2021届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测文科数学试题(解析版)参照模板

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2020
年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测
文科数学试题
本试卷
4
页，满分
150
分。考试时间120
分钟。
注意事项：
1
．答卷前，考生务必将自己的准考证号、 姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题
卡
“
条形码粘贴处
”
。
2
．作答选择题时，选出每小题答案后，用< br>2
B
铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需要改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3
．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔 作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答无效。
4
．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共
12
个题，每小题
5
分，共
60
分．在 每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.
已知集合
A? {1,2,3}
,
B?xx?1,x?Z
,
则
A
A.
?
1
?

【答案】
D
【解析】

【分析】

先化简集合
B
,
根据并集定义
,
即可求得
A
【详解】
B.
?
1,2,3
?

??
B?
(

)
C.
?
?1,0,1
?
D.
?
?1,0,1,2,3
?

B
.

B?xx?1,x?Z?
?
?1,0,1
?

??
?

A?B?{1,2,3}?
?
?1,0,1
?
?
?
?1,0,1,2,3
?

故选
:D.
【点睛】本题考查了集合的并集运算
,
在集合运算比较复杂时
,
可以 使用维恩图来辅助分析问题
.
2.
已知复数
z
满足
zi? 2?i
,则
|z|?
(

)
A.
3
B.
3
C.
5
D.
5

25
笨小孩字路上

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【答案】
C
【解析】

【分析】

化简
zi?2?i
,
根据
z?a?bi
则
|z|?
【详解】

zi?2?i

a
2
?b
2
,即可得到答案
.
?

z?
2?i2i?1
??1?2i

i?1
a
2
?b
2
根据
z?a?bi
则
|z|?
2
得:
|z|?1
2
?
?
?2
?
?5

故选
:C.
【点睛】本题主要考查了复数的四则 运算和求复数的模
,
其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的
关键
,
属于基础题
.
3.
已知非零向量
a,b
满足
|a ?2b|?|2a?b|
,且
|a|?|b|
,则
a
与
b< br>的夹角为(

)
A.
?

6
B.
?

4
C.
?

3
D.
?

2
【答案】
D
【解析】

【分析】

有
|a?2b|?|2a?b|
,且
|a|?| b|
,结合向量的数量积公式
cos?a,b??
角的夹角的余弦值.
【详解】

|a?2b|?|2a?b|

a?b

,
即可求得向量
a
与
b
的夹
|a|?|b|
?< br>
|a?2b|
2
?|2a?b|
2

化简可得:
(a)
2
?4?a?b?4(b)
2
?4(a)
2< br>?4a?b?(b)
2

故
:
8a?b?3|a|
2
?3|b|
2

又

|a|?|b|

?

a?b?0

25
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根据向量的数量积公式
cos?a,b??
a?b

|a|?|b|
可得
cos?a,b??0

?

a
与
b
的夹角为:
故选
:D.
?
. < br>2
【点睛】本题考查了向量的数量积的应用
,
熟练使用向量的数量积公式是解本 题的关键
,
考查了计算能力
,
属于
基础题
.
4.
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:
“
三百七十八里关,初日健步不为 难,次日脚痛减一半,
六朝才得到其关
……”
其大意为:有一个人走
378< br>里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前
一天的一半,走了
6
天到达目的地
……
.则此人后四天走的路程比前两天走的路程少(

)里.
A.
198

【答案】
A
【解析】

【分析】

由题意可知
,
每天走的路程里数构成以公比
B.
191
C.
63
D.
48

1
的等比数列
,
由
S
6
?378
求得首项
,
可计算:

a
1
?a
2
及
2
a
3
?a
4?a
5
?a
6
，即可求得答案
.
【详解】设每天走的 路程里数为
?
a
n
?
,
则
?
a
n
?
是公比为
1
的等比数列
,
2
1
??< br>a
1
?
1?
6
?
2
?

由
S
6
?378
得
?
?378

1
1?
2
?

