高考数学压轴题集锦

2 ①f(x)=
x?2k?1
(2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3 ①x=4y ②x
1
x
2
=-4 ⑶P(±2,1)
S
MIN
=
7

2
4 .解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）
设BC∶y＝kx＋1（k＞0）
则AB∶y＝－
1
x＋1
k

把BC方程代入椭圆，
是（1＋a
2
k
2
）x
2
＋2a
2
kx＝0
2
2a
2
k2a
22
∴|BC|＝
1?k
，同理|AB|＝
1?k

22 22
1?ak
k?a
由|AB|＝|BC|，得k
3
－a
2
k
2
＋ka
2
－1＝0
（k－1）［k
2
＋（1－a
2
）k＋1］＝0
∴k＝1或k
2
＋（1－a
2
）k＋1＝0
当k
2
＋（1－a
2
）k＋1＝0时，
Δ
＝（a
2
－1 ）
2
－4
由
Δ
＜0，得1＜a＜
3

由
Δ
＝0，得a＝
3
，此时，k＝1
故，由
Δ
≤0，即1＜a≤
3
时有一解
由
Δ
＞0即a＞
3
时有三解
5 解：依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x），
得ax
2
＋2bx＋c＝0.（*）
Δ
＝4（b
2
－ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴
Δ
＞0
∴f（x）、g（x）相交于相异两点
（Ⅱ）设x
1
、x
2
为交点A、B之横坐标
则|A
1
B
1
|
2
＝|x
1
－x
2
|
2
，由方程（*），知
|A
1
B
1
|
2
＝

4b
2
?4ac4(a?c)
2
?4ac
?

a
2
a
2
?
4
22
(a?c?ac)

2
a
c
??
c
?4
?
()2
??1
?
(**)

a
??
a
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∵?
?
a?b?c?0
?
a?b
?2a?c?0
，而a＞ 0，∴
c1
??

a2
c
??2

a∵
?
?
a?b?c?0
?
c?b
?a?2c?0
，∴
c1
??

a2
cc
∴4［（）
2
＋＋1］∈（3，12）
aa∴
?2?
∴|A
1
B
1
|∈（
3
，2
3
）
6、解：（1）
f
'
'
?
x
?
=
3x
2
?2ax

依题意得k=
f
?
1
?
=3+2a=－3， ∴a=－3
?f
?
x
?
?x
3
?3x
2
?1
，把B（1，b）代入得b=
f
?
1
?
??1

∴a=－3，b=－1
（2）令
f
'
?
x
?=3x
2
－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=2
3
－3×2
2
＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004。
（1） 已知g（x）=－
x?3x?1?3x?tx?1??x?tx

∴
g
?
x
?
??3x?t

'2
?
32
?
23
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x
2
＜0，
① 当t＞3时，t－3x
2
＞0，
即g
?
x
?< br>?0

'
∴g（x）在
(0.1]
上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
② 当0≤t≤3时,
g
?
x
?
??3x?t

'2
令
g
?
x
?
=0,得x=
'
t

3
列表如下:
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x
（0,
t
）
3
＋
↗
3
t

3
0
极大值
(
t
,1]

3
－
↘
g
'
?
x
?

g（x）

?
t
?
t
?
＋t
t
=1 g（x）在x= 处取最大值－
?
?
3
?
33
??
3
32< br>27t
∴t=
3
=＜3
2
4
3
∴x=
t
＜1
3
'2
③ 当t＜0时，
g
?
x
?
??3x?t
＜0，∴g（x）在< br>(0.1]
上为减函数，
∴g（x）在
(0.1]
上为增函数， < br>3
3
2
∴存在一个a=，使g（x）在
(0.1]
上有最大值 1。
2
7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,
PH??
?x,0
?
,
PM
=（－2－x,－y）
?
?
PN
=（2－x,－y）
∴
PM
·
PN
=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=
x?4?y

?
?
22
?
PH?x

?
?
?< br>由题意得∣PH∣2=2·
PM
·
PN

即
x?2x?4?y
2
?
22
?

x
2
y
2
??1
，所求点P的轨迹为椭圆 即
84
（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣
双曲线的C实轴长2a=
QM?QN?QM?QE?ME?10
（当且仅当Q、E、M 共线
时取“=”），此时，实轴长2a最大为
10

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所以，双曲线C的实半轴长a=
又
?c?
10
2
13
NM?2,?b
2
?c
2
?a
2
?

