(word完整版)上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习

1．已知函数
f(x)?co s(2x?
?
)?2sin(x?)sin(x?)

344
??
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[?
解：（1）
Qf(x)? cos(2x?
,]
上的值域
122
)?2sin(x?)sin(x?)

344
13
cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)

22
1 3
cos2x?sin2x?sin
2
x?cos
2
x

22
13
cos2x?sin2x?cos2x

22
??
???

?

?

?

?sin(2x?

∴周期T?
由
2x?
?
6
)

2
?
?
?

2
?
6
?k
?
?
?
2
(k?Z),得x?
k
??
?(k?Z)

23
∴
函数图象的对称轴方程为
x?k
?
?< br>（2）
Qx?[?
?
3
(k?Z)

??
5
?
,],?2x??[?,]

122636
?
6
)
在区间
[?,]
上单调递增，在区间
[,]
上单调
12332
??
因为
f(x)?sin(2x?
递减，
所以 当
x?
??
??
?
3
时，
f( x)
取最大值 1
又
Qf(?
?
12
)??
3
?
1
3
?
?f()?
，当
x??
时，< br>f(x)
取最小值
?

222
2
12
所以 函数
f(x)
在区间
[?
3
,1]

,]
上的值域为
[?
2
122
?
?
π
?
?< br>（
?
?0
）的最小正周期为
π
．
2
???
2．已知函数
f(x)?sin
?
x?3sin
?
xsin
?
?
x?
（Ⅰ）求
?
的值；
2

（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
0，
?
上的取值范围．
3
?
2π
?
??
解：（Ⅰ）
f(x)?
1?cos2
?
x3311
?sin2?
x?sin2
?
x?cos2
?
x?

22 222
π
?
1
?
?sin
?
2
?
x?
?
?
．
6
?
2
?
因为函数
f(x)
的最小正周期为
π
，且
?
?0
，
所以
2π
?
π
，解得
?
?1
．
2
?
?
?
π
?
1
?
?
．
6
?
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?sin
?
2x ?
2π
，
3
ππ7π
所以
?
≤
2x?
≤
，
666
因为
0
≤
x
≤
所以
?
1π
?
≤
sin
?
2x?
??
≤
1
， 26
??
?
?
π
?
13
?
3
?
?
≤
0，
?
． ，即的取值范围为
f(x)
?< br>?
6
?
22
?
2
?
因此
0
≤
sin
?
2x?
3. 已知向量m=(sinA,cosA),n=
(3,?1)
，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)
的值域.
解：（Ⅰ） 由题意得
mgn?
由A为锐角得
A?
??1
3sinA?cosA?1,

2sin(A?)?1,sin(A?)?.

662
?
6
?
?
6
,A?
?
3

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
cosA?
1
,

2
2
3
.

2
13
因为x∈R ，所以
sinx?
?
?1,1
?
，因此，当
sinx?时，f(x)有最大值.
22
所以
f(x)?cos2x?2sin x?1?2sinx?2sins??2(sinx?)?
2
1
2
当
sinx??1
时，
f(x)
有最小值-3,所以所求函数
f(x )
的值域是
?
?3，
?

?
?
3
?
2
?

4.已知 函数
f(x)?Asin(x?
?
)(A?0，0?
?
?π)
，
x?R
的最大值是1，其图像经过点
312
?
π1
??
π
?
M
?
，
?
．（1）求
f(x)
的解析式；（2）已知
?
，
?
?
?
0，
?
，且
f(
?
)?
，
f(
?
)?
，
513
?
32
??
2
?
求
f(
?
?
?
)
的值．
【解析】（1）依题意有
A?1
，则f(x)?sin(x?
?
)
，将点
M(
而
0?
?
?
?
，
?
（2）依
?
1
?
1
,)
代入得
sin(?
?
)?
，
3232
5
?
?
?
?
?
?
，
?
?
?
，故
f(x)?sin(x?)?cosx
；
3622
312< br>?
题意有
cos
?
?,cos
?
?
，而?
,
?
?(0,)
5132
?
，
34125< br>?sin
?
?1?()
2
?,sin
?
?1?()< br>2
?
，
551313
3124556
。
f(?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?????51351365
5.已知函数
f(t)?
1?t17
?
,g( x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(
?
,).
< br>1?t12
（Ⅰ）将函数
g(x)
化简成
Asin(
?
x?
?
)?B
（
A?0
，
?
?0
，?
?[0,2
?
)
）的形式；
（Ⅱ）求函数
g(x)
的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和 三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、
代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）
g(x)?cosx
g
1?sinx1?cosx
?sinx
g

1?sinx1?cosx
(1?sinx)
2
(1? cosx)
2

?cosxg?sinxg
cos
2
xsi n
2
x
1?sinx1?cosx
?cosxg?sinxg.
< br>cosxsinx
?
17?
?
Q
x?
?
?, ,?cosx??cosx,sinx??sinx,
?
12
??
1?sin x1?cosx
?g(x)?cosx
g
?sinx
g

?cosx?sinx

?sinx?cosx?2

＝
2sin
?
x?
?
??
?
?
?2.