解得
:
a
1
?192

?
1
?< br>所以
a
n
?192?
??
?
2
?
n ?1

?
后四天走的路程:
a
3
?a
4
? a
5
?a
6
,
前两天走的路程:
a
1
?a
2
，
又
a
1
?a
2
?192?96?2 88
，且
S
6
?378
，∴
a
3
?a4
?a
5
?a
6
?378?288?90
，
∴
?
a
1
?a
2
?
?
?
a
3
?a
4
?a
5
?a
6
?
?288?9 0?198

25
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故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，
故选
:A.
【点睛】 本题考了等比数列在实际中的应用
,
解题关键是掌握等比数列的基础知识
,
考 查了分析能力和计算能
力
,
属于基础题
.
5.
现有甲、乙 、丙、丁
4
名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动
,
则乙、丙两 人恰好参加同
一项活动的概率为
A.
1

2
B.
1

3
C.
1

6
D.
1

12
【答案】
B
【解析】

【分析】

22
C
4
C
2
2
?A
2
?6
，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为求得基本事件的总数为< br>n?
2
A
2
222
m?C
2
C
2< br>A
2
?2
,
利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解
.
【详解】由题意，现有甲乙丙丁
4
名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动 ，
22
C
4
C
2
2
?A
基本事件的总数 为
n?
2
?6
，
2
A
2
222
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为
m?C
2
C
2
A
2
?2
,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为
p?
m1
?
，故选
B.
n3
【点睛】本题主要考查了排列组合的应用， 以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、
组合的知识求得基本事件的总数和所求事 件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式
求解是解答的关键，着重考查了运算与求 解能力，属于基础题
.
?
3
?
?
3
?
6 .
已知函数
f(x)?sin
?
x(
?
?0)
,满 足
f()?f()
,且在
[，]
内恰有一个最大值点和一个最小值点,则4444
?
的值为(

)
A.
1

【答案】
D
【解析】

【分析】

B.
2
C.
3
D.
4

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?
3
??
3
?
由
f()?f()
,且在
[，]
内恰有一个最大值点 和一个最小值点
,
由正弦函数图像性质可得其最小正周期
4444
为
2
?
?
,
根据正弦函数最小正周期计算公式
T?
,
即可求得
?
的值.
|
?
|
2
函数f(x)?sin
?
x(
?
?0)
【详解】
?
3
?
?
3
?
由
f()?f()
,且在
[ ，]
内恰有一个最大值点和一个最小值点
,
4444
?

正弦函数图像性质可得其最小正周期为
根据正弦函数最小正周期计算公式
T?
故选:D.
?
,
2
2
?
,
可得
?
?4

|
?
|
【点睛】本题考查了求正弦函数
f(x)?sin
?
x(?
?0)
的
?
值
,
掌握正弦函数图像和最小正周期公式 是解本
题的关键
,
考查了分析能力和计算能力
,
属于基础题
.
x
2
y
2
7.
已知双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
M
为双曲线上一点,若
ab
c os?F
1
MF
2
?
1
,
MF
1
?2MF
2
,则此双曲线渐近线方程为(

)
4
A.
y??3x

【答案】
A
【解析】

【分析】

B.
y??
3
x

3
C.
y??x
D.
y??2x

因为
M
为双曲线上一点,可得
MF
1
?MF
2
?2a
,在
?F
1
MF
2
使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.
x
2
y
2
【详解】

双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左右焦点分别为
F< br>1
,
F
2
,
M
为双曲线上一点
ab
?
MF
1
?MF
2
?2a
?
?

?
,解得:
MF
1
?4a
,
MF
2
?2 a

?
?
MF
1
?2MF
2
在
? F
1
MF
2
中,根据余弦定理可得:
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?

F
1
F
2
?MF
1
?MF
2
?2MF
1
?MF
2< br>?cos?F
1
MF
2

可得:
(2c)?(4a )?(2a)?2?4a?2a?
化简可得:
c?2a

由双曲线性质可得 :
b
2
?c
2
?a
2
?4a
2
? a
2
?3a
2

可得:
b?3a

双曲线渐近线方程为:
y??
222
222
1

4
b
x

a
则双曲线渐近线方程为:

y??3x

故选
:A.
【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程 问题
,
解题关键是掌握双曲线的基本知识
,
数形结合
,
考查 分析能力和
计算能力
,
属于中档题
.
8.
某几何体三视图 如图所示,其体积为
4
,则该几何体的外接球体积为(

)
3

A.
9
?

4
B.
9
?

2
C.
9
?
D.
12
?

【答案】
B
【解析】

【分析】

由三视图可知
,
其立体是底面为矩形的直四棱锥
,
在长方体中截取符合题意的四棱锥
,
根据体积为
边长
,
根 据长方体的体对角线是其外接球的直径,即可求得外接球体积.
【详解】由三视图可知
,其立体是底面为矩形的直四棱锥
,
在长方体中截取符合题意的四棱锥如图
:
4
,
求出底面
3
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四棱锥体积
:
V?
1
?S
底面
?h

3
?