22
x
2
y
2
??1
∴双曲线C 的方程式为
53
22
8.（1）
b
n
?
1
2
n?1

1
（2）
S?
7
?(
1
?
1
?
1
???)?
1
?(
1
?
1
?
1
?
1
?
1
??)?
1?
16
?
1
?0

n
82
4
2
8
2
16
8162
4
22
4
2
2
8
1?
1
8
2
9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为 y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆
x?(y?2)?1
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分
22x
2
y
2
故设双曲线C的方程为
2
?
2
?1
．
aa
又双曲线C的一个焦点为
(2,0)

∴
2a?2
，
a?1
．
∴双曲线C的方程为
x?y?1
．………………………………………………4分 （Ⅱ）由
?
22
22
?
y?mx?1
22
?< br>x?y?1
22
令
f(x)?(1?m)x?2mx?2

22
得
(1?m)x?2mx?2?0
．
直线与双曲线左支交于两 点，等价于方程f(x)=0在
(??,0)
上有两个不等实根．
?
???0
?
?
2m
因此
?
?0
解得
1?m?2
．
2
?
1?m
?
?2
? 0
?
?
1?m
2
m1
又AB中点为
(,)
，
1?m
2
1?m
2
1
(x?2)
．…………… …………………6分 ∴直线l的方程为
y?
2
?2m?m?2
22
?
令x=0，得
b?
．
2
117
?2m?m?2
?2(m?)
2
?
48
∵
m?(1,2)
，
1
2
17
∴
?2(m?)??(?2?2,1)

48
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∴
b?(??,?2 ?2)?(2,??)
．………………………………………………8分
（Ⅲ）若Q在双曲线的 右支上，则延长
QF
2
到T，使
|QT|?|QF
1
|，
若Q在双曲线的左支上，则在
QF
2
上取一点T，使
|QT |?|QF
1
|
．
根据双曲线的定义
|TF
2
| ?2
，所以点T在以
F
2
(2,0)
为圆心，2为半径的圆上，即点 T
的轨迹方程是
(x?2)
2
?y
2
?4(x?0)
①…………………………………………10分
由于点N是线段
F
1
T
的中点，设
N(x,y)
，
T(x
T
,y
T
)< br>．
?
x?2
x?
T
?
?
x
T?2x?2
?
2
则
?
，即
?
．
?< br>y
T
?2y
?
y?
y
T
?
2
?
2
)
………………12分
2
1111111
10 解 ：（Ⅰ）因为
f()?f(1?)?f()?f()?
．所以
f()?
．…… 2分
24
22222
11111n?11
令
x?
，得f()?f(1?)?
，即
f()?f()?
．……………4分
nnn2nn2
1n?1
（Ⅱ）
a
n
?f(0)?f()???f ()?f(1)

nn
n?11
又
a
n
?f(1) ?f()???f()?f(0)
………………5分
nn
22
代入①并整理 得点N的轨迹方程为
x?y?1
．
(x??
两式相加
1n?1n?1
．
2a
n
?[f(0)?f(1)]?[f()? f()]???[f(1)?f(0)]?
nn2
n?1
所以
a
n< br>?,n?N
，………………7分
4
n?1?1n?11
又
a
n?1
?a
n
???
．故数列
{a
n
}< br>是等差数列．………………9分
444
44
?
（Ⅲ）
b< br>n
?
4a
n
?1n
22
T
n
?b< br>1
2
?b
2
???b
n

111
????)

2
2
3
2
n
2
111
?16[1?????]
………………10分
1?22?3n(n ?1)
11111
?16[1?(1?)?(?)???(?)]
………………12分
223n?1n
116
?16(2?)?32??S
n

n n
所以
T
n
?S
n
……………………………………………… ……………………14分
?16(1?
11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0
则OA的方程为y＝kx
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由?
?
y＝kx
?
y＝2px
解得A(
2p2p
2
k
2
，
k
)
又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－
1
k
x
?
由
?
?
y＝－
1
k
x
?
解得B(2pk< br>2
，－2pk)
?
y
2
＝2px
从而OA的中点为 A'(
pp
k
2
，
k
)，OB的中点为B'(pk
2
，－pk)
所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为
x
2
＋y
2
－
2px2py
k
2
－
k
＝0 ……①
x
2
＋y
2
－2pk
2
x＋2pky＝0 ……②
∵P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0
由①－②并化简得y＝(k－
1
k
)x ……③ < br>将③代入①，并化简得x(k
2
＋
1
k
2
－1)＝2 p ……④
由③④消去k，有x
2
＋y
2
－2px＝0
∴点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点).
12．(1)由题意，有 x
2
－2mx＋2m
2
＋
9
m
2
－3＞0对任意的x∈R恒成立
所以△＝4m
2
－4(2m
2
＋9
m
2
－3
)＜0
即－m
2
－
9
m
2
－3
＜0
( m
2
－
3
∴
2
)
2
＋27
m2
－3
＞0
由于分子恒大于0，只需m
2
－3＞0即可
所以m＜－3或m＞3
∴M＝{m|m＜－3或m＞3}
(2)x
2－2mx＋2m
2
＋
9
m－3
＝(x－m)
2
＋m
2
＋
99
2
m
2
－3
≥m
2
＋
m
2
－3

