,由展开式的通项
T
r?1
?C
6
(x)
通项计算可得答案.
r26?r
(
1
rr12?5r
)?Cx
,令
12?5r?7
,可得
r?1
,将
r?1
代入
6
3
x
【详解】
根据题意,二项式
(x?
2
1
6r26
?r
1
rr12?5r
)T?C(x)()?Cx
的展开式的通项为,
r?166
33
xx
令
12?5r?7
,可得
r?1
,
177
此时
T
2
?C
6
x?6x
,
即含
x
7
的系数为
1
,
故答案为:
1
.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用,关键是掌握二项展开式的通项公式,属于中档题.
14
.
0,2,?2
【解析】
【分析】
解一元二次方程化简集合
A
的表示
,
再
根据
B?A
可以分类求出实数
k
的值
.
【详解】
A?xx
2
?4,x?R?
?
?2,2
?
.
因为
B?A
,
所以
B??,B?
?
2
?
,B?
?
?2
?
,B?
?
?2,2
?
.
当
B??
时
,
这时说明方程
kx?4
无实根
,
所以
k?0
;
当
B?
?
2
?
时
,
这时说明
2
是方程
kx?4
的实根
,
故
2k?4?k?2
;
当
B?
?
?2
?
时
,
这时说明
?2
是方程
kx?4
的实
根
,
故
?2k?4?k??2
;
因为方程
kx?
4
最多有一个实数根
,
故
B
故答案为:
0,2,?2
15
.1
【解析】
【分析】
由题得
1?1?1?a?0
,解方程即得
a
的值
.
【详解】
由题得
1?1?1?a?0
,解之得
a
=1.
当
a
=1
时两直线平行
.
故答案为:
1
16
.
??
2,2
不可能成立
.
6
2
【解析】
x
2
y
2
分析:已知双曲线故c=
3
,然后根据焦点位置的不同由
a
2
?b
2
?c
2
建
??1
的焦距为
23
,
3?mm?2
立等式关系即可得出
m
,再求离心率即可
.
详解:由题可知:当
m<2
时,焦点在
x
轴上,
3?m?[
?(m?2)]?3?m?1
,此时
e?
3
2
?
6
或者
2
当
m>3
时,焦点在
y
轴,
?(3?m)?
(m?2)?3?m?4
,此时
e?
点睛:考查双曲线基本性质和标准方程,属于基础
题
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.详见解析
【解析】
【分析】
3
2
?
6
6
,故综合得离心率为
2
2<
br>用数学归纳法进行证明,先证明当
n?1
时,等式成立
.
再假设当n?k
时等式成立,进而证明当
n?k?1
时,
等式也成立
.
【详解】
?
1
?
当
n?1
时
,左边
?
4
?
右边,等式成立.
3
2
2
4
2
(2k)
2
2k
2
?2k
?
2
?
假设当
n?k
时等式成立,即
1?3
?
3?5
???
2k?12k?1
?
2k?1
????
当
n?k?1
时,左边
?
当
n?k?1
时,等式也成立.
综合
?
1
??
2
?
,等式对所有正整数都成立.
【点睛】
数学归纳法常常用来证明一个与自然数集
n
相关的性质,
其步骤为:设
P
?
n
?
是关于自然数
n
的命题,(
1)
(
奠基
)P
?
n
?
在
n?1
时成立;(2)
(
归纳
)
在
P
?
k
?(k
为任意自然数
)
成立的假设下可以推出
P
?
k?1
?
成
立,则
P
?
n
?
对一切自然数
n
都成立.
?
?1.23x?0.08
;
18
.(1)
y
(2)
12.38
万元
【解析】
【分析】
(
1
)先求出样本
中心点
x,y
及
??
?
xy?112.3,
?
x<
br>ii
i?1i?1
55
2
i
?90
代入公式求得b
,再将
x,y
代入回归直线求
??
得
a
的值
,可得线性回归方程;(
2
)在(
1
)中求得的线性回归方程中,取
x
=
10
,求得
y
值得答案.
【详解】
(1)由题表数据可得
x?4,y?5,
?
xy
i
i?1
5
i
?112.3,
?
x
i
2
?90
,
i?1
5
?
?
由公式可得
b
112.3?5?4?
5
?
?y?bx?5?1.23?4?0.08
,
?1.23,a
90?5?4
2
?
?1.23x?0.08
.
即回归方程是
y
?
?12.38
;
(2)由(1)可得,当
x?10
时,
y
即,使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是
12.
38
万元.
【点睛】
本题考查线性回归方程,考查计算能力,是基础题.
19
.(1)
2x?y?2?0
(2)
?2ln2?4
【解析】
【分析】
(
1
)利用导数的几何意义
求曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程;(2)由题得
f'(x
)?2lnx?m?2
,再
对
m
分类讨论求出函数
f(x)
的最小值,解方程即得
m
的值
.
【详解】
解:(
1
)
f(x)?2xlnx
,则
f(1)?0
f'(x)?2lnx?2
,
f'(1)?2
,
所以曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程为
y?0?2(x?1)
,
即
2x?y?2?0
.
