(完整word版)《导数的概念》课堂实录完美版

2020年10月6日发(作者：程继健)

《导数的概念》课堂实录

（使用教材：高中新课程人教版选修2-2第一章1.1.2）
授课教师： 海口一中数学组 潘 峰
1、知识与技能：
通过大量的实例的分析，经历由平 均变化率过渡到瞬时变化率的过
程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数

2、过程与方法：
① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
教学目标 ② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般
的数学思想方法

3、情感、态度与价值观：
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困
难，从而激发学生学习数学的兴趣

导数概念的形成，导数内涵的理解
教学重点

教学难点 在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
教学实录
师：（板书课题）上课。
生：起立。老师好！
师：同学们好！请坐。这节课我们 要研究的课题是导数的概念，我们先来看一段视
频。（播放视频）
这是我们上节课研究的运动 员高台跳水的视频，由上节课的学习我们知道，只要给
定运动员起跳后相对于水面的高度h与时间t的函 数关系，我们就能求出在任何一
段时间内的平均速度，回忆计算公式。
生：回答。
师：：（板书）
生：回答。
师：（板书）
?y
f(x
2< br>)?f(x
1
)
?
。根据上述公式我们能计算任何时间段内的平均速< br>?xx
2
?x
1
?h
h(t
2
)?h(t< br>1
)
?
由平均速度过渡到函数的平均变化率，回忆公式
?tt
2
?t
1
度，如（投影幻灯片）回顾我们上节课算过的[0,0.5],[1,2] ,
[0,
注意
[0,
65
]
的平均速度，特别
49
65
]
的
v?0
，在该段时间内运动员静止吗？
49
生：没有
师：那么说明在这里用平均速度来描述运动员的运动快慢不精确，为了 更加精确的
刻画运动员在某一时刻的运动状态，我们有必要研究运动员在某一时刻的速度，即

< p>
物理中的瞬时速度。那么以t=2s为例，我们来研究如何求运动员在该时刻的瞬时速
度。 （投影问题①）
生：思考，没有头绪
师：这个问题有点难度，我们提示一下：前面我们可以 计算某段时间内的平均速度，
那么能用2s附近的某些区间的平均速度去找2s时刻的瞬时速度？
生：仍没有回答
师： 比如，我们可以求出[1,2]的平均速度，还可以求出[1.5,2 ]的平均速度，猜想哪
个平均速度会更加接近2s时刻的瞬时速度？
生：[1.5,2]
师： 但是[1.5,2]的平均速度离2s时刻的瞬时速度还是远了点，还可以怎么处理？
能 让它们更接近些。
生：继续缩短区间长度
师：恩，如[1.9,2],[1.99,2], [1.999,2]，它们的平均速度会从2的左边越来越接近于2s
时刻的瞬时速度。那2的右边呢？
生：同理
师：（投影幻灯片）演示动画逼近的过程。好，有了想法我具体去操作，这里为了< br>方便大家计算，我们给大家设计了一个表格。（投影问题②）

说明：为了用一个统一 的区间来表示我们所取的区间，我们引入一个时间的改变量
△t，用[2+△t,2]和[2,2+△t ]来表示，从中间分两组，左边计算表格中左边的区间的
平均速度，右边计算表格中右边的平均速度。最 后各请两个同学汇总计算你的结果。
生：动笔计算
师：提醒：为了计算的快速和方便，要求先把求平均速度的式子化简。（下讲台巡
视并做指导）
生：化简，计算，得到结果
师：请左边右边的各一个同学汇总计算的结果。（投影幻灯片）

学生甲：回答左边平均速度的结果，见表格
学生乙：回答右边平均速度的结果，见表格
师：观察，当△t趋于0时，平均速度有什么样的 变化趋势？（投影问题③，并动态
演示趋近过程）
生：当△t趋于0时，平均速度
v
趋于-13.1

