清华老师绝密高考数学压轴题完全解析

高考数学压轴题

1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
22，相应于焦点
F(c,0)
（
c?0
）的准线
l
与x< br>轴相交于点
A
，
OF?2FA
，过点
A
的直线与椭圆 相交于
P
、
Q
两点。
（1）求椭圆的方程；
??? ?????
（2）若
OP?OQ?0
，求直线
PQ
的方程；
????????
（3）设
AP?
?
AQ
（
?
? 1
），过点
P
且平行于准线
l
的直线与椭圆相交于另一点
M
，
证明
FM??
?
FQ
. (14分)
?????????
x
2
y
2
?1(a?2)
。 （1）解：由题意，可设椭圆的方程为
2
?
a2
?
a
2?c
2
?2,
?
由已知得
?
解得
a?6,c?2

a
2
?
c?2(?c).
c
?
x
2
y
2
6
?1< br>，离心率
e?
所以椭圆的方程为
?
。
62
3
（2）解：由（1）可得A（3，0）。
?
x
2< br>y
2
?1,
?
?
设直线PQ的方程为
y?k(x?3 )
。由方程组
?
6

2
?
y?k(x?3)
?
66
?k?
。
33
18k
2
27k
2
?6
设
P(x
1< br>,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
?
2
， ①
x
1
x
2
?
。 ②
3k?13k
2
?1
得
(3k
2
?1)x
2
?18k
2
x?27k
2
?6?0
，依题意
??12(2?3k
2)?0
，得
?
由直线PQ的方程得
y
1
?k(x
1
?3),y
2
?k(x
2
?3)
。于是
y< br>1
y
2
?k
2
(x
1
?3)(x
2
?3)?k
2
[x
1
x
2
?3(x
1?x
2
)?9]
。 ③
????????
∵
O P?OQ?0
，∴
x
1
x
2
?y
1
y2
?0
。 ④
由①②③④得
5k
2
?1
，从而
k??
566
?(?,)
。
533
所以直线PQ 的方程为
x?5y?3?0
或
x?5y?3?0

????????
（3，理工类考生做）证明：
AP?(x
1
?3,y
1
), AQ?(x
2
?3,y
2
)
。由已知得方程组


第 1 页 共 1 页

?
x
1
?3?
?
(x
2
?3),
?
y?
?
y,
2
?
1
22
?
x
1
y
1

?
??1,
2
?
6
?
x
2
y
2
?
2
?
2
?1.
2
?
6
注意?
?1
，解得
x
2
?
5
?
?1

2
?
因
F(2,0),M(x
1
,?y
1)
，故
?????
1?
??
?1
FM?(x
1
?2,?y
1
)?(
?
(x
2
?3)?1,?y
1
)
?(,?y
1
)??
?
(,y
2)
。
22
?
????
?????????
?
?1
而
FQ?(x
2
?2,y
2
)?(,y
2)
，所以
FM??
?
FQ
。
2
?



2． 已知函数
f(x)
对任意实数x都有
f(x?1 )?f(x)?1
，且当
x?[0,2]
时，
f(x)?|x?1|
。
（1）
x?[2k,2k?2](k?Z)
时，求
f(x)
的表达式。
（2） 证明
f(x)
是偶函数。
（3） 试问方程
f(x)?l og
4
1
?0
是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没
x
有实数根，请说明理由。
①f(x)=
x?2k?1
(2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：
x?(y?3) ?1
。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x
1
，y
1
）、H（x2
，y
2
）两点，求证：x
1
x
2
为定值；
10
（3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最 小，
8
求点P的坐标及S的最小值。
y

6
①x=4y ②x
1
x
2
=-4 ⑶P(±2,1) S
MIN
=
7

2
4
22
C


x
-15-10-5
2
F
第 2 页 共 2 页


O
-2
5
X
1015
-4
-6

x
2
2< br>4.以椭圆
2
?y
＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角 三角形，
a
试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
.解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）?
设BC∶y＝kx＋1（k＞0）?
则AB∶y＝－
1
x＋1
k
把BC方程代入椭圆，? < br>是（1＋a
2
k
2
）x
2
＋2a
2
kx＝0?
2a
2
k2a
2
2
∴|BC|＝
1? k
，同理|AB|＝
1?k

