数学的故事 解题的领悟

数学的故事解题的领悟
陕西师范大学数学教学论博士导师
惠州市华罗庚中学数学教育总指导
罗增儒

老师们，同学们：
下午好．我将通过数学解题的简单故事（案例）来说明数学学习
的有关道理．
事实表 明，学生解了大量的题但还“不开窍”的一个基本原因是：
这些学生没有分析过所解的题，也没有分析过 典型的习题，解题常常
只是为了得个答案．因此
●我们应当学会这样一种对待习题的态度，即 把习题看做是精密
研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．
●我们应该有这样的 信念，没有任何一道题是可以解决得十全十
美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴 的发现，
总能改进这个解答的理解水平．
●我们应把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过
程．（而不仅仅是学习结果的巩固）
●我们的解题实践表明：分析典型例题的解题过程是学会解题的
有效途径，至少在没有找到更好 的途径之前，这是一个无以替代的好
主意．因而，解题学习要经历：简单模仿、变式练习、自发领悟、自
觉领悟．
考虑到在这个报告厅里既有学生又有老师，既有初中未毕业的学
生，又有比 我中学教龄更长的高级教师，为了不辜负这个美好的下午，
使每一个人都有所思考、都有所获，我将采用 低起点的故事和高落点

的分析来进行．首先，让我们从一个传颂千古的故事开始。
故事1反思“曹冲称象”．
第1、曹冲称象的故事．
曹操获得一头大象，与大家一 边看一边议论，“大象到底有多重
呢?”由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪器，这就成了一个< br>问题，一个非常规应用问题．
存在不同水平的“问题解决”．有人提议把大象宰了，一块一块< br>地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大
象却不复存在了．曹操的儿子 曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：
先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，在船舷 上
画一条线．然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线
的地方为止．最后，称一 称船上的石头，石头有多重，就知道大象有
多重了．
理解曹冲方案需要物理知识（没有物理知 识作保证，不能保证石
头与大象等重，难保不会出现“刻舟求剑”的错误），下面的分析不
涉及 物理定律，纯粹数学教育的视角．
第2、问题解决的分析．
我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤：（解
题过程的结构分析）
（1）把“整体”的大象对应为等价物：“零散”的石头（映射—
—化整为零）；
（2）称一小块一小块石头，得出大象的重量（逆映射——集零

为整）．
一头大象————一堆石块
?↓
大象重量————称出石块总重量
图1
请注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢
的“宰象”方案有思想方法上的 共同性，曹冲的聪明之处在于，既从
别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象．（思维
亮点：通过物理知识找出等价物）
第3、反思曹冲方案．
曹冲方案的大前提是“把 大象赶上船、再赶上岸”，这当中若有
一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的． 大
象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?
就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话．
教师：假如我们这块地方是个平原，一 马平川全是黄土，没有石
头，你怎么办?（把等价物从“石头”的传统认识中突破出来——不
是 唯一的）
学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄
土的重量．（用水也可以） < br>教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时
的更简单办法?（寻找更方便的等 价物）
学生：用电子秤直接称大象．

教师：这不行，不能改变当时的技术条件．
学生：组织围观的人代替黄土，让 人自己走上船、自己走下船过
秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以．
第4、反思的启示．
这个办法确实比曹冲的强．由此，可以得出3个结论：
（1）即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间．
（2）即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解
题智慧来．
（3）找 回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途
径．在曹冲方案中，“大象自己上船、下船”本已 存在，只不过是在
使用石头等价物时被浪费了，“小学二年级学生”无非是“找回被浪
费的重要 信息”．
（罗增儒：从“曹冲称象”的解题愚蠢说起——例说解题过程的
改进，中学数学教学 参考，2000，9）