4
?
（Ⅱ）由
?＜x ?
17?5??5?
得
，＜x??.

12443
?
5?3?
??
3?5?
?
Qsint
在
?
,?
上为减函数，在
?
,
?
上为增函数，
?
4 2
??
23
?
又
sin
5?5?3??5?
?17?
?
），
＜sin,?sin?sin(x?)＜sin
（当x?
?
?,
?
2
?
34244
?
?2 ?
)＜?，??2?2?2sin(x?)?2＜?3，

424
即
?1?sin(x?
故g(x)的值域为
?
?2?2,?3.

?
?
6．（本小题满分12分）
在
?ABC
中，角
A,B,C
所对应的边分别为
a,b,c
，
a?23
，
t an
A?BC
?tan?4,

22
2sinBcosC?sinA
，求
A,B
及
b,c

A?BCCC
?tan?4
得
cot?tan?4

222 2
CC
cossin
1
2
?
2
?4
∴∴
?4

CC
CC
sincos
sincos
2 2
22
1
∴
sinC?
，又
C?(0,
?
)

2
?
5
?
∴
C?，或C?

66
解：由
tan
由
2sinBcosC?sinA
得
2sinBcosB?sin(B?C)

即
sin(B?C)?0
∴
B?C

B?C?
?
6

2
?

3
abc
??
由正弦定理得
sinAsinBsinC
A?
?
?(B?C)?

1
sinB
b?c?a?23?
2
?2

sinA
3
2
7.在
△ABC
中,内角
A,B,C
对边的边 长分别是
a,b,c
.已知
c?2,C?
⑴若
△ABC
的面 积等于
3
,求
a,b
;
⑵若
sinC?sin(B?A) ?2sin2A
,求
△ABC
的面积.
说明：本小题主要考查三角形的边角 关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函
数有关知识的能力．满分12分．
解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，
a?b?ab?4
，
又因为
△ABC
的面积等于
3
，所以
22
?
3
.
1
······················· 4分
absinC?3
，得
ab?4
． ·
2
?
a2
?b
2
?ab?4，
联立方程组
?
解得
a? 2
，
b?2
． ·············································· 6分
?
ab?4，
（Ⅱ）由题意得
sin(B?A)?sin(B?A)?4si nAcosA
，
即
sinBcosA?2sinAcosA
， ····· ·················································· ·················· 8分
当
cosA?0
时，
A?< br>4323
??
，
B?
，
a?
，
b?
，
33
26
当
cosA?0
时，得
sinB?2sinA
，由正弦定理得
b?2a
，
?
a
2
?b
2
?ab?4，
2343
联立方程组
?
解得
a?
，
b?
．
33
b?2a，
?
所以
△ABC
的面积
S?
123
absinC?
． ················· ···································· 12分
23
1.已知函数
f(x)?sin(x?
?
)?sin(x?)?cosx?a(a? R,a为常数)
.
66
?
(Ⅰ)求函数
f(x)
的最小正周期；
??
，]上的最大值与最小值之和为
3
，求实数
a
的值.
22
?
解：（Ⅰ）∵
f(x)?2sinxcos?cosx?a
? 3sinx?cosx?a

6
(Ⅱ)若函数
f(x)
在[-
?
??
?2sin
?
x?
?
?a

6
??
……………………5分
∴函数
f(x)
的最小正周期
T?2
?

………………………7分

(Ⅱ)∵
x?
?
?
??
2
?
?
??
?
,
?
，∴
??x??

363
?
22
?
?
?
?
f
min
?
x
?
?f
?
?
?
??3?a
……9分
?
2
?
?
?
?f
max
?
x
?
?f
??
?2?a
……11分
?
3
?
由题意，有
(?3?a)?(2?a)?3

∴
a?3?1
……12分
2.（本小题12 分）已知函数
f(x)?2acos
2
x?bsinxcosx?
33
?
1
,且f(0)?,f()?.

