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高考数学压轴题秒杀共10页

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 01:43
tags:高中数学压轴题

高中数学4-4测试题图片-高中数学以e为底的对数函数

2020年10月6日发(作者:侯泰)


第五章 压轴题 秒杀

很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。 关于秒杀法的最难掌握的一层,便是对于高
考数学压轴题的把握。 压轴题,各省的难度不一致,但毫无疑问,尤其是理科的,会难倒
很多很多很多人。

不过,压轴题并不是那般神秘难解,相反,出题人很怕很怕全省没多少做出来的,明白
么? 他很怕。那种思想,在群里面我也说过,在这里就不多啰嗦了。

想领悟、把握压轴题的思路,给大家推荐几道题目。
全是数学压轴题,且是理科(09的除山东的外我都没做过,所以不在推荐范围内)。 08
全国一,08全国二,07江西,08山东,07全国一

一年过去了,很多题 目都忘了,但这几道题,做过之后,虽然一年过去了,可脉络依然清晰。
都是一些可以秒杀的典型压轴题 ,望冲击清华北大的同学细细研究。

记住,压轴题是出题人在微笑着和你对话。
具体的题目的“精”,以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值,会在以后的视频里面
讲解的很清楚 。
不过,我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么(难度以及要求依次增高)
1: 通项公式的求法(不甚解的去看一下以前的教案,或者问老师,这里必考。 尤其推荐
我押题的第一道数列解答题。 )
2.: 裂项相消(各种形式的都要会)、迭加、 迭乘、错位相减求和(这几个是最基本和简
单的数列考察方式,一般会在第二问考)
3: 数学归纳法、不等式缩放
基本所有题目都是这几个的组合了,要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行
哦。
开始解答题了哦,先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。
这道题意义在什么呢?对于 这道题在高考中出现的可能性我不做解释,只能说不大。意义在
于,提醒大家四个字,必须必须必须谨记 的四个字:分类讨论!!!!!!!
下面07年山东高考的这道导数题,对分类讨论的考察尤为经典, 很具参考性,类似的题目
在08、09、10年高考题中见了很多。
(22)(本小题满分14分)
设函数
f
(
x
)=
x
+
b
ln(
x
+1),其中
b
≠0.
(Ⅰ)当
b
> 时,判断函数
f
(
x
)在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数
f
(
x
)的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数
n
,不等式ln( )都成立.
这道题我觉得重点在于前两问,最后一问..有点鸡肋了~
这道题,太明显了对吧?
看压轴问的形式 , 想想我之前关于压轴题思路的讲解, 看出来么? 第三问其实就是
直接利用第一问和第二问的结论, 很明显的令 1n 为 x 这道题就出来了。
这也证明了我之前对压轴题的评述吧。当然这只是例子之一了,绝大多数压轴题都是这样的。
2
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下面,下面,下面, 重点来了。
大家是否眼熟这个不等式呢? ln X<= X--1 你可以利用导数去证明这个不
等式的正确性,但我想说的是,这个小小的不等式,太有用了。
什么用? 将一个对数形式的函数转化为一个 X--1 这样简单的线性函数, 多么
漂亮的一个式子!可以说,导数不等式证明中,见到自然对数,我第一个想的就会是这个不
等式,看能 否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。