故事2：看图说事．
第1、事实的陈述．
例1如图2，表示某人从家出发任一时刻
到家的距离（s）与所花时间（t）之间的关系
（
S=f
(
t
)
），请根据图象编一个故事．
（每人编一个故事）
（图2）
（1）在新疆的一次听课中（2004年），同学们 说的故事很多，
也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是：
①在
OP
上匀速直线运动；
②在
PQ
上静止；
③在
QR
上匀速直线运动．
课后与教师交流时，我问为什么“在
P Q
上静止？”，教师认为，
到家的距离不变，所以是静止．我说，到家（定点）的距离不变（定
长）就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是
定点吗？教师立即反应过来 ．这里的认识封闭在于，面临“到一定点
的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹 ！圆
周运动，空间为球），数与形的双向流动不够通畅．从知识上看，可
能还有“距离”与“路 程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当
然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也 可能是运
动．
（2）值得注意的是，这是“一个很普遍的认识封闭现象”（被
一些教 师称为“可能会封闭一辈子”的问题），我们在杭州骨干教师

培训班（2005年）、本 科生（选修课上）、中学生中进行过多次测
试，能回答圆周运动（空间为球）的极为个别，每一次都“几 乎全军
覆没”．（认识封闭1）
并且，当我们进一步问会有多少种运动方式时，也存在认识封 闭
现象，也经常“几乎全军覆没”，普遍没考虑到在圆周上既可以运动
又可以静止，既可以前进 又可以来回走动，既可以原路返回又可以另
路返回．（认识封闭2）
第2、案例的初步分析．
（1）题目自然涉及“圆”的概念和逻辑“或”，触及“明确知识
的认识封闭现象”（顺便提起 ：以
b
2
-4ac
为判别式的二次方程有条），
并且在PQ上有明显 的3个层次．
①一种情况：在PQ上静止．有静无动,能背熟圆的定义，面临圆
（或球）的情 景时看不见圆（或球）．
②两种情况：看到PQ静止时全静止，看到PQ运动时全运动．有
进 无退，逻辑“或”对PQ的全程．
③无数种情况．看到PQ静止或圆周运动，可以前进也可以后
退．有静有动，有进有退，逻辑“或”对PQ的每一点．
（2）考察了数学的核心知识——函数，广泛涉及：
①函数的概念，包括定义域、值域、对应关系．
②函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示
法．
③一次函数的增减性与图象形状的关系．

④通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数．
⑤考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力．
（3）设计为开放题．
①需要学生将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据
自己的生活体验和对数学知识的理解，编 拟出来的实际情节将是不惟
一的．
②每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次
（罗增儒．教育叙事：圆的遭遇．中学数学教学参考（初中版），
2007，3）
故事3什么是数学解题
例2有两个圆，一个的半径等于地球的半径，另一个的半径等于
一枚硬币的半径．现将两圆向外膨胀（相当于作同心圆），使周长都
增加1米，问哪个圆的半径伸长得 较多？
解直观上想，相对于地球赤道而言，增加1
米实在微不足道；而硬币的周长增加1米其 膨胀肯
定更加显著．答案应是小圆的半径伸长得较多．
（图3）
评析相信会有相当 一部分同学同意这种看法，但这是错误的．如
图3，设圆膨胀前的半径为
R
1
米，周长为
S
1
米，膨胀后的半径为
R
2
米，
周长 为
S
2
=S
1
+1
米，则半径的伸长为
R
2
-R
1
=
S
2
-S
1
1
．
=
2p2p
这是一个常数，因而，大小不等两圆的半径伸长是相同的．
感悟 直观情景给了我们一个错觉，而数学的理性思维恢复了它的
原貌．这就是数学解题，通过推理、论证得出 一个符合事实的结论．数