(
2
)由
f(x)?2x
lnx?mx
,可得
f'(x)?2lnx?m?2
①
若
m≥4
,则
f'(x)0
在
[1,e]
上恒成立,即
f(x
)
在
[1,e]
上单调递减,
则
f(x)
的最小值为f(e)?2e?me??e
,故
m?3
,不满足
m≥4
,舍去
;
②
若
m?2
,则
f'(x)?0
在
[1,e]
上恒成立,即
f(x)
在
[1,e]
单调递增,
则
f(x)
的最小值为
f(1)??m??e
,故
m?e
,不满足<
br>m?2
,舍去;
?2?2
?
m
2
??
m
2
?
f'(x)?0
x?e,e
③
若
2?m?4
,则当
x?
?
1,e
时,;当??
?
时,
f'(x)?0
,
????
?2?2?
m
2
??
m
2
?
f(x)
∴
在
?
1,e
?
上单调递减,在
?
e,e
?
上单调递增,
??
??
?2m?2
?
m
2
?<
br>2
??e
,解得
m??2ln2?4
,满足
2?m?4
.
∴
f(x)
的最小值为
f
?
e
?
?
?2e
??
综上可知,实数
m
的值为
?2ln2?4
.
【点睛】
本题主要考查切线方程的求法,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平和
分析推理能力,属于中档题
.
20
.(1)
?
【解析】
分析:(
1
)
先根据展开式中所有项的系数和为
n
5
;(2)
?1
.
3
2x
1
得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出
64<
br>n
1
?
1
?
?
?
的展开式中的一次项和常数
项,再求
1?
x?21?
??
??
??
的展开式中的常数项
.
?
2x
?
?
2x
?
1
?
1<
br>?
详解:(1)由题意,令
x?1
得
??
?
,即n?6
,
?
2
?
64
1
??
所以<
br>?
1?
?
展开式中二项式系数最大的项是第
4
项,
?
2x
?
5
?
1
?
即
T
4
?C
?
?
.
??
?
3
2x
?
2x
?
3
6
3
n
n
1
??
(2)
?
1?
?
展开式的第
k?1
项为.
?
2
x
?
1
?
?k
?
1
?
k
?
T
k?1
?C
?
?
?
?C
6
?
??
x
?
k?0,1,2,...,6
?
,
?
2
x
??
2
?
k
6
kk
n
由
?k?
?1
,得
k?1
;由
?k?0
,得
k?0
. 1
??
所以
?
x?2
?
?
1?
?的展开式中的常数项为
?
2x
?
1
?
?11
?
x?C
6
?
??
x?2?1??1
.
?
2
?
点睛:(1)本题主要考查二项式定理,考查二项式展开式的系数和二项式系数,考查展
开式中的特定项,
意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问
,展开式的常数项有两
n
1
??
?1<
br>种生成方式,一是由(x+2)的一次项“x”和
?
1?
?
的“
x
”项相乘得到,二是由(x+2)的常数项
?
2x
?
1
??
“2”和
?
1?
?
的常数项相乘得到,再把两个相加即得. <
br>?
2x
?
21
.(1)
2018
2019
?
2019
2018
,理由见解析(2)详见解析
【解析】
【分析】
(
1
)求出
f
?
x
?
的导数,由两直线垂直的条件,即可得切线的斜率和切点坐标,进而可知
f
?
x
?
的解析式
和导数,求解单调区间,可得
f
?
2018<
br>?
?f
?
2019
?
,即可得到
2018
2
019
与
2019
2018
的大小;(2)运用分
n
n<
br>lnx
1
?lnx
2
?k
?
x
1
?
x
2
?
,析法证明,不妨设
x
2
?x
1
?
0
,由根的定义化简可得
lnx
1
?lnx
2
?k
?
x
1
?x
2
?
,
x
2
lnx<
br>2
?lnx
1
2
t??1
,即证
?
要证:<
br>x
1
?x
2
?e
只需要证:
k
?
x
1
?x
2
?
?2
,求出
k
,即证,令<
br>x
1
x
2
?x
1
x
1
?x
2
2
lnt?
2(t?1)
2(t?1)
(t?1)
,求出
导数,判断单调性,即可得证
.
,令
h(t)?lnt?
t?1
t?1
【详解】
a
1??lnx
lnx
(a?R)
,
f
?
(x)?
(1)函数
f(x)?
,
x
x?a
2
(x?a)
所以
f
?
(1)?
a?1
,
(a?1)
2
又由切线与直线
x?y?8?0
垂直,
可得
f
?
?
1
?
?1
,即
此时
f(x)?
1
?1
,解得
a?0
,
1?a
lnx1?lnx
?f
?
(x)?
,
2
xx
令
f
?
?
x
?
?0
,
即
1?lnx?0
,解得
0?x?e
,
令
f?
?
x
?
?0
,即
1?lnx?0
,解得x?e
,
即有
f(x)
在
?
0,e
?
上单调递增,在
?
e,??
?
单调递减
所以
?
f(2018)?f(2019)?
