山东省青岛市2020届高三上学期期末考试 数学附答案

高三教学质量检测
数学试题
2020．01
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位
置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．第I卷每小 题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其 它答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置， 不能写在试题卷上；如需改动，先划掉
原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修 正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：(本大 题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的) 1．已知复数
z
i
,z
2
在复平面内对应的点分别为
Z
1
?
1,1
?
,Z
2
?
0,1
?
，则
A．
1?i
B．
?1?i
C．
?1?i

z
1
?

z
2
D．
1?i

2．设
a?R
，则“< br>sin
?
?cos
?
”是“
sin2
?
?1
”的
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件






B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
uuruur
rr
rr
rrrr
a
a，b
3．向量满足
a?1,b?2,a?b?2a?b
，则向量
与b
的夹角为
????
A．
45

o
B．
60

o
C．
90

o
D．
120

o
4．已知数列
?
a
n
?
中，
a
3
?2,a
7
?1
．若
?
A．
?
1?
?
为等差数列，则
a
5
?

a
?
n
?
4

3

2

3
B．
3

2
C． D．
3

4

5．已知点
M
?
2,4
?在抛物线
C:y?2px
?
p?0
?
上，点M到抛物线C的焦点 的距离是
2
A．4 B．3 C．2 D．1
uuuruuur uuuruuuruuuruuuruuuruuur
6．在
?ABC
中，
A B?AC?2AD,AE?2DE?0，若EB?xAB?yAC
，则
A．
y?2x
B．
y??2x
C．
x?2y
D．
x??2y

x
2
y2
7．已知双曲线
C:
2
?
2
?1,
?
a?0,b?0
?
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，O
为坐标原点，P是双曲线在第
ab
uuuuruuuur
uuuruu uur
一象限上的点，
PF
1
=2PF
2
=2m,
?
m?0
?
,PF
1
?PF
2
?m
2，则双曲线C的渐近线方程为
A．
y??
1
x

2
B．
y??
2
x

2
C．
y??x
D．
y??2x

8．已知 奇函数
f
?
x
?
是R上增函数，
g
?
x< br>?
?xf
?
x
?
则
?
?
2
?
?
?
3
?
1
??
3
2
A.
g
?
log
3
?
?g
?
2
??g
?
2
?

4
??
??
??
2
?
??
?
?
3
?
1
??
C.
g
?
2
2
?
?g
?
2
3
?
?g
?
log
3
?

4
??
? ?
??
?
?
2
?
?
?
3
?
1
??
3
2
B．
g
?
log
3
?
?g
?
2
?
?g
?
2
?
4
??
??
??
3
?
?
?
?
2
?
?
1
??
D.
g
?
2
3< br>?
?g
?
2
2
?
?g
?
log3
?

4
??
??
??
二、多项选择题：本题 共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求，全部选对的得 5分，部分选对的得3分，有选错的0分。
9．如图，正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，则下列四个命题正确的是：
A．直线BC与平面
ABC
1
D
1
所成的角等于
B ．点C到面
ABC
1
D
1
的距离为
?

4
2

2
C．两条异面直线
D
1
C和BC
1
所成的角为
D．三棱柱
AA
1
D
1
?B B
1
C
1
外接球半径为
?

4
3

2
?
?
10．要得到
y?cos2x
的图象
C1
，只要将
y?sin
?
2x?
?
?
?
图象
C
2
怎样变化得到?
3
?

A．将
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
3
?
?
的图象
C
2
沿x轴方向向左平移
?
个单位
12
B．
y?sin
?2x?
?
?
?
?
3
?
?
的图象
C
2
沿x
轴方向向右平移
11
?
个单位
12< br>C．先作
C
2
关于x
轴对称图象
C
3
，再将 图象
C
3
沿x
轴方向向右平移
D．先作
C
2
关于x轴对称图象
C
3
，再将图象
C
3
沿x
轴方 向向左平移
11．已知集合
M=
112
5
?
个单位
12
?
个单位
12
2
12
?
?
x,y
?
y?f
?
x
?
?
，若对于
??
x,y
?
?M,?
?
x,y
?
?M
，使得
xx
2
2
?y
1
y
2
?0
成立，
则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：
M
1
?
?< br>?
x,y
?
y?x?1
?
；
M?
?
?
x,y
?
y?x?1
；
?
M
3
?
?
?
x,y
?
y?e
?
；
M?
?
?
x,y
?
y?sinx?1
?
．其中是“互垂点集”集合的为
x
4
A．
M
1
B．
M
2
C．
M
3
D．
M
4