学解题可以促进数学的理解．
例3 请阅读下面的事 实：某校高中一年级有两个班，教导处工
作人员统计期末数学考试成绩时，计算出每一个班中男生的及格 率都
比女生的及格率高（计算没有错误），于是得出全年级男生及格率比
女生及格率高的结论． 校长听完他的汇报后，根据同样的成绩表却得
出全年级女生及格率比男生及格率高的相反结论．事实证明 校长是对
的，工作人员感到费解．
请通过数学方法说服工作人员．
方法1：举反例
班级
男女人
数
及格人
数
及格率
男25
人
23
92%
甲班
女30
人
27
90%
男29
人
17
58．
6%
乙班
女24
人
14
58．
3%
男生及格率 =
23+1727+14
?
100%＜
?
100%=女生及格率．
25+2930+24
方法2．：设甲班有男生
a
1
人，及格
b
1
人，女生有
c
1
人，及格
d
1
人；
乙班有男生
a
2
人，及格
b
2
人，女生有
c
2
人，及格
d
2
人．按统计，每班
的及格率有不等式b
1
d
1
b
2
d
,
>
2．
>
a
1
c
1
a
2
c
2< br>b
1
+b
2
d
1
+d
2
而全年级的 男女及格率分别为，．
a
1
+a
2
c
1
+c2
工作人员的推理是，对
a
1
>b
1
>0,a
2
>b
2
>0,c
1
>d
1
>0,c
2
>d
2
>0
，

?
b
1
d
1
ü
>
?
?
a
1
c
1
?
?
?
b
1
+b
2
>
d
1
+d
2
． 则
?
b
2
d
2
?
a< br>1
+a
2
c
1
+c
2
>
?
?
a
2
c
2
?
?
?
但这在数学上是假命题 ．因为
b
1
+b
2
d+d
2

>
1
a
1
+a
2
c
1
+c
2
?( bc
11
a
1
d
1
)+(b
2
c
2
-a
2
d
2
)+(bc+b
2
c
1-a
1
d
2
-a
2
d
1
)>0
．
12
而已知条件只能保证前两项大于0，当第三项小于0时，不能保
证命题成立．
感悟这也是数学解题，通过推理、论证推翻一个不符合事实的结
论．
数学解题，就是 消除已知与未知之间的障碍，就是解决现有认识
与客观需要之间的矛盾．数学解题，既有证实又有证伪．
数学解题既有确认又有理解和发现的功能．是三大功能
故事4即使我很笨，我也能学会聪明
例4已知3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水．现有10整瓶汽水．若
不添钱，问最多还可喝几瓶汽 水？（整瓶汽水指瓶子带盖装好的汽水）
第1解法l可作3次对换：
第1次，用原有的10个空瓶去换3整瓶汽水，剩1个空瓶．
第2次，用4个空瓶去换l整瓶汽水，剩1个空瓶．
第3次，2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶，换一整瓶，
喝完后，还空瓶．
最多共可喝
3+1+1=5
瓶．

第2．反思分析这个解法分 3步完成对换，每步都重复着“3空
换1整”的要求．其中最富于智慧的应是第3步，对其作正面思考：
第3步的聪明就在于“借一还一”吗？（是不是？）它的实质是什么？
（谁来说）我们通过下图 的直观启发
（图4）

学生立即透过“借一还一”的技术表象而领悟到实质：2个 空瓶
可以换来一瓶里的“汽水”（不包括瓶子）．
可见，第3步隐含着问题的本质，已知条件 中“3个空汽水瓶可
以换1整瓶汽水”等价于“2个空瓶子”可以换1个瓶里的“汽水”．于
是 分三步完成可以合并为1步（整体处理）：
解法2依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“汽水”， 现有
10个空瓶，最多可换
10
．
=5
瓶里的“汽水”
2
第3．感悟也许，我们一开始并不能抓住已知条件的“本质”，
但解法1是可以做到的，通过对 “初步解法”的分析，就有机会找回
被浪费了的重要信息，获得更接近问题深层结构的解法——即使我很
笨，我也能学会聪明．并且，一旦抓住了题目的本质，推广立即就成
为可能：
例4- 1已知
a
个空汽水瓶可以换
c
整瓶汽水．现有
b
整瓶汽水． 若
轾
bc
不添钱，则最多还可喝
犏
瓶汽水．（
a
，
b
，
c
为正整数，
a>c
）
犏
a-c< br>臌

