全国高考数学压轴题100题精讲精析

全国高考数学压轴题100题精讲精析
1．设函数
f
?< br>x
?
?
?
?
1,1?x?2
，
g
?
x
?
?f
?
x
?
?ax,x?
?
1,3
?
，其中
?
x?1,2?x?3
a?R
，记函数g
?
x
?
的最大值与最小值的差为
h
?
a?
。
（I）求函数
h
?
a
?
的解析式； （ II）画出函数
y?h
?
x
?
的图象并指出
h
?< br>x
?
的最小值。

2．已知函数
f(x)?x?ln
?
1?x
?
,数列
?
a
n
?
满足
0?a
1
?1
,
11
a
n?1
?f
?
a
n
?
; 数列
?
b
n
?
满足
b
1
?,b
n ?1
?(n?1)b
n
,
n?N
*
.求证:
2 2
a
n
2
2
,
则当n≥2时,
b
n
?a
n
?n!
.
;
（Ⅲ）若
a
1
?< br>（Ⅰ）
0?a
n?1
?a
n
?1;
（Ⅱ）
a
n?1
?
2
2

3．已知定义在R上的函数
f
(
x
) 同时满足：
2（1）
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
?x2
)?2f(x
1
)cos2x
2
?4asinx
2< br>（
x
1
,x
2
?
R，
a
为常数）；
（2）
f(0)?f()?1
；（3）当
x?［0,
?
?< br>44
求：（Ⅰ）函数
f(x)
的解析式；（Ⅱ）常数
a
的取值 范围．

时，
f(x)
≤2
］
y
2
x
2
4．设
A(x
1
,y
1
),B(x
2< br>,y
2
)是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的两点，
xb
满足
(
x
1
y
1
xy< br>3
,
短轴长为2，0为坐标原点.
,)?(
2
,
2
)?0
，椭圆的离心率
e?
2
baba
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

个 个
nn
5．已知数列
{a
n
}
中各项为： 12、1122、111222、……、
11??????122??????2
……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和S
n
.
x
2
y
2
+=1
的左、右焦点. 6、设
F1
、
F
2
分别是椭圆
54
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个 动点，求
PF
1
?PF
2
的最大值和最小值；
（Ⅱ ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F
2
C|=|F< br>2
D|？若存在，求
直线l的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；
(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

8、定 义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+ b)=f(a)f(b)，
（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明 ：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x
2
)>1，求x的取值范围。

9、已知二次函数
f(x)?x?2bx?c(b,c?R)
满足
f(1)?0
，且关于
x
的方程
f(x)?x?b?0
的两实
数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）求实数
b
的取值范围；
（2）若函数
F(x)?log
b
f(x)
在区间（-1-c
，
1-
c
）上具有单调性，求实数C的取值范围

10、已知函数
f(x)在(?1,1)上有意义,f()??1,
且任意的
x
、
y?(?1,1)
都有
2
1
2
f(x)?f(y)? f(
2x
n
1
x?y
(n?N
*
),求f(xn
).

).
（1）若数列
{x
n
}满足 x
1
?,x
n?1
?
2
2
1?xy
1?x
n
（2）求
1?f()?f(

1
5
111
)??f(
2
)?f()
的值.
11n?2
n?3n?1
11.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足①
GA?GB?GC?0
, ②
|MA|
=
|MB|
=
|MC|
③
GM
∥
AB

（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（
2
, 0） ，已知
PF
∥
FQ
,
RF
∥
FN
且
PF
·
RF
= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

12．已知
?
为锐角， 且
tan
?
?2?1
，函数
f(x)?x
2
tan 2
?
?x?sin(2
?
?
?
4
)
，数列 {a
n
}的首项
a
1
?
1
,a
n?1?f(a
n
)
. ⑴ 求函数
f(x)
的表达式； ⑵ 求证：
a
n?1
?a
n
；
2
111
*
1??????2(n?2,n?N)
⑶ 求证：
1?a
1
1?a
2
1?a
n

13 ．（本小题满分14分）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1n?N

?
?
?

（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）若数 列
?
b
n
?
满足
4
（Ⅲ）证明：
b
1
?1
4
b
2
?1
4
b
3
?1
?
4
b
n
?1
?(a
n
?1)
b
n
，证明：
?
a
n
?
是等差数列；
11
??
a
2
a
3
?
12
?
?
n?N
?
?

a
n?1
3
a
2
3
a
2
x?x?cx
?
a?0
?
,
14 ．已知函数
g
?
x
?
??
32
（I）当
a ?1
时，若函数
g
（II）当
a?
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，求实数
c
的取值范围；
3
1

时，（1）求证：对任意的
x?
?
0,1?
，
g
?
x
?
?1
的充要条件是
c?
；
4
2
（2）若关于
x
的实系数方程
g

?
x
?
?0
有两个实根
?
,
?
， 求证：
?
?1,
且
?
?1
的充要条件是
1
??c?a
2
?a.

4

n(1?n)
15．已知数列{a
n
}前n项的和为S
n
，前n项的积为
T
n
，且满足
T
n
?2
。
①求
a
1
；②求证：数列{a
n
}是等比数列；③是否 存在常数a，使得
?
S
n?1
?a
?
?
?
S
n?2
?a
??
S
n
?a
?
对
2
n?N
?
都成立？ 若存在，求出a，若不存在，说明理由。
16、已知 函数
y?f(x)
是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的
m、n? [0,??)
，都
有
f(mn)?[f(m)]
，且
f(2)?4< br>，又当
x?0
时，其导函数
f(x)?0
恒成立。
n'?
kx?2
?
)
?
?2
，其中
k?(?1,1 ).
（Ⅰ）求
F(0)、f(?1)
的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：
?< br>f(
2
?
2x?4
?