这也是一种很重要而且经典的缩放! 不信的话大家去看07--10年的全国各地高考题,看看
有多少省用到了这个不等式的!
而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法,就是用了这个不等式!
再次强调:压轴题中,见到对数函数式的不等式证明,第一个要想的是这个不等式!
再举几个例子:
1. 一个三角形的三内角成等差数列,对应的三边成等比数列,则三内角所成等差数列的公
差等于__
解:
这个题真算的话 有点难度 也挺麻烦
但考试的时候 完全可以秒杀
直接特殊化为等边三角形 答案就出来了
等边三角形满足题意么? 满足, 只要不违背题意 条件随你加, 随你加强
所以公差为0
几秒钟一道很难的题 这就是秒杀的目的所在
这个题条件很强,既有角的限制又有边的限制,就说明答案唯一
可是,那是考试现场时的秒杀。
对一道能秒杀的题,不仅要秒杀,还要真正做出来才算
详解:
假设A<=B<=C
A+C=2B b平方=ac
用正弦定理得出COS(A-C)=1
也可用余弦定理求出ABC。
第六章 再说秒杀和压轴题
以下为视频讲解内容:
秒杀也分几类:最常用的一般是特殊性(有些人理 解的特殊值,其实特殊值也是特殊化的一
种罢了,还有其实技巧不在这里,而在于这个特殊值你如何取, 取得好,那叫艺术,取得不
好.......嗯!)
第一题:A[N]是任意等比数列,它的 前n项和,前2n项和,前3n项和分别是x,y,z,则下
列等式恒成立的是
1.X+Y=2Y 2.Y(Y-X)=Z(Z-X)
3.Y平方=XZ 4.Y(Y-X)=X(Z-X)
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如何秒杀呢,很明显,取特殊值,如何取呢?以前说过,见到A[N]是任意等比数列的等等< br>或者说见到任意两字的,往往就是我们发挥的地方。
我们令A[N]=1,呵呵,很特殊了吧,还不止,我们这里再令N=1,这样题目变成什么了呢? < br>我翻译一下:已知A[N]是任意等比数列,它的前1项和x,前2项和Y,前3项和是z,则下
列等式恒成立的是?
你猜,呵呵,这样直接可以排除2,3了,那么1,4呢?
我们假设A[1]=1,A[2]=2,A[3]=4,这样符合题意吧?
很明显1不正确,4任然正确,答案是4
第二题:如图,在 中,点 是 的中点,过点 的直线分别交直线 , 于不同的两点 ,若 , ,
则 的值为 .
向量如何秒杀呢,其实就只说向量,也有两三钟秒杀的方法,我觉得好用的就是特殊化+
坐标化!!
呵呵,就是把三角形特殊化为等腰直角三角形,这意思也是任意三角形吧,
按照题意,我们画出MN的直线,若 , ,根据上面的两个公式,可以求出,大家记得吗---
是直线的截距式(不记得的都面壁去吧,这可是基础)
根据截距式我们得出MN的直线方程为MX+ NY=1,我们还有个条件没有用,直线MN过中点,
明显BC中点为(12,12),对吧,带入得M +N=2
这个是07年江西的一道高考题,常规方法要比这个麻烦的多,而且可能大部分同学还不会< br>做,而换成秒杀的—就是最基本的加减运算啦!!
其实秒杀呢,每张卷子都能用到的是那种集合,求范围等等的题目,就不举例子了!!
还有就 是三角函数,解析几何(这个主要是取特殊位置的直线),至于三角函数,也分好多
种吧,比如,题目让 你求一个三角函数表达式的值,而且是道选择题。
比如哦:tanA*tanB+conA*sinB 等等的算式吧,然后选择项里面都是常数,也就是和AB无
关,那么很明显,不管AB取什么,结果都一 样,这时候,我们就可以随便给AB值,就可以
得出最后结果,这样的题我见过不少!!
上面 说的都是一些简单但很常用的,难一点的应该算是变换,或者用到复指数等,比如函数
旋转等等,就可以 利用复向量的旋转特性去解决,哦,对了,还有一种很常用的,我随便出
题:
X平方+Y平方=1,求X+Y的取值范围
常规的方法肯定是画图等等,或者消元了呗,但我 们可以用三角函数去做,X平方+Y平方=1,
令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+s inA的范围,明显是正负根2,是吧?一眼就看出来了,
当然,一般题目不会这么简单,比如: 3X平方+4Y平方=1,求X,Y取值范围,,这时候画图就不好使了哦,因为不是园,但三角函
数依然可以,我们令3X平方=conA平方,4Y平方=sinA平方,然后是不是和上面一样了呢!!
好了秒杀就这样吧!
压轴题
下面这道是我高考的压轴题,是道椭圆的题,不算难。
大家应该知道,压轴题一般会在数列不等式,解析几何两者之间选一道,数列的也想整一道
例题 ,可时间有限,就算了。
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下面是09年的山东理科数学压轴题:
第一问:送分
第二问: ,呵呵,我还记得在考场上,我看到 时就笑了,高考题考来考去也就是这些基本
的不变的东西。
这个代表什么呢?这个是题眼,其实我们都很清楚。
OA*OB=0(向量点乘),其实看到 这里,后面的不用想也能再脑中出来一推东西,我大概说
下:
首先OA*OB=0,所以X1X2+Y1Y2=0
明显韦达定理要用了,然后要连立直线了,比如设直线AB为:
Y=KX+M (设出来这 个直线的时候,脑子里面应该本能的想到一个词“分类”,就是K
不存在的情况,一定要分类,给大家说 ,只要能分类的,一定要分类,因为每一个分类就有
一定的分,我们的目的就是拿分!!)
然 后可以得出K和M的一个等式,(有一个式子,那肯定能根据题目其它的一个条件得出另
外一个式子,这 两个式子联立,一般就可以做出来了)
哦,这个说明下,这是看到OA*OB=0后出来的一推东西, 后面的还没看呢,继续看,呵呵出