解法3设最多可喝
x
瓶汽水．依题意，得方程
10+x
=x
，
3
有
2x=10
，
得
x=5
．

xyz
例5已知
a,b,c
为互不相等的实数，且

，
==
a-bb-cc-a
求
x+y+z
．
（1951年高考数学第4题）
第1．由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题

xyz
①
==
a-bb-cc-a
x+y+z
？②
(
a-b< br>)
+
(
b-c
)
+
(
c-a
)=
所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理．我的老师当学
生的时候人们这样说，到 了我的学生也当老师的时候，人们还是这样
说．设比例系数
k
是一个经典的处理（当年 高考题的标准答案），并
被认为是最关键的步骤：
解法1设

xyz
===k
，③
a-bb-cc-a
ì
?
x =k
(
a-b
)
,
?
?
则有

?
í
y=k
(
b-c
)
,
④
?
?
?
z
=
k
(
c
-
a
)
,
?
?
得
x+y+z= k
(
a-b
)< br>+k
(
b-c
)
+k
(
c-a
)
⑤

=k
轾
(
a-b
)
+
(
b -c
)
+
(
c-a
)
⑥
犏
臌
=0
．⑦
第2．反思分析整体分解这个解题过程我们看到三个步骤（解题
过程的结构分析）：
第1步，引进参数
k
，把三个外形不同而比值相等的代数式

xyz
用同一个符号
k
来表示，可以有效防止“形异”对
,,
a-bb- cc-a
“值同”的干扰．（体现了“用字母表示数的思想”和“换元法”的
应用）
第2步，把
x,y,z
与
a,b,c
分离，以便于计算
x+y+z< br>的值．（方
法就是变形）
第3步，计算
x+y+z
的值，这是实质性 的运算，其最基本的想
法是转化为
a,b,c
有关式的计算，关键步骤是第⑤式．（有 “转换化归
的思想”）
根据这个分析，可见设比例系数
k
的作用有两个：
第一，有效防止“形异”对“值同”的干扰；
第二，把
x,y,z
与
a,b,c
分离以便于计算
x+y+z
的值．
但这都只是辅助步骤，前两 步并未开始
x,y,z
的求和，真正产生
解题实质性进展、并反映问题深层结构的是第 ３步，抓住实质性的第
3步提出问题：
（1）（正面思考）有与
k
功能类似的替代式吗？
（2）（反面思考）不用
k
还能计算
x+y+z
吗？

回应1如果对

xyz
“等值”看得很清楚，那就可
,,
a-bb- cc-a
以把第③式直接代入式⑤，取代
k
得
xyz
解法2
x+y+z= a-b
)
+b-c
)
+c-a
)
⑧
(((
a-bb-cc-a
=
x
轾
a-b
)
+
(
b-c
)
+
(
c-a
)
=0.
(
犏
臌
a-b
回应2如果⑧式中的“形异”对“值同”的干扰 还比较大，想不
到作这样的变形，看不清当中的公因式，那可以直接用

k
，有
z
来表示
c-a
解法3由已知有
x=
zz
z
，，
a-by=b-c
z=c-a
)
，相加 得
()()
(
c-ac-a
c-a
zzz
a-b+b-c +c-a
)

()()(
c-ac-ac-a
轾
(
a-b
)
+
犏
臌
x+y+z=

=
z
c-a
(
-b
)
+c
(
-c0
． < br>)
=a
这样，我们就有了不增设参数
k
的２个解法，只要作解题反思，
人人都能做到．但是，反思还没有结束．
第3．反思再深入至少还可以再指出两点：结论也是已知信息，
障碍也是隐含条件．
（1）结论也是已知信息．
我们还浪费了一个信息，就是当我们分析解题过程时，结论已经
成为了已知信息：
x+y+z=0
，⑨