41
?2?m?2
,
解得
:
m?1

33
根据长方体的体对角线是其外接球的直径,
长方体的体对角线长为
:< br>1
2
?2
2
?2
2
?3
,
故外接球的直径为:
2R?3
,
R?
3

2
3
44
?
3
?
9

根球的体积 公式为
:
V
球
=?
?
?R
3
??
?
?
??
?
?

33
?
2
?
2
9
?

该几何体的外接球体积为:
?
.
2
故选
:B.
【点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球的体积的计算问题
,
其中解答中根据几何体的结构特征
,
构建长方体
,
得到长方体的外接球是四棱锥的外接球是解答的关键
,
着重考查了数形结合思想
,
以及推理与运算能力
.
9.
已知等差数列
?
a
n
?
,
a
n
?m?a< br>m
?n
(n?m,n,m?N
?
)
,数列
?
b
n
?
满足
b
n
?a
2n?1
?a
2n?1
,则
b
2020
?b
2019
?
(
)
A.
1

【答案】
C
【解析】

【分析】

因为
b
n
?a
2n?1
?a
2n?1
B.
2
C.
4
D.
8

,
可得
b
2020
?a
4041
?a
4039
,
b2019
?a
4039
?a
4037
,
故
b< br>2020
?b
2019
?
?
a
4041
?a
4039
?
?
?
a
4039
?a
4037
?
?a
4041
?a
4037
,
根据等差数列?
a
n
?
,
a
n
?m?a
m
?n
,
即可求得答
案
.
【详解】

b
n
?a
2n?1
?a
2n?1

?

b
2020
?a
4041
?a
403 9
,
b
2019
?a
4039
?a
4037

故
:
b
2020
?b
2019
?
?
a
4041
?a
4039
?
?
?
a
4039
?a
4037
?
?a
4041
?a
40 37

25
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根 据等差数列
?
a
n
?
,
a
n
?m?am
?n

可得
:
a
n
?a
m
?n?m

?

b
2020
?b
2019
?a
404 1
?a
4037
?4041?4037?4

故选
:C.
【点睛】本题考查了根据等差数列求值
,
解题关键是根据条件求出
b
2020
?b
2019
?a
4041
?a
4037
,
考查了分析能力
和计算能力
,
属于中档题
.
?
2
x
，0?x?2
10.
已知
f(x)
是偶函数,当
x?0
时,
f(x)?
?
,若
f(a?1)?f(?1)
,则
a
的取值范围是
?
8?2x，x?2
(

)
1
?
A.
?
?1，
?3
?
C.
?
??，1
??
3，??
?

?
?1，
0
?
B.
?
?2，
?2)
D.
(??，
4
?

?
2，
2
??
0，(4，??)

【答案】
D
【解析】

【分析】

?
2
x
，0?x?2
,
根据偶函数图像关于
y
,
画出其 函数图像
,
即可求因为
f(x)
是偶函数,当
x?0
时,< br>f(x)?
?
?
8?2x，x?2
解
a
的取值范围.
【详解】

根据
f(x)
是偶函数
f(?1)?f(1)?2

?

f(a?1)?f(?1)
,
即
f(a?1)?2

?2
x
，0?x?2
,
根据偶函数图像关于
y
轴对称，< br>,
因为
f(x)
是偶函数,当
x?0
时,
f(x) ?
?
?
8?2x，x?2
画出其函数图像
,
如图
:
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当< br>0?x?2
时
,
由
f(x)?2
,
解得
x< br>1
?1
,
根据对称可知
,
x
2
??1

当
x?2
时
,
由
f(x)?2
,
解得
x
3
?3
,
根据对称可知
,
x
4
??3


保证
f(a?1)?2
,
结合图像可知
:
?
< br>a?1?x
4
或
x
2
?a?1?x
1
或a?1?x
4

即
:
a?1??3
或
?1?a?1?1
或
a?1?3

故
:
a??2
或
0?a?2
或
a?4

故选
:D.
【点睛】本题考查了求解函数不等式
,
解题关键是根据 函数的对称性画出其函数图像
,
数形结合
,
考查了分析能
力和计算能 力
,
属于中等题
.
x
2
y
2
11.已知椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
的左顶点和左焦点分别为
A
和
F
,
|AF|?3
,直线y?kx
交椭圆于
P,Q
ab
两点(
P
在第一象限), 若线段
AQ
的中点在直线
PF
上,则该椭圆的方程为(

