安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学(理)试题 含答案

合肥市2020届高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷
(60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只
有 一项是符合题目要求的.

1.已知集合
A?
?
xx
2?x?2?0
?
，
B?
?
x2x?1?0
?
， 则
AUB?
( ).
?
1
?
?
1
??
1
?
??
?
B.
?
，
A.
?
?1，
??
?

1
?
C.
?
， 2
?
D.
?
，
?
2
??
2
?
?
2?
2.设复数
z
满足
z?1?z?i
(
i
为虚 数单位)，
z
在复平面内对应的点为(
x
，
y
)，则
( ).
A.
y??x
B.
y?x
C.
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
D.
?
x?1
?
?
?
y?1
??1

3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和
“21世纪海上丝绸之路”的简 称，旨在积极发
展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政
治互信、经济融合、文化包容的命 运共同体.
自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.
右图是2013-2017年，我 国对“一带一路”沿
线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是
．．
( ).
A.这五年，2013年出口额最少
B.这五年，出口总额比进口总额多
C.这五年，出口增速前四年逐年下降
D.这五年，2017年进口增速最快
4.下列不等关系，正确的是( ).
A.
log
2
3 ?log
3
4?log
4
5
B.
log
2
3?log
4
5?log
3
4

C.
lo g
2
3?log
4
5?log
3
4
D.
log
2
3?log
3
4?log
4
5

5.已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
??3
，
2a
4?3a
7
?9
，则
S
7
的值等于( ).
2222
A.21 B.1 C.-42 D.0

6.若执行右图的程序框图，则输出
i
的值等于( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
2
x
?2
?x
7.函数
y?
的图象大致为( ).
x?cosx

8.若函数
f
?
x
?
?sin2x
的图象向右平移
列说法正确的是( ).
A.
g
?
x
?
的图象关于
x??
?
12
11?
个单位得到的图象对应的函数为
g
?
x
?
，则下6
对称 B.
g
?
x
?
在
?< br>0，?
?
上有2个零点
?
3
?
?
?
?
?
?
5
?
?
gx
， 0
?
C.
g
?
x
?
在区间
?
，
上单调递减 D.在上的值域为
?， 0

??
?
?
?
?
2
?
2
36
??
??
??
x
2
y
2
9.已知双曲线
C：
2
?
2
?1
(< br>a?0，b?0
)的左右焦点分别为
F
1
，F
2
，圆
F
2
与双曲线
C
ab
uuuuruuuuur
的渐 近线相切，
M
是圆
F
2
与双曲线
C
的一个交点.若
F
1
M?F
2
M=0
，则双曲线
C
的离心 率等
于( ).
A.
5
B.2 C.
3
D.
2

10.射线测厚技术原理公式 为
I?I
0
e
?
??
t
，其中
I
0
，I
分别为射线穿过被测物前后的强度，
e
是自然对数的底数，
t
为被测物厚度，
?
为被测物的密度，
?
是被测物对射线的吸收系数.
工业上通常用镅241(
241
Am
)低能
?
射线测量钢板 的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度
为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，
ln2?0.693 1
，结果
精确到0.001)
A.
0.110
B.
0.112
C.
0.114
D.
0.116

11.已知正方体
ABCD?A
1
B1
C
1
D
1
，过对角线
BD
1
作平面
?
交棱
AA
1
于点E，交棱
CC
1
于点< br>F，则：
①平面
?
分正方体所得两部分的体积相等；
②四边形
BFD
1
E
一定是平行四边形；
③平面
?
与平面
DBB
1
不可能垂直；

④四边形
BFD
1
E
的面积有最大值.
其中所有正确结论的序号为( ).
A.①④ B.②③ C. ①②④ D. ①②③④
?x
?
x?0
?
?e，
12.已知函数
f
?
x
?
?
?
x
，则函数
F
?
x
?
?f
?
f
?
x
?
?
?ef
?
x
?
的零点个数
xe?x?1?lnx，x?0
?
?
为( ) (
e
是自然对数的底数).
A.6 B.5 C.4 D.3