即
x+y=-z
．⑩
这就如同摸索在黑房子里拉开了电灯，原来我们只须证⑩式（当
初并不知道），这用等比定理是可以做 到的．
解法4对已知式的前两项用等比定理，有
x+yz
，
=
(
a-b
)
+
(
b-c
)
c-a
即x+yz
，
=
-
(
c-a
)
c-a
有
x+y=-z
，
得
x+y+z=0
．
原来，在我们的 心里有一个误区（涉及解题的情感态度），对三
项连比式用等比定理时，会产生分母为零，就吓得连两项 都不敢用等
比定理了．我们说，用比例的性质来处理比例问题，更接近问题的本
质（也使得设比 值
k
成为多余）．
（2）障碍也是隐含条件．
让我们再来看①、②中用等比定理时产生分母为0的问题

xyz
①
==
a-bb-cc-a
x+y+z
？②
(
a-b
)
+
(
b-c
)
+
(
c-a
)

=
这时候的“分母为０”构成了我们解题的一个障碍，但在上述的
众多解法中又都用到 了“分母为０”这个运算式：

(
a-b
)
+
(
b-
)
c
(
+c
③
)
-0a

=
所以，与其说②式给我们带来了麻烦，不如说②式显化了题目的

一个隐含条 件③式．这是一个积极的收获，当我们对尚未成功的②式
“视而不见”、而把目光同时注视①、③式时， ①式让我们看到了两
条直线重合：
xX+yY+z=0
，④
(a-b)X+(b-c)Y+(c-a)=0
，⑤
而④式告诉我们直线④通过点（ 1,1），因而直线⑤也通过点
（1,1），得
x+y+z=0
．（可记为解法5）
第4．基本收获
确实，反思得出的新解法，无论是在逻辑关系上还是在书写长度
上， 都不比解法1麻烦，相反，还都有一种高屋建瓴之势，对解题思
路看得更透彻了，对知识联系看得更清楚 了．这些新解法可以认为是
解题分析的一个有益成果．但是，我们倡导的解题分析并不满足于多
找出几个解法，而是希望通过解题过程的分析，去领悟：怎样解题，
怎样学会解题．本着这样的理念，我 们来自觉总结在本案例活动中的
两个基本收获：
（1）通过解题分析学会解题．
聪 明的学生也许一开始就能找到后面的解法，但是，如果我不算
聪明、甚至还有点笨呢，那么上述历程告诉 我们，我也可以通过解题
过程的分析，自己学会聪明，自己学会解题，使数学解题与智力发展
同 行．我们的解题教学应该有“学会聪明”这个环节．
（2）解题经验的自觉积累．
基本活动经验的积累可以因人而异，我们从技术层面着重指出三
点：

①学会解题过程的结构分析．具体是把解法1“分解”为三个步
骤，并组织为新的结构．
②抓 住实质性的第3步正面、反面提出问题．具体是思考：有与
k
功能类似的替代式吗？不用
k
还能计算
x+y+z
吗？
③体验到了“结论也是已知信息”、“障碍也 是隐含条件”．人们
总认为“结论是未知的”、“障碍是消极的”，其实不然，要辩证地看
问题 ．在列方程解应用题时，我们就是设未知数
x
并把它作为已知数
一样参与运算的．

故事5 数学实验．
故事5-1剪纸演示．
11111
例6直 观演示
+
2
+
3
+L+
n
+L=
． 3
3
2
33
讲解数列的无穷求和怎样用有限的图形表现出来呢？这需要一
点数学想象．
1
如图5（1），作一个单位正方形，将其三等分，每份面积为；3
取出编号为1的矩形，留下编号为2的矩形，对无编号的矩形三等分，
每份（正方形）面 积为
1
（图5（2））；取出编号为1的小正方形，
2
3
留下编号为 2的小正方形，对无编号的正方形三等分，每份面积为
1
，?如此类推，无编号的矩形面积趋向 于0，于是，编号为1的矩
3
3
1
形面积之和等于编号为2的矩形面积之和， 都等于．（可用梯形或
2

