高中数学说题比赛-高中数学中的n
２０１１高考压轴题目选（５０题）
１．（函数）
设32(
log (f x x x =++，则对任意实数, a b ，“0a b +≥”是
“( ( 0f a f b +≥”的 条件。
２．（函数）设 22, 22( ,
(y x y x y x f +-=为定义在平面上的函数，且
+=2 , {(x y x A
}0, 0, 12≥≥≤y x y ，令} , ( , ({A y x y x f B ∈=，则B
所覆盖的
面积为
３．（函数）老师在黑板上写出了若干个幂函数。他们都至少具备一下三条性
质中的一条：
（1）是奇函数；（2）在(, -∞+∞上是增函数；（3）函数图像经过原点。小明
统计了
一下，具有性质（1）的函数共10个，具有性质（2）的函数共6个，具有
性质（3）的函数共有15
个，则老师写出的幂函数共有 个。
４．（函数）已知定义在R 上的奇函数 (x f ，满足(4
( f x f x -=-, 且在区间[0,2]
上是增函数,
若方程f(x=m(m>0在区间[]8, 8-上有四个不同的根1234, , , x x x x ,
则
1234_________.x x x x +++=
５．（函数）
已知函数( 1. f x a =
≠在区间(]0,1上是减函数，则实数a
的取值范围是
６．（函数）方程x 22x －1＝0的解可视为函数y ＝x 2的图像与函数y
1x
横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x
2，?，x k (k ≤4 所对应的点(x i ,
4x i
（i ＝1,2, ?,
k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是
７．（函数）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚
动。设顶点p
（x ，y ）的轨迹方程是( y f x =，则(
f x 的最小正周期为 ；( y f x
=在其两个相邻
零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。
８．（三角函数）已知(
sin (0 363f x x f f ωωπππ?
?????=+>= ? ?
???????
，，且( f x 在区间63ππ?? ???
有最小值，无最大值，则ω＝__________ ９．（三角函数）已知函数2ππ( sin
sin 2cos 662x f x x x x ωωω?
???=+
+--∈ ? ?????R ，（其中0ω>），若对任意的a ∈R ，函数( y f x
=，(π]x a
a ∈+，的图像与直线1=y 交点个数的最大值为2，则ω的取值范围为
１０．（三角函数）已知方程x 2+3
x+4=0的两个实根分别是x 1，x 2，则
21a r c t a n a r c
t a n x x + １１．（数列）设定义在*N 上的函数：(21 ( ( (2 2
n
n k f n n f n k =-??=?=??，其中*k N ∈，记(1(2(3(4(2 n n
a f f f f f
=+++++ ，则1n n a a +-=
１２．（数列）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2?P n 中，若1≤i ＜j ≤m
时P i ＞P j （即前面
某数大于后面某数），则称P i 与P j
构成一个逆序。一个排列的全部逆序的
总数称为该排列的逆序数。记排列321 1( 1( -+n
n n 的逆序数为n a ，则n a ＝１
３．（数列）已知等差数列{}n a
的公差不等于０，且2a 是1a 与4a
的等比中项。数列
1213, , , , ,
n k k k a a a a a 是等比数列，则n k =
１４．（数列）已知数列{}n
a 满足：12a =，212n n n a a a +=+, 1,2, n = ，记
112n
n n b a a =++，则数列{}n b 的前n 项和n S =１５．（数列）在数列{}n a
中，
10a =，且对任意*
k N ∈，21221, , k k k a a a
-+成等差数列，其公差为2k 。则数列{}n a 的通项
公式n a =；记2
(2
n n
n b n a =≥，则对于2n ≥，23n b b b +++=
１６．（数列）若数列{}n a 满足：对任意的n N *
∈，只有有限个正整数m
使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为( n a *，则
得到一个新数列{}
( n a *．例如，若数列{}n a 是1, 2,3, n
…，…，则数列{}( n a *是0,1,2, 1, n -
…，…．已知对任意的N n
*∈，2n a n =，则5( a *=(( n a **=
１７．（立体几何）在一个密封的容积为１的透明正方体容器内装有部分液
体，如果任意转动
该正方体，液面的形状都不可能是三角形，则液体体积的取值范围为
１８．（立体几何）在正方体1111D C B A ABCD -中，动点P 在平面ABCD
内，且到异面直线
AB 、1CC 的距离相等；动点Q 在平面11ABB A
内，且到异面直线AB 、
1CC 的距离相等，则动点P 、Q 的轨迹分别为
１９．（立体几何）在正方体1111D C B A ABCD -中，与直线AB 、1CC
、
11A D 都相交的直
线的条数为
２０．（立体几何）如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：
（1）直角三角形；
（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角
形。那么可能
成为这个四面体的第四个面是 （填上你认为正确的序号）
２１．（立体几何）如图，在三棱锥O
ABC -中，三条棱, , OA OB OC
两两垂直，且OA OB OC
>>，分别经过三条棱, , OA OB OC 作
一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为123, , S S S ，则
123, , S S S
的大小关系为________________．