即
2018
2019
?2019
2018
(2)不妨设
x
2
?x
1
?0
,
ln2018ln2019
??2019ln2018?2018ln2019
20182019
由条件:
g
?
x
2
?
?g
?
x
1
?
?0?lnx2
?kx
2
?lnx
1
?kx
1
?0
lnx
1
?lnx
2
?k
?
x
1
?x
2
?
,
lnx
1
?lnx
2
?k?
x
1
?x
2
?
2
要证:
x
1
?x
2
?e
只需要证:
lnx
1
?l
nx
2
?2
,
也即为
k
?
x
1
?x
2
?
?2
,由
k?
只需要证:
lnx
2
?lnx
1
x
2
?x
1
2
?
x
2
?x
1
?
lnx
2
?lnx
1
x
2
??ln
2
?
,
x
2
?
x
1
x
1
?x
2
x
1
x
2
?x
1
设
t?
x
2
?1
即证:
lnt?
2(t?1)
(t?1)
,
x
1
t?1
14(t
?1)
2
2(t?1)
?
??0
(t?1)
,则
h(t)??
设
h(t)?lnt?
22
t(t?1)t(t?1)
t?1
h
?
t
?
在
?
1,??
?
上是增函数,故
h(
?
)?h(1)?0
,
即
l
nt?
2
?
t?1
?
t?1
2
得证,所以
x
1
?x
2
?e
.
【点睛】
本题主要
考查了导数的运用,求切线的斜率和单调区间,构造函数,运用单调性解题是解题的关键,考查
了化简运
算整理的能力,属于难题
.
22
.(
1
)
n
?
.
;(
2
)
3
n?2
【解析】
【分析】
1
)首先利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出
C
的值.(
2
)利用(
1
)的结论,进一步利用等差
数列的
性质求出数列的首项和公差,进一步求出数列的通项公式,最后利用裂项相消法求出数列的和.
【详解】
(
1
)在△
ABC
中,角
A<
br>,
B
,
C
的对边分别是
a
,
b
,<
br>c
,且
acosB+bcosA
=
2ccosC
.
利用正弦定理
sinAcosB+sinBcosA
=
2sinCcosC
,
所以
sin
(
A+B
)=
sinC
=
2s
inCcosC
,
由于
0
<
C
<π,
解得
C
?
?
3
.
(
2
)设公差
为
d
的等差数列
{a
n
}
的公差不为零,若
a1
cosC
=
1
,则
a
1
=
2
,
且
a
1
,
a
3
,
a
7成等比数列,所以
(a
1
?2d)?a
1
?
?
a
1
?6d
?
,解得
d
=
1
.
2
故
a
n
=
2+n
﹣
1
=
n+1
.
所以
221
??
1
??2
?
?
?
,
a
n
a
n?1
?
n?1
??
n?2
?
n?1n?2
??
?1111
????
?
2334
?
11
?
??
,
n?1n?2
?
所以
S
n
?2
?
1
??
1
?2
?
?
?
,
2n?2
??
?
n
.
n?2
【点睛】
本题考查的知识要点:正弦定理的应用,等差数列的性质的应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要
考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.
基础练习
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.下列函数中,与函数
y??3
|x|
的奇偶性相同,且在
(??,
0)
上单调性也相同的是( )
A
.
y?1?x
2
2
.点的极坐标
B
.
y?log
2
|x|
C
.
y??
1
x
D
.
y?x
3
?1
,它关于极点的对称点的一个极坐标是
A
.
B
.
C
.
D
.
3
.函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A
.
B
.
C
.
D
.
4
.定义方程
f(x)?f
?
(x)
的实数根
x
0
叫做函数
f
(x)
的
“
新驻点
”
,如果函数
的
“
新驻
点
”
分别为
?
,
?
,
?
,
那么<
br>?
,
?
,
?
,
的大小关系是
(
)
A
.
?
?
?
?
?
B
.
?
?
?
?
?
C
.
?
?
?
?
?
D
.
?
?
?
?
?
5
.
“
数独九宫格
”
原创者是
18
世纪的瑞士数学家欧拉,它的游戏规则
很简单,将
1
到
9
这九个自然数填
到如图所示的小九宫格的
9
个空格里,每个空格填一个数,且
9
个空格的数字各不相间,若中间空格已填
数字
5
,且只填第二行和第二列,并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从
大到小排列
的,则不同的填法种数为(
)
A
.
72 B
.
108 C
.
144
D
.
196
6
.过抛物线
y
2
?2px
的焦点
F
的直线
l
交抛物线于
A,B
两点,其中点
A
?
2,y
0
?
,且
AF?4
,则
p?<
br>(
)
A
.
1
B
.
2
C
.
4
D
.
8
7
.若复数
z
满足
iz?1?2i
,则在复平面内,复数
z
对应的点的坐标是(
)
,2
?
A
.
?
1
,
B
.
?
21
?
,2
?
C
.
?
?1
?1
?
D
.
?