三角形代替，图6、图7）
（1） （2）
图5

图6

图7

故事5-2糖水浓度的演示．
请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数
学证明．
（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．
由这一情境可得等比定理：< br>a
1
a
2
a
3
a
1
+a
2
+a
3
．
===
b
1
b
2
b< br>3
b
1
+b
2
+b
3
（2）糖水加糖变甜了 ．（糖水未饱和）
（3）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的
浓度一定比 淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，
但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式 ，对
b
1
>a
1
>0
，
a
1
a< br>2
a
1
b
2
>a
2
>0
，有
b
1
b
2
b
1
a
1
+a< br>2
a
2
．
<
b
1
+b
2
b
2
（4）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起
后又有一个浓度， 这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问
a
1
a
2
÷
a
1
+a
2
1
骣
?
题了，需比较
?与的大小．
+
÷
÷
?
÷
b
1
+b< br>2
2
?
b
1
b
2
桫
讲解（以“糖水 加糖变甜了”为例）这是一个尽人皆知的生活事

实，这里有数学道理吗？该用什么样的数 学关系式来表示呢？
首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式．变甜、变咸
所表达的 是大小关系，记为
p
1
2
．
这里用到了字母表示数的知识．
其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表 达
出来呢？这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设
b
克糖水
里有< br>a
克糖（
b>a>0
），则
p
1
=
a
,
而
p
2
？
b
这还没有把加糖反映出来，
p< br>2
有待表示．再设加入
m
克糖
（
m>0
），得
p
2
=
a+m
,

b+m
最后，“糖水加糖变甜了”就是
数不等式：
例7若
b>a> 0
，
m>0
，则
aa+m
．于是得到一个真分
<
b b+m
aa+m
．
<
bb+m
这个不等式可以有分析法、综合法、 反证法、放缩法构造图形、
构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利
于沟通知识和方法之间的联系．
值得指出，很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实
既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求
解高考题时可以化归为课堂上已解 决过的问题，或化归为往届高考
题．这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）．

例7-1如果
0那么（）．
(A)cos
b+mbb-m

a+maa-m
bb-mb+m

(B)cosaa- ma+m
(C)cos
b-mbb+m

a-maa+m
b+mb- mb
(D)cos
a+ma- ma
[1989年高考数学广东题]
例7-2设
{a
n
}
是由正数组成的等比数列，
S
n
是其前
n
项和．
（1）证 明
lgS
n
+lgS
n+2
2
n+1；（解法见例3-41）
（2）是否存在常数
c>0
，使得
lg(S
n
-c)+lg(S
n+2
-c)
2
=lg(S
n +1
-c)
．
（1995年数学高考理科第（25）题）
例7-3已知数 列
{
a
n
}
为等比数列，
a
2
=6，a< br>5
=162
，
（1）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（2）设< br>S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，证明
（2004年数学高考文科第（18）题）
例7-4对一切大于1的自然数，求证：
(1+
111
)(1+)L(1+ )>
352n-1
2n+1
．
2
S
n
S
n+2
S
2
n+1
?
1
．
（1985年数学高考上海题）

b
1
=1,b
1< br>+b
2
+L+b
10
=145
，例7-5已知数列
{
b
n
}
是等差数列，
（1）求数列
{
b
n
}
的通项
b
n
；
骣
1
÷
（2 ）设数列
{
a
n
}
的通项
a
n
=log< br>a
?
，（其中
a>0
，且
1+
÷
?
÷
?
÷
?
桫
b
n
1
a?1
），记
S
n
是数列
{
a
n
}
前
n
项和．试比较
S
n
与
log
a
b
n+1
的大小，并
3
证明你的结论．
（1998年数学高考题理科第（25）题）
例7-6已知
i,m,n
是正整数，且
1ii
i
A
n
（1）证明
n
i
A
m
；
n
，
（2）证明（1＋m）
n
＞（1＋n）
m
．
（2001年数学高考全国卷理科第（20）题）
这几道高考题目课本都没有出现过，但可以认为是真分数不等式
的应用．

