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(word完整版)上海高中数学三角函数大题压轴题练习

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 01:42
tags:高中数学压轴题

人教版高中数学必修 目录-高中数学宝典 刘维邓

2020年10月6日发(作者:何文超)



三角函数大题压轴题练习

1.已知函数
f(x)?co s(2x?
?
)?2sin(x?)sin(x?)

344
??
(Ⅰ)求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程
(Ⅱ)求函数
f(x)
在区间
[?
解:(1)
Qf(x)? cos(2x?
,]
上的值域
122
)?2sin(x?)sin(x?)

344
13
cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)

22
1 3
cos2x?sin2x?sin
2
x?cos
2
x

22
13
cos2x?sin2x?cos2x

22
??
???

?

?

?

?sin(2x?

∴周期T?

2x?
?
6
)

2
?
?
?

2
?
6
?k
?
?
?
2
(k?Z),得x?
k
??
?(k?Z)

23

函数图象的对称轴方程为
x?k
?
?< br>(2)
Qx?[?
?
3
(k?Z)

??
5
?
,],?2x??[?,]

122636
?
6
)
在区间
[?,]
上单调递增,在区间
[,]
上单调
12332
??
因为
f(x)?sin(2x?
递减,
所以 当
x?
??
??
?
3
时,
f( x)
取最大值 1

Qf(?
?
12
)??
3
?
1
3
?
?f()?
,当
x??
时,< br>f(x)
取最小值
?

222
2
12
所以 函数
f(x)
在区间
[?
3
,1]

,]
上的值域为
[?
2
122
?
?
π
?
?< br>(
?
?0
)的最小正周期为
π

2
???
2.已知函数
f(x)?sin
?
x?3sin
?
xsin
?
?
x?
(Ⅰ)求
?
的值;
2



(Ⅱ)求函数
f(x)
在区间
?
0,
?
上的取值范围.
3
?

?
??
解:(Ⅰ)
f(x)?
1?cos2
?
x3311
?sin2?
x?sin2
?
x?cos2
?
x?

22 222
π
?
1
?
?sin
?
2
?
x?
?
?

6
?
2
?
因为函数
f(x)
的最小正周期为
π
,且
?
?0

所以

?
π
,解得
?
?1

2
?
?
?
π
?
1
?
?

6
?
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
f(x)?sin
?
2x ?


3
ππ7π
所以
?

2x?


666
因为
0

x

所以
?

?

sin
?
2x?
??

1
26
??
?
?
π
?
13
?
3
?
?

0,
?
. ,即的取值范围为
f(x)
?< br>?
6
?
22
?
2
?
因此
0

sin
?
2x?
3. 已知向量m=(sinA,cosA),n=
(3,?1)
,m·n=1,且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)
的值域.
解:(Ⅰ) 由题意得
mgn?
由A为锐角得
A?
??1
3sinA?cosA?1,

2sin(A?)?1,sin(A?)?.

662
?
6
?
?
6
,A?
?
3

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
cosA?
1
,

2
2
3
.

2
13
因为x∈R ,所以
sinx?
?
?1,1
?
,因此,当
sinx?时,f(x)有最大值.
22
所以
f(x)?cos2x?2sin x?1?2sinx?2sins??2(sinx?)?
2
1
2

sinx??1
时,
f(x)
有最小值-3,所以所求函数
f(x )
的值域是
?
?3,
?

?
?
3
?
2
?



4.已知 函数
f(x)?Asin(x?
?
)(A?0,0?
?
?π)

x?R
的最大值是1,其图像经过点
312
?
π1
??
π
?
M
?

?
.(1)求
f(x)
的解析式;(2)已知
?

?
?
?
0,
?
,且
f(
?
)?

f(
?
)?

513
?
32
??
2
?

f(
?
?
?
)
的值.
【解析】(1)依题意有
A?1
,则f(x)?sin(x?
?
)
,将点
M(

0?
?
?
?

?
(2)依
?
1
?
1
,)
代入得
sin(?
?
)?

3232
5
?
?
?
?
?
?

?
?
?
,故
f(x)?sin(x?)?cosx

3622
312< br>?
题意有
cos
?
?,cos
?
?
,而?
,
?
?(0,)
5132
?

34125< br>?sin
?
?1?()
2
?,sin
?
?1?()< br>2
?