2,
8
. “杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在
公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方
运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算
法》一书中,记录了贾宪三角形数表,并称之为“开方
作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉
三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行
中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是 ( )
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029…………11 9 7 5 3
8064 8060………………20 16 12 8
16124……………………36 28 20
………………………
A
.
2017?2
2016
C
.
2017?2
2015
B
.
2018?2
2015
D
.
2018?2
2016
9
.已知
S,T
是两个非空集合,定义集合
S?T?xx?S,x
?T
,则
S?
?
S?T
?
结果是( )
A
.
T
B
.
S
C
.
S?T
,则
D
.
S?T
( )
??
10.设是虚数单位,表示复数的共轭复数.若
A.-2
B. C.2 D.
11
.已知甲口袋中有
3
个红球和
2
个白球,乙口袋中有
2
个红球和
3
个白球,现从甲,乙口袋中各
随机取
出一个球并相互交换,记交换后甲口袋中红球的个数为
?
,则
E
?
?
( )
A
.
14
5
B
.
13
5
C
.
7
3
8
D
.
3
12
.函数
f?
x
?
?xlnx
的大致图象是( )
A
.
B
.
C
.
D
.
二、填空题:本题共4小题
13
.若
z?2i?z
?z
0
|?4
表示的动点的轨迹是椭圆,则
z
0
的取值范围
是
________.
14
.如图,在正三棱柱
ABC?A
1B
1
C
1
中,
AB?AC?AA
1
?2,
E,F
分别是
BA,
A
1
C
1
的中点.设
D
是
线段
B
1
C
1
上的(包括两个端
点)动点,当直线
BD
与
EF
所成角的余弦值为
......
10
,则线段
BD
的长为
4
_______
.
15
.已知
△
一点,则
中,,,()的最小值为,若为边
上任意
的最小值是
.
?
x??1?cos
?
16
.若不同的两点
A
和
B
在参数方程
?
(
?
为参数)表示的曲线上,则
A
与
B
的距离的
最
y?2?sin
?
?
大值是
__________
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.传承传统文化再掀
热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组
和大学组的参赛选手按
成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,如图
是根据调查结果绘制
的选手等级人数的条形图.
(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件
完成
2?2
列联表,并据此资料你是否有
95%
的把握认为选手成绩“优秀”
与文化程度有关?
n(ad?bc)
2
注:
K?
,其中
n?a?b?c?d
.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
(2)若江西参赛选手共80人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
(3)如果在优秀等级的选手中取4名,在良好等级的选手中取2名,再从这
6人中任选3人组成一个比
赛团队,求所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.
18.已知函数
f(x)?
1
2
x
,
g(x)?alnx<
br>.
2
(
1
)若曲线
y?f(x)?g(x)
在x?2
处的切线与直线
x?3y?7?0
垂直,求实数
a
的值;
(
2
)设
h(x)?f(x)?g(x)
,若对任意两个不等的正数
x
1
,x
2
,都有
的取值范围;
19
.
(
6
分)命题p:关于x的不等式
x
2
?2ax?4?0
对
一切
x?R
恒成立; 命题q:函数
f(x)?lag
a
x
在
(0,??)
上递增,若
p?q
为真,而
p?q
为假,求
实数
a
的取值范围。
20
.(
6
分)在直角坐标系
xOy
中,
A
?
?2,0
?
,B
?
2,
0
?
,不在
x
轴上的动点
C
满足
AC?BC,CD
?AB
于
点
D,P
为
CD
的中点。
(1)求点
P
的轨迹
E
的方程;
(2)设曲线
E
与
y
轴正半轴的交点为
H
,斜率为
h
?
x
1
?
?h
?
x
2
?
?2
恒成立,
求实数
a
x
1
?x
2
1
的直线交
E
于
M,N
两点,记直线
MH,BN
的斜率分
2
别为
k
1
,k
2
,试问
k
1
?k
2
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
21
.(
6
分)甲
、乙两位同学学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加
5
项预赛,成绩如下:
甲:
78 76 74 90 82
乙:
90 70 75 85 80
(
Ⅰ
)用茎叶图表示这两组数据;
(
Ⅱ
)现要从
中选派一人参加数学竞赛,从平均数、方差的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说
明理由
.
22
.(
8
分)已知复数
z
1
?a?2i,
z
2
?3?4i
(
a
∈
R,i
为虚数单位)
z
2
是纯虚数,求实数
a
的值; (
I
)若
z
1
·
z
1
(
II
)若复数在复平面上对应的点
在第二象限,求实数
a
的取值范围
z
2
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
A
【解析】
【分析】
先分析
y??3
的奇偶性以及在
(??,0)<
br>的单调性,然后再对每个选项进行分析
.
【详解】
函数
y??3
为偶函数,且在
(??,0)
上为增函数,
对于选项
A
,函数
y?1?x
为偶函数,在
(??,0)
上
为増函数,符合要求;
对于选项
B
,函数
y?log
2
|
x|
是偶函数,在
(??,0)
上为减函数,不符合题意;
对于选项
C
,函数
y??
