高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)

x
2
y
2
已知椭圆E：
??1
,O为坐标原 点,A
、
B是椭圆E上两点,且△AOB
42
11
?
的面积 为
2
,则的最小值是.
|OA||OB|
解法一（利用椭圆参数方程）
设
A(2cos
?
,2sin
?
), B(2cos
?
,2sin
?
)
,
因为
S
?AOB
?2
,所以
S
?AOB
?|x
1
y2
?x
2
y
1
|?2
,
即
2|co s
?
sin
?
?sin
?
cos
?
|?2
,
?|sin(
?
?
?
)|?1
,
?c os(
?
?
?
)?0
,
?
?
?
? k
?
?
1
2
?
2
(k?Z)
,
?|OA|
2
?|OB|
2
?4cos
2
?
?2s in
2
?
?4cos
2
(
?
?)?2sin
2
(
?
?)?6
.
22
11
?
下面求的最小值,有如下方法：
|OA||OB|
??
①均值不等式
|OA|
2
?|OB|
2
|OA|?|OB|??3
,
2
?
111223
??2??
.
|OA||OB||OA |?|OB|3
3
a
2
?b
2
211
????11
2ab
?
ab
2
a?b
2
22
② 平方平均大于等于调和平均
,
112223
????
.
22< br>|OA||OB|3
3
|OA|?|OB|
2
③权方和不等式
11
??
|OA||OB|
1
3
2
1
2
2
?
1
3
2
1
2
2
?
(1?1)
2
3
2
1
2
2
?
(|OA|)(|OB| )(|OA|+|OB|)
2223
?
,
3
6

当且仅当
|OA|?|OB|?3
时,等号成立,
?(
1123
?)
min
?
.
|OA||OB|3
④权方和不等式+柯西不等式
1

1144423
?????
.

22
|OA ||OB||OA|+|OB|3
12
2(|OA|+|OB|)
点评:本解法利用椭 圆的参数方程,得到了一个很重要的中间结论：
|sin(
?
?
?
) |?1
. 一般地,有如下结论：
x
2
y
2
若
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
为椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)上的动点,且满
ab
ab
S?
足
?AOB
,则有： < br>2
22
?a
2
,
y
1
2
?y
2
?b
2
； （1）
x
1
2
?x
2b
2
（2）
k
OA
?k
OB
??
2< br>.
a
解法二：（利用柯西不等式）
设
A(x
1
, y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,由
S
?AOB
?|x
1
y
2
?x
2
y
1
|?2
得
2222
8?(x
1
y
2
?x
2
y
1
)
2
?(x
1
2?x
2
)(y
1
2
?y
2
)?[8?2(y< br>1
2
?y
2
)](y
1
2
?y
2< br>)
,
1
2
（当且仅当
x
1
x
2< br>?y
1
y
2
?0
时等号成立）.
22
?( y
1
2
?y
2
?2)
2
?0
,
? y
1
2
?y
2
?2

22222
又
x
1
2
?2y
1
2
?4
,
x
2
?2y
2
?4
,则
x
1
2
?2y
1
2
?x
2
?2y
2
?8
,
?x
1
2
?x
2
?4
,
22
进而
x
1
2
?x
2
?y
1
2
?y
2
?6
,
?
112223
????
,
22
|OA|| OB|3
3
|OA|?|OB|
2
23
11
?
取得 最小值.
|OA||OB|
3
当且仅当
|OA|?|OB|?3
时 ,
点评:本解法利用柯西不等式,实现等与不等的相互转化,相当精彩！

解法三：（利用仿射变换,椭圆变圆）
?
?
x?2x
?
2 2
设伸缩变换
?
:
?
,则
x
?
?y
?
?1
,
?

?
y?2y
?
在该变换下 ,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>)
的对应点分别为
A
?
(x
1
?
,y
1
?
),B
?
(x
2
?
,y
2
?
)
,
而
S
?A
?
OB
?
?| x
1
?
y
2
?
?x
2
y
1
?
|
,
S
?AOB
?|x
1
y
2
?x
2
y
1
|?2|x
1
?
y
2
?
?x
2
y
1
?
|
,
所以
S
?AOB
?22S
?A
?
OB
?
?2?S
?A
?
OB
?
?
,
?OA
?
?OB
?
,
2

1
2
1
2
1
2< /p>

?|x
2
?
|?|y
1
?
|
,
|y
2
?
|?|x
1
?
|
,
? x
2
?
2
?y
1
?
2
,
y
2
?
2
?x
1
?
2
,
?|OA|2
?|OB|
2
?4x
1
?
2
?2y
1
?
2
?4x
2
?
2
?2y
2
?
2
?6(x
1
?
2
?y
1
?
2< br>)?6
,
?
11
??
|OA||OB|
1
3
2
1
2
2
?
1
3
2
1
2
2
?
(1?1)
2
3
2
1
2
2
?
(|OA|)(|OB|)(|OA|+|OB|)
2223
?
,
3

6
当且仅当
|OA|?|OB|?3
时,
23
11
?
取得最小值.
|OA||OB|
3
点评:本解法利 用仿射变换,椭圆变圆,关键是发现
OA
?
?OB
?
.游数玩形,< br>妙在转化！
解法四：（齐次化）
22
由
S
?AOB
?|x
1
y
2
?x
2
y
1
|?2
及
x
1
2
?2y
1
2
?4
,
x
2
?2y
2
?4
,
22
得
2(x
1
y
2
?x
2
y
1
)
2
?(x< br>1
2
?2y
1
2
)(x
2
?2y
2
)
.