)
x
2
y
2
A.
??1

95
4x
2
y
2
C.
??1

8118
x
2
y
2
B.
??1

1615
x
2
y
2
D.
??1

8145
【答案】
C
【解析】

【分析】
x
2
y
2
根据画出椭圆
2
?
2
?1< br>?
a?b?0
?
图像
,
设点
P
?
m,n
?
,
则
Q(?m,?n)
,
AQ
的中点为< br>M
,
根据中点坐标
ab
25
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公式可得
:
M
?
??a?m?n
?
,
?
,
A,Q,M
三点共线
,
可得
:
k
PF
?k
PM
,
结合已知条件< br>,
即可求得答案
.
2
??
2
x
2
y
2
【详解】根据画出椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
图像
,
如图
:
ab

设点
P
?
m,n
?
,
则
Q(?m,?n)
,< br>AQ
的中点为
M
,
根据中点坐标公式可得
:
M
?

有题意可知
A(?a,0)
,
又

A,Q,M
三 点共线
,
可得
:
k
PF
?k
PM

?
?a?m?n
?
,
?

2
??
2
n
n?0
2

?
< br>可得
:
?
m?c
m?
a?m
2
13
?
,
故
3c?a
——① 解得
:
m?c3m?a

|AF|?3
,
可得
:
a?c?3

——②
n?
由①②可得:
a?
93
,
c?

2 2
根据椭圆性质:
a
2
?b
2
?c
2
,可 得
b
2
?18

4x
2
y
2
?
该椭圆的方程为:

??1
.
8118
故选
:C.
【点睛】本题考查了求椭 圆的标准方程
,
解题关键是根据题意画出其图像和掌握椭圆的基本知识
,
数形 结合
,
考查了分析能力和计算能力
,
属于中等题
.
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12.
已知
f( x)?
1
2
?
?
上(

)
x+a cosx
,当
a?1
时,
f(x)
在
?
0，
2
A.
有最大值没有最小值

C.
既有最大值也有最小值

【答案】
B
【解析】

【分析】

因为
f(x)?
1
2
x+acosx< br>,
故
2
B.
有最小值没有最大值
D.
既无最大值也无最小值
f
?
(x)?x?asinx
,
令
y
1
?x
,
y
2
?asinx
在同一坐标 系作出
y
1
?x
,
y
2
?asinx
图像
,
根据图像即可求得答案
.
【详解】

f(x)?
1
2
x+acosx

2
?

f
?
(x)?x?asinx

令
y
1
?x
,
y
2
?asinx

在同一坐标系作出
y
1
?x
,
y
2
?as inx
图像
,
如图
:

当
0?x?x
0
时
,
y
1
?y
2
,
即
f
?
(x)?x?asinx?0
,
故
:
f(x)
单调递减< br>;
当
x?x
0
时
,
y
1
?y2
,
即
f
?
(x)?x?asinx?0
,
故
:
f(x)
取最小值
;
当
x
0
?x?< br>?
时
,
y
1
?y
2
,
即
f
?
(x)?x?asinx?0
,
故
:
f(x)
单 调递减增
?

f(x)?x
2
+acosx
有最小值没有最大值
故选
:B.
【点睛】本题考查了根据导数判断函数是否存在最值
,
掌握根据导数的正负号
,
来判断原函数的增减性是解题
关键
,
考查了 分析能力和计算能力
,
属于中挡题
.
1
2
二、填空题：本 题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
25
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?
x?y?2
?
y
满足
?
2x?3y?3
,
且
z?2x?y
,
则
z
的最大值是
_____
．
13.
若变量
x，
?
x?0
?
【答案】
19

5
【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域
,
z?2x?y
,
即
y?? 2x?z
观察直线
y??2x?z
在可行域移动时何时截距
取得最大值
,
即可求得答案
.
?
x?y?2
?
y
满足
?
2x?3y?3
【详解】 变量
x，
?
x?0
?
作出不等式组所表示的可行域(阴影 部分)
,

z?2x?y
,
即
y??2x?z
,
观察直线
y??2x?z
可行域移动到点
P
时
z
取 最大值
9
?
x?
?
?
x?y?2
?
5

?
解得:
?

1
?
2x?3y?3
?
y?
?
5
?
?

z
的最大值为:

z?2??
故答案为
:
9119
?