当且仅当x＝m时等号成立.
所以 ，题设对数函数的真数的最小值为m
2
＋
9
m
2
－3

又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f(x)≥log
9
3
(m
2
＋
m
2
－3
)
∴当且仅当x＝m(m∈M )时，f(x)有最小值为log
9
3
(m
2
＋
m
2
－3
)
又当m∈M时，m
2
－3＞0
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……4分
……4分
……6分
……10分
……13分
……4分
……7分
……10分

99
∴m
2
＋
2
＝m
2
－3＋
2
＋3≥2
m－3m－3
9
(m
2
－3)·
2
＋3＝9
m－3
9
当且仅当m
2
－3＝
2
，即m＝±6时，
m－3
99
log
3
(m
2
＋
2
)有最小值log
3
(6＋)＝log
3
9＝2
m－36－3
∴当x＝m＝±6时，其函数有最小值2.

13．解析：（1）。，由根与系数的关系得，
?
?
?
?

?f(
?
)?
t
,
??
??1.

2
4
?
?t
4
?
?2(
?
?
?
)
281
2
?????(t?t?16).

22
2
?
?1
?
?
???
t?t?16
2
同法得f(
?
)?
(2).证明：
?
f
(x)=
1
(t
2
?16?t).

2
4(x
2
?1)?(4x?t)2x?2(2x
2
?tx?2)
?,
而当x
?[
?
,
?
]
时，
(x
2
?1)
2
(x
2
?1)
2
2x
2
-tx-2=2(x-
?
)(x?
?
)?0,
故当x
?[
?
,
?
]
时, f

(x)≥0,

?
函数f(x)在[
?
,
?
]
上是增函数。
（3 ）。证明：
x
1
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)x
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)
?
?
?
2
?0,
1
?
?
?
1
?0,

x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2

?
?
?
x
1?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
?
?
, 同理
?
?
1
?
?
.
x< br>1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f (
?
),故?f(
?
)??f(
1
)??f(
?< br>).

x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
)?f(
?
).
两式相加得:
x
1
?x
2
x
1
?< br>?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(< br>1
)?f(
?
)?f(
?
),

x
1
?x
2
x
1
?x
2

?f(
?
)?f(
又f(
?
)?f(

?[f(
?
)?f(
?
)]?f(
即< br>f(
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?f(
?
)?f(
?
).

x
1
?x
2
x
1
?x
2
而由（1），f(
?
)??2
?
,f(
?
)??2
?
且f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)?f(< br>?
)
,

?

f(
x1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?2
?
?
?
.
x
1
?x
2
x
1
?x
2
22
2
14 (I)
Q4S
1
?4a
1
?(a
1
?1),?a< br>1
?1.
当
n?2
时,
4a
n
?4S
n
?4S
n?1
?
?
a
n
?1
?
?
?
a
n?1
?1
?
,
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?2
?
a
n?a
n?1
?
?a
n
2
?a
n?1
2
,又{a
n
}各项均为正数,
?a
n
?a
n?1< br>?2
.数列
?
a
n
?
是等差数列,
?a
n
?2n?1.

?
2
n
?
2
n
(II)
S
n< br>?n
,若
2?tS
n
对于任意的
n?N
恒成立,则< br>t?min
?
2
?
.令
b
n
?
2< br>,.当
n?3
n
?
n
?
2n
*
时,
b
n?1
2n
2
n
2
?(n?1)n?n
???1
22
b
n
(n?1)n?2n?1
.又
b
1
?2,b
2
?1,b
3
?
8
9
，
?
2
n
?
8
8
?
min
?
b< br>n
?
?min
?
2
?
?
.
?