551313
3124556

f(?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?????51351365
5.已知函数
f(t)?
1?t17
?
,g( x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(
?
,).
< br>1?t12
(Ⅰ)将函数
g(x)
化简成
Asin(
?
x?
?
)?B

A?0

?
?0
?
?[0,2
?
)
)的形式;
(Ⅱ)求函数
g(x)
的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和 三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、
代数式的化简变形和运算能力.(满分12分) 解:(Ⅰ)
g(x)?cosx
g
1?sinx1?cosx
?sinx
g

1?sinx1?cosx
(1?sinx)
2
(1? cosx)
2

?cosxg?sinxg
cos
2
xsi n
2
x
1?sinx1?cosx
?cosxg?sinxg.
< br>cosxsinx
?
17?
?
Q
x?
?
?, ,?cosx??cosx,sinx??sinx,
?
12
??
1?sin x1?cosx
?g(x)?cosx
g
?sinx
g

?cosx?sinx

?sinx?cosx?2




2sin
?
x?
?
??
?
?
?2.

4
?
(Ⅱ)由
?<x ?
17?5??5?

,<x??.

12443
?
5?3?
??
3?5?
?
Qsint

?
,?
上为减函数,在
?
,
?
上为增函数,
?
4 2
??
23
?

sin
5?5?3??5?
?17?
?
),
<sin,?sin?sin(x?)<sin
(当x?
?
?,
?
2
?
34244
?
?2 ?
)<?,??2?2?2sin(x?)?2<?3,

424

?1?sin(x?
故g(x)的值域为
?
?2?2,?3.

?
?
6.(本小题满分12分)

?ABC
中,角
A,B,C
所对应的边分别为
a,b,c

a?23

t an
A?BC
?tan?4,

22
2sinBcosC?sinA
,求
A,B

b,c

A?BCCC
?tan?4

cot?tan?4

222 2
CC
cossin
1
2
?
2
?4
∴∴
?4

CC
CC
sincos
sincos
2 2
22
1

sinC?
,又
C?(0,
?
)

2
?
5
?

C?,或C?

66
解:由
tan

2sinBcosC?sinA

2sinBcosB?sin(B?C)


sin(B?C)?0

B?C

B?C?
?
6

2
?

3
abc
??
由正弦定理得
sinAsinBsinC
A?
?
?(B?C)?



1
sinB
b?c?a?23?
2
?2

sinA
3
2
7.在
△ABC
中,内角
A,B,C
对边的边 长分别是
a,b,c
.已知
c?2,C?
⑴若
△ABC
的面 积等于
3
,求
a,b
;
⑵若
sinC?sin(B?A) ?2sin2A
,求
△ABC
的面积.
说明:本小题主要考查三角形的边角 关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函
数有关知识的能力.满分12分.
解析:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,
a?b?ab?4

又因为
△ABC
的面积等于
3
,所以
22
?
3
.
1
······················· 4分
absinC?3
,得
ab?4
. ·
2
?
a2
?b
2
?ab?4,
联立方程组
?
解得
a? 2

b?2
. ·············································· 6分
?
ab?4,
(Ⅱ)由题意得
sin(B?A)?sin(B?A)?4si nAcosA


sinBcosA?2sinAcosA
, ····· ·················································· ·················· 8分

cosA?0
时,
A?< br>4323
??

B?

a?

b?

33
26

cosA?0
时,得
sinB?2sinA
,由正弦定理得
b?2a

?
a
2
?b
2
?ab?4,
2343
联立方程组
?
解得
a?

b?

33
b?2a,
?
所以
△ABC
的面积
S?
123
absinC?
. ················· ···································· 12分
23
1.已知函数
f(x)?sin(x?
?
)?sin(x?)?cosx?a(a? R,a为常数)
.
66
?
(Ⅰ)求函数
f(x)
的最小正周期;
??
,]上的最大值与最小值之和为
3
,求实数
a
的值.
22
?
解:(Ⅰ)∵
f(x)?2sinxcos?cosx?a
? 3sinx?cosx?a

6
(Ⅱ)若函数
f(x)
在[-
?
??
?2sin
?
x?
?
?a

6
??
……………………5分
∴函数
f(x)
的最小正周期
T?2
?

………………………7分



(Ⅱ)∵
x?
?
?
??
2
?
?
??
?
,
?
,∴
??x??

363
?
22
?
?
?
?
f
min
?
x
?
?f
?
?
?
??3?a
……9分
?
2
?
?
?
?f
max
?
x
?
?f
??
?2?a
……11分
?
3
?
由题意,有
(?3?a)?(2?a)?3


a?3?1
……12分
2.(本小题12 分)已知函数
f(x)?2acos
2
x?bsinxcosx?
33
?
1
,且f(0)?,f()?.