２２．（排列组合）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿
者服务活动，每
人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排
方案的种数是
２３．（排列组合、概率）在一个给定的正(2n +1边形的顶点中随
机地选取三个不同的顶点，
任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三
角形内部的概率为
２４．（排列组合）以集合{, , , }U a b c d
=的子集中选出4个不同的子集，需
同时满足以下两
个条件：（1）φ、U
都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A
B B A ??或，
那么共有 种不同的选法。
２５．（解析几何）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月
球，在月球附近
一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P
点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P
点第三次变轨进
入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别
表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道
Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c
+=+; ②
1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④
11c a ＜22
c a . 其中正确式子的序号是 ２６．（解析几何）椭圆22
221(0 x y a b a b
+=>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A
，在椭圆上存在点P 满足线段
AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
２７．（解析几何）过直线
l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为
((123,0, 3,0F F -，则椭圆的方程为
２８．（解析几何）如图，把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x
轴的垂线交椭圆的上半部分于
1234567, , , , , , P P P P P P P
七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F PF P
F PF P F P
F ++++++=
２９．（解析几何）设不等式组1, 230x x y y x
≥??-+≥??≥?
，所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y
+-=对称，
对于1Ω中的任意A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于
３０．（解析几何）P 是双曲线22
x y 1916
－＝的右支上一点，M
、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y
2＝
1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为
３１．（复数）1z , 2z
是复数，且120z z ?≠，1212A z z z z =?+?，1122B z z
z
z =?+?，
问A 、B
能否比较大小？若不能，在下面横线上说明理由；若可以，指明大
小关系 ３２．（复数）对于复数,
αβ，记：221(, ( 4
αβαβαβ=+--，, (, (, i i
αβαβαβ<>=+，则, αβ<>用、β表示为
３３．（向量）设O 为ABC
?内一点，记, , BOC COA AOB ABC ABC ABC
S S S m n p
S S S ??????===. 则mOA nOB pOC ++= .
３４．（向量）设V
是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:, f V V a V
→∈，记a 的
象为( f a 。若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数, λμ都有(
( ( f a
b f a f b λμλμ+=+，则
f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变
换，a b
V ∈、，则( ( ( f a b f a f b +=+ ②若e 是平面M 上的单位向量，对任意,
( a
V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换；
③对, ( a
V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；
④设f 是平面M 上的线性变换，a
V ∈，则对任意实数k 均有( ( f ka kf a =。
其中的真命题是
（写出所有真命题的编号）
３５．（综合）矩阵3313233a a a a a a a a a
?? ? ? ???
满足：{1,2,3, ,9}ij a ∈
，并且矩阵中的每一行、每一列都是递增的。满足条件
的不同矩阵的个数为
３６．（综合）动点(, A x y 在圆221x y
+=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋
转，12秒旋
转一周。已知时间0t =时，点A
的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t
（单位：秒）的函数
的单调递增区间是
３７．（综合）设不等式组 110330530x
y x y x y 9+-≥??-+≥??-+≤?