故事6自行车问题．
例8-1一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000
km
后报废，
若安装在后轮则行驶3000
km
后报废．如果行驶一定路程后交换 前、
后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶
多少
km？
解法1
解法2
如果你不能求解请先做第2题

例 8-2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000
小时完成，乙工程队干后半段300 0小时完成，如果两工程队同时动
工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队< br>交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几
小时完成？
如果你能求解请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关
系，请先做第3题．
例8-3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一
半需3000小时，如果甲、乙两工 程队一齐干，整个工程几小时完成？
如果你不能求解第3题，请看第4题；如果你能求解请返回做第
2、1题，
例8-4 一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000
小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整 个工程几小时完成？提示
200015
?
2000
===15?2501111
8
++
1
1
3750
（小时）．
最终要用两个解法完成第1题．

再解1：设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行 车共行驶了
Skm
．由于填空题不需要书写过程，所以，我们不妨设想自行车的
车把和 车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸．当
自行车行驶到
S
km< br>时，前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前
2
轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量， 如果此时旋转车把和车座掉头

返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶
轮胎同时 报废．于是，
一个新轮胎的总磨损量
S
km
回到出发地时一对新
2
SS
=
前进
km
的磨损量
+
返程
km< br>的磨损量，
22
SS
有
2
+
2
=1
，
50 003000
得
S=
1
11
+
2创500023000=3750
（
km
）．
填
3750
km
．

再解2：前轮用3个、后轮用5个行驶15000
km
后，前、后轮共8个同时报废，故2个轮胎同时报废可行驶
15000
=3750
km
．
4
希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么．

总结以上的案例可以看 到，在人类认识总是不断深化的背景下，
初步解法本身应是数学上和教学中都可以进一步暴露和提炼的中 间
过程．事实上，题目的初步解法，只不过是实现了信息向大脑的线性
输入，只不过是为进一步 的结构化、网络化和丰富联系准备了基本素
材，更加有价值的、体现学习者的主动创造性工作的是：将历 时性的
线性材料组织为一个共时性的立体结构．这时，打破输入顺序的材料
会呈现出更本质、更 广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会

构成更本质、更广泛的组合，从而揭示出 数学内容的更内在的逻辑结
构和更直截了当的关系，进而推动解题过程的改进，解题成果的扩大，
解题模式的积累，解题经验的生成．如果说，探索活动的思维过程常
常带有自发的、实验尝试性特征的 话，那么继续进行解题分析的思维
活动就带有较多自觉的、理论提炼性的特征了．
谁也无法教 会我们解所有的题目，重要的是，通过有限道题的学
习去领悟那种解无限道题的数学机智．

请提问

反馈：
（1）目标实现了没有？
（2）采用讲故事方式有效吗？
●应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研 究
的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．
●应该有这样的信念，没有任何一道题是 可以解决得十全十美
的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，
总能改 进这个解答的理解水平．
●应把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程．（而不
仅仅是学习结果的巩固） ●我们的解题实践表明：分析典型例题的解题过程是学会解题的
有效途径，至少在没有找到更好的途 径之前，这是一个无以替代的好

主意．因而，解题学习要经历：简单模仿、变式练习、自 发领悟、自
觉领悟．

共勉
①
x?-a：
一个甘于自我封闭的人，他只能越过弱者，永远也超不过强者。
②
x>a
?x>a
或
x<-a
：
一个勇于突破封闭的人，既能超过强者，又能谦让弱者。
（3）数学上负数比零更小，学习中自我封闭比未知更糟．
（4）我只能为祖国的数学而自豪了，愿祖国的为你们的数学而
自豪．