2242
(1)求
f (x)
的最小正周期;(2)求
f(x)
的单调增区间;
?
f(0 )?
?
?
解:(1)由
?
?
f(
?
)?< br>?
?
4
3
?
3
a?
?
2

?
2
…………3分
1
?
b?1
?
2
331
?
?cos2x?sin2x?sin(2x?)
……6分 2223
f(x)?3cos
2
x?sinxcosx?
故最小正周期< br>T?
?

(2)由
2k
?
?

k
?
?
?
2
?2x?
?
3
?2k
?
?
?
2
(k?Z)

5
??
?x?k
?
?(k?Z)

1212
5
??

f(x)
的单调增区间为
[k
?
?,k
?
?](k?Z)
…………12分
1212
3.已知
f (x)??4cosx?43asinxcosx
,将
f(x)
的图象按向量
b?(?
图象关于直线
x?
2
?
?
4
,2)
平移后,
?
12
对称.
(Ⅰ)求实数
a
的值,并求f(x)
取得最大值时
x
的集合;
(Ⅱ)求
f(x)
的单调递增区间.
解:(Ⅰ)
f(x)?23a sin2x?2cos2x?2
,将
f(x)
的图象按向量
b?(?
的解析式为
g(x)?f(x?
?
?
4
,2)
平移后
?
4
)?2
?2sin2x?23acos2x
.…………………………… 3分



?g(x)
的图象关于直线
x?
?
12
对称,
?

g(0)?g()
,即
23a?3?3a
,解得
a?1< br>. ……………………………5分
6

f(x)?23sin2x?2c os2x?2?4sin(2x?

2x?
?
?
6
……………………………6分
)?2

?
6
?2k
??
?
2
,即
x?k
?
?
?
3
时,
f(x)
取得最大值2.………………………7分
因此,
f(x)取得最大值时
x
的集合是
{xx?k
?
?
(Ⅱ)由2k
?
?
?
3
,k?Z}
.…………………………8分
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2
,解得
k
?
?
?
6
?x?k
?
?
?
3

因此,
f(x)
的单调递增区间是[k
?
?,k
?
?]
(k?Z)
.……………………… ……12分
63
4.已知向量
m?
(
cos
?
,sin
?
) 和
n
=(
2 ?sin
?
,cos
?
),
?
∈[π,2π].
82
?
??
?
时,求
cos
?
?
?
的值.
5
?
28
?
??
(1) 求
|m?n|
的最大值;(2)当
|m?n|
=
urr
4.解:(1)
m?n?cos
?
?sin
?
?2,cos
?
?sin< br>?
(2分)
??
urr
m?n??
cos
?
?sin
?
?2
?
2
?( cos
?
?sin
?
)
2
=
?
?
?
???
4?22(cos
?
?sin
?
)
=< br>4?4cos
?
?
?
?
=
21?cos
?< br>?
?
?
(4分)
4
?
4
???

θ
∈[π,2π],∴
5
??
9
?
?< br>?
?
??
,∴
cos(
?
?)
≤1
4444
|m?n|
max
=2
2
. (6分)
urr
82
?
?
7
?
,
,得< br>cos
?
?
?
?
?
(2) 由已知
m?n?
(8分)
5
4
?
25
?

cos
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
16
2
?
2
?
?2cos(?)?1
(10分)
cos(?)?
∴?
4
?
28
2825
4
?
??
?
5
???
9
?
,∴
cos
?
?
?
??
. (12分)
???
8288
5
?
28
?

θ
∈[π,2π]∴
?
3
?< br>?
?(,).
。5.。已知A、B、C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C (
cos
?
,sin
?
),
22
(I)若
|AC|?|BC|,
求角
?
的值;



2sin< br>2
?
?sin2
?
(II)若
AC?BC??1,求
的值.
1?tan
?
5、解:(1)
?AC?(cos
?
?3,sin
?
),BC?(cos
?
,sin
?
?3)< br>,
?|AC|?(cos
?
?3)
2
?sin
2
?
?10?6cos
?

|
BC
|?cos?
2
?(sin
?
?3)
2
?10?6sin
?
.

|AC|?|BC|

sin
?
?cos
?
. 又
?
?
?(
uuuur
?
3
?
22
,),?
?
?
5
?
.
4
(2)由
AC?BC??1,得(cos
?
?3)cos
?
?sin
?
(sin
?
?3)??1.