t
的最大值是.
9
?
n
?
9
< br>15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由
PM
=－
由
HP
·
PM
=0，得（3，－
y
3x
MQ
,得P(0,－),Q (,0),
23
2
2分
y3y
）(x,)=0,又得y
2
=4x, 5分
22
由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分 < br>（2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y
2
=4x,得k
2< br>x
2
+2(k
2
－2)x+k
2
=0,① 7分
设A（x
1
,y
1
）,B(x
2
,y
2< br>),
2(k
2
?2)
则x
1
,x
2
是方程①的两个实根，∴x
1
+x
2
=－,x
1
x
2
=1,
2
k
2?k
2
2
所以，线段AB的中点坐标为(,), 8分
k
k
2
2?k
2
21
线段AB的垂直平分线 方程为y－=－(x－), 9分
kk
k
2
22
令y=0 ,x
0
=
2
+1,所以点E的坐标为(
2
+1,0) kk
因为△ABE为正三角形，所以点E（
3
2
+1,0）到直线AB的 距离等于｜AB｜,
2
2
k
10分
41?k
22
1?k
而｜AB｜=
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
=·,
k
2
22
231?k
4
21?k
2
所以，=,
k
2
k
解得k=±
11分
3
11
,得x
0
=.
2
3
12分
16.（1）f
1
(0)=2,a
1
=
2
2?1
1
=,f
n+1
(0)=f
1
［f
n
(0)］=,
1?f
n
(0)
2?2
4
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1
?1
f(0)?1
1?f
n
(0)
1?f
n
(0)
1
f
n
(0)?1
1
a
n+1
=
n?1
===－=－a
n
,
2
f
n?1
(0)?24?2f
n
(0)
2
f
n(0)?2
2
?2
1?f
n
(0)
∴数列｛a
n
｝是首项为
4分
1111
－
,公比为－的等比数列，∴an
=(－)
n
1
. 6分
4242
（2）T2n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+(2n－ 1)a
2n
－
1
+2na
2n
,
111111< br>－T
2n
=(－a
1
)+(－)2a
2
+(－)3a
3
+…+(－)(2n－1)a
2n
－
1
+(－)·2na
2n

222222
=a
2
+2a
3
+… +(2n－1)a
2n
－na
2n
, 8分
3
两式相减得T
2n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
2n
+na
2n
,
2
1
?< br>1
2n
?
1?(?)
?
3
4
?
2< br>??
+n×
1
(－
1
)
2
n
－1
=
1
－
1
(－
1
)
2
n< br>+
n
(－
1
)
2
n
－
1
, 10分 所以，T
2n
=
1
24266242
1?
2
111n1
－
1
3n?13n?1
T
2n
=－(－)2
n
+(－)
2
n
1
=(1－
2n
) . ∴9T
2n
=1－
2n
,
992629
22
Q
n
=1－
3n?1
,
2
(2n?1)
12分
当n=1时，2< br>2
n
=4,(2n+1)
2
=9,∴9T
2n
＜Q< br>n
;
当n=2时，2
2
n
=16,(2n+1)
2
=25,∴9T
2n
＜Q
n
;
当n≥3时，2
2
n
=［（1+1）
n
］
2

13分
12n
22
=(C
0
n
+C
n
+ C
n
+…+C
n
)＞(2n+1),∴9T
2n
＞Q
n
. 14分

17．解（I）
a
+
3
b
=（x,0）+
3
(1,y)=(x+
3
,
3
y),
?
??
a
–
3
b
=（x, 0）
?
3
(1,y)= (x
?
3
,–
3
y).
?
(
a
+
3
b
)
?
(a
?
3
b
),
???
?????

?
(
a
+
3
b
)·(
a
?
3
b
)=0,
?
(x+
3
)( x
?
3
)+
3
y·(
?
3
y)=0,
?
x
2
?y
2
?1
． （６分） 故P点的轨迹方程为
3
?
y?kx?m,
消去y，得（1–3k
2
）x
2
-6kmx-3m
2
-3=0 (*)
2
?
x
2
?
?y?1,
?
3
（I I）考虑方程组
?
显然1-3k
2
?
0,
?
=(6km)
2
-4(1-3k
2
)( -3m
2
-3)=12(m
2
+1-3k
2
)>0.
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设x
1
,x
2< br>为方程*的两根，则x
1
+x
2
=
6km
，x
0
=
x
1
?x
2
?
3km
, y< br>0
=kx
0
+m=
2
2
1?3k
2
1?3k
m
,
1?3k
2
故AB中点M的坐标为（
3km
，
1?3k
2
m
）,
2
1?3k
m=（
?
1
）
3km
,
(x?)
k
1 ?3k
2
1?3k
2
?
线段AB的垂直平分线方程为y
?< br>将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k
2
?
1,
?m
2
?1?3k
2
?0,
故m、k满足
?
消去k
2
得 m
2
?
4m>0, 解得 m<0或m>4. 2
?
4m?3k?1,
又
?
4m=3k
2
?< br>1>
?
1,
?

m??