17、一个函数
f< br>?
x
?
，如果对任意一个三角形，只要它的三边长
a,b,c
都在
f
?
x
?
的定义域内，就有
2
f
?< br>a
?
,f
?
b
?
,f
?
c
?
也是某个三角形的三边长，则称
f
?
x
?
为“保三角形函 数”．
（I）判断
f
1
?
x
?
?x
，< br>f
2
?
x
?
?x
，
f
3
?
x
?
?x
2
中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
（II）如果
g
?
x
?
是定义在
R
上的周 期函数，且值域为
?
0,??
?
，证明
g
?
x?
不是“保三角形函数”；
（III）若函数
F
?
x
?
?sinx
，
x?
?
0,A
?
是“保三角形函数 ”，求
A
的最大值．
（可以利用公式
sinx?siny?2sin


x?yx?y
cos
）
22

18、已知 数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
满足：
S< br>n
?
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；（Ⅱ）设
b
n
?
a
(a
n
?1)
（a为常数，且
a?0,a?1
）．
a?1
2S
n
?1
，若数列
{b
n
}
为等比数列，求a的值；
a
n
11
?< br>，数列
{c
n
}
的前n项和为
T
n
. < br>1?a
n
1?a
n?1
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设
c
n
?
1
求证：
T
n
?2n?
．
3

19、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?cn
（
c
是常数，
n?1，2，3，
），且
a
1
，a< br>2
，a
3
成公比不为
1
的等
比数列。 （I）求
c
的值； （II）求
?
a
n
?
的通项公式。
（III）由数列?
a
n
?
中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b
n
}，求
lim

22
20、已知圆
M:(x?5)?y ?36,定点N(5,0),点P为圆M
上的动点，点Q在NP上，点G在MP
b
n? 1
的值。
n??
b
n
上，且满足
NP?2NQ,GQ?NP?0
. （I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线
l
，与曲线C 交于A、B两点，O是坐标原点，设
OS?OA?OB,
是否存
在这样的直线
l
，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线
l
的方程；
若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时 将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个
0
救援中心（记为A，B，C）， B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东30，相距4km,P为航天员着陆
点，某一时刻A接 到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接
收到这一信号 ，已知该信号的传播速度为1kms.
（1）求A、C两个救援中心的距离；（2）求在A处发现P的方向角；
（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.



22．已知函数
y?|x|?1
，
y?11?t
)
(x?0)
的最小值恰好是方程
x
2
?2 x?2?t
，
y?(x?
2x
C
x
3
?ax2
?bx?c?0
的三个根，其中
0?t?1
．（Ⅰ）求证：
a
2
?2b?3
；
（Ⅱ）设
(x
1
,M)
，
(x
2
,N)
是函数
f(x)?x?ax?bx?c
的两 个极值点．
①若
|x
1
?x
2
|?


32
2
A
，求函数
f(x)
的解析式；②求
|M?N|
的取值范围．
3
B

23．如图，已知直线
l
与抛物线
x?4y
相切于点
P
(2，1)，且与
x
轴交于点
A
，
O
为坐标原点，定点
B
的
坐标为（2，0）. （I）若动点M满足
AB?BM?2|AM|?0
，求点M的轨迹C；
（II ）若过点B的直线
l
′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、 F之间），
试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.








24．设
g(x)?px?
2
q p
?2f(x),其中f(x)?lnx,且g(e)?qe??2.
（
e
为 自然对数的底数）
xe
（I）求p与q的关系； （II）若
g(x)
在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（III）证明： ①
f(1?x)?x(x??1)
；
ln2ln3lnn2n
2
?n?1
②
2
?
2
?
?
?2
?
（
n
∈N，
n
≥2）.
4(n?1)
23n

25．已知数列
{a
n
}< br>的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
?（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；（Ⅱ）设
b
0
?
a
(a
n
?1)
（
a
为常数，且
a?0 ,a?1
）．
a?1
2S
n
?1
，若数列
{b< br>n
}
为等比数列，求
a
的值；
a
n
11< br>1
，数列
{c
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求证：
T
n
?2n?
．
?
1?a< br>n
1?a
n?1
3
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设
c< br>n
?

26、对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使
f(x
0
)?x
0
成立，则称
x
0
为
f(x)
的不动点．如果函数
x
2
?a1
f(x)?(b,c?N*)
有且仅有两个不动点
0
、
2，且
f(?2)??
．
bx?c
2
（Ⅰ）试求函数
f(x)
的单调区间；
11n?11
?ln??
； （Ⅱ）已知各项不为零的数列
?
an
?
满足
4S
n
f()?1
，求证：
?
a
n
a
n?1
na
n
（Ⅲ）设
b
n??

27、已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x ? y） =
f (x)·f (y)＋1
f (y)－f (x)
1
，
T
n
为数列
?
b
n
?
的前
n
项和，求证：
T
200 8
?1?ln2008?T
2007
．
a
n
成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 < x < 2a时，f（x） > 0．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）