师：由此 可见，当△t趋于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边，
平均速度都趋于一个确定的值 -13.1，从物理的角度看，当时间间隔|△t|无限变小时，
平均速度
v
就无限趋 于t=2时刻的瞬时速度。即-13.1为t=2时刻的瞬时速度。为了
表述方便，数学中用简洁的符号 来表示,即
h(2??t)?h(2)h(2??t)?h(2)
表示什么？
li m??13.1
，并对式子分解分析，
?t?0
?t?t
生：平均速度 h(2??t)?h(2)
师：
lim
表示逼近。（板书瞬时速度为
li m
），并追问当t=3，t=4时的
?t?0
?t?0
?t
瞬时速度 如何表示？
生：回答，把式子中的2换成3和4
师：（投影问题④）问：当
t?t
0
时的瞬时速度如何表示？
生：回忆公式，并类比把其中的2换成
t
0
即可。
师：投影
lim
h(t
0
??t)?h(t
0
)
，同时板书（将2 改成
t
0
），如将上述问题中的
h(t)
?t?0
?t换成
y?f(x)
，那么
y?f(x)
在
x?x
0处的瞬时变化率如何表示？（投影问题⑤）
生：把
lim
h(t
0??t)?h(t
0
)
中的自变量t换成x，函数符号换成f，即得
?t?0
?t
?x?0
师：投影结果
lim
导数的概念：
f(x
0
??x)?f(x
0
)
（板书），同时引出导数的 概念（投影）
?x
函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率即
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数,记作：
f
?
(x
0
)
或
y
?
x?x

0
即
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
（对此式子板书）
?lim
?x?0
?x
?x?0
? x
?y
通过式子本身解释，为平均变化率，加上符号
lim
表示
?x
趋于0，则平均变化率趋
?x?0
?x
f
?
(x
0
)?lim
于瞬时变化率，强调瞬时变化率就是导数，某点
x
0
处的 导数。
通过概念中导数的形式我们简单小结求导数的步骤（边叙述边板书）：
?y?y
①求
?y
；②求；③求
lim

?x?0
?x?x
实际上，导数可以表示任何事物的瞬时变化率，如上节课学习的气球的膨胀率，国内生
产总值GDP的增长率，等等。那么我们来看一个例子（投影例题）【例题】将原油精
炼为汽油 、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时候，
原油温度（单位：
?
c
）为
f(x)?x
2
?7x?15(0?x?8)

计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义
生：思考
师：巡视发现问题
生：（把3和5代入到f（x）中即可）
师：有同学说把3和5代入到f（x）中即可，有问题吗？
生：沉默
师：追问，题目中f（x）表示什么？
生：原油温度
师：那么把3和5代进去得到的是什么？
部分学生小声回答：应该得到的是3和5时刻的原油温度
师：对，得到的是3和5时刻的原油温度，而我们问的是什么？
生：原油温度的瞬时变化率
师：原油温度的瞬时变化率即什么？
生：导数
师：好，即
f
?< br>(3)
和
f
?
(5)
，继续求解……（请一位同学上台板演）
生：计算
生丙：板书解答过程，根据导数定义，得
f
?
(3)?? 1
，
f
?
(5)?3

师：用红色粉笔评改生丙的解答过程，并提问-1和3的意义，引导学生回答
生：在第3h与 第5h时,原油温度的瞬时变化率分别为-1与3.它说明在第3h附近,
原油温度大约以1
0
Ch
的速率下降;在第5h附近,原油温度大约以3
0
Ch
的速率上
升.
师：投影
师生：（共同归纳）函数在某一点处的瞬时变化率就是它在该点处的导数.
师：小结今天所学内容：一、知识点：？二、主要思想方法：？
生：一、知识点：导数的概念，即某点处的瞬时变化率，符号表示为
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
；二、主要思想方法：（教师引导得到）逼近。
f
?
(x
0
)?lim?lim
?x?0
?x?x?0
?x
师：（投影）布置作业：（必做）第10页习题A组第2、3、4 题
（选做）思考第11页习题B组第1题
（投影）思考：从函数的图象上看，平均变化率
f(x
2
)?f(x
1
)
表示割线的斜率，那么瞬
x2
?x
1
时变化率
lim
?x?0
f(x
2< br>)?f(x
1
)
表示什么呢？
x
2
?x
1
这个问题留到我们下节课处理，下课！同学们，再见！
生：老师，再见！