18．(1)解 由已知得
f(n)?f(n?1)?f(1)?
1
1
,
故m
?
(
?
,0)
?
(4,+
?
)． （１２分）
4
4
11
?f(n?1)?()
2
?f(n? 2)?L

33
11
?()
n?1
?f(1)?()
n
． (4分)
33
1
n
(2)证明 由(1)可 知
a
n
?n?(),
设
T
n
?
3
则
T
n
?1??2?()?L?n?().

?
a
k?1
n
k

1
3
1
3
2
1
3
n
1111
?
1
?

?T
n
?1?()
2
?2?()
3
?
L< br>?
?
n?1
?
??
?n?()
n?1
． < br>3333
?
3
?
两式相减得
T
n
?
n
2
3
11
2
1
3
11
?()?()+…+
()
n
?n?()
n?1

33333
1
?
1
n
?
1
n?1

?
?
1?()
?
?n?(),?

T
n< br>?
2
?
3
?
3
?
a
k
?< br>k?1
n
311
n?1
n1
n
3
?()?? ()?
． （9分）
443234
n
11n(n?1)
,

（3）解 由（1） 可知
b
n
?n.?S
n
?
?
b
k
?(1?2?
L
?n)?
336
k?1
则
16
11
?
=
6(?),

S
n
n(n?1)
nn?1
故有
1
111111
?6(1????
L
??) (1?)?6
． （１４分）
=6
?
S
223nn?1n?1
k?1
k
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n

< br>19．（1）
2n?4?2?(n?2?1)d,?d?2,?f(a
n
)?2 ?(n?1?1)?2?2n?2,?a
n
?a
2n?2

a
4
(1?a
2n
)a
4
?.
（ 2）
limS
n
?lim
22
n??n??
1?a1?a< br>2n?2
?(2n?2)?2
2n?2
?(n?1)?2
2n?3.
（3）
b
n
?a
n
?f(a
n)?(2n?2)a
b
n?1
n?2
??4?1
b
n< br>n?1
?b
n?1
?b
n
.

?1
?{b
n
}
为递增数列
?b
n
中 最小项为
b
1
?2?2
5
?2
6
,f(t)?2< br>t
,?2
6
?2
t
,?t?6.

?
1
?|OF|?|FQ|sin(
?
?
?
)?26
20． （1）
?

?tan
?
?
46
,?6?m?46

?1?tan
?
?4.

2
?
m
?
|OF|?|FQ|cos
?
?m
?

?
?
4
?
?
?arctan4.

x
2
y
2
（2）设所求的双曲线方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),Q(x
1
,y
1
),则FQ? (x
1
?c,y
1
)

ab
?S
?OFQ
?
146
|OF|?|y
1
|?26,?y
1
??
又由
OF?FQ?(c,0)?(x
1
?c,y
1
)?
< br>2c
66963c
2
222
(x
1
?c)?c?(? 1)c,?x
1
?c,?|OQ|?x
1
?y
1
???12 .

2
448
c
当且仅当c=4时，
|OQ|
最小 ，此时Q的坐标为
(6,6)或(6,?6)

6
?
6
?< br>2
?
2
?1
?
?
ab
?
a
2
?b
2
?16
?
2
?
?
a?4
?
?
2
?
?
b?12
x
2
y
2< br>??1.

?
所求方程为
412
（3）设
A( x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

l
1
的方程为
y?3x,l
2
的方程为
y?? 3x
则有
y
1
?3x
1
①
y
2
??3x
2
②
?2|AB|?5|FF
1
|

?2(x
1
?x< br>2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?5?2c?40

?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?20
③ 设
M (x,y)
由①②得
y
1
?y
2
?3(x
1
?x
2
)

y
1
?y
2
?3(x
1
?x
2
)?2y?3(x
1
?x
2
),y1
?y
2
?23x

?x
1
?x
2
?
2y
3
，
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y
2
x
2
y
1
?y
2
?23x
代入③得
()?(23x)?400

???1.?M
的轨迹为
100
300
3
3
2y
22
焦点在y轴上的椭圆.