555
19
.
5
【点睛】本题考查线性规划问题
,
关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数
.
在平面区域中
,
求线性目标函数的最优解
,
要注意分析线性目标函数所表示的几何意义
,
从而 确定目标函数在何处取得最优
解
.
25
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14.
某公司为确定明年投入某产品的广告支出, 对近
5
年的年广告支出
x
(单位:万元)与年销售额
y
(单 位:万
元)进行了初步统计,如下表所示.
年广告支出
x

万元
年销售额
y

万元


经测算,年广告支出
x
与年销售额
y
满足线性回归方程
y?6.4x?18
,则
a
的值为
_____
.
^
2
28
3
37
5 7
60
8
70
a

【答案】
55
【解析】

【分析】

根据
x,y
在线性回归方程
y?6.4x?18
上
,
即可求得
a
的值.
【详解】根据所给数据求出
:
x?
??
^
2+3+5+7+8
?5,

5
y?
28+37+a+60+70195+a
?,

55

根据
x,y
在线性回归方程
y?6.4x?18
上
??
^
?

195+a
?6.4?5?18
,
解得
:
a?55

5
故答案为
:
55
.
【点睛】掌握
x,y
在线性回归方程是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
15.
已知数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,
a
1
?3
,
a
n?1
?(?1)
n< br>(a
n
?2)
,则
S
4n+1
=
_____ ．
【答案】
4n?3

【解析】

【分析】
< br>由
a
n?1
?(?1)
n
(a
n
?2)??
写出前几项
,
进而可得
a
1
?a
2
?2,a
3
?a
4
?2,a
5
?a
6
? 2
即可求得
S
4n+1
.
,
a
1
?3< br>,
a
2
??1
,
a
3
??3
,a
4
?5
,
a
5
?3
,
a
6
??1
,
a
7
??3
,
a
8
?5
,
25
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n【详解】根据
a
n?1
?(?1)(a
n
?2)

可得
:
a
2
??a
1
?2

a
3
?a
2
?2

a
4
??a
3
?2

a
5
?a
4
?2

a
6
??a
5
?2


故
:
a
1
?a
2
?2,a
3
?a
4
? 2,a
5
?a
6
?2
则
S
4n
?4n
由
a
1
?3
,
根据上述可求得
:

a
1
?3
,
a
2
??1
,
a3
??3
,
a
4
?5
,
a
5
?3
,
a
6
??1
,
a
7
??3
,
a
8
?5
,

可得
a
4n?1
?3

?

S
4n+1
?4n?3

故答案为
:
4n?3
.
【点睛】本题考查了根据递推关系式求前
n
项和
,
解题关键是根据递推关系找到数列的特征
,
考查了分析能力
和推理能力< br>.
16.
如图,
M
点在正方体
ABCD?A
1B
1
C
1
D
1
的棱
CC
1
上 (不含端点),给出下列五个命题:

25
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①过
M
点有且只有一条直线与直线
AB
,
AD
1
都是异面直线;
②过
M
点有且只 有一条直线与直线
AB
,
AD
1
都相交;
③过
M
点有且只有一条直线与直线
AB
,
AD
1
都垂直;
④过
M
点有无数个平面与直线
AB
,
AD
1
都相 交;
⑤过
M
点有无数个平面与直线
AB
,
AD
1
都平行;
其中真命题是
____
．
【答案】②③④
【解析】

【分析】

从与两异面直线垂直、平行、异面、相交的直 线中找到成立的依据和不成立的反例得解
,
即可求得答案
.
【详解】

对于①,直线
MA
1
,CC
1
都过
M
点,
MA
1
,CC
1
与直线
AB< br>,
AD
1
都是异面直线,故①是假命题;
对于②,过
M点有且只有一条直线
MA
与直线
AB
,
AD
1
都相交,故②是真命题;
对于③,过
M
点有且只有一条直线与直线
AB,
AD
1
所在平面都垂直,故③真命题;
对于④,过
M
点有无数个平面与直线
AB
,
AD
1
都相交,故④是真命题; < br>对于⑤,过
M
点只有一个平面与直线
AB
,
AD
1< br>所在平面都平行,故⑤是假命题;
故答案为
:
②③④.
【点睛】本 题考查与两异面直线的垂直、平行、异面、相交等关系的问题,关键要能举出结论不成立的反例,
属于中 档题。
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第
22
、
2 3
题为选考题，考生根据要求作答．
25
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(一)必考题：共
60
分。
1 7.
某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取
50
名 学生的数学成绩,按成
绩分组:第
1
组
[75,80)
,第
2
组
[80,85)
,第
3
组
[85,90)
,第
4
组
[90,95)
,第
5
组
[95,100]< br>,得到的频率分布
直方图如图所示.