来了,切线,我们都知道,根据切线,肯定能得出一个等式,这样题目 思路就清晰了!
上面这些,大家是不是都能熟练的背下来呢,其实这道题难得不是这些,难在你是不是 明白
题意。
还有对圆锥曲线问题,大家心里一定一定要坚定一个信念---- 那就是直线和曲线联立!!
这句话很重要,只有你能找到直线和曲线联立(一定要找对哦,比如说这道 题,你总不能
OA和椭圆联立吧?!只有你能想到用AB去联立,那么后面的一直到韦达定理,一般就可 以
得8分了。大家可能会想,谁都知道用AB联立,可是到了高考那样的氛围,你还能像平时
一 样大脑清醒吗?而且万一不是一条直线呢等等的情况,你真不一定找到)
题目还要:并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由
玄长公式,对吧,因为知道了K和M 的关系,所以玄长公式里面只有一个K ,而K又
有一定的范围,所以再结合不等式的知识,可以求出范 围,当然还要考虑K不存在的情况,
不然又要扣分!
啰嗦了这么多,想告诉大家的:其实就是 一定要有思路。思路哪里来的?是不是从OA*OB=0
这里展开一系列的想法呢?可以说,思路就是一 个题眼,得出一个总体框架,然后在实际做
题中把各个细节填满,问题在于,你如何知道哪里是题眼?就 是知道,你如何正确处理?
嗯,问到点子上了,我记得我高二高三的时候,每做一道很典型的题,我都 会把这道题想的
很透很透,然后,闲暇时,脑子里想的就是最近做过的和新学得知识,时间上了,基本上 见
些东西,就能本能的搜索到相应的应对方法。
大家可能会问,高考题是会变的,而且数学又 是一门很灵活的东西,随便一点变化,都可以
出来很多很多的题目。其实高考是在变,而且变的很灵活。
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但是高考中更多的是不变,所谓不变就是知识点不变,考点不变( 相对来说吧),以及更重
要的是难题的入手点不变!!或者就是说题眼不变,最多就是变个说法!! < br>就拿OA*OB=0来说,可以衍生出很多不同的说法,比如中点,角分线等等,还有比如向量
A F=3FB向量,这个也是大题中常见的。
这样的如何出处理?,带入坐标,会得到两个式子,这两个 式子中的一个比较简单比如:
X2=3X1,还有一个关于Y 的,如何用,任何时候,都只用其中一个,你如果两个都用,那
你就...
用哪个呢?很显然啊,用X2=3X1,这个对吧,因为这个简单。
然后再如何做呢?这个可 以用韦达定理了吗?其实可以,只要对这个式子做几次变化,就可
以用韦达定理了,从而又要联立直线。
或者你可以联立后,解除X1,X2,然后带入X2=3X1,一样可以得到一个等式。
我上面说的这些,都是需要你平时不断的积累!
我之前说过,重复的做试卷----,要做的 是什么?是像圆锥曲线,数列不等式,立体几何等
等的很复杂的解答题。。。。
我高三的时候 ,一张卷子看过去,基本上所有题的思路都立马出来了,那时候我在干嘛?我
就做圆锥计算....就是 为了训练自己的卷面,速度和正确率。
不知道大家有什么收获,其实每一个题目(就算是最难的数列, 圆锥曲线等),都是有着明
显的切入点的,所谓切入点,我觉得就是命题人和考生之间的一种约定。
一定要把这个切入点(暗示)抓出来!!
如何一眼就看出来呢?这要靠平时积累,很累,但收获很大.....
比如B+C=6,或者B+C=BC 等等,一看就是余弦定理
还有很多很多.....做题积累吧!!
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“秒杀”高考综合题系列之(一)——
点差法在解析几何综合题中的应用
优能中学 从强
到高三的同学都知道,浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综 合题,一般多
是椭圆和抛物线,按照命题的规律和趋势,我们发现以下两点:(1)理科数学在此章节一
般考察椭圆,文科数学一般考察抛物线;(2)考察的题型一般是直线与解析几何的位置关
系。 诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。
上过从老师高考班的同学应该记得,在解决解析几何 图形与直线相切这个位置关系的题型的
时候,“抄一个,代一个”这六个字可以帮助大家快速提升做题速 度。如果大家要用判别式、
位置关系等通法解决此类问题时,耗费5~10分钟不说,5~10分钟的计 算量还不一定能保证
结果正确。但诸位如果知道“抄一个,代一个”,一旦看到直线与圆、椭圆、双曲线 、抛
物线等相切问题时,应做到能在10秒钟以内准确地写出切线的方程。
当然,直线与上面 图形的位置关系除了相切以外,另外一种更常考的位置是相交。在相交的
题型中,一旦看到“弦长”或者 “面积”等关键词时,应立即想到“设直线、代曲线、根与
系数搞定一切”(弦长公式)。相信大家对这 种题型应该有较深的体会了。
今天我在这里要跟大家探讨的是:题目中出现“直线与椭圆交于两点A、 B”(即AB是椭圆
内的一条弦)、“AB中点M”等关键词时的解题方法。“点差法”精髓在于“设而 不求”,
通过点差法有个重要的结论要求大家记住。
设椭圆方程为,任意一条直线交
椭圆于,两点,则
两式相减得到,移向整理后得到:
即:(M为AB中点)
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同样的道理,对于长轴在y轴上的椭圆,结论为.
也就是说:椭圆内任意弦A B所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积
为一个常数。
【再拓展】当A、B两点离的非常近时,可以将这个结论看做:过椭圆上某点P有一条切线,