21、解：（1）
?f(x)
为偶函数
?f(?x)?f(x)

?b?0

f(x)?3x?1

2
?g(x)
为奇函数
?g(?x)??g(x)

?c?0

g(x)?5x

?f(a
n?1
?a
n
)?g( a
n?1
?a
n
?a
n
)?3(a
n?1
?a
n
)
2
?1?5(a
n?1
?a
n
? a
n
)?1

22
?3a
n?1
?a
n? 1
?a
n
?2a
n
?0

?(a
n?1< br>?a
n
)(3a
n?1
?2a
n
)?0

?
22
a
n?1
2
?

a
n3
?{a
n
}
是以
a
n
?1
为首项， 公比为
22
n?1
的等比数列.
a
n
?()
< br>33
（2）
lim
s
n
?
n??
1
2
1?
3
?3

22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴 ，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，
?
A（-1，
0），B（1，0）

x
2
y
2
设椭圆方程为：
2
?
2
?1

ab
?
C?1
?
a?2
b
2
?
令
x?C?y
0
?
∴
?
b
2
3
?
?

c
?
b?3
?
?
?
a2
x
2
y
2
?? 1
∴ 椭圆C的方程是：
43

（2）
EC?
1
1
AB?E(0
，
)
，l⊥AB时不符，
2
2
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设l：y＝kx＋m（k≠0）
?
y?kx?m
?
由
?x
2
y
2
?(3?4k
2
)x
2
?8 kmx?4m
2
?12?0

?1
?
?
3
?
4
M、N存在
?
?0?64k
2
m
2
?4(3?4k
2
)
?(4m
2
?12)?0
?4k
2
?3?m
2

设M（
x
1
，
y
1
），N（
x
2
，
y
2
），MN的中点F（
x
0
，
y
0
）
∴
x
0
?
x
1
?x
2
4km
3m
，
??
y?kx?m?
00
2
2
2
3?4k
3?4k

|ME|?|NE|?MN ?EF?
y
0
?
3m1
1
?
2
2
??
1
?
3?4k
2
2
??
1
?m??< br>3?4k

4km
x
0
kk2
?
3?4k< br>2
3?4k
2
2
)
∴
4k
2
?3?4
∴
0?k
2
?1
∴
?1?k?1
且
k?0

∴
4k?3?(?
2
2
∴ l与AB的夹角的范围是
(0
，
]
．

x
111 41
23、
（1）
f(x)?f(1?x)?????.
4
x
?24
1?x
?24
x
?24?2?4
x
2
1< br>4
(6
?
)

(2)由(1)知f(0)?f(1)?
1
?,f(1)?f(0)?.

2
11n?112n?21
,f()?f()?,f()?f()?
2nn2 nn2

(10
?
)
(12
?
)
将上述n ?1个式子相加得2a
n
?
n?1n?1
,?a
n
?.24
11n?3n(n?3)
S
n
?[2?3?4???(n?1)]? ??n?.
4428

24、（1）当X<0时,
f(x)?
7x
（3分）
x
2
?x?1
（2）函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数；（证明略） （9分）
（3）因为函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数，由x
?2
得
f(x )?f(2)??2
；
又因为
x?x?1?0,?7x?0
，所以
?
2
7x
?0
，所以
?2?f(x)?0
；
x< br>2
?x?1
因为
x
1
,x
2
?0
， 所以
?2?f(x
1
)?0
，且
?2?f(x
2
) ?0
，即
0?f(x
2
)?2
，
所以，-2≤f(x
1
) – f(x
2
) ≤2即|
f( x
1
)
－
f(x
2
)
|<2. （14分）
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25、解：⑴由题意易得M(-1,0)
设过点M的直线方程为
y?k(x?1)(k?0)
代入
y?4x
得
2
k
2
x
2
?(2k
2
?4)x?k2
?0
………………………………………（１）
再设Ａ（ｘ
１
，ｙ
１
），Ｂ（ｘ
２
，ｙ
２
）
4?2k
2
则ｘ
１
＋x
2
=，ｘ
１
·x
2
=１
k
2
y
１
＋
y
2
=k(x
1
+1)+k(x
2
+1)=k(
ｘ
１
＋
x
2
)+2k=
4

k
2?k
2
2
,
） ∴ＡＢ的中点坐标为（
2k
k
212?k
2
)
，令
y?0
得 那么线段 ＡＢ的垂直平分线方程为
y???(x?
kk
k
2
k
2?2
k
2
?22
x?
x??1?
，即
02
22
k
kk
又方程（１）中△＝
(2k
2
? 4)
2
?4k
4
?0,?0?k
2
?1,?
2?2,?x
0
?3

2
k
⑵若△ABD是正三角形，则 需点D到AB的距离等于
3
AB

2
16(1?k
2
)(1?k
2
)
AB?(1?k)(x
1
?x
2
)?(1?k)(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2?