(
1
)由频率分布直 方图,估计这
50
名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到
0.01
);
(
2
)该校高一年级共有
1000
名学生,若本次考试成绩
90
分以上(含
90
分)为
“
优秀
”
等次,则根据 频率分布直方
图估计该校高一学生数学成绩达到
“
优秀
”
等次的人数 .
【答案】(1)中位数为
86.67
，平均数为
87.25

(
2
)
300

【解析】

【分析】

(
1
)设这
50
名学生数学成绩的中位 数和平均数分别为
m,n
,
因为前
2
组的频率之和为
0.4 ?0.5
,因为前
3
组
的频率之和为
0.7?0.5
,所以
85?m?90
,求出
m,n
即可求得答案
;
(
2
)因为样本中
90
分及以上的频率为
?
0.04+0.02
?
?5=0.3
,所以该校高一年级
1000
名学生中,根据频率分布直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数.
“
优秀
”
等次的人数
【详解】(
1
)设这
50
名学生数学成绩的中位数和平均数分别为
m,n

因为前
2< br>组的频率之和为
0.4?0.5
,因为前
3
组的频率之和为
0 .7?0.5
,所以
85?m?90
,
由
0.4?0.06?(m?85)?0.5
,得
m?86.67
.
n?77.5?5?0.01?82.5?5?0.07?87.5?5?0.06?92.5?5?0 .04?97.5?5?0.02?87.25
所以,这
50
名学生数学成绩
的中位数和平均数分别为
86.67
,
87.25

(
2
)因为样本中
90
分及以上的频率为
?
0.04+0.02
?
?5=0.3
,


所以该校高一年级
1000< br>名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到
25
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“
优秀
”
等次的人数为
0.3?1000=300
人. < br>【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题
,
解题的关键是根据频率分布直方图提供 的数据
,
求出频率
.
再求出学生数
,
属于基础题
.
18.
已知
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.已知
asinBcosC?bcosAsinC?csinA
.
(
1
)求
B
的取值范围;
(
2
)当B
取最大值时,若
a?c?6
,求
ABC
的面积.
?
π
?
93
【答案】(1)
?
0,
?

(
2
)
3
4
??
【解析】

【分析】

(
1
)根据正弦定理:
abc
??可将
asinBcosC?bcosAsinC?csinA
角化边,进而利用余弦定理可 求
sinAsinBsinC
cosB
,即可求得角
B
(
2
)由(
1
)知
B?
取值范围;
?
3
【详 解】(
1
)根据正弦定理:
将
asinBcosC?bcosAsinC?c sinA

化简为
:
b(sinAcosC?cosAsinC)?csinA

?bsinB?csinA

?b
2
?ac

根据余弦定理
:
a
2
?c
2
?b
2a
2
?c
2
?ac1
?cosB???

2a c2ac2
又
B?
?
0,
?
?
,故
B?< br>?
0,
(
2
)

由(
1
)知
B?
?
3
又
a?c?6
所以
a?b?c?3
;
ABC
的面积
S?
1
acsinB?
1
?3?3?
3
?
93
.
2224
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理, 在解决三角形中的边角关系式时,一般全 部化为角的关系,或全
部化为边的关系.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时 ,注意角的限制范围.
的
,
abc
??

sinAsin BsinC
,易得
a?c
,
又
a?c?6
,所以
a ?b?c?3
,根据三角形面积公式即可求得答案.
?
?
?
?

3
??
,易得
a?c
;
25
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19.
在直角坐标系
xOy
中, 抛物线
x
2
?2y
的焦点为
F
,过点
F
的 直线
l
交抛物线于
M
,
N
两点.
(
1
)求
OM?ON
的值;
(
2
)若点
P
在线段
MN
(不含端点)上运动,
OQ?2OP
,求四边 形
OMQN
面积的最小值.
【答案】(1)
?
【解析】

【分析】

(
1
)设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
,
由题知
F( 0,)
,设
l:y?kx?
达定理
,
即可求得答案
;
3

(2)
1

4
(
2
)因为< br>OQ?2OP
,所以
P
是线段
OQ
的中点,则点
O< br>与点
Q
到直线
MN
的距离相等, 四边形
OMQN
的
面积等于
2S
?MON
,即可求得答案.
【详解】(
1
)设
M(x
1
,y
1
),N (x
2
,y
2
)

由题知
F(0,)
设< br>l:y?kx?
得
x
2
?2kx?1?0

1
2
根据韦达定理可得:
x
1
?x
2
?2k,x
1
x
2
??1
,
?

y
1
y2
?
xx
4
22
12
?
1

4
?
OM?ON?x
1
x
2
?y
1
y2
??
(
2
)
,
1
2
1
2< br>,代入到
x?2y
中,得
x
2
?2kx?1?0
,< br>结合韦
2
1
2
,代入到
x?2y
中,
2
3