2242
（1）求
f (x)
的最小正周期；（2）求
f(x)
的单调增区间；
?
f(0 )?
?
?
解：（1）由
?
?
f(
?
)?< br>?
?
4
3
?
3
a?
?
2
得
?
2
…………3分
1
?
b?1
?
2
331
?
?cos2x?sin2x?sin(2x?)
……6分 2223
f(x)?3cos
2
x?sinxcosx?
故最小正周期< br>T?
?

（2）由
2k
?
?
得
k
?
?
?
2
?2x?
?
3
?2k
?
?
?
2
(k?Z)

5
??
?x?k
?
?(k?Z)

1212
5
??
故
f(x)
的单调增区间为
[k
?
?,k
?
?](k?Z)
…………12分
1212
3．已知
f (x)??4cosx?43asinxcosx
，将
f(x)
的图象按向量
b?(?
图象关于直线
x?
2
?
?
4
,2)
平移后，
?
12
对称．
（Ⅰ）求实数
a
的值，并求f(x)
取得最大值时
x
的集合；
（Ⅱ）求
f(x)
的单调递增区间．
解：（Ⅰ）
f(x)?23a sin2x?2cos2x?2
，将
f(x)
的图象按向量
b?(?
的解析式为
g(x)?f(x?
?
?
4
,2)
平移后
?
4
)?2
?2sin2x?23acos2x
．…………………………… 3分

?g(x)
的图象关于直线
x?
?
12
对称，
?
有
g(0)?g()
，即
23a?3?3a
，解得
a?1< br>． ……………………………5分
6
则
f(x)?23sin2x?2c os2x?2?4sin(2x?
当
2x?
?
?
6
……………………………6分
)?2
．
?
6
?2k
??
?
2
，即
x?k
?
?
?
3
时，
f(x)
取得最大值2．………………………7分
因此，
f(x)取得最大值时
x
的集合是
{xx?k
?
?
（Ⅱ）由2k
?
?
?
3
,k?Z}
．…………………………8分
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2
，解得
k
?
?
?
6
?x?k
?
?
?
3
．
因此，
f(x)
的单调递增区间是[k
?
?,k
?
?]
(k?Z)
．……………………… ……12分
63
4.已知向量
m?
(
cos
?
,sin
?
) 和
n
=(
2 ?sin
?
,cos
?
)，
?
∈［π，2π］．
82
?
??
?
时，求
cos
?
?
?
的值．
5
?
28
?
??
(1) 求
|m?n|
的最大值；(2)当
|m?n|
=
urr
4．解：(1)
m?n?cos
?
?sin
?
?2,cos
?
?sin< br>?
(2分)
??
urr
m?n??
cos
?
?sin
?
?2
?
2
?( cos
?
?sin
?
)
2
=
?
?
?
???
4?22(cos
?
?sin
?
)
=< br>4?4cos
?
?
?
?
=
21?cos
?< br>?
?
?
(4分)
4
?
4
???
∵
θ
∈［π，2π］，∴
5
??
9
?
?< br>?
?
??
，∴
cos(
?
?)
≤1
4444
|m?n|
max
=2
2
． (6分)
urr
82
?
?
7
?
,
,得< br>cos
?
?
?
?
?
(2) 由已知
m?n?
(8分)
5
4
?
25
?
又
cos
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
16
2
?
2
?
?2cos(?)?1
(10分)
cos(?)?
∴?
4
?
28
2825
4
?
??
?
5
???
9
?
，∴
cos
?
?
?
??
． (12分)
???
8288
5
?
28
?
∵
θ
∈［π，2π］∴
?
3
?< br>?
?(,).
。5.。已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C （
cos
?
,sin
?
），
22
（I）若
|AC|?|BC|,
求角
?
的值；

2sin< br>2
?
?sin2
?
（II）若
AC?BC??1,求
的值.
1?tan
?
5、解：（1）
?AC?(cos
?
?3,sin
?
),BC?(cos
?
,sin
?
?3)< br>，
?|AC|?(cos
?
?3)
2
?sin
2
?
?10?6cos
?
，
|
BC
|?cos?
2
?(sin
?
?3)
2
?10?6sin
?
.
由
|AC|?|BC|
得
sin
?
?cos
?
. 又
?
?
?(
uuuur
?
3
?
22
,),?
?
?
5
?
.
4
（2）由
AC?BC??1,得(cos
?
?3)cos
?
?sin
?
(sin
?
?3)??1.