4
k
2
222
?
2
?
点 到AB的距离d=
k
2
?2
k??k
k
2
1?k< br>2
?
2k
2
?2
k1?k
2
21?k
2
?

k
4(k
2
?1)316(1?k
4)
3
2
??
据
d?AB
得：
24
4
kk
4
2
∴
4k?k?3?0,(k?1)(4k?3)?0
，∴
k
2
?
∴△ABD可以为正△，此时
x
0
?
4222
3
2
，满足
0?k?1

4
11

3

26、解：⑴设E（x，y），D（x
0
，y
0
）
∵ABCD是平行四边形，∴
AB?AD?2AE
，
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∴（4，0）+（x
0
+ 2，y
0
）=2（x+2，y）∴（x
0
+6，y
0
）=( 2x+4，2y)
∴
?
?
x
0
?6?2x?4
?
x
0
?2x?2
?
?

?
y
0< br>?2y
?
y
0
?2y
2
2
22
又< br>AD?2,?(x
0
?2)?y
0
?4,?(2x?2?2)?(2y )?4

即：
x?y?1

∴
□
ABCD对角线交点E的轨迹方程为
x?y?1

⑵设过A的直线方程为
y?k(x?2)

以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2
22
22
x
2< br>y
2
x
2
y
2
?1
…………………（*） 设椭圆方程为
2
?
2
?1
， 即
2
?
2
abaa?4
x
2
k
2
(x?2)
2
? 1
将
y?k(x?2)
代入（*）得
2
?
aa
2
?4
即
(a?ak?4)x?4akx?4ak?a?4a?0

设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
）则
222222 2242
4a
2
k
2
4a
2
k
2
?a
4
?4a
2
x
1
?x
2
?,x
1
?x
2
?

4?a
2
?a
2
k
2
a
2
?a
2
k
2
?4
∵MN 中点到Y轴的距离为
左侧。
4
，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也 在Y轴的
3
2a
2
k
2
4?88?a
2
2 22
?,?ak?2a?8
，∴
x
1
?x
2
?,x
1
?x
2
?
∴
2

33
a?a< br>2
k
2
?4
3
∴
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
? 4x
1
x
2
?()
2
?
∵
MN?
8
3
4
(8?a
2
)

3
88
2
∴
1?k
2
x
1
?x
2
?2

3 3
64324
2
128
2222
∴
(1?k
2)(?
即
12a?12ak?32k?160

?a)?< br>9339
9a
2
?64
∴
12a?12(2a?8)?32k ?160
∴
k?

8
222
2
9a
2
?64
?2a
2
?8
，
9a
4
?80a
2
?64?0
∴
a?
8
2
(a
2
?8)(9a
2
?8)?0
，∵
a?c?2
，∴
a
2
?8

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∴
b
2
?a2
?c
2
?8?4?4

x
2
y
2
??1
∴所求椭圆方程为
84
⑶由⑴可知点E的轨迹是圆
x?y?1

设< br>(x
0
,y
0
)
是圆上的任一点，则过
(x
0
,y
0
)
点的切线方程是
x
0
x?y
0
y?1

①当
y
0
?0
时，
y?
22
22
1?x
0
x
代入椭圆方程得：
y
0222
(2x
0
?y
0
)x
2
?4x
0
x?2?32y
0
?0
，又
x
0
?y
0
?1

∴
(x
0
?1)x?4x
0
x?32x
0
?30?0

2< br>2
2
x
1
?x
2
?
4x
0
x
0
?1
2
2
,x
1
x
2
?2
32x
0
?30
x
0
?1
2
2
∴
(x
1
?x
2
)?(x
1
?x< br>2
)?4x
1
x
2
?
1
(x
0?1)
2
22
2
(?128x
0
?8x
0?120)

42
xx?y
PQ?(1?(?
0
)2
)(x
1
?x
2
)
2
?
0
2
0
(x
1
?x
2
)
2

y0
y
0
2
=
1
1?x
0
2
?
1
(1?x
0
)
2
2
(?128x
0?8x
0
?120)?
42
16x
0
?15
( 1?x
0
)
2
2
2

令
16x
0
?15?t(15?t?31)



则
PQ?
2
2
t256t256
?
2
?< br> ， ∵
15?t?31

t?1
2
t?2t?1
1
()t??2
16t
2
∴当t=15时，
PQ
取最大值为15 ，
PQ
的最大值为
15
。
此时
16x
0
?0,x
0
?0,?y
0
?1
，∴直线l的方程为
y??1

②当
y
0
?0
时， 容易求得
PQ?
2
7?15

故：所求
PQ
的最大 值为
15
，此时l的方程为
y??1

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t
?
y?(x ?a)
t
27．解（理）（1）易得l的方程为
y?(x?a)
…1分 由< br>?
，得（a
2
t
2
+4）y
2
－4aty= 0…2分
2
?
?
2
2
?
x
?y
2
?1
?
?
a
2
解得y=0或
y?
4at
………………4分
4at
即点M的纵坐标
y?
M
a< br>2
t
2
?4
a
2
t
2
?4
4a
2
t
…7分 （2）由（1）得，
4a
2
t4a
2
S??(t?0)

22
22
4?at
4
4?at
?a
2
t< br>t
S=S
△
AMN
=2S
△
AOM
=|OA |·y
M
=
2
令
V?
4
?a
2
t ,V
?
??
4
?a
2
…………9分 由
V
?
?0?t?