2
(1)当直线OA与OB的斜率都存在时,两边同时除以< br>x
1
2
x
2
,
22
得
2(kOA
?k
OB
)
2
?(1?2k
OA
)(1? 2k
OB
)
,

1
2

化简得
( 2k
OA
k
OB
?1)
2
?0
,
?kOA
k
OB
??
设
OA:y?kx
,则
OB: y??
1
x
,
2k
1
,
2

?
y?kx
44k
2
4k
2
?4
22
2|OA|?
?x
A
?,y
A
?
由
?
2
,
?
,
2

22
2
1?2k
1? 2k1?2k
?
x?2y?4
1
2?8k
2
2
同理
（
将
k
换成
?
）
,得
|OB|?
2
,
?|OA|
2
?|OB|
2
?6.

2k
2k?1
(2)当直线OA或OB的斜率为0或不存在时,也有
|OA|
2
?|OB|
2
?6.

于是
112223
??? ?
,
22
|OA||OB|3
3
|OA|?|OB|
2
2
11
?
的最小值为.

|OA||OB|
3
当且仅当
|OA|?|OB|?3
时,等号成立,
因此
点评:本解法利用齐次化,得出OA与OB的斜率关系,接下来便顺理成
章了.
解法五：常规思路
当直线
OA
与
OB
的斜率都存在时
,
3

设直线
OA:y?k
1
x
,
直线
OB:y?k
1
x
,
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
)
,

?
x2
y
2
44
.
?1
?
?
22
x?x?
由
?
42
解得
1
1?2k
2
,< br>同理
2
1?2k
2

12
?
y?kx
?
1
|k
1
x
2
?y
2
||x
2
(k
1
?k
2
)|
,
d??

点
B
到直线
OA
的距离
2
1?k
1
1?k
1
2
因为
S
?AOB
?2
,
所以
|x(k?k)|
111
S
?AOB
?OA?d?1?k
1
2
?|x
1
|
212
?|x
1
x
2
(k
1
?k
2
)|
,

222
1?k< br>1
2
122
|k
1
?k
2
|?2
,
即
2|k?k|?(1?2k
2
)(1?2k
2
)
,

即
2
22
1212
1?2k
1
1?2 k
2
1
2
kk??
(2kk?1)?0
,
即
12
.
所以
12
2
下同解法四
.
点评:与上述方法相比,本解法相对复杂一些,熟悉以下二级结论的话,
过程会大大简化. < br>x
2
y
2
【结论】椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
,A,B为椭圆C上的动点,
A(x
1
,y1
)
,
ab
B(x
2
,y
2
)
,且满足
k
OA
?k
OB
b
2
??
2< br>,则有：
a
22
?a
2
,
y
1
2
?y
2
?b
2
,
（1）
x
1
2
?x
2
|OA|
2
?|OB|
2
?a
2< br>?b
2
；
（2）
S
?AOB
?
????? ????????
（3）若M为椭圆上一点,且
OM?
?
OA?
?< br>OB
,
则
?
2
?
?
2
?1
.

ab
；
2
4

相似题1(2011年山东卷理22题)
x
2< br>y
2
已知动直线
l
与椭圆
C:??1
交于
P (x
1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
两不同点,且
32
△OPQ
的面积
S
?OPQ
6
?
,其中O为坐标原点.

2
222
（Ⅰ）证明
x
1
2
?x
2
和
y
1
?y
2
均为定值；

（Ⅱ）（Ⅲ）略.
22
?3
,
y
1
2
?y
2
?2
. 答案：
x
1
2
?x
2
x
2
y
2
相似题2已知椭圆E：
??1
,O为坐标原点,A
、
B是椭圆E上两
2412
1
点,OA,OB的斜率存在并分别记为
k
OA
,k
OB
,且
k
OA
?k
OB
??
,则
2
11
?
的最小值是（）
|OA||OB|
22
1
2
A. B. C. D.
3
32
6
答案：C. < br>x
2
y
2
相似题3已知A,B是椭圆C：
??1
上关 于原点对称的两个点,P、
259
5

M、N是椭圆上异于 AB的点,且
APOM
,
BPON
,则
?MON
的面积为（ ）
A.
31525
3
B. C. D.
222
2
答案：C.
相似题4：
x
2
如 图所示,
A
1
,A
2
分别是椭圆
?y
2
? 1
,的长轴的左右端点,O为坐标原点,
2
S,Q,T
为椭圆上不同于
A
1
,A
2
的三点,直线
QA
1
,QA
2
,OS,OT
围成一个平行
四边形
OPQR
,则
|OS|
2
?|OT|
2
等于（）
A.
4
B.
3

C.
35
D.
22
答案：B.
相似题5：
x
2
y
2
在平面直角坐标系
xOy
中
,
已知椭圆
C
：
2?
2
?1(a?b?0)
,
其焦点到
ab
1
相 应准线的距离为
3,
离心率为
.
2
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；

（2
）如图所示
,A,B
是椭圆
C
上两点
,
且射 线
OA,OB
的斜率满足
3
k
OA
k
OB
??
,
延长
OA
到
M,
使得
OM
＝
3OA,
且
MB
交椭圆
C
于
Q,
设
4< br>????????????
OQ?
?
OA?
?
OB
,
求证：

BM
①
?
?
?
?1
；②
BQ
为定值
.
22
答案：5.







6