2
?sin
?
?cos
?
?.
①
32sin
2
?
?sin2
?
2sin
2
??2sin
?
cos
?
??2sin
?
cos
?
.
又
sin
?
1?tan
?
1?
co s
?
由①式两边平方得
1?2sin
?
cos
?
?
4
,

9
5
?2sin
?
cos
?
??.
9
2sin
2
?
?sin2
?
5
???.

1?tan
?
9
22222
6.在△A BC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，设
f(x)?ax?(a?b)x?4c
，
（1）若
f(1)?0
，且B－C=
?
，求角C.（2）若
f(2)?0
，求角C的取值范围.
3
6．解；（1）由f（1）=0，得a
2
－a
2
+b
2
－4c
2
=0， ∴b= 2c…………（1分）.
又由正弦定理，得b= 2RsinB，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC…………（2分）
???
，∴B=+C，将其代入上式，得sin（+C）=2sinC……………（3分）
333
?
?
∴sin（）cosC + cos sinC =2sinC，整理得，
3sinC?cosC
…………（4分）
33
∵B－C=
∴tanC=
3
……………（5分）
3
∵角C是三角形的内角，∴C=
?
…………………（6分）
6< br>（2）∵f（2）=0，∴4a
2
－2a
2
+2b
2
－4c
2
=0，即a
2
+b
2
－2c
2
= 0……………（7分）
a
2
?b
2
?c
2
由余 弦定理，得cosC=……………………（8分）
2ab

a
2
?b
2
a?b?
2
=
2ab
22
a
2
?b
2
2ab1
∴cosC=
??（当且仅当a=b时取等号）…………（10分）
4ab
4ab2
∴cosC≥
1
，
2
??
）上递减，∴.023
ur
AA
r
7． A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c. 若
m
＝(－cos，sin) ，
n
22
urr
1AA
＝(cos，sin)，且
m
·
n
＝.（1）求A；
222
∠C是锐角，又∵余弦函数在（0，
（2）若a＝23，三角形面积S＝3，求b+c的值.
ururr
1AA
r
AA
7.解：（1）∵
m
＝
(－cos，sin)
，
n
＝
(cos，sin)
，且m
·
n
＝，
22222
AA1
∴
－cos< br>2
＋sin
2
＝
，………………………………………………2分 222
12
即－cosA＝
2
，
又A∈(0，
?
)，∴A＝
3
?
………………………………5分

112
?
（2）
S
△
ABC
＝bc·sin A＝b·c·sin
223
＝3，∴
bc＝4 …………………7分
又 由余弦定理得：
a
2
=b
2
+c
2
－2bc·co s120°＝b
2
+c
2
+bc

………………10分

∴16＝(
b+c)
2
，
故
b+c＝4
.
……………………………………………12分

π8.已知向量
→
m=（sinB，1－cosB)，且与向量
→
n=(2 ，0)所成角为
3
，其中A, B, C
是△ABC的内角．
(1)求角Ｂ的大小；
(2)求sinA+sinC的取值范围．(本题满分12分)
8.解：（1）∵
→
m=（sinB，1-cosB) ,与向量
→
n=（2，0）所成角为
∴
?
3
,

1?cosB
?3,
……………………………………………………………3分
sinB
BB
?
2
?
∴tan
?3又0?
??
?
??,即B?
?
,A?C?,
…………………6分 22333
（2）：由（1）可得∴
sinA?sinC?sinA?sin(
?
3
?A)?
13
?
sinA?cosA?sin(A?)

223
……………………………………8分
∵
0?A?
∴
?
3

?
3
?A?
?
3
?
2
?
……………………………………………………… ……………10分
3

π3 3
∴sin(A+ )∈( ,1],∴sinA+sinC∈( ,1].
322
当且仅当
A?C?
?
6
时,sinA?sinC?1
…………………………………12分
9. (本题满分12分)在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b－c)=3ab，且2cosAsinB=si nC，求证：△
ABC为等边三角形
222
9.解 由已知得：
(a?b)?c?3ab
，即
a?b?c?ab

22< br>a
2
?b
2
?c
2
1
?
?
cos
C?
2
ab
2
即 ∠C=60? (1)
又?C=180?－(A+B)
?sinC=sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB
由已知：sinC=2cosA?sinB
?sinA?cosB－cosA?sinB=0即sin(A－B)=0
?A、B为三角形内角，A－B?(－180?，180?)
?A－B=0? 即A=B
?由(1)(2)可知：ΔABC为等边三角形
2
(2)