第Ⅱ卷


(90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都 必须作
答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
r
rr
rr
?2
?
，且
a
∥
a?2b
，则
m
的值等于 . 13.已知向量
a?
(1，1)，
b?
?
m，
??14.直线
l
经过抛物线
C
：
y
2
?12x< br>的焦点
F
，且与抛物线
C
交于
A
，
B
两点，弦
AB
的
长为16，则直线
l
的倾斜角等于 .
15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思
想 为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视
听学习”等多 个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者
准备学习这2篇文章和其中 2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.
16.已知三棱锥
A? BCD
的棱长均为6，其内有
n
个小球，球
O
1
与三棱锥< br>A?BCD
的四个
面都相切，球
O
2
与三棱锥
A?B CD
的三个面和球
O
1
都相切，如此类推，…，球
O
n与三棱锥
且
n?N
?
)，则球
O
1
的体积等于 ，球
O
n
A?BCD
的三个面和球
O
n?1
都相切 (
n?2
，
的表面积等于 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
在
?ABC
中，内角
A，B，C所对的边分别为
a，b，c
，若
a?2
，
acosC?ccos A?2bcosB?0
.
(1)求
B
；
(2)若
BC< br>边的中线
AM
长为
5
，求
?ABC
的面积.

18.(本小题满分12分)
“ 大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源
众多，自然风光秀美 ，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”
项目，某旅游学校一位实习生， 在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、
民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几 年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学
校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类
型
学校数
科技体验
游
40
民俗人文
游
40
自然风光
游
20
该实习生 在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统
计的频率代替学校选择研学 游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一
类，且不受其他学校选择结果的影响)：
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型
都有 学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期
望.


19.(本小题满分12分)
如图，已知三棱柱
ABC?A< br>1
B
1
C
1
中，平面
AAC
11
C ?
平面
ABC
，
AA
1
?AC
，
AC?B C
.
A
1
C
1
B
1
(1)证明：
A
1
C?AB
1
；
(2)设
AC?2CB
，< br>?A
1
AC?60
，求二面角
C
1
?AB
1
?B
的余弦值.


20.(本小题满分12分)
A< br>o
C
B
x
2
y
2
设椭圆
C:
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左右顶点为
A1
，A
2
，上下顶点为
B
1
，B
2
， 菱形
A
1
B
1
A
2
B
2
ab的内切圆
C
?
的半径为
2
，椭圆的离心率为
(1)求椭 圆
C
的方程；
2
.
2
(2)设
M，N
是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点
P
满足
PM?PN
，试判断直线
PM，PN
与圆
C
?
的位置关系，并证明你的结论.

21.(本小题满分12分)
1?x
2
已知函数
f
?
x
?
?
x
(
e
为自然对数的底数).
e
(1)求函数
f
?
x
?
的零点
x
0
，以及曲线
y?f
?
x
?在
x?x
0
处的切线方程；
1
??
(2)设方程f
?
x
?
?m
(
m?0
)有两个实数根
x
1
，
x
2
，求证：
x
1
?x
2
?2?m
?
1?
?
.
?
2e
?


请考生在第22、23题中任选一题作答.注 意：只能做所选定的题目，如果多做，则按
所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上， 将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
?
?
x?3?
?
在直角坐标系
xOy
中，直线
l< br>的参数方程为
?
?
y?1?
?
?
2
t
2
(
t
为参数)，在以坐标原点为极
2
t
2
点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
的方程为
?
?4c os
?
?6sin
?
.
(1)求曲线
C
的直角坐标方程；
(2)设曲线
C
与直线
l
交于点
M，N
，点
A
的坐标为(3，1)，求
A M?AN
.


23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
4
?
. 已知函数
f
?
x
?
?x?m? x?2
(
m?R
)，不等式
f
?
x?2
?
?0
的解集为
?
??，
(1)求
m
的值；
(2) 若
a?0
，
b?0
，
c?3
，且
a?2b?c?2 m
，求
?
a?1
??
b?1
??
c?3
?
的最大值.

