考点49 随机变量及其分布-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)(原卷版)

考点49 随机变量及其分布
1
．（江苏省镇江市
2019
届高三考前模拟三模）某商场进行抽奖活动
.
已知一抽奖箱中放有
8
只除颜色外，其
它完全相同的彩球，其中仅有
5
只彩球是红色
.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球
的个数记为
X
. （
1
）若取球过程是无放回的，求事件
“
X?2
”
的概 率；

（
2
）若取球过程是有放回的，求
X
的概率分布列及 数学期望
E
?
X
?
.
2
．（江苏省南京金陵中学 、海安高级中学、南京外国语学校
2019
届高三第四次模拟考试）一个暗箱中有形
状 和大小完全相同的
3
只白球与
2
只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得< br>2
分，取到黑球得
3
分．甲
从暗箱中有放回地依次取出
3只球．

（
1
）求甲三次都取得白球的概率；

（
2
）求甲总得分
ξ
的分布列和数学期望．

3< br>．（江苏省七市
(
南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港
)2019< br>届高三第三次调研考试）现有一款智
能学习
APP
，学习内容包含文章学习和视 频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该
APP
积分规则如下：
每阅读一篇文章积
1
分，每日上限积
5
分；观看视频累计
3
分钟积
2
分，每日上限积
6
分．经过抽样统计
发现，文章学习积分的概率分布表如表< br>1
所示，视频学习积分的概率分布表如表
2
所示．


（
1
）现随机抽取
1
人了解学习情况，求其每日学习积分不低于
9
分的概率；

（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望．
4
．（江苏省南京市、盐城市
2019
届高三第二次模拟考试）如图是一旅游景区供 游客行走的路线图，假设从
进口
A
开始到出口
B
，每遇到一个岔路口 ，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的
.
现有甲、乙、丙、
丁共
4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口
A
的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所 指路线
行走，最后到出口
B
集中，设点
C
是其中的一个交叉路口点< br>.
（
1
）求甲经过点
C
的概率；

（2
）设这
4
名游客中恰有
X
名游客都是经过点
C
，求随机变量
X
的概率分布和数学期望
.

< br>5．（江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研）某市有四个景点，一位游客来该市游览，< br>已知该游客游览的概率为，游览、和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.
（
1
）求该游客至多游览一个景点的概率；

（2）用随机变量表示 该游客游览的景点的个数，求的概率分布和数学期望
6．（江苏省南通市2018届高三最后一卷）从集 合
（1）若
（2）若
.
的所有非空子集中，等可能地取出个．
，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；
，记所取子集的元素个数之差为，求的分布列及数学期望．
7
．（江苏省南通市2018
届高三最后一卷）已知正六棱锥
S?ABCDEF
的底面边长为
2
，高为
1
．现从该棱
锥的
7
个顶点中随机选取
3
个点构成三角形，设随机变量
X
表示所得三角形的面积
.

(1)
求概率
P(X?3)
的值；

(2)
求
X
的分布列，并求其数学期望
E(X)
．

8．（江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测）袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红 球，这
些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白 球，则该
白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为
(I)求随机变量的概率分布及数学期望
(Ⅱ)求随机变量的数学期望
；
.
关于的表达式.
9
．（江苏省南京师大附中
2018
届高三高考考 前模拟考试）如图，设
P
1
，
P
2
，
…
，
P
6
为单位圆上逆时针均匀

分布的六个点．现任选 其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量
S
．

（1）求S＝的概率；
（
2
）求
S
的分布列及数学期望< br>E(S)
．


10．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年 度高三教学情况调研二）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一
道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙 做对该题的概率分别为
独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
，且三位学生能否做对相互



的值；


（1）求
（2）求的数学期望．
11．（湖南省永州市2018届高三下 学期第三次模拟考试）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一
款意外险产品，每年每位职工 只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的
所有岗位共分为、、三类工 种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出
三类工种的赔付 频率如下表（并以此估计赔付概率）：
工种类别