4

OQ?2OP
,所以
P
是线段
OQ
的中点,
?
点
O
与点
Q
到直线
MN
的距离相等,
四边形
OMQN
的面积等于
2S
?MON
.
故:
2S
?MON
?2??OF?x
1
-x
2
?
1
2
1
(x
1
?x
2
)
2
-4 x
1
x
2
?k
2
?1

2
?k?0
时,四边形
OMQN
的面积最小,最小值为
1
.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.
25
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20.
如图,四棱锥P?ABCD
中,底面
ABCD
是菱形,
PA?
平面
A BCD
,
?ABC?
?
3
,
M
是
PC上一动点.

(
1
)求证:平面
PAC?
平面
MBD
;
(
2
)若
PB?PD
,三棱锥
P?ABD
体积为
6
,求四棱锥
P?ABCD
的侧面积.
24
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】

【分析】

5?2

2
(
1
)将求证平面
PAC?
平面
MBD
,
转化为
BD?
平面
PAC
,结合线面垂直判断定理,即可求得答案;
(
2
)根据已知条件PB?PD
,三棱锥
P?ABD
的体积为
的侧面积.
【详解】 (
1
)
PA?
平面
ABCD
,
BD?
平面
ABCD
,
?PA?BD
.
底面
ABCD
是菱形
?BD?AC
.
又
PAA C?A
,
PA?
平面
PAC
,
AC?
平面
PAC
,
?BD?
平面
PAC
.
又
的
25
6
,
求得每个面面积
,
即可求 得四棱锥
P?ABCD
24
BD?
平面
MBD
,
?
平面
PAC?
平面
MBD
.
(
2
)设菱形
ABCD
的边长为
x
,
?ABC?
?
3
,

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??BAD?
2
?
.
3
1
2
在
?ABD
中,

BD
2
?AD
2
?AB
2
?2AD?ABcos?BAD?2x
2
?2x
2
?(?)?3x
2


?BD?3x
.
又

PA?
平面
ABCD
,
AB?AD
,
PB?PD
,
2
6
x
,故
PA?x
.
2
2
? PB?PD?
又
S
?ABD
?
112
?
3
2
AB?AD?sin?BAD??x
2
?sin?x
,
2234
113
2
26
,
?V
三棱锥P-ABD
??S
?ABD
?PA??x?x=
334224
解得
:< br>x?1
,
?PA?
26
,
,PB?PD?
22
?ABC?
?
3
,

?AC?AB?1

又
PA?
平面
ABCD
,

6
,
2
?PC?PB?

?
四棱锥
P?ABCD
的侧面积为:
121615?2
.
2S
?PAB
?2S
?PBC
?2(??1??()
2??1)?
222242
【点睛】本题考查了判定空间面面垂直和求四棱锥的侧面积问题. 本题的解题关键是将判定空间面面垂直转
化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力. 属于中等题.
x
21.
已知函数
f(x)?(x?1)e?
?a?1
?
x
,其中
a?R
.
(
1
)当
a?1
时,求
f(x)
的最小值; x
(
2
)若
g(x)?f(x)?e
在
R
上单 调递增,则当
x?0
时,求证:
f(x)?e
x
?x
.
9
8
【答案】(1)
?
【解析】

【分析】

1

(
2
)证明见解析
e
2
25
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x
(
1
)当
a?1
时,
f(x)?(x?1 )e
,
可得
:
f
?
(x)?(x?2)e
,
分别讨论
x??2
和
x??2
,
即可求得答案
;
(
2
)因为
g(x)?f(x)?e?xe?(a?1)x
,可得:
g
?
(x)?(x?1)e?a?1?0
恒成立,所以
a?1?(x?1) e
恒成立,即可求得答案.
x
【详解】(
1
)当
a?1< br>时,
f(x)?(x?1)e

xxxx
?f
?
(x)?(x?2)e
x

?当
x??2
时
f
?
(x)?0
,
f(x)在
(??,?2)
上单调递减;
当
x??2
时
f?
(x)?0
,
f(x)
在
(?2,??)
上单调递增 .
?
f(x)
min
?f(?2)??
1
.
e
2
xx
(
2
)
g(x)?f(x)?e?xe?(a?1) x