2
?sin
?
?cos
?
?.

32sin
2
?
?sin2
?
2sin
2
??2sin
?
cos
?
??2sin
?
cos
?
.

sin
?
1?tan
?
1?
co s
?
由①式两边平方得
1?2sin
?
cos
?
?
4
,

9
5
?2sin
?
cos
?
??.
9
2sin
2
?
?sin2
?
5
???.

1?tan
?
9
22222
6.在△A BC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,设
f(x)?ax?(a?b)x?4c

(1)若
f(1)?0
,且B-C=
?
,求角C.(2)若
f(2)?0
,求角C的取值范围.
3
6.解;(1)由f(1)=0,得a
2
-a
2
+b
2
-4c
2
=0, ∴b= 2c…………(1分).
又由正弦定理,得b= 2RsinB,c=2RsinC,将其代入上式,得sinB=2sinC…………(2分)
???
,∴B=+C,将其代入上式,得sin(+C)=2sinC……………(3分)
333
?
?
∴sin()cosC + cos sinC =2sinC,整理得,
3sinC?cosC
…………(4分)
33
∵B-C=
∴tanC=
3
……………(5分)
3
∵角C是三角形的内角,∴C=
?
…………………(6分)
6< br>(2)∵f(2)=0,∴4a
2
-2a
2
+2b
2
-4c
2
=0,即a
2
+b
2
-2c
2
= 0……………(7分)
a
2
?b
2
?c
2
由余 弦定理,得cosC=……………………(8分)
2ab



a
2
?b
2
a?b?
2
=
2ab
22
a
2
?b
2
2ab1
∴cosC=
??(当且仅当a=b时取等号)…………(10分)
4ab
4ab2
∴cosC≥
1

2
??
)上递减,∴.023
ur
AA
r
7. A、B、C为△ABC的三内角,且其对边分别为a、b、c. 若
m
=(-cos,sin) ,
n
22
urr
1AA
=(cos,sin),且
m
·
n
=.(1)求A;
222
∠C是锐角,又∵余弦函数在(0,
(2)若a=23,三角形面积S=3,求b+c的值.
ururr
1AA
r
AA
7.解:(1)∵
m

(-cos,sin)

n

(cos,sin)
,且m
·
n
=,
22222
AA1

-cos< br>2
+sin
2

,………………………………………………2分 222
12
即-cosA=
2

又A∈(0,
?
),∴A=
3
?
………………………………5分

112
?
(2)
S

ABC
=bc·sin A=b·c·sin
223
=3,∴
bc=4 …………………7分
又 由余弦定理得:
a
2
=b
2
+c
2
-2bc·co s120°=b
2
+c
2
+bc

………………10分

∴16=(
b+c)
2


b+c=4
.
……………………………………………12分

π8.已知向量

m=(sinB,1-cosB),且与向量

n=(2 ,0)所成角为
3
,其中A, B, C
是△ABC的内角.
(1)求角B的大小;
(2)求sinA+sinC的取值范围.(本题满分12分)
8.解:(1)∵

m=(sinB,1-cosB) ,与向量

n=(2,0)所成角为

?
3
,

1?cosB
?3,
……………………………………………………………3分
sinB
BB
?
2
?
∴tan
?3又0?
??
?
??,即B?
?
,A?C?,
…………………6分 22333
(2):由(1)可得∴
sinA?sinC?sinA?sin(
?
3
?A)?
13
?
sinA?cosA?sin(A?)

223
……………………………………8分

0?A?

?
3

?
3
?A?
?
3
?
2
?
……………………………………………………… ……………10分
3



π3 3
∴sin(A+ )∈( ,1],∴sinA+sinC∈( ,1].
322
当且仅当
A?C?
?
6
时,sinA?sinC?1
…………………………………12分
9. (本题满分12分)在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=si nC,求证:△
ABC为等边三角形
222
9.解 由已知得:
(a?b)?c?3ab
,即
a?b?c?ab

22< br>a
2
?b
2
?c
2
1
?
?
cos
C?
2
ab
2
即 ∠C=60? (1)
又?C=180?-(A+B)
?sinC=sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB
由已知:sinC=2cosA?sinB
?sinA?cosB-cosA?sinB=0即sin(A-B)=0
?A、B为三角形内角,A-B?(-180?,180?)
?A-B=0? 即A=B
?由(1)(2)可知:ΔABC为等边三角形
2
(2)