2
|x|
|x|
1
为奇函数,不
符合题意;
x
3
对于选项
D
,函数
y?x?1
为
非奇非偶函数,不符合要求;
只有选项
A
符合要求,故选
A
.
【点睛】
奇偶函数的判断:(满足定义域关于原点对称的情况下)
若
f(?x)??f(x)
,则
f(x)
是奇函数;
若
f(?x)?f(x)
,则
f(x)
是偶函数
.
2
.
C
【解析】
【分析】
在点极径不变,在极角的基础上加上,可得出与点关于极点对称的点的一个极坐标。
【详解】
设点关于极点的对称点为,则
,
,
所以点的一个极坐标为
.
故选:
C
。
【点睛】
本题考查点的极坐标,考查具备对称性的两点极坐标之间的关系,把握极径与极角之间的关系,是解本题
的关键,属于基础题。
3
.
D
【解析】
【分析】
根据单调递增可知在上恒成立,采用分离变量的方法可知,求出最大值即可
得到结果
.
【详解】
由题意得:
在
即:
在
上恒成立 上单调递增等价于:
当时,
本题正确选项:
【点睛】
本题考查根据函数在区间上的单调性求解参数范
围的问题,关键是能够将问题转化为恒成立问题,从而利
用分离变量的方式来进行求解
.
4
.
D
【解析】
【分析】
【详解】
由已知得到:
g
?
(x)?1?g(x)??
?1
,
对于函数h(x)=lnx,由于h′(x)=
令
r(x)?lnx?
1
x
1
,可知r(1)<0,r(2)>0,故1<β<2
x
?<
br>?
(x)??sinx?cosx?cosx?sinx?0
,
且
x?[
5
.
C
?
2
,
?]?x?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,选
D.
4
【解析】
【分析】
分步完成,
5
的上方和左边只能从
1
,
2
,
3
,
4
中选取,
5
的下方和右边只能
从
6
,
7
,
8
,
9
中选取.
【详解】
按题意
5
的上方和左边只能从
1
,2
,
3
,
4
中选取,
5
的下方和右边只能从<
br>6
,
7
,
8
,
9
中选取.因此填法
总数为
4?3?4?3?144
.
故选:
C.
【点睛】
本题考查分步计数原理.解题关键是确定完成这件事的方法.
6
.
C
【解析】
【分析】
由已知可得
p?0
,再由
|AF|?2?
【详解】
因为抛物线
y?2px
的准线为
x??
2
p
,即可求出结
论
.
2
p
,
2
点
A
?
2,y
0
?
在抛物线上,所以
p?0
,
?|AF|?2?
故选:
C
【点睛】
p
?4,?p?4
.
2
本题考查抛物线的标准方程,应用焦半径公式是解题的关键,属于基础题
.
7
.
D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
【详解】
由题意
i
z
=
1+2i
,∴
iz
(﹣
i
)=(
1+
2i
)
?
(﹣
i
),
∴
z
=
2
﹣
i
.
则在复平面内,
z
所对应的点的坐标是(
2
,﹣
1
).
故选
D
.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
8
.
B
【解析】
【分析】
数表的每
一行都是等差数列,从右到左,第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015
行
公差为2
2014
,第2016行只有M,由此可得结论.
【详解】
由题意,数表的每一行都是等差数列,从右到左,
且第一行公差为1,第二行公差为2,第三
行公差为4,…,第2015行公差为2
2014
,
故从右到左第1行的第一个数为:2
×2
1
,
从右到左第2行的第一个数为:3
×2
0
,
从右到左第3行的第一个数为:4
×2
1
,
…
﹣
从右到左第n行的第一个数为:(n
+1
)
×2
n2
,<
br>
﹣
第2017行只有M,
则M=(1
+2017
)
?2
2015
=2018×2
2015
故答案为:
B
.
【点睛】
本题主要考查归纳与推理,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力
.
9
.
C
【解析】
【分析】
根据定义集合
S?T?xx?S,x?T
分析元素特征即可得解.
【详解】
因为
S?T?xx?S,x?T
表示元素在
S<
br>中但不属于
T
,那么
S?
?
S?T
?
表示元
素在
S
中且在
T
中即
??
??
S?T
,故
选C.
【点睛】
本题考查了集合的运算,结合题中给出的运算规则即可进行运算<
br>,
属于基础题
,
10
.
C
【解析】试题分析:因为,所以,所以
,故选C.
考点:复数的运算
.
视频
11
.
A
【解析】
【分析】
先求出
?
的可能取值及取各个可能取值时的概率,再利用
E
?
?
?
1
p
1
?
?
2
p
2
?
望
.
【详解】
+
?<
br>i
p
i
?
可求得数学期
?
的可能取值为
2,
3,4
.
339
?
?2
表示
从甲口袋中取出一个红球,从乙口袋中取出一个白球,故
P
?
?
?2
?
???
.
5525
?
?3
表示从甲、乙口袋中各取出一
个红球,或从甲、乙口袋中各取出一个白球,故
322312
P
?
?
?3
?
?????
.
555525
224
?
?4
表示从甲口袋中取出一个白球,从乙口袋中取出一个红球,故
P
?