表示的平面区域为D ，若指数函数y=x
a 的图
像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
３８．（函数）为研究问题“函数与其反函数的图像的交点是否在直线y x
=
上”，分以下三步
进行：
（Ⅰ
）选取函数：221, , 1x y x y y x =+=
=+标：①21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为（-1，-1）；②21
x y x =+与其反函数2x y x
=-的交点坐标为（0，0），（1，1）
；③y =_______________
的交点坐标为,(1,0,(0,1 --??
。
（请完成空格中的内容）
（Ⅱ）某同学根据上述结果猜想以下两个结论：
（1）函数与其反函数图像的交点关于直线y = x
对称出现；
（2）函数与其反函数的图像必有交点在直线y =x 上。
判断这两个结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由。
（Ⅲ）若函数( y f
x =在其定义域内单调递增，则与其反函数的交点是否一定
在直线y x
=
上，并说明理由。如果单调递增改为单调递减，函数与其反函数的交点是否一
定在直线y x
=上呢？（假定函数与反函数一定有交点）
３９．（函数）已知函数( y f x =的反函数。定义：若对给定的实数(0 a a
≠，
函数
( y f x a =+与1( y f x a -=+互为反函数，则称(
y f x =满足“a 和性质”
；若函数( y f ax =与1( y f ax
-=互为反函数，则称( y f x =满足“a 积性质”
。 （1） 判断函数2( 1(0
g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）
求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数((0 y f x x =>对任何0a
>，满足“a 积性质”。求( y f x =的表达式。
４０．（函数）记函数1212( 3,
( 23, x p x p f x f x x R --==?∈，定义函数
(((((((
1
12212, , f x f x f x f x f x f x f x
≤??=?>??，设, a b 为两实数，且12, p p (, a b
∈为给定的常数,
若((f a f b =求证：(f x 在区间[], a b 上的单调增区间的长度和为
2
b a -（闭区间[], m n 的长度定义为n m -）． ４１．（数列）设数列{}n a
的前
n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记
*4( 1n n n
a b n N a +=∈-。（1）记*221( n n n
c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和
为n T ，求证：对任意正整数n
都有32n T <
；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n R
。已知正实数λ满足：对任意正整数, n
n R n λ≤恒成立，求λ的最小值。
４２．（数列）下表给出一个“等差数阵”：
其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数。
求证：正整数N
在该“等差数阵”中的充要条件是：12+N 能够分解成两个不是
1的正整数的乘积。
４３．（数列）已知110, 0a b <>，且对任意的正整数n ，当02
n n a
b +≥时，11, 2n n n n n a b a a b +++==；当02n
n a
b +<时，11, 2
n n n n n a b a b b +++==。 （１）
求证：数列{}n n b a -
为等比数列；
（２） 若2011111, 2a b
=-=，设 2(≥n n 是满足n b b b b >>>> 321的最大整
数，
求n 的值；
（３） 若111, 2a b =-=，求证：对一切正整数n ，222n
n a b =-；
（４） 是否存在11, a b ，使得数列{}n a 为常数数列？
４４．（解析几何）如图，平面上定点F 到定直线l 的距离2||=FM ，P
为该
平面上的动点，
过P 作直线l
的垂线，垂足为Q ，且2||2
1=?．
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 的直线交轨迹C
于A 、B 两点，交直线l 于点N ，已知1λ=，
2λ=，求证：21λλ+为定值．
４５．（解析几何）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F
（3，0）的距离
的4倍与它到直
线x=2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d
恒等于点P 的横坐标与
18之和 （Ⅰ）求点P 的轨迹C ；
（Ⅱ）设过点F 的直线l
与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最
大值。 ４６．（解析几何）设12(, A
x y ，22(, B x y 是平面直角坐标系xOy 上的
两点，现定义由点A
到点B 的一种折线距离(, p A B 为：2121(, ||||p A B x x y y
=-+-。对于平面xOy
上给定的不同的两点12(, A x y ，22(, B x y ,
(1若点(, C x y 是平面xOy 上的点，试证明(, (, (, p A C p C
B p A B +≥；
（2）在平面xOy 上是否存在点(, C x y ，同时满足：
①(, (, (, p A C p C B p A B += ② (, (, p A C p
C B =
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.