12．德国著名数学家 狄利克雷(Dirichlet，1805～l859)在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个< br>“奇怪的函数”
y?f
?
x
?
?
?
命题：
A．函数
f
?
x
?
是偶函数
B．
?x< br>1
,x
2
?C
R
Q,f
?
x
1?x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
恒成立
C．任取一个不为零的有理数T，
f?
x?T
?
?f
?
x
?
对任意的
x? R
恒成立
D．不存在三个点
Ax
1
,f
?
x1
?
,Bx
2
,f
?
x
2
?
，Cx
3
，f
?
x
3
?
，使得△ABC为等腰直角 三角形其中真命
题的个数是__________________．

?
1,x?Q
其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数
f
?
x
?< br>有如下四个
?
0,x?C
R
Q
??????
第II卷 (非选择题 共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已 知直线
x?y?a?0与圆O：x?y?2
相交于A，B两点(O为坐标原点)，且
? AOB
为等腰直角
三角形，则实数
a
的值为__________；

22

14．已知直线
y?x?2
与曲线
y?ln
?
x?a
?
相切，则a的值为_________； l5．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认 可．良
渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的 过程中
利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年) 的衰变规律满
足
N?N
0
?2
?T
5730
(< br>N
0
表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的____ ______；经
过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的
31
至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在
72
5730年到__________年之间． (参考数据：lg2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知
?ABC
的顶点A∈平面
?
，点B，C在平面
?
异侧，且
AB?2，AC?
成的角分别为
3
，若AB，AC与
?
所
??
，
，则线段BC长度的取值范围为___________．
36
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
l7．(本小题满分10分)
已知
f
?
x
?
?2 cosxsinx?3cosx?3

(I)求函数
f
?
x
?
的最小正周期及单调递减区间； < br>(II)求函数
f
?
x
?
在区间
?
?

18．(本小题满分12分)
在
?ABC
，
a,b,c
分别为内角A，B，C的对边，且
8absinC?3b
2
?c
2
?a
2
，若
??
?
?
?
,0
?
的取值范围．
2
??
??
a?10,c?5
．
(I)求cosA
(Ⅱ)求
?ABC
的面积S．


19．(本小题满分l2分)
?
设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
? 1,S
n?1
?2S
n
?1,n?N
．

(I)证明：
?
S
n
?1
?为等比数列，求出
?
a
n
?
的通项公式；
(Ⅱ)若< br>b
n
?
n
n?1
，求
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
，并判断是否存在正整数
n< br>使得
T
n
?2?n?50
成立?若存在求出
a
n所有
n
值；若不存在说明理由．



20．(本小题满分12分)
《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方 早1000多年，在《九章算术》中，将底面
为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qi an du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四
棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为 直角三角形的四面体．如图在堑堵
ABC?A
1
B
1
C
1< br>中，
AB?AC
．
(I)求证：四棱锥
B?A
1
ACC
1
为阳马；
(Ⅱ)若
C
1
C?BC?2
，当鳖膈
C
1
?ABC
体积最大时，求锐二面角
C?A
1
B?C
1
的余弦值．



21．(本小题满分12分)
x
2
y2
22
给定椭圆
C:
2
?
2
?1
?< br>a?b?0
?
，称圆心在原点O，半径为
a?b
的圆是椭圆C的“卫星 圆”.若椭
ab
圆C的离心率
2
，点
2,2
在C上．
2
??
(I)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；
(Ⅱ)点P是椭圆C的 “卫星圆”上的一个动点，过点P作直线
l
1
,l
2
，
使得
l
1
,l
2
，
与椭圆C与椭圆C都只有一
个交点 ，且
l
1
,l
2
，
分别交其“卫星圆”于点M，N，证明： 弦长
MN
为定值．

22．(本小题满分12分)
已知函数
f
?
x
?
?lnx?x?2sinx,f
?
?
x
?
为f
?
x
?
的导函数．
(I)求证：
f
?
?
x
?
在
?
0，
?
?
上存在唯一零点；
(Ⅱ)求证：
f
?
x
?
有且仅有两个不同的零点

高三数学试题参考答案
2020.01
一、选择题
题
号
答
案
二、填空题
13.
?2
14.
3
15.
三、解答题
17.
解
: (
Ⅰ
)
由题意，化简得
f(x) ?2cosxsinx?3(2cos
2
x?1)

?sin2x?3cos2x

1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
1
A
BC D
1
2
B
D
1
D C C C A D D B
BD
AC
1
7,13
?
，
6876
16.
?
??

2
?2sin(2x?)

3
?

所以

函数
f(x)
的最小正周期
?
. ………………………………………3
分

?
3
?
??

Qy?sinx
的减区间为
?
2k
?
?,2k
?
?
?
,k?Z

22
??
??
3
?

由
2k
?< br>??2x??2k
?
?
232
得
k
?
?5
?
11
?
?x?k
?
?