1?a
2
k
2
k
2
?a
2
2
由|AB|＝|BC|，得?k
3
－a
2
k
2
＋ka
2
－1＝0?
（k－1）［k
2
＋（1－a
2
）k＋1］＝0
∴k＝1或k
2
＋（1－a
2
）k＋1＝0?
当k
2
＋（1－a
2
）k＋1＝0时，Δ＝（a
2
－1）
2< br>－4?
由Δ＜0，得1＜a＜
3

由Δ＝0，得a＝
3
，此时，k＝1
故，由Δ≤0，即1＜a≤
3
时有一解?
由Δ＞0即a＞
3
时有三解


5 已知，二次 函数f（x）＝ax
2
＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a
、
b
、
c∈R，a＞b
＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；?
（Ⅱ）设f（x）、g（x ）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A
1
B
1
时，试求|A
1
B
1
|
的取值范围.
解：依题意，知a、b≠0?
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0?
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x），?
得ax
2
＋2bx＋c＝0.（*）?
Δ＝4（b
2
－ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0?


第 3 页 共 3 页

∴f（x）、g（x）相交于相异两点 ?
（Ⅱ）设x
1
、x
2
为交点A、B之横坐标?
则|A1
B
1
|
2
＝|x
1
－x
2
|
2
，由方程（*），知?
4b
2
?4ac4(a?c)
2
?4ac
?
|A
1
B
1
|＝
22< br>aa
2
?
4
2
(a?c
2
?ac)

2
a
c
??
c
?4
?
()2
??1
?
(**)

a
??
a< br>∵
?
?
a?b?c?0
?
a?b
?2a?c?0，而a＞0，∴
c1
??

a2
c
??2
< br>a
∵
?
?
a?b?c?0
?
c?b
?a?2 c?0
，∴
c1
??

a2
cc
∴4［（）
2
＋＋1］∈（3，12）?
aa< br>∴
?2?
∴|A
1
B
1
|∈（
3
， 2
3
）


6 已知两点M（－2，0），N（2，0） ，动点P在y轴上的射影为H，︱
PH
︱是2和
PM?PN
的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的
方程。
解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,
PH?
?
?x,0
?
,
PM
=（－2－x,－y）
?
??
?
PN
=（2－x,－y）
PN
=（－2 －x,－y）∴
PM
··（2－x,－y）=
x?4?y

?
?
?
22
PH?x

?
?
?
PN
由题意得∣PH∣2=2·
PM
·
即
x?2x?4?y


2
?
22
?

第 4 页 共 4 页

x
2
y
2
??1
，所求点P的轨迹为椭圆 即
84
由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣ QN∣
双曲线的C实轴长2a=
QM?QN?QM?QE?ME?10
（当且仅当Q 、E、M共
线时取“=”），此时，实轴长2a最大为
10

所以，双曲线C的实半轴长a=
又
?c?
10

2
13
NM?2,?b
2
?c
2
?a
2
?

22
x
2
y
2
??1
∴双曲线C的方程式为
53
22

7．已知数列{a
n
}满 足
a
1
?3a(a?0),a
n?1
（1）求数列{b
n
}的通项公式；
（2）设数列{b
n
} 的前项和为S
n
，试比较S
n
与
（1）
b
n
?
2
a
n
?a
2
a?a

?,设bn
?
n
2a
n
a
n
?a
7
的 大小，并证明你的结论.
8
1
2
n?1

1
（2）
S?
7
?(
1
?
1
?
1
? ??)?
1
?(
1
?
1
?
1
?
1
?
1
??)?
1
?
16
?
1
?0

n
82
4
2
8
2
16
8162
4
22
4
2
2
8
1?
1
8
2


8．已知焦点在
x
轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点 ，且两条渐近线与以点
A(0,2)
为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直 线
y?x
对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线
y?m x?1
与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线
l
经过M（-2，
0）及 AB的中点，求直线
l
在
y
轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若 Q是双曲线C上的任一点，
F
1
F
2
为双曲线C的左，右两个焦点， 从
F
1
引
?F
1
QF
2
的平分线的垂线， 垂足为N，试求点N的轨迹方程．