?
?4
?
???
.
5525
912414
?3??4??
.
故选
A.
所以
E
?
?2?
2525255
【点睛】
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列,再求期望
.
如果离散型随机变量服从二项分
布
B
?
n,p
?
,
也可以直接利用公式
E
?
?np
求期望
.
12
.
C
【解析】
【分析】
根据特殊位置的
x
所对应的
f
?
x
?
的值,排除错误选项,得到答案
.
【详解】
因为
f
?
x
?
?xlnx
所以当
0?x?1
时,
f
?
x
?
?0
,故排除
A
、
D
选项,
而
f
?
?x
?
??xln?x??xlnx
, <
br>所以
?f
?
x
?
?f
?
?x
?
即
f
?
x
?
是奇函数,其图象关于原点对称,故排除
B
项,
故选
C
项
.
【点睛】
本题考查根据函数的解析式判断函数图象,属于简单题
.
二、填空题:本题共4小题
13
.
?
0,6
?
【解析】
【分析】
根据复数几何意义以及椭圆定义列关于
z
0
的条
件,再解不等式得
z
0
的取值范围.
【详解】
因为z?2i?z?z
0
|?4
表示的动点的轨迹是椭圆,所以复数
2i,z
0
所对应点距离小于4,
||z
0<
br>|?|2i||?4??4?|z
0
|?2?4??2?|z
0
|?6
即
|z
0
?2i|?4?
|z
0
|?0?0?|
z
0
|?6
故答案为:
?
0,6
?
【点睛】
本题考查复数几何意义以及椭圆定义,考查综合分析求解能力,属中档题.
14
.
22
【解析】
【分析】
<
br>以
E
为原点,
EA,EC
为
x,y
轴建立空间直角坐
标系,设
D(0,t,2)(?1?t?1)
,用空间向量法求得
t
,进一步
求得
BD.
【详解】
以
E
为原点,
E
A,EC
为
x,y
轴建立空间直角坐标系,如下图.
E(0,0,0),F
(
31
,,2),B(0,?1,0),D(0,t,2)(?1?t?1)
22
EF?(
31
,,2),BD?(0,t?1,2)
22
(t?1)
?4
EF?BD10
2
cos<
br>?
???
4
EFBD
5?(t?1)
2
?4
解得
t=1
,所以
BD?22
,填
22
.
【点睛】
利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”:第一,破
“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;
第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“
求法向量关”,求出平面的法向量;第四,
破“应用公式关”.
15
.
【解析】
【分析】
【详解】
令=
=,当时,
=++
,取最小值
12
,解得
所以,则建立直角坐标系,,,设,则,
,所以==.综上所述,当时,取得最
小
值.
考点:
1
、平面向量的数量积;
2
、平面向量的模.
16
.
2
【解析】
【分析】
将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知
,
曲线为半径为
2
的圆
,
所以当
AB
为圆的直径时,
A
与
B
的距离
的最大值是2.
【详解】
?
x??1?cos
?
22<
br>由参数方程
?
(
?
为参数),可得
(x?1)?(y?2)?
1
,
?
y?2?sin
?
所以点
A
和
B
在半径为1的圆上,
所以当
AB
为圆的直径时,
A
与B
的距离的最大值是2.
故答案为 :2
【点睛】
本题考
查了参数方程化普通方程
,
圆的标准方程
,
属于基础题
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
. (1)
没有
95%
的把握认为优秀与文化程度有关(2)60人(3)
【解析】
分析:(1)由条形图可知
2?2
列联表,求出
K
2
,从而
即可判断;
3
5
(2)由条形图可
知,所抽取的100人中,优秀等级有75人,故优秀率为
中优秀等级的选手人数;
753<
br>?
,由此能求出参赛选手
1004
(3)记优秀等级中4人分别为
A<
br>,
B
,
C
,
D
,良好等级中的两人为
E,
F
,通过利用列举法即可求
得所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.
详解:(1)由条形图可知
2?2
列联表如表:
大学组
中学组
合计
优秀
45
30
75
合格
10
15
25
2
合计
55
45
100
K
2
?
100?
?
45?15?10?3
0
?
75?25?45?55
?
100
?3.030?3.841<
br>,
33
753
?
,
1004
∴没有
95%
的把握认为优秀与文化程度有关.
(2)由
条形图可知,所抽取的100人中,优秀等级有75人,故优秀率为
所以所有参赛选手中优秀等级人数约
为
80?
3
?60
人.
4
(3)记优秀等级中4人分别为
A
,
B
,
C
,
D
,良好等级中的两人为<
br>E
,
F
,
则任取3人的取法有
ABC
,
A
BD
,
ABE
,
ABF
,
ACD
,
ACE
,
ACF
,
ADE
,
ADF
,
AEF,
BCD
,
BCE
,
BCF
,
BDE
,
BDF
,
BEF
,
CDE
,
CDF
,<
br>CEF
,
DEF
共20种,
其中有2名选手的等级为优秀的有
ABE
,
ABF
,
ACE
,
ACF
,
A
DE
,
ADF
,
BCE
,
BDE
,
BDF
,
CDE
,
CDF
共12种,
故所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率为
3
.
