构造深度公式和倍差倍问题

2020年10月6日发(作者：奚疑)
和倍差倍问题
和倍差倍问题是小学数学中应用特别广泛的一类问题，从
低年级到高年 级都有不同的题型，要想解决这类问题首先要弄
清楚一倍量、多倍量、两数和、倍数和、两数差、倍数差 这几
个名词术语的含义；其次要牢记和倍、差倍公式；最后，要熟
悉和倍差倍问题的典型题例。
一、名词术语的含义
1、一倍量与多倍量
一倍量也就是原数，原数可以是0以外 的任意自然数；
一倍量的几倍就是几倍量，统称多倍量，也就是原数的倍数。
下表可以直观地告 诉我们一倍量和多倍量的关系：
原数 多倍量（倍数）
一倍量 二倍量 三倍量 四倍量 五倍量
9 18 27 36 45
12 24 36 48 60
75 150 225 300 375
200 400 600 800 1000
2、两数和与两数差
一倍量和多倍量相加就是两数和，即：
一倍量＋多倍量＝两数和。
多倍量和一倍量相减就是两数差，即：
多倍量－一倍量＝两数差。
3、倍数和与倍数差
多倍量是一倍量的几倍，倍数和就是几＋1；倍数
差就是几－1。
例1：大牛和小牛共20头，大牛的头数是小牛的4倍，求大牛
和小牛各多少头？
……
……
……
……
……
在这道题中，两数和就是20；倍数和就是：4＋1，其中小
牛头数是一倍量，大牛头数多倍量
例2：红花比黄花多30朵，红花是黄花的6倍，求红花和黄花
各多少朵？
在这道题 中，两数差就是30；倍数差就是：6－1，其中，
黄花朵数是一倍量，红花朵数是多倍量。
二、和倍、差倍公式
1、和倍公式：数量和÷倍数和=1倍量
2、差倍公式：数量差÷倍数差=1倍量
三、和倍差倍问题的典型题例
例1：张章和爸爸今年的年龄之和是55岁，爸爸的年龄是张章
的4倍，爸爸比张章大多少岁？
分析：在这道题中我们不难看出两数和是55岁，倍数和是4＋
1，其中，一倍量是张章的年龄 ，多倍量是爸爸的年龄。
解答：张章的年龄： 55÷（4+1）=11（岁）
爸爸的年龄： 11Ⅹ4＝44（岁）
爸爸比张章大：44-11=33（岁）
答：爸爸比张章大33岁
例2：某乐器行2018年1月份共售出甲乙两种品牌的电子琴630台，已知甲品牌电子琴的销量是乙品牌的5倍，求
两种品牌的电子琴各售出多少台？
分析：从题意中我们能够看出甲乙两种品牌的电子琴售出的总
台数630台是两数和，倍数和是5＋1 ，其中，乙品牌电
子琴出售的台数是一倍量，甲品牌电子琴出售的台数是
多倍量，根据和倍公式 可解答为：
解答：乙品牌电子琴出售的台数是：630÷（5＋1）＝105（台）
甲品牌电子琴出售的台数是：105×5＝525（台）
答：乙品牌电子琴出售的台数是105台，甲品牌电子琴
出售的台数是525台
例3 ：在一个数的后面添上一个“0”，得到的新数比原数大
918，你知道原来的数是多少吗？
分析：从题意中我们可以看出新数比原数大918，也就是说新
数和原数两数的差是918，在一个数的 后面添上一个0，
也就是说新数是原数的10倍，所以倍数差是10－1，其
中，一倍量是原数 ，多倍量是新数，故根据差倍公式可解
答为：
解答： 918÷（10-1）=102
答：原来的数是102。
例4：马虎在计算 一道除法计算题时，把除数2.4看成了24，
所得的商比正确的商少23.4.这个算式中，被除数是 多
少？
分析：从题意中我们可以看出所得的商比正确的商少23.4，也
就是说正确 的商与所得的商的差是23.4，也就是两数差
是23.4，把除数2.4看成了24也就是说除数扩大 了10，
所以倍数差是10－1，其中，所得的商是一倍量，正确
的商是多倍量，故根据差倍公 式可解答为：
解答：所得的商是：23.4÷（10-1）＝2.6
正确的商是：2.6×10＝26
被除数是：26×2.4＝62.4
答：被除数是62.4。
例5：三筐苹果的总质量是207千克，第一筐苹果的质量是第二筐苹果的3倍，第二筐苹果的质量是第三筐苹果的2倍，
三筐苹果的质量分别是多少千克？ 分析：如果把第三筐苹果的质量看做一倍量，那么第二筐苹果
的质量是第三框的2倍，第一筐苹果的 质量就是第三框的
（2×3）倍；三筐苹果的总质量即“两数和”（这里是三
数和）就是一倍量 的（2×3＋2＋1）倍。
解答：第三筐苹果的质量：207÷（2×3＋2＋1）＝23（千克）
第二筐苹果的质量：23×2＝46（千克）
第一筐苹果的质量：46×3＝138（千克）
答：第一筐苹果的质量138千克，第二筐苹果的质量
46千克，第三筐苹果的质量23千克。
例6：在一个山坡上，有一位老牧民放牧着绵羊、山羊共2361
只，如果绵羊减少50只，山 羊增加40只，那么绵羊的只
数比山羊只数的4倍还多1只，原来山坡上有绵羊、山羊
各多少只 ？
分析：绵羊减少50只，山羊增加40只后，羊的总数是2361－
50＋40＝2351 （只），如果再减少1只绵羊，此时羊的总
数即两数和就是（2351－1），而此时绵羊的只数正好是
山羊的4倍，所以倍数和就是（4＋1）.
解答：2361－50＋40＝2351（只）
现有山羊：（2351－1）÷（4＋1）＝470（只）
原有山羊：470－40＝430（只）
原有绵羊：2361－430＝1931（只）
答：原来山坡上有绵羊1931只，山羊430只。
从以上的题例我们可以看出，出题的格式 和题型是千变万
化的，有的直接给出了两数和或差，有的没有直接给出来；有
的是两个数，还有 的是三个数；有的一看就能找到倍数和或倍
数差，有的却隐含在题意中，这都要求我们要耐心细致的审题 ，
灵活巧妙地分析问题，找出问题的关键所在，从而解决问题。
最后我想告诉大家： 熟了才能生出巧来；理解透了才能触
类而旁通。
这是学习的最高境界！