1 0.(12分)已知
?ABC

AB?(AB?AC?BC?BA)?CA?CB,边AB、BC中点分别
为D、E(1)判断
?ABC
的形状
(2)若
CD?AE?0
,求
sin2B

10解:(1)由已知化简得
AB(AB?AC?BC)?CA?CB


CA?CB?0
得;
?ABC
为直角三角形 ------------6分
(2)设A(a,0)B(0,b)则E(0,
bab
),D(
,
)
222
a
2
b
2
22
a3
CD?AE?? ??0
sinB=
?
sin2B?
----------------12分
?
22
3
24
3
a?b
11.已知△ABC内接于 单位圆,且(1+tanA)(1+tanB)=2,
(1) 求证:内角C为定值;
(2) 求△ABC面积的最大值.
11. 本题考查正切和角公式,正弦的和(差)角公式,三角形内角和定理、正弦定理,三角
函数最值等知识.
(1) 证明:由(1+tanA)(1+tanB)=2
?
tanA+tanB=1 -tanAtanB
?
tan(A+B)=1. …………………… 3


∵A、B为△ABC内角, ∴A+B=
3
?
?
. 则 C=(定值). …… 6


4
4
(2) 解:已知△ABC内接于单位圆, ∴△ABC外接圆半径R=1.



∴由正弦定理得:
c?2RsinC?
则△ABC面积S=
2

a?2sinA

b?2sinB
.…… 8


1
?
acsinB

2sinAsinB
2sin(?B)sinB

24
2

(cosB?sinB)sinB

cosBsinB?sinB


∵ 02
?
1
11
sin(2B?)?
…… 10


sin2B?(1?cos2B)

242
22??
3
?
?
, ∴
?2B??
.
444
4
2?1
. …………………… 12


2
故 当
B?
?
8
时,△ABC面积S的最大值为12.设函数f(x)=m·n,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,
3
sin2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,a、b、 c分别是角A、B、C的对边,f(A)=2,a=
3
,b+c=3
(b>c),求b、c的长.
2
12.(1)f(x)=2cosx+
3< br>sin2x=1+2sin(2x+
?
6
)
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵f(A)=2,即1+2sin(2A+
?< br>1
)
=2,∴sin(2A+
)
=
662
?
?
?
13
?
5
∵<2A+<
?
∴2A+=
?
.
?A?

6666
6
3
1
b
2
?c
2
?a
2
,
即(b+c)< br>2
-a
2
=3bc, 由cosA==
2bc
2
∴bc=2.又b+c=3(b>c), ∴
?
?
?
b?2

?
c?1
1
,tanC=-2,求△ABC的边长及tanA.
2
13.已知△ABC的面积为1,tanB=
13.tanA =tan[π-(B+C)]=-tan(B+C),
1
?2
tanB?tanC3
2
=-
??

1?tanBtanC1?14
∵tanB=
2分
525
1
?
,055
2
2
255
?
55
2
又tanC=-2,



∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=
552525
3
(-)+·= 6分
5555
5
8分 ∵
bsinA3
ab
?b

?,
∴a=sinB
sinAsinB
5
又S
△ABC
=
3
2
25
11
absinC=·b·=1,
5
22
5
15
,于是a=
3

3

10分 解得b=
∴c=
asinC215
?

sinA3
12分
14.(12分)已知函数
f(x)?
1?cos2x
2sin(?x)
2

(1)求函数y = f(x)的单调递增区间;
(2)若函数 y = f(x)的最小值为
?2?4
,试确定常数a的值.
14.(12分)解: ?
?sinx?a
2
sin(x?
?
4
)
f( x)?
1?2cos
2
x?1
2sin(?x)
2
?
?sinx?a
2
sin(x?)
4

?
2cos
2
x
??
??sinx?a
2
sin(x?)?sinx?cos x?a
2
sin(x?)
2cosx44
…3分
?2sin(x?
(1)由x +
?
4
)?a
2
sin(x?
?
4
)?(2?a
2
)sin(x?
?
4
…………………6分
)
??
?
∈[
2k
?< br>-,
2k
?
+](k∈Z)得
4
22
3
?
?
x∈[
2k
?
-,
2k
?
+](k∈Z )
4
4
?
?
(k?z)

sin(?x)?cosx?0

x?k
?
?
22
∴ 函数y = f(x)的单调递增区间是
??
3
?
?
[
2k
?
-,
2k
?
-], (
2k
?
-,
2k
?
+](k∈Z).…9分
4< br>4
22
2
(2)由已知得
?(2?a)??2?4
, ∴ a = ±2 .………………………12分


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