5
点睛:本
题考查独立检验的应用,考查分层抽样的应用,考查概率的求法,考查数据处理能力、运算求解
能力,考
查数形结合思想、函数与方程思想,是中档题.
18
. (1)
a??2
.
(2)
[1,??)
.
【解析】
分析:(1)由题意,求得
y
?
?
x<
br>?
?x?
aa
,得到方程
2??3
,即可求解实数
a
的值;
x2
h
?
x
1
?
?h
?
x
2
?
1
2
x,x
?2
恒成立,设(2)
由题意
h
?
x
?
?x?alnx
,对任意两个不等的正数<
br>12
,都有
x
1
?x
2
2
x
1?x
2
,则
h
?
x
1
?
?h
?
x
2
?
?2
?
x
1
?x
2?
即
h
?
x
1
?
?2x
1
?
h
?
x
2
?
?2x
2
恒成立,问题等价于函数
F
?
x
?
?
1
x
2
?alnx?2x
在
?
0,?
?
?
上为
增函数,利用导数即可额求解.
2
详解:(
1
)由
y?f
?
x
?
?g
?
x
?
?
由题意,
2
?
1
2
a
x?alnx
,得
y
?
?
x
?
?x?
.
2x
a
?3
,所以
a??2
.
2
1
2
(
2
)
h
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
?x?alnx
.
2
因为对任意两个不等的正数
x
1
,x
2,都有
h
?
x
1
?
?h
?
x
2
?
x
1
?x
2
?2
恒成立,设
x
1
?x
2
,则
h
?
x
1
?
?h
?
x
2
?
?2
?
x
1
?x
2
?
即
h
?
x
1
?
?2x
1<
br>?h
?
x
2
?
?2x
2
恒成立
.
问题等价于函数
F
?
x
?
?h
?
x
?
?2x
,
1
2
x?alnx?2x
在
?
0,??
?
上为增函数,
2
a
所以
F
?
?
x
?
?x??2?0
在
?
0,?
?
?
上恒成立
.
即
a?2x?x
2
在
?<
br>0,??
?
上恒成立
.
x
即
F
?
x
?
?
所以
a?2x?x
?
2
?
max<
br>?1
,即实数
a
的取值范围是
?
1,??
?
.
点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、逻辑推
理能
力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)
考查导数的
几何意义,求解曲线在某点
处的切线方程;
(2)
利用导数求函数的单调区间,判断单
调性;已知单调性,求参数;
(3)
利用导数求函数
的最值
(
极值<
br>)
,解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.
19
.
Cl
2
?H
2
O
【解析】
【分析】
依题意,可分别求得
p
真、
q
真时
m
的取值范围,再由
p∨q
为真,而
p∧q
为假求得实数
a
的取值范围
即可.
【详解】
命
题
p
:关于
x
的不等式
x
1
+1ax+4
>
0
对一切
x
∈
R
恒成立;
①若命题
p
正确,则△=(
1a
)
1
﹣
4
1
<
0
,即﹣
1
<
a
<
1
;
②命
题
q
:函数
f
(
x
)=
log
a
x
在(
0
,
+
∞)上递增?
a
>
1
,
∵p∨q
为真,而
p∧q
为假,
∴p
、
q
一真一假,
当
p
真
q
假时,有
∴﹣1
<
a≤1
;
当
p
假
q
真时,有,
,
∴a≥1
∴综上所述,﹣
1
<
a≤1
或
a≥1
.
即实数
a
的取值范围为(﹣
1
,
1]∪[1
,+∞
).
【点睛】
本题考查复合命题的真假,分别求得p
真、
q
真时
m
的取值范围是关键,考查理解与运算能力,属于
中档
题.
x
2
20
.(1)(2)定值0
?y
2
?1
?
x??2
?
;
4
【解析】
【分析】
(
1
)解法一:设点
P
的坐标为
?
x,y
??
y?0
?
,可得出点
C
?
2x,y
?
,由
AC?BC
,转化为
k
AC
?k<
br>BC
??1
,
利用斜率公式计算并化简得出曲线
E
的方程,并
标出
x
的范围;
解法二:设点
P
?
x,y
??<
br>y?0
?
,得出
C
?
2x,y
?
,由
AC?BC
知点
C
在圆
x?y?4
上,再将点
C
?
2x,y
?
22
的坐标代入圆的方程并化简,可得出曲线
E
的方程,并标出
x
的范围;
(
2
)先求出点
H
的坐标,并设直线
MN
的方程为
y?
1
x?m
?
m
??1
?
,设点
M
?
x
1
,y
1
?
、
N
?
x
2
,y
2
?
,
2
将直线
MN
的方程与曲线
E
的方程联立,列出韦达定理,
利用斜率公式并代入韦达定理计算出
k
1
?k
2
?0<
br>来证明结论成立。
【详解】
(
1
)解法一:设点
P
?
x,y
??
y?0
?