1212
5
?
11
?
??
,k
?
?,k?Z
. ······················6
分

所以

函数
f(x)
的单调递增区间为
?
k
?
?
121 2
?
??
?
?
4
??
??
?
?< br>,?
?
.
（Ⅱ）因为
Qx?
?
?,0
?
，所以
2x??
?
?
3
?
33
??
2
?
所以
?
2
?
2sin(2
x?
)< br>?
3
.
3
?
?
?
?
2,3
?
.····························10
分

所以

函数
f(x)
在区间
?
?,0
?< br>上的取值范围是
?
??
2
??
?
8absinC3( b
2
?c
2
?a
2
)
18.
解
:
由题意得

?
2bc2bc
由余弦定理得:
4asinC
?3cosA

c
由正弦定理得
4sinA?3cosA

所以
tanA?
3

4

4
················································· ··························6
分

??ABC
中
,
cosA?
·
5
(
Ⅱ< br>)
由余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
? 2bccosA
得
b
2
?8b?15?0

······· ·················································· ··························9
分

解得
b?3
或
b?5
·
3
3
QtanA?
,
?sin A?

4
5
1159
····················· ································12
分

由< br>S?bc?sinA
得
S?
或
S?
·
222
19.
解
: (
Ⅰ
)
QS
n?1
?2S
n
?1

?S
n?1< br>?1?2(S
n
?1)
n?N
*

?
?S
n
?1
?
为等比数列
·················· ································2
分

QS
1
?1?2
，公比为
2

?S
n?1?2
n
，
S
n
?2
n
?1
?S< br>n?1
?2
n?1
?1
，当
n?2
时，
a< br>n
?S
n
?S
n?1
?2
n?1
，
a
1
?1
也满足此式

?a
n
?2
n?1
·············································· ·············5
分

(
Ⅱ
)
b
n
?
nn
?
n?1

a
n
2
12n
??????

2
0
2
1
2
n?1
112n1111nn?2
T
n
?
1
?
2
?????
n
两式相减得：
T
n< br>?
0
?
1
?????
n?1
?
n
? 2?
n

2222222222
n?2
T
n
?4?
n?1
······································· ···················9
分

2
T
n
?
····································10
分

代入
T
n
?2
n?1
?n?50
得
2
n
?n?26?0
·
令
f
(
x
)
?
2
x
?x?
26
(x?1)
，
f
?(
x
)
?
2
x
ln2
?
1
?
0
在
x?
?
1,??
?
成立，

?f(x)?2
x
?x?26
x?(1,??)
为增函数；
···· ·················································· ·······11
分

···············12
分

有
f(5)?f(4)?0
，所以不在正整数
n
使得
Tn
?2
n?1
?n?50
成立
.·

20.
解：
(
Ⅰ
)
QA< br>1
A?
底面
ABC
，
AB?
面
ABC

?A
1
A?AB
························· ·······2
分

又
AB?AC
，
A
1
AIAC?A

···························4
分

?AB?
面
ACC
1
A
1
，
·
又四边形
A CC
1
A
1
为矩形

?
四棱锥
B?A1
ACC
1
为阳马
······················5< br>分


(
Ⅱ
)
QAB?AC
,
B C?2
，
?AB
2
?AC
2
?4

又
QA
1
A?
底面
ABC
，

1 1
?V
C
1
?ABC
??C
1
C?AB?AC
32
11AB
2
?AC
2
2
??AB?AC ???

3323
1
··················7
分

当且仅当
AB?AC?2
时，
V
C
1
?ABC
? ?AB?AC
取最大值
·
3
QAB?AC
，
A
1< br>A?
底面
ABC

?
以
A
为原点，建立如图 所示空间直角坐标系
·····8
分

Z
A
1

A
C
1

B(2,0,0)
,
C(0,2,0)
,
A
1
(0,0,2)

uuuruuuruuuur,,
A
1
B?(2,0,?2)BC?(?2,2,0)A
1
C
1
?(0,2,0)

ur
设面
A
1
BC
的一个法向量
n
1
?(x
1
,y
1
,z< br>1
)

A
B
C
A
y
x
uruuur
?
r
n?AB
?
11
?0
u
···························9
分

由
?
u
得
n
1
?(22,1)
·
ruuur
?
?
n
1
?BC?0
uur
············· ························10
分

同理得
n2
?(2,0,1)
·
uruur
uruur
n?n
2
15
?cos?n
1
,n
2
??
ur
1< br>uur
?