风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界 的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食
过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持 体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年 路岁月极美，在于它必然的流
逝。

春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始 在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一
个奢华浪费的年代，我希望能向世界表 明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦 圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马
上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。 只 有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老， 不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧
桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的
夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的
书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你 将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲
倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间
三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。 这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代 这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之
春 ，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。 我有所感事，结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既
欣喜 又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。 刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的
来和去，都有他的时间。 与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。 曾经沧海难为水，除却巫山不是云。 回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。 半生闯荡，带来
家业 丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴 素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若
没有栖息的地方 ，到哪里都是流浪...如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖 的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永
恒。不乱于心，不困于 情。不畏将来，不念过往。如此，安好。 笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。 一辈子，不说后悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如
果其中 一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。跟着你，在 哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人
情深，留一世繁华 。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信，真正在乎 我的人是不会被别人
抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天 的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，
提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星 一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最 后。 如果一开始就知道是这样
的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为有了因为，所以有了所以 。既然已成既然，何必再说何必。想念是人
最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。
如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而 不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人， 贯彻未来，数遍生
命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为 再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，也是你。个人的 遭遇，
命运的多舛都使我被迫成熟，这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关 于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起 我的
手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人，有些 事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个时侯，你忽然会觉得很绝望，觉得全世界都背弃了你，活着
就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说，没关系，很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年 以后的追求。当你尚在年少，你受的苦，吃的亏，担的责，扛的罪，忍的痛，到最后都会变成光，照亮
你 的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化，不准偷偷想念，不准回头看。去过自己另外的生活。你要听 话，不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说，鲁迅是杂文，胡适是评论；鲁迅是酒，
胡适是水。酒 让人看到真性情，也看到癫狂，唯有水，才是日常所需，是真生活。有时候会很自豪地觉得，我唯一的优势就是， 比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文，只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。
再也找不见慷慨的遗恨， 只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也不去期待历史的震颤，只有凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边，以前住着我的祖父，现在埋着我的祖父。 诗意上来时，文字不要
破坏它。 水，看 似柔顺无骨，却能变得气势滚滚，波涌浪叠，无比强大；看似无色无味，却能挥洒出茫茫绿野，累累硕果，万紫千 红；看似自处低下，却能蒸腾九霄，为云为雨，为虹为霞…… 一切达观，都
是对悲苦的省略 我们孩还 发多夫道知道了，就得看不我们后心回的”家“，不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家，后心天能们后 心回的”家“，不是空于而，风每都到小是一段时光。 它们能够躲
过所有凝视的目光，却躲不过那些出其不意投来的目光。
中国人对待自然环境与外 国人截然不同，外国人注意到的是人如何改变土地，而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零，喧腾 是短命的别名。在流光溢彩的日子里，生命被铸上妖冶的印记。托尔
斯泰说：“忧来无方，窗外下雨，坐 沙发，吃巧克力，读狄更斯，心情又会好起来，和世界妥协。” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不 腻耳的声响，一种不再需要对别人察言观色的从容，一种终
于停止向周围申诉求告的大气，一种不理会喧 闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无需声张的厚实，一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂，我 只要底线。因为没有底线，就没有自由。
宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗，你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀，我就不能保护你。如果我有刀，我就 不能拥抱你。“今天比昨天慈悲，
今天比昨天智慧，今天比昨天快乐。这就是成功。” 没有悲剧就没有悲壮，没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里，但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒，权力与财富只使人更粗鄙堕落。 满地都是六便士，
他却抬头看见了月亮。走出酒吧的 那一刹，我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼，我想起了我的收音机。它已经很旧很老，退役多年了。