合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
答案

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.-2 14.
3分)

三、解答题：大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
解：(1 )在
?ABC
中，
abc
，且
acosC?ccosA?2bcos B?0
，
??
sinAsinBsinC
6
?
?
2
?
或15.72 16.
6
?
，
n?1(第一空2分，第二空
4
33

1
A
2
B
3
C
4
D
5
D
6
B
7
A
8
B
9
A
10
C
11
C
12
B
∴
si nAcosC?sinCcosA?2sinBcosB?0
，∴
sinB?1?2cosB? 0
，
又∵
sinB?0
，∴
cosB??
2
.
2
3
?
. ………………………………5分
4
3
?
，AB?c
，
4
??
∵
B
是三角形的内角， ∴
B?
(2)在< br>?ABM
中，
BM?1，AM?5，B?
2
由余弦定理得
AM
2
?c
2
?
?
BM
?
?2c?BM?co sB
，∴
c
2
?2c?4?0
，
∵
c?0
，∴
c?2
.
在
?ABC
中，
a?2
，
c?2
，
B?
1
2
3
?
，
4
∴
?ABC
的面积
S?acsinB?1
. ………………………………12分

18.(本小题满分12分)
21
(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为， 55
∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都

?
2
??
1
??
1
??
2
?
18
有学校选择的概率为：. ………………………………5
P?C
????
?C
3
2
????
?
?
5
??
5
??
5
??
5
?
125
2
3
22
分
(2)
X
可能取值为0，1，2，3.
27
54
?
3
?
1
?
2
??
3
?
则
P
?
X?0
?
?C
??
?
，
P
?
X?1
?
?C
3
，
?????
5125
55125
??
????
0
3
3< br>2
8
?
2
??
3
?
36
?
2
?
，
P
?
X?3
?
?C
3
3< br>??
?
，
P
?
X?2
?
?C
?? ??
?
55125
5125
????
??
2
32
3
∴
X
的分布列为
X

0
27

125
1
54

125
2
36

125
3
8

125
P

∴
EX?0?
或解
27543686
?1??2??3??
. ……………………………12分
55
：∵随机变量
X
服从
?< br>2
?
X
?
B
?
3
，

?< br>?
5
?
，∴
EX?np?3?
26
?
. ……………………………12分
55

19.(本小题满分12分)
(1)连结
AC
1
.
∵
AA
1
?AC< br>，四边形
AAC?AC
1
.
11
C
为菱形，∴AC
1
∵平面
AAC
11
C?
平面
ABC，平面
AAC
11
CI
平面
ABC?AC
，
BC?
平面
ABC
，
BC?AC
，
∴
BC?
平面
AAC
11
C
.
又∵BCB
1
C
1
，∴
B
1
C
1
?
平面
AAC
.
11
C
，∴
B
1
C
1
?AC
1
∵
AC
1
IB
1
C
1
?C
1
，
∴
A
1
C?
平面
AB
1
C
1
，而
AB
1
?
平面< br>AB
1
C
1
，
∴
A
1
C?AB
1
. …………………………5分
(2)取
A
1
C
1
的中点为< br>M
，连结
CM
.
o
∵
AA
1
?A C
，四边形
AAC
1
AC?60
，∴
CM?AC
1 1
C
为菱形，
?A
11
，
CM?AC
.
又∵
CM?BC
，以
C
为原点，
CA，CB，CM
为正方向 建立空间直角坐标系，如图.
设
CB?1
，
AC?2CB?2
，< br>AA
1
?AC
，
?A
1
AC?60
o
，

∴
C
(0，0，0)，
A
1
(1，0，
3
)，
A
(2，0，0)，
B
(0，1，0) ，
B
1
(-1，1，
3
).
uuuv
由(1)知 ，平面
C
1
AB
1
的一个法向量为
CA
1
?1，0，3
.
??
vuuuv
v
vuuuvvuuuuv
?
?
n?AB?0
n?AB
1
，∴
?
vuu u
设平面
ABB
1
的法向量为
n?
?
x，y，z< br>?
，则
n?AB，
.
uv
?
?
n?AB< br>1
?0
uuuv
uuv
?
?
?2x?y?0
1， 0
?
，
AB
1
??3，
∵
AB?
?
?2，
.
1， 3
，∴
?
?3x?y?3z?0
?
?
??
令
x?1
，得
y?2，z?
1
3
，即
n?
?
1，2，
?
.
?
3
?
v
?
1
?
uuuvv
u uuvv
CA
1
?n
∴
cos?CA
1
，
n??
uuuvv
?
CA
1
?n
2
2?
1 6
3
?
3
，
4
∴二面角
C
1
? AB
1
?B
的余弦值为
?