2
t
t
a
当
t?
2
时，
V
?
?0;当0?t?
2
时, V
?
?0
…10分 若1≤a≤2，则
2
?[1,2)
，故 当
t?
2
时，S
max
=a11分
a
aa
a
2
若a＞2，则
0?
2
?1.?V?
4
?a< br>2
t
在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,
S?
4a
13分
max
at
4?a
2
综上可得
S
max
?
a(1?a?2)
?
…… ……14分
?
?
4a
2
(a?2)
?
?
4?a
2
28. (1) ∵函数
f
(
x
)=

又函数
f
(
x
)=

bx
+
cbx
.

的图象过原点，即
f
(0)=0，∴
c

=0，∴
f
(
x
)=

x
+1
x
+1
bxabx
b

-

的图象关于点（-1，1）成中心对称，∴
a
=1，
b
=1，∴f
(
x
)=

.(2)

=

x
+1
x
+1
x
+1
a
n
a
n
+1
]，即
a
n
+1
=

2
由题意有
a
n
+1
=[

1
a
n
a
n
+1
，即
1
a
n
+1
=
1
a
n

+1，∴
1
1
a
n
+1

-
1
a
n

=1.
∴数列{
1
a
n
}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴
a
n

1
=1+(
n
-1)=
n
，即
a
n

=

，∴
a
n
=

n
1111
.∴
a
2
=

，
a
3
=

，
a
4
=

，
a
n
=

2
.
n
4916
n
2

?
y?m?n
?
?
29、解：（1）由
?
m?(2x?b,1)
，得
y?2x?1
…………2分
?
n?(1,b?1)
?
?
?L:y?2x?1,?P
1
(0,1)
，则
a
1
?0,b
1
?1,

?a
n
?n?1(n?N
?
) ,b
n
?2n?1(n?N
?
)
…………4分 （2）当
n?2
时，，
P
n
(n?1,2n?1),|P
1
P
n
|?5(n?1)

c
n
?
5111
???
…………6分 < br>n|P
1
P
n
|n(n?1)n?1n
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?lim(c
1
?c
2
???c
n
)?

n??
111111
lim[(1?)?(?)??(? )]?lim(1?)?1
…………8分
n??n??
223n?1nn

（3）假设存在符合条件的
k
使命题成立
当
k
是偶数时，
k?11
是奇数，则
f(k?11)?k?10,f(k)?2k?1

由
f(k?11)?2f(k),
得
k?4
…………11分
当
k
是奇数时，
k?11
是偶数，则
f( k?11)?2k?21,f(k)?k?1

由
f(k?11)?2f(k),
得
k
无解
综上存在
k?4
，使得
f(k?11)?2f(k)
…………14分

30.解：（1）设
A(x
1
,y
1< br>)
，
B(x
2
,y
2
)
，直线AB的方程为 ：
y?k(x?1)(k?0)

把
y?k(x?1)
代入
y
2
?4x
得：
k
2
x
2
?(2k
2
?4)x?k
2
?0

2k
2
?4
4
∴
x
1
?x
2
?
∴
y?y?k(x?1 )?k(x?1)?
1212
k
2
k
?
x
1
?x
2
k
2
?2
x??
?
2
?
k
2
?22
?
?
2k
,
?
； ∴
?
∴点M的坐标为
M
?
2
kk
?
y?y
2
?
2
?
y?
1
?
?
2k
?
消去
k
可得点M的轨迹方程为：
y
2
?2x?2(x?0)
；
k
2
?22
|3?
2
?4??m|
1
kk
（2）∵
d??

55
6868
68
∴|3?
2
??m|?1
∴
3?
2
??m??1
∴
2
???1?3?m

kkkk
kk
11
681 1
8
63
∵
k?2
∴
0?
2
?
，
0??4
∴
0?
2
??
∴
0??1?3?m?
kk2
k
k2
2
∴
0?1?3?m?
11< br>111519
或
0??1?3?m?
∴
??m??2
或
??m??4

2
22
2
∴
?
19
?< br>19
?
?m??2
∴
m
的取值范围为
?
?, ?2
?
。
2
?
2
?
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