1 0.（12分）已知
?ABC
中
AB?(AB?AC?BC?BA)?CA?CB,边AB、BC中点分别
为D、E（1）判断
?ABC
的形状
（2）若
CD?AE?0
，求
sin2B

10解：（1）由已知化简得
AB(AB?AC?BC)?CA?CB

即
CA?CB?0
得；
?ABC
为直角三角形 ------------6分
（2）设A(a,0)B(0,b)则E(0,
bab
),D(
,
)
222
a
2
b
2
22
a3
CD?AE?? ??0
sinB=
?
sin2B?
----------------12分
?
22
3
24
3
a?b
11．已知△ABC内接于 单位圆，且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，
（1） 求证：内角C为定值；
（2） 求△ABC面积的最大值.
11. 本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角
函数最值等知识.
（1） 证明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2
?
tanA＋tanB＝1 －tanAtanB
?
tan（A＋B）＝1. …………………… 3


∵A、B为△ABC内角， ∴A＋B＝
3
?
?
. 则 C＝（定值）. …… 6


4
4
（2） 解：已知△ABC内接于单位圆， ∴△ABC外接圆半径R=1.

∴由正弦定理得：
c?2RsinC?
则△ABC面积S＝
2
，
a?2sinA
，
b?2sinB
.…… 8


1
?
acsinB
＝
2sinAsinB＝
2sin(?B)sinB

24
2
＝
(cosB?sinB)sinB
＝
cosBsinB?sinB

＝
∵ 02
?
1
11
sin(2B?)?
…… 10


sin2B?(1?cos2B)
＝
242
22??
3
?
?
， ∴
?2B??
.
444
4
2?1
. …………………… 12


2
故 当
B?
?
8
时，△ABC面积S的最大值为12.设函数f（x）=m·n，其中向量m=（2cosx,1）,n=（cosx,
3
sin2x），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、 c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=
3
，b+c=3
（b＞c），求b、c的长.
2
12．（1）f(x)=2cosx+
3< br>sin2x=1+2sin(2x+
?
6
)
∴f(x)的最小正周期为π.
（2）∵f(A)=2，即1+2sin(2A＋
?< br>1
)
=2，∴sin(2A+
)
=
662
?
?
?
13
?
5
∵＜2A+＜
?
∴2A+=
?
.
?A?

6666
6
3
1
b
2
?c
2
?a
2
,
即(b+c)< br>2
-a
2
=3bc, 由cosA==
2bc
2
∴bc=2.又b+c=3(b＞c), ∴
?
?
?
b?2

?
c?1
1
，tanC=－2，求△ABC的边长及tanA．
2
13.已知△ABC的面积为1，tanB=
13．tanA =tan［π－（B+C）］=－tan（B+C），
1
?2
tanB?tanC3
2
=－
??
．
1?tanBtanC1?14
∵tanB=
2分
525
1
?
，055
2
2
255
?
55
2
又tanC=－2，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=
552525
3
（－）+·= 6分
5555
5
8分 ∵
bsinA3
ab
?b
，
?,
∴a=sinB
sinAsinB
5
又S
△ABC
=
3
2
25
11
absinC=·b·=1，
5
22
5
15
，于是a=
3
，
3

10分 解得b=
∴c=
asinC215
?
．
sinA3
12分
14．（12分）已知函数
f(x)?
1?cos2x
2sin(?x)
2

(1)求函数y = f（x）的单调递增区间；
(2)若函数 y = f（x）的最小值为
?2?4
，试确定常数a的值．
14．（12分）解： ?
?sinx?a
2
sin(x?
?
4
)
f( x)?
1?2cos
2
x?1
2sin(?x)
2
?
?sinx?a
2
sin(x?)
4

?
2cos
2
x
??
??sinx?a
2
sin(x?)?sinx?cos x?a
2
sin(x?)
2cosx44
…3分
?2sin(x?
（1）由x +
?
4
)?a
2
sin(x?
?
4
)?(2?a
2
)sin(x?
?
4
…………………6分
)
??
?
∈［
2k
?< br>－，
2k
?
＋］（k∈Z）得
4
22
3
?
?
x∈［
2k
?
－，
2k
?
＋］（k∈Z ）
4
4
?
?
(k?z)
∵
sin(?x)?cosx?0
∴
x?k
?
?
22
∴ 函数y = f（x）的单调递增区间是
??
3
?
?
[
2k
?
－，
2k
?
－], (
2k
?
－，
2k
?
＋］（k∈Z）．…9分
4< br>4
22
2
（2）由已知得
?(2?a)??2?4
， ∴ a = ±2 ．………………………12分