４７．（综合）骰子最多掷5次，根据掷出的结果给一个相应的点数，具体的
游戏规则如下：
掷出骰子若出现5或6，则称发生了事件A 。在掷骰子的过程中首次出现事件
A
，则计点数为1，然后继续游戏。若再次出现事件A ，则得到点数2，加上前面
得到的1点，合计点数
为3，此时游戏结束。如果5次中，只有一次发生了事件
A
，那么得1点，游戏也随之结束；如果5次中，没有一次发生事件A ，则在原
来拥有的点数上减去m
点（m 是事先定好的）。小D 按上面规则玩这个游戏，假
设小D 最初具有点数a （设a 、
m 为正整数， a ≥ m ） 。这个游戏结束时，小 D 具有的点数为概率变量
X，
求使得概率 变量 X 的数学期望 E(X>a 的最大的正整数 m。 ４８．（综合）
设数
组 A :{a1 , a2 ,L , an } 与数组 B :{b1 , b2 ,L ,
bn } ，A, B 中的元素不完全相同， 分
别从 A, B 中的 n 个元素中任取 m(
m ≤ n 个元素作和，可以得到 Cn 个和。若由 A
得 m 到的 Cn 个和与由 B
得到的 Cn 个和恰好完全相同， 则称数组 A, B 是 n 元中
取 m 的全等
和数组，简记为 DH n 数组。 （１） 若组 A :{a1 , a2 ,L , an } 与数组
B :{b1 , b2 ,L , bn } 是 DH n 数组 ( m ≤ n ，求证： 数
m m m m 组 A, B 是 DH n 数
组； （２） 给定数组 A :{a1 , a2
, a3 , a4 } ，其中 a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ，问是否存在数
组 B
，使得 数组 A, B 是 DH 4 数组？若存在，求出数组 B ，若不存在，说明理
由。
４９．（综合）已知集合 S n = { X | X = ( x1 , x2 , …，xn , x1
∈ {0,1}, i = 1,
2, …, n}( n ≥ 2 对于 2 n A = (a1
, a2 , …an , ， B = (b1 , b2 , …bn , ∈ S n ， 定 义 A
与 B n 的 差 为 A ? B = (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,
… | an ? b n |; A 与 B 之间的距离为 d
( A, B = ∑ ai ?
bi i =1 （Ⅰ）证明： ?A, B, C ∈ S n , 有A ? B ∈ S n ，且 d
( A ? C ,
B ? C = d ( A, B （Ⅱ）证明： ?A, B, C ∈
S n , d ( A, B , d ( A, C , d ( B, C
三个数
中至少有一个是偶数 (Ⅲ 设 P ? S n ，P 中有 m(m≥2个元素，记 P
中所有两元素间
距离的平均值为 d ( P 。 证明： d ( P ≤ mn 2(m ? 1
５０．（综合）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方
法如下：拿出 n
瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排
序；经过一段时间，
等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶酒，并重新按品质优
劣为它们排序，这称为一轮 测试。根据一轮
测试中的两次排序的偏离程度的高低
为其评为。现设 n = 4 ，分别以 a1 , a2 ,
a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的
四种酒在第二次排序时的序号，并令：
X = 1 ? a1 + 2 ? a2 + 3 ? a3 + 4 ? a4 ，则 X
是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ写出 X 的可能值集合； (Ⅱ假设 a1 , a2
,
a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列，求 X 的分布列；
(Ⅲ某品酒师在相继进行的
三轮测试中，都有 X ≤ 2 ，
(i试按(Ⅱ中的结果，计算出现这种现象的概率（假定
各轮测试相互独立） ；
(ii你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。