高考数学压轴题小题

2018年高考数学压轴题小题

一．选择题（共6小题）

1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）
=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C2．（2 018?新课标Ⅱ）已知F
1
，F
2
是椭圆C：
的左顶点，点P在过 A且斜率为
C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

的直 线上，△PF
1
F
2
为等腰三角形，∠F
1
F
2< br>P=120°，则
3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的 函数，若f（x）的
图象绕原点逆时针旋转
（ ）

A． B． C． D．0
，
后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是
4．（20 18?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为
向量满足
A．
﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（ ）

+1 C．2 D．2﹣

﹣1 B．
5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等， E是线段AB上的
点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ
1
，SE与平面ABC D所成的角为θ
2
，二面角S
﹣AB﹣C的平面角为θ
3
，则（ ）

A．θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B．θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C．θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D．θ
2
≤θ
3
≤θ
1
6．（2018?浙江）函数y=2
|x|
sin2x的图象可能是（ ）

A． B． C．
D．
﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦7．（2 018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离 心率的值为 ．

8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，
则f（x）在[﹣1， 1]上的最大值与最小值的和为 ．
9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=< br>=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 ．
10．（2018?北京）已知 椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线
．若关于x的方程f（x）
N的 两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭
圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
11．（2018?上海）已知实数x
1
、x< br>2
、y
1
、y
2
满足：x
1
2
+y
1
2
=1，x
2
2
+y
2
2
=1 ，x
1
x
2
+y
1
y
2
=，则
+ 的最大值为 ．
12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P （p，），Q（q，

）．若2
p+q
=36pq，则a= ．
13．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f
（x）＜0的 解集是 ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
14．（2018 ?浙江）已知点P（0，1），椭圆+y
2
=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则
当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中 任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，
一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）

三．解答题（共2小题）

16 ．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos
2
x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．
17．（201 8?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终
边过点P（﹣，﹣）．< br>
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

2018年高考数学压轴题小题

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣ ∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）
=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f （3）+…+f（50）=（ ）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），

∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，

则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，

∵f（1）=2，

∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，

f（4）=f（0）=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，

则f（1）+ f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f< br>（50）

=f（1）+f（2）=2+0=2，

故选：C．

2．（2018?新课标Ⅱ）已知F
1
，F
2
是椭圆C：
的左顶点，点P在过A且斜率为
C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），

直线AP的方程为：y=（x+a），

c），

=1（a＞b＞0 ）的左、右焦点，A是C
的直线上，△PF
1
F
2
为等腰三角形，∠ F
1
F
2
P=120°，则
由∠F
1
F
2
P=120°，|PF
2
|=|F
1
F
2
|=2c ，则P（2c，
代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，

∴题意的离心率e==．

故选：D．

3．（2018?上海）设 D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的
图象绕原点逆时针旋转
（ ）

A． B． C． D．0

后与原图象重合，则在以下各项中， f（1）的可能取值只能是
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆 时针旋转
个单位后与下一个点会重合．

我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）= ，，0时，此时得到的圆心角为，，
0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知 道函数的定义就是要求一
个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一 个y，

因此答案就选：B．

故选：B．

4．（2 018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为
向量满足
A．
﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（ ）

+1 C．2 D．2﹣
，
﹣1 B．

，

【解答】解：由
∴（）⊥（
﹣4?+3=0，得
），

，

如图，不妨设
则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量与的夹角为
不妨以y=
即
故选：A．

5．（2 018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的
点（不含端 点）．设SE与BC所成的角为θ
1
，SE与平面ABCD所成的角为θ
2
， 二面角S
﹣AB﹣C的平面角为θ
3
，则（ ）

A．θ
1
≤θ
2
≤θ
3
B．θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C．θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D．θ
2
≤θ
3
≤θ
1

，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．

为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线
．

的距离减1．

【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．

过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，

连接SN，

取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，
则θ
1
=∠SEN，θ
2
=∠SEO，θ
3
=∠SMO ．

显然，θ
1
，θ
2
，θ
3
均为锐角．

∵tanθ
1
==，tanθ
3
=，SN≥SO，

∴θ
1
≥θ
3
，

又sinθ
3
=，sinθ
2
=，SE≥SM，

∴θ
3
≥θ
2
．

故选：D．

6．（2018?浙江）函数y=2
|x|
sin2x的图象可能是（ ）

A． B． C．
D．

【解答】解：根据函数的解析式y=2
| x|
sin2x，得到：函数的图象为奇函数，

故排除A和B．

当x=时，函数的值也为0，

故排除C．

故选：D．

二．填空题（共9小题）

7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双 曲线
点F（c，0）到一条渐近线的距离为
【解答】解：双曲线
的距离为c，

﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦
c，则其离心率的值为 2 ．

=1（a ＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x

可得：=b=，

可得，即c=2a，

．

所以双曲线的离心率为：e=
故答案为：2．

8．（2018?江苏）若函 数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个 零点，
则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 ．

【解答】解 ：∵函数f（x）=2x
3
﹣ax
2
+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只 有一个零点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞） 上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍
去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，

∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，

又f（x）只有一个零点，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x
3
﹣3x
2
+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣ 1，1]，

f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）
min=f（﹣1）=﹣4，f（x）
max
=f（0）=1，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f（x）
max
+f（x）
min
=﹣4+1=﹣3．
< br>9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）
=ax恰有2个 互异的实数解，则a的取值范围是 （4，8） ．

【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x
2
+2ax+a=ax，

得x
2
+ax+a=0，

得a（x+1）=﹣x
2
，

得a=﹣，

，则g′（x）=﹣=﹣，

设g（x）=﹣
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
< br>由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，
当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x
2
+2ax﹣2a=ax，

得x
2
﹣ax+2a=0，

得a（x﹣2）=x
2
，当x=2时，方程不成立，

当x≠2时，a=
设h（x）=

，则h′（x）==，

由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，

由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜ 4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h
（4）=8，

要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，

则由图象知4＜a＜8，

故答案为：（4，8）

10．（2018?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0 ），双曲线N：﹣=1．若双曲线
N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六 边形的顶点，则椭
圆M的离心率为
【解答】解：椭圆M：
；双曲线N的离心率为 2 ．

+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条
渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标（c，0） ，正六边形的一个顶点（，），可得：，

可得，可得e
4
﹣8e
2
+4=0，e∈（0，1），

解得e=．

，即，

同时，双曲线的渐近线的斜率为
可得：，即，

可得双曲线的离心率为e=
故答案为：；2．

=2．

1 1．（2018?上海）已知实数x
1
、x
2
、y
1
、y< br>2
满足：x
1
2
+y
1
2
=1，x
2
2
+y
2
2
=1，x
1
x
2
+ y
1
y
2
=，则
+的最大值为 + ．

【解答】 解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

=（x
1
，y
1
），=（x
2
， y
2
），

由x
1
2
+y
1
2< br>=1，x
2
2
+y
2
2
=1，x
1
x
2
+y
1
y
2
=，

可得A，B两点在圆x
2
+y
2
=1上，

且?=1×1×cos∠AOB=，

即有∠AOB=60°，

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1，

+的几何意义为点A，B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和，

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，

可设AB：x+y+t=0，（t＞0），

由圆心O到直线AB的距离d=
可得2=1，解得t=，

，

即有两平行线的距离为
即
故答案为：
+
+．

=，

+，

的最大值为
12．（2018?上海）已知常 数a＞0，函数f（x）=
）．若2
p+q
=36pq，则a= 6 ．
< br>【解答】解：函数f（x）=
的图象经过点P（p，），Q（q，
的图象经过点P（p， ），Q（q，）．

则：，

整理得：
解得：2
p+q
=a
2
pq，

由于：2
p+q
=36pq，

所以：a
2
=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为：6

=1，

13．（ 2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f
（x）＜0的解集是 {x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是
（1，3]∪（4，+∞） ．

【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0
的解 集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x
2
﹣4x+3＜0，解得1 ＜x＜2，
综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．

函数f（x）恰有2个零点，

函数f（x）=的草图如图：

函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．

故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．

14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆
当m= 5 时，点B横坐标的绝对值最大．

【解答】解：设A（x
1
，y
1< br>），B（x
2
，y
2
），

由P（0，1），=2，

+y
2
=m（m＞1）上两点A，B满足 =2，则
可得﹣x
1
=2x
2
，1﹣y
1
=2（y
2
﹣1），

即有x
1
=﹣2x
2
，y< br>1
+2y
2
=3，

又x
1
2
+4y
1
2
=4m，

即为x
2
2
+y
1
2
=m，①

x
2
2
+4y
2
2
=4m，②

①﹣②得（y
1
﹣2y
2
）（y
1
+2y
2
）=﹣3m，

可得y
1
﹣2y
2
=﹣m，
< br>解得y
1
=
则m=x
2
2
+（
即有x
2
2
=m﹣（
，y
2
=
）
2
，

）
2
==，

，

即有m=5时，x
2
2
有最大值4，

即点B横坐标的绝对值最大．

故答案为：5．

15．（2018 ?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，
一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）

【解答】解：从1，3，5，7，9中 任取2个数字有
从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有
可以组成
种方法，
种方法，

=720个没有重复数字的四位数；

=540，

含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有

故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．

故答案为：1260．

三．解答题（共2小题）

16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）= asin2x+2cos
2
x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．

【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos
2
x，

∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos
2
x，

∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

∴﹣asin 2x+2cos
2
x=asin2x+2cos
2
x，

∴2asin2x=0，

∴a=0；

（2）∵f（
∴asin
∴a=
）=+1，

）=a+1=+1，

+2cos
2
（
，

∴f（x）=sin2x+2cos
2
x=
，

）+1=1﹣
）=﹣，

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣
∴2sin（2x+
∴sin（2x+
∴2x+
∴x=﹣
=﹣
，< br>
+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，

π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，

∵x∈[﹣π，π]，

∴x=或x=或x=﹣或x=﹣

17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终
边过点P（﹣，﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵角 α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P
（﹣，﹣）．

∴x=﹣，y=，r=|OP|=，

∴sin（α+π）=﹣sinα=；

（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，

得，，

又由sin（α+β）=，

得=，

则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）
sinα=，

或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）
sinα=．

∴cosβ的值为或．

cosα+sin
cosα+sin
α+β
α+β
（）
（）