?g
?
(x)?(x?1)e
x
?a?1?0
恒成立
?a?1?(x?1)e
x
恒成立.
则由(
1
)可得:
a?1?
又
1
.
e
2
x0

xx9
xx
?x?e??e?x

88
e
2
?f(x)?(x?1)e
x
?
?
a?1
?
x?xex
?e
x
?
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成 立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究
函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着 重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能
力.
(二)选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
?
?
x?3?2cos
?
22.
平面直 角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
?
(
?< br>为参数),在以坐标原点
O
为极点,
x
?
?
y?1? 2sin
?
轴非负半轴为极轴的极坐标系中,点
P
在射线
l:
?
(
1
)求曲线
C
的普通方程与点
P
的直角坐标 ;
(
2
)求
△OCP
的面积.
【答案】(1)曲线
C
的普通方程为
x?3
【解析】

?
上,且点
P
到极点
O
的距离为
4
. < br>3
??
2
?
?
y?1
?
?4
，点< br>P
的直角坐标为
2,23

(
2
)
2

2
??
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【分析】

?< br>x?3
?cos
?
?
?
x?3?2cos
?
?
?
2
(
?
为参数),化简为
?
(
1)因为曲线
C
的参数方程为
?
,根据
?
?
y? 1?2sin
?
?
y?1
?sin
?
?
?
2
sin
?
?cos
?
?1
消参,即可求得曲线
C
的普通方程.利用极坐标化直角坐标的公式:
?
22
?
x?
?
cos
?
,即可
y?
?
sin
?
?< br>求得
P
的直角坐标;
(
2
)圆心
C
?2?3?23
3,1
,
OC:y?
3
x
,即
x ?3y?0
,点
P
到
OC
的距离
d??2
,且OC?2
,
3
2
?
结合三角形面积公式,即可求得答案.
?
?
x?3?2cos
?
(
?
为参数) 【详解】(
1
) 曲线
C
的参数方程为
?
?
?y?1?2sin
?
?
x?3
?cos
?
?
?
2
化简为
?
,根据
sin
2
?
?cos< br>2
?
?1
消参
?
y?1
?sin
?
?
?
2
?
曲线
C
的普通方程为
x?3?
?
y?1
?
2
?4

??
2
?
x?
?
cos
?
利用极坐标化直角坐标的公式:
?

y?
?
sin
??
点
P
的极坐标为
?
4,
(
2
)圆心
C
?
?
?
?
?
,直角坐标为
2,23.
3
?
??
?
3,1
,
?
OC:y?
3
x
,即
x?3y?0

3
2?3?23
2
?2
,且
OC?2
, 点
P
到
OC
的距离
d?
?


S
△OCP
?
1
OC?d?2
.
2
【点 睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,意在考查学生的转
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化能力和计算求解能力,属于基础题.
23.
设函数
f(x)?x
2
?4x?a?3?a?1
.
(
1
)若函数
f(x)
有零点,求实数
a
的取值范 围;
(
2
)记(
1
)中实数
a
的最大值为
m
,若
p
,
q
均为正实数,且满足
p?q?m
, 求
p?q
的最小值.
22
【答案】(1)
?
0,4
?

(
2
)
8

【解析】

【分析】

2
(
1
)依题意可知二次方程
x?4x?a?3?a?1?0
有解,因为
??16?4a?3?a?1?0
,
即
??
a?3?a ?1?4
,
对
a
进行讨论
,
即可求得答案
; (
2
)由(
1
)知
p?q?4
,利用柯西不等式可得:
(p
2
?q
2
)?(1
2
?1
2
)?(p?1?q?1)
2
?(p?q)
2
?16
,
即可求 得答
案
.
2
【详解】(
1
)依题意可知二次方程
x?4x?a?3?a?1?0
有解,
???16?4
?
a?3?a?1< br>?
?0
,即
a?3?a?1?4
.
①当
a?1
时,
3?a?1?a?4?a?0
,
?a?
?
0,1
?
;
②当
1?a?3
时,
3?a?a?1?4?2?4
恒成立,
?a?
?
1,3
?
;
③当
a?3
时,
2a?4?4?a?4
,
?a?
?
3,4
?
.

综上所述,可得
a?
?
0,4
?
.
(
2
)由(
1
)知
p?q?4
,
利用柯西不等式可得:

(p
2
?q
2
)?(1
2
?1
2
)?(p?1?q?1)
2
?(p?q)
2
?16
,
?

p
2
?q
2
?8
,
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?

p
2
?q
2
的最小值为
8
,当且仅当
p?q?2
时取等号.
【点睛 】本题主要考查了含绝对值不等式的求解和由柯西不等式求最值,其中解答中合理分类讨论去掉绝对
值, 转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.
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有志者事竟成



笨小孩在路上-《在路上的90包包爸！》
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