,因为
CD?x
轴,
P
为
CD
的中点,则
C
?
x,2y
?
,
AC?BC
,所以,
k
AC
?k
BC
2
2y2y
x
??1
,即
???1
,化简得
?y<
br>2
?1
,
x?2x?2
4
x
2
所以,E
的方程为
?y
2
?1
?
x??2
?
;
4
解法二:依题意可知点
C
的轨迹方程为
x?y?4
?
x??2
?
,
22
设点
P
?
x,y??
y?0
?
,因为
CD?x
轴,
P
为
CD
的中点,所以,
C
?
x,2y
?
,
所以<
br>x?
?
2y
?
2
2
x
2
?4
,即
?y
2
?1
,
4
x
2
所以,E
的方程为
?y
2
?1
?
x??2
?
;
4
(
2
)依题意可知
H
?
0,1
?<
br>,设直线
MN
的方程为
y?
1
x?m
?
m?
?1
?
,
2
M
?
x
1
,y
1
?
、
N
?
x
2
,y
2
?
,
1
?
y?x?m
?
?
2
由
?
2
,得
x
2
?2mx?2m
2<
br>?2?0
,
?
x
?y
2
?1
?
?
4
2
所以
??8?4m
2
?0
,
x
1
?x
2
??2m
,
x
1
x
2
?2m?2
,
y
1
?1
??
x
2
?2<
br>?
?x
1
y
2
?
y
1
?1y
2
??
所以
k
1
?k
2
?
x
1
x
2
?2x
1
?
x
2
?2?
?
1
??
1
?
x?m?1x?2?xx?m
??
?
1
?
21
?
2
?
xx?
?
m?1
??
x?x
?
?2m?2
2
?
2
12
???
?
12
?
x<
br>1
?
x
2
?2
?
x
1
?
x
2
?2
?
?
2m
2
?2?
?
m?1
?
?
?
?2m
?
?2m?
2
x
1
?
x
2
?2
?
?0
,
所以,
k
1
?k
2
为定值。
【点睛】
本题考查动点的轨迹方程,考查直线与椭圆的综合问题,考查将韦达定理法在直线与圆锥曲线综合问题中
的应用,这类问题的求解方法就是将直线方程与圆锥曲线方程联立,结合韦达定理求解,运算量大是基本
特点,化简是关键,考查计算能力,属于难题。
21
.
(I)
茎叶图见解析;
(II)
甲
.
【解析】
试题分析:
(I)
由图表给出的数据画出茎叶图;
(II)
根据公式求出两组
数据的平均数及方差
,
结合计算结果
,
甲
乙平均数相同
,<
br>因此选方差较小的参加比赛
.
试题解析:解:(
Ⅰ
)用茎叶图表示如下:
……3
分
(
Ⅱ
)
x
甲
?80
,
x
乙
?80
,
……7
分
而
s
1
22222
?
?
?
78?80
?
?
?
7
6?80
?
?
?
74?80
?
?
?
90?
80
?
?
?
82?80
?
?
?32
?
5
?
1
22222
s
2
乙
?
?
?
90?80
?
?
?
70?80
?
?
?
75?80
?
?
?
85?80
?
??
80?80
?
?
?50
,
……11
分
?
5
?
2
甲
22
因
为
x
甲
?x
乙
,
s
甲
?s
乙,所以在平均数一样的条件下,甲的水平更为稳定,所以我认为应该派甲
去
. …………12
分
考点:
1.
茎叶图;
2.
平均数与方差
.
【方法
点晴】本题考查的是茎叶图和平均数与方差的计算
,
属基础题目
.
根据计算结
果选出合适的人参加数
学竞赛
,
其中平均数反映的是一组数据的平均水平
,<
br>平均数越大
,
则该名学生的平均成绩越高
;
方差式用来描
述一
组数据的波动大小的指标
,
方差越小
,
说明数据波动越小
,
即该名学生的成绩越稳定
;
要求学生结合算出
的数据灵活掌握
.
3
8
3
22
.(
Ⅰ
)
a??
(
II
)
?a?
8
23
【解析】
【分析】
(
I
)计算出
z
1
z
2
,由其实部为0
,虚部不为
0
可求得
a
值;
z
1
(
II
)计算出,由其实部小于
0
,虚部大于
0
可求得a
的取值范围.
z
2
【详解】
z
2
=
(
a?2i
)解:(
I
)由复数
z
1
?a?2i,z
2
?3?4i
得
z
1
·
(
3?4i
)
=3a+8+
(
6-4a
)
i
8z
2
是纯虚数,则
3a+8=0
,若
z
1
·<
br>(
6-4a
)≠
0
,解得
a=-
3
z1
a?2i
?
a?2i
??
3?4i
?
3a?
86?4a
???i
=
(
II
)
z
2
3
?4i
?
3?4i
??
3?4i
?
2525
若z
1
?
3a?8?0
在复平面上对应的点在第二象限,则有
?<
br>
z
2
6?4a?0
?
38
?a?
23
解得
-
【点睛】
本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念与几何性质,属于基础题.