20.(本小题满分12分)
3
. ……………………………12分
4
(1)设椭圆的半焦 距为
c
.由椭圆的离心率为
设圆
C
?
的半径为
r< br>，则
r?a
2
?b
2
?ab
，
2
知，
b?c，a?2b
.
2
∴
2?3b?2b
2
，解得
b?3
，∴
a?6
，
x
2y
2
∴椭圆
C
的方程为
??1
. ……………………………5
63
分
(2)∵
M，N
关于原点对称，
PM?PN
，∴
OP?MN
.
设
M
?
x
1
，y
1
?
，
P
?
x
2
，y
2
?
.
当直线
PM
的斜率存在时，设直线
P M
的方程为
y?kx?m
.
由直线和椭圆方程联立得
x
2
?2
?
kx?m
?
?6
，即
?
1?2k< br>2
?
x
2
?4kmx?2m
2
?6?0
，
2
4km
?
x?x??
12
?
?2k
2< br>?1
∴
?
.
2
2m?6
?
xx?
12
?
2k
2
?1
?
uuuuvuuuv
∵
OM?
?
x
1
，y
1
?
，
OP?
?
x
2
，y
2
?
，
uuuuvuuuv
OM?OP?x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
2
?
?
kx
1
?m
??kx
2
?m
?
∴
22
2
3m?2k?2??
2m?6?4km
?0
?
?
1?k
2
?< br>x
1
x
2
?km
?
x
1
?x
2
?
?m
2
?
?
1?k
2
?
?
2
?km?
2
?m
2
?
2k
2
? 1
2k?12k?1
，

∴
m
2
?2k
2
?2?0
，
m
2
?2k
2
?2< br>，
∴圆
C
?
的圆心O到直线
PM
的距离为
m
k?1
2
?2?r
，∴直线
PM
与圆
C
?
相切.
当直线
PM
的斜率不存在时，依题意得
N
??x
1
,?y
1
?
，
P
?
x
1
,?y
1
?
.
x
1
2
y
1< br>2
由
PM?PN
得
2x
1
?2y
1
，∴
x?y
，结合
??1
得
x
1
2
?2< br>，
63
2
1
2
1
∴直线
PM
到原 点O的距离都是
2
，
∴直线
PM
与圆
C
?
也相切.
同理可得，直线
PN
与圆
C
?
也相切.
∴直线
PM
、
PN
与圆
C
?
相切. …………………………12分

21.(本小题满分12分)
1?x
2< br>(1)由
f
?
x
?
?
x
?0
，得< br>x??1
，∴函数的零点
x
0
??1
.
e
x
2
?2x?1
，
f
?
?
?1
?
?2e
，
f
?
?1
?
?0
.
f
?
?
x
?
?
e
x
曲线
y?f
?< br>x
?
在
x??1
处的切线方程为
y?2e
?
x?1
?
.
2
f
?
?
1
?
??
，
f
?
1
?
?0
，
e
∴曲线< br>y?f
?
x
?
在
x?1
处的切线方程为
y? ?
x
2
?2x?1
(2)
f
?
?
x
?
?
.
e
x
2
?
x?1
?
.………………………5分
e
当
x???， 1?2U1?2， ??
时，
f
?
?
x
?
?0
；当
x?1?2， 1?2
时，
f
?
?
x
?
?0
.
∴
f
?
x
?
的单调递增区间为
??， 1?2， 1?2， ??
，单调递减区间为
1?2， 1?2
.
由(1)知，当x??1
或
x?1
时，
f
?
x
?
?0
；当
?1?x?1
时，
f
?
x
?
?0.
1
?
时，
2e
?
x?1
?
? f
?
x
?
. 下面证明：当
x?
?
?1，
1
?
时， 当
x?
?
?1，
??????
???? ??
x
2
?1x?1
2e
?
x?1
?
?f
?
x
?
?2e
?
x?1
?
?
x< br>?0?e
x?1
??0
.
2
e
易知，
g< br>?
x
?
?e
x?1
?
而
g
?
?1
?
?0
，
x?1
1
?
上单调递增， 在
x?
?
?1，
2
1
?
恒成立， ∴
g
?
x
?
?g
?
?1
?
?0
对< br>?x?
?
?1，