5
|n
1
|?|n
2
|
二面角
C?A
1
B?C
1
的余弦值为
15
·······················12
分

5

?
c2
?
?
?
2
21.
解：
(
Ⅰ
)
由条件可得
:
?
a

?
4
?
2
?1
?
?
a
2
b
2
解得
a?22,b?2
x
2
y
2
···························· ·················3
分

所以椭圆的方程为
??1
，
·
84
································· ··············4
分

卫星圆的方程为
x
2
?y
2
?12
·
（
II
）①当
l
1
,l
2
中有一条无斜率时，不妨设
l
1
无斜率，

因为
l
1
与椭圆只有一个 公共点，则其方程为
x?22
或
x??22
，

当
l
1
方程为
x?22
时，此时
l
1
与
“< br>卫星圆
”
交于点
(22,2)
和
(22,?2)
，< br>
此时经过点
(22,2)(22,?2)
且与椭圆只有一个公共点的直线是

y?2
或
y??2
，即
l
2
为
y?2或
y??2
，

?l
1
?l
2
< br>?
线段
MN
应为
“
卫星圆
”
的直径，
?
|MN|?43
·····························7
分

②

当
l
1
,l
2
都有斜 率时，设点
P(x
0
,y
0
)
，其中
x
0
2
?y
0
2
?12
，

设经过点
P
(
x
0
,
y
0
)
与椭圆只有一个公共点 的直线为
y?t(x?x
0
)?y
0
,
?
y?t x?(y
0
?tx
0
)
?
····9
分

则，
?
x
2
y
2
消去
y
得到(1?2t
2
)x
2
?4t(y
0
?tx
0< br>)x?2(y
0
?tx
0
)
2
?8?0
，< br>·
??1
?
4
?
8
222
???(64?8 x
0
)t?16x
0
y
0
t?32?8y
0
?0
····································10
分

22
32?8y
0
32?8(12?x
0
)???1
·
?t
1
?t
2
?
····· ···························11
分

22
6 4?8x
0
64?8x
0
所以
t
1
?t
2
??
1
，满足条件的两直线
l
1
,l
2
垂 直
.

?
线段
MN
应为
“
卫星 圆
”
的直径，
?
|MN|?43

综合①②知：因为
l
1
,l
2
经过点
P(x
0
,y
0
)
，又分别交其准圆于点< br>MN
，且
l
1
,l
2
垂直，

···············12
分

所以线段
MN
准 圆
x
0
2
?y
0
2
?12
的直径，
?|MN|=43
为定值
·
22. 解:（1）设
g(x)?f
?
(x)?
1
?1?2cosx
，
x
1
···· ··············································· 2分
?
0
·
2
x
当
x?(0,
?
)
时，
g
?
(x)??2sinx?
所以
g(x)
在
(0,
?
)
上单调递减， ······················ ··········································· 3分
又因为
g()?
?
3
?
2
?1?1?0,g()??1
?
0

?
2
?
3
所以
g (x)
在
(
??
,)
上有唯一的零点
?
，所以命题 得证
···································· 6
分

32
（2）1°由（1）知：当
x?(0,
?
)
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
在
( 0,
?
)
上单调递增；
当
x?(
?
,
?
)
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
在(
?
,
?
)
上单调递减； ······························ 7分
所以
f(x)在
(0,
?
)
上存在唯一的极大值点
?
(
所以
f(
?
)?f()?ln
?
3
?
?
??
2
)

??
22
?
?
2
?2?2?
?
2
······························· ··············· 8分
?
0
·
又因为
f(
1111
)??2??2sin??2??2?0

e
2
e
2
e
2
e
2
所以
f(x)
在
(0,
?
)
上恰有一个零点 ············ ·················································· 9分
又因为
f(
?
)?ln
?
?
?
?2 ?
?
?0

所以
f(x)
在
(
?
,
?
)
上也恰有一个零点 ························· ································· 9分
2°当
x? [
?
,2
?
)
时，
sinx?0
，
f(x )?lnx?x

设
h(x)?lnx?x
，
h
?
(x)?
1
?
1
?
0

x
所以
h (x)
在
[
?
,2
?
)
上单调递减，所以
h(x)?h(
?
)?0

所以当
x?[
?
,2< br>?
)
时，
f(x)?h(x)?h(
?
)?0
恒成立
所以
f(x)
在
[
?
,2
?
)
上 没有零点. ··········································· ··················· 10分

3°当x?[2
?
,??)
时，
f(x)?lnx?x?2

设
?
(x)?lnx?x?2
，
?
?
(x)?
1< br>?1?0

x
所以
?
(x)
在
[2
?
,??)
上单调递减，所以
?
(x)?
?
(2
?
)?0

所以当
x?[2
?
,??)
时，f(x)?
?
(x)?
?
(2
?
)?0
恒成立
所以
f(x)
在
[2
?
,??)
上没有零点.
综上，
f(x)
有且仅有两个零点． ····················· ·········································· 12分