A B C
赔付频率



已知、、三类工种职工每人每年保费分别为25 元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、
100万元、50万元，保险公司在开展此 业务的过程中固定支出每年10万元.
（
1
）求保险公司在该业务所获利润的期望值；

（
2
）现有如下两个方案供企业选择：

方案
1
： 企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付
给出意 外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年
12
万元；

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的
付，企业无额外专项开支.
根据企业成本差异给出选择合适方案的建议
.
12．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学 2018届高三4月联考）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片
上分别标有数
?i,i ,?2,2,
其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一
次试 验（设每次试验的结果互不影响）．
（1）求事件
A
“在一次试验中，得到的数 为虚数”的概率
P
?
A
?
与事件
B
“在四次试验中，
至少有两次得到虚数” 的概率
P
?
B
?
；
（2）在两次试验中，记两次得到的数 分别为
a,b
，求随机变量
?
?a?b
的分布列与数学期望
E
?
.

13．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研 二模）在某公司举行的年终庆典活动中，主
持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所 示的33表格，其中1格设奖300元，4格
，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔
各设 奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3
格，记中奖的总金额为X元．
（1）求概率；
． （2）求的概率分布及数学期望

14．（江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级 第一学期教学质量调研三）袋中有大小相同的3个红球和2
个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的 是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再
从袋中取一球,直到取出两个白球 或者取球5次,则停止取球,设取球次数为
X
,
(1)
求取球
3
次则停止取球的概率
;
(2)求随机变量
X
的分布列.
15
．（江苏省南京师范大学附属 中学
2017
届高三高考模拟）从
0
，
1
，
2，
3
，
4
这五个数中任选三个不同的

数组成一个三位数，记
X
为所组成的三位数各位数字之和．

（
1
）求
X
是奇数的概率；

（
2
）求
X
的概率分布列及数学期望．

16．（ 江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研二）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1
个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出
三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第
n
局得
n
分
（
n?N
*
）的情况就算游戏过关，同时游戏结 束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.
（
1
）求在一局游戏中得
3
分的概率；

（2）求 游戏结束时局数
X
的分布列和数学期望
E
?
X
?
.
17．（江苏省南通市2017年高考数学全真模拟试题一）从集合
M?
?
1 ,2,3,4,5,6,7,8,9
?
中，抽取三个不同
的元素构成子集
?< br>a
1
,a
2
,a
3
?
.
（1）求 对任意的
i?j
满足
a
i
?a
j
?2
的概 率；
（2）若
a
1
,a
2
,a
3
成等差 数列，设其公差为
?
(
?
?0)
，求随机变量
?
的 分布列与数学期望.
18．如图，设
P
1
,P
2
,,P< br>6
为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，
记该三 角形的面积为随机变量
S
.
（1）求
S?
3
的概率； < br>2
（2）求
S
的分布列及数学期望
E
?
S
?
.

19．（2018届高三南京市联合体学校调研测试）甲、乙两人参加某种选拔 测试，在备选的10道题中，甲答
对其中每道题的概率都是
3
，乙能答对其中的5道题 。规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题
5

进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.
（
I
）求甲能入选的概率
.
（
II
）求乙得分的分布列和数学期望；

20
．（江苏省 南京市
2018
届高三数学上学期期初学情调研考试）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜
色的小球，每种颜色的小球各有
4
个，分别编号为
1
，
2< br>，
3
，
4
．现从袋中随机取两个球．

（
Ⅰ
）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；

（
Ⅱ）在（
1
）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量
X
，求随机变 量
X
的概率分布与数学期望．

21
．邗江中学高二年级某班某小组 共
10
人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为
1
，
2
，
3
的
人数分别为
2
，
4
，
4< br>．现从这
10
人中选出
2
人作为该组代表参加座谈会．

（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；
（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．