1
?
时，2e
?
x?1
?
?f
?
x
?
. ∴当
x?
?
?1，
由
?
?y?2e
?
x?1< br>?
mm
?
得
x??1
.记
x
1
?< br>??1
.
2e2e
?
?
y?m
不妨设
x< br>1
?x
2
，则
?1?x
1
?1?2?x
2< br>?1
，
?
m
?
∴
x
1
?x
2
?x
1
?
?x
2
?x
2
?x
1
?
?x
2
?
?
?1
?
.
?< br>2e
?
1
?
1
???
m
??
要证< br>x
1
?x
2
?2?m
?
1?
?
，只 要证
x
2
?
?
?1
?
?2?m
?
1?
?
，即证
x
2
?1?m
.
?
2e< br>??
2e
??
2e
?
1?x
2
2
1 ?x
2
2
又∵
m?
x
2
，∴只要证
x2
?1?
x
2
，即
?
x
2
?1
?
?
?
e
x
2
?
?
x
2
?1
?
?
?0
.
ee
∵
x
2
?1?2， 1
，即证
e
x
?
?
x
2
?1
?
?0
.
2??
令
?
?
x
?
?e
x
?
?
x?1
?
，
?
?
?
x
?
?ex
?1
.
当
x?1?2, 0
时，
?
??
x
?
?0
，
?
?
x
?
为单 调递减函数；
当
x?
?
0,1
?
时，
?
?
?
x
?
?0
，
?
?
x
?
为单调递增函数.
∴
?
?
x
?
?
?
?
0
?
?0
，∴
e
x
?
?
x
2
?1
?
?0
，
2
??
1
??
∴
x
1
?x
2
?2?m
?
1?
?
. …………………………12分
?
2e
?

22.(本小题满分10分)
(1)曲线
C
的方程
?
?4 cos
?
?6sin
?
，∴
?
2
?4
?< br>cos
?
?6
?
sin
?
，∴
x
2
?y
2
?4x?6y
，
即曲线
C
的直角坐标方程 为：
?
x?2
?
?
?
y?3
?
?13. …………………………5分
?
?
x?3?
?
(2) 把直线
l:
?
?
y?1?
?
?
2
2
t
???
22
?
2
2
代入曲线得
1?t??2?
C
???
??
?
??
t?13
，
22< br>2
????
t
2
22
整理得，
t
2
?32t?8?0
.
∵
???32?32?0
，设
t
1< br>，t
2
为方程的两个实数根，则
t
1
?t
2
?32
，
t
1
t
2
??8
，∴
t
1
，t
2
为异号，
??
2
又∵点
A
(3，1)在直线
l
上，
∴
AM?AN?t
1
?t
2
?t
1
?t
2
?
?
t
1
?t
2
?
2
?4t< br>1
t
2
?50?52
.
…………………………10分

23.(本小题满分10分)

4
?
， 解：(1)∵
f
?
x
?
?x?m?x?2
，∴
f
?
x?2
?
?x?m?2?x?0
的解集为
?
??，
∴
x?m?2?x
，解得
m?2?8
，即
m?6
. …………………………5
分
(2)∵
m?6
，∴
a?2b?c?12
.
又∵
a?0
，
b?0
，
c?3
，
∴?
a?1
??
b?1
??
c?3
?
?
?
a?1
??
2b?2
??
c?3
?

2
3
33
1
?
?
a?1
?
?
?2b?2
?
?
?
c?3
?
?
1
?a?2b?c
?
1
?
12
?
?
??
?
??
?
??
?32
，
2
?
32
?
32
?
3
??
?
当且仅当
a?1?2b?2?c ?3
，结合
a?2b?c?12
解得
a?3
，
b?1
，
c?7
时，等号成立，
∴
?
a?1
??
b? 1
??
c?3
?
的最大值为32.
10分



…………………………