解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆
x
2
?(y?2)
2
?1
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．????????????????2分


第 5 页 共 5 页

x
2
y2
故设双曲线C的方程为
2
?
2
?1
．
aa
又双曲线C的一个焦点为
(2,0)

∴
2a
2
?2
，
a
2
?1
． < br>∴双曲线C的方程为
x
2
?y
2
?1
．?????? ????????????4分
?
y?mx?1
22
（Ⅱ）由
?< br>2
得
(1?m)x?2mx?2?0
．
2
?
x?y ?1
令
f(x)?(1?m
2
)x
2
?2mx?2

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在
(??,0)
上有两个不等实 根．
?
?
??0
?
?
2m
因此
?
?0
解得
1?m?2
．
2
?
1?m
??2
?0
?
?
1?m
2
m1
,)
， 又AB中点为
(
22
1?m1?m
1
(x?2)
．???? ????????6分 ∴直线l的方程为
y?
2
?2m?m?2
22
?
令x=0，得
b?
．
?2m
2
?m?2
?2 (m?
1
)
2
?
17
48
∵
m?(1,2 )
，
1
2
17
?(?2?2,1)
∴
?2(m ?)?
48
∴
b?(??,?2?2)?(2,??)
．????????? ?????????8分
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长
QF
2
到T ，使
|QT|?|QF
1
|
，
若Q在双曲线的左支上，则在
QF
2
上取一点T，使
|QT|?|QF
1
|
．
根据双曲线的定义
|TF
2
|?2
，所以点T在以
F
2< br>(2,0)
为圆心，2为半径的圆上，即点
T的轨迹方程是
(x?2)
2
?y
2
?4(x?0)
①????????????????10分
由于点N是线段
F
1
T
的中点，设
N(x,y)
，
T(x
T
,y
T
)< br>．
?
x
T
?2
x?
?
?
x?2x ?2
?
2
则
?
，即
?
T
．
?< br>y
T
?2y
?
y?
y
T
?
2
?
代入①并整理得点N的轨迹方程为
x?y?1
．
(x??


9.
f(x)
对任意
x?R
都有
f(x)?f(1?x)?


22
2
)
??????12分
2
1
.

2

第 6 页 共 6 页

n?1
) (n?N)
的值．
n
12n?1< br>)?f(1)
，数列
?
a
n
?
（Ⅱ）数列
?
a
n
?
满足：
a
n
=
f(0)
+
f()?f()????f(
nnn
（Ⅰ）求
f()
和
f( )?f(
是等差数列吗？请给予证明；
试比较
T
n
与
S
n
的大小．


1
2
1
n
1111111
．所以
f()?
．??2分
2222224
11111n?11
)?
．?????4分 令
x?
，得
f()?f(1?)?
，即
f()?f(
nnn2 nn2
1n?1
)?f(1)
（Ⅱ）
a
n
?f(0)?f ()???f(
nn
n?11
)???f()?f(0)
??????5分 又
a
n
?f(1)?f(
nn
解：（Ⅰ）因为
f()?f( 1?)?f()?f()?
两式相加
1n?1n?1
2a
n
?[f (0)?f(1)]?[f()?f()]?
?
?[f(1)?f(0)]?
．
nn2
n?1
,n?N
，??????7分 所以
a
n?
4
n?1?1n?11
??
．故数列
{a
n
}
是等差数列．??????9分 又
a
n?1
?a
n
?< br>444
44
（Ⅲ）
b
n
??

4a
n
?1n
22

T
n
?b
1
2
?b
2
???b
n
111
?16(1?
2
?
2
???
2
)

23n
111
?16[1???
?
?]
??????10分
1?22?3n(n?1)
11111
?16[1?(1?)?(?)???(?)]
??????12分
223n?1n
116
?16(2?)?32??S
n

n n
所以
T
n
?S
n
?????????????????? ????????14分











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