请看2009年浙江高考第21题
已知椭圆
为.
:的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长
(I)求椭圆
的切线与
值. 的方程;(II)设点
.当线段
在抛物线
的中点与
:上,在点处
交于点的中点的横坐标相等时,求的最小
也许很多同学都看过所谓“标准答案”给我们的解题过程,设出
直线方程后代入,经过两次判别式来确定h的取值范围。这也是很多参考书上给出的参考解
题思 路。不过按照此种通法解题思路,计算量和整理的工作至少需要7~10多分钟。
第一问很简单,结果为:
按照我们上面讲到的“点差法”,在第二问中一旦看到“弦”、“中 点”等关键词,就应立
即想到:(T为MN中点)
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首先想到MN的斜率即是点P处的切线斜率,设点P横坐标为
根据导函数可得:
,则点P纵坐标为
MN中点T的横坐标即PA中点横坐标,
根据 “抄一个,代一个”的技巧,很容易直接就得到过点P切线直线方程
,将的值代入直线方程,得: 所以
于是
不等式,非常容易就得到
很显然,对于
所以
,整理,得:
或者
,显然这是一个基本
,此时的抛物线内部包含了椭圆,切线与椭圆没有交点,排除掉;
。的最小值为1。
【总结一下】注意题目中出现的“弦”、“中点”等关键词,利用点差法推 导出来的这个结
论,不仅可以提供解决题目的思路,很顺畅地进行“需要什么就写什么”数学解题,而且 可
以大大减少运算量,提高速度和正确率。
对于抛物线,利用点差法也可以有类似的结论,由于篇幅关系,不再赘述。
【课外练习】利用 常规方法解决下面问题,再用上面的小结论分析解决一次。比较一下两种
方法所需的时间。
【 练习I】如图,椭圆=1(a>b>0)与过点
的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=。( I)求椭圆方程;
(II)设F、F分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF的中点,求证:∠ATM= ∠AFT。
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【解答提示】如果利用常规解法,第一问需要5-1 0的时间,我们可以将这个结论
扩充到直线与椭圆相切的模型,利用该结论很快得到OT直线的斜率,进 而
得到点T的坐标,问题得解。在第一小问解决后,根据相似或者余弦定理都可得证第二小问。
【练习II】已知
的左、右焦点.
,直线,椭圆,分别为椭圆
(Ⅰ)当直线 过右焦点
(Ⅱ)设直线与椭圆
在以线段
时,求直线的方程;
交于两点,,的重心分别为.若原点
为直径的圆内,求实数的取值范围。
【解答提示 】重心是三角形中线的交点,出现“中点”,同时,注意在“圆内”这个词,我
会跟同学强调,看到“圆 内”这个词,有两个角度可以考虑:第一,圆心到该点的距离小于
半径,这个思路最直观,但在此题中, 这个方法比较繁琐;第二,说明该点和直径两端点所
成的夹角大于90°,可考虑使用向量,向量点积小 于0即可。
【练习III】(湖北省八校高2019第二次联考)已知A,B是抛物线
上的两 个动点,
(Ⅰ)求证:直线
为坐标原点,非零向量
经过一定点;
,满足
(P>0)

(Ⅱ)当的中点到直线的距离的最小值为时,求的值。
【解答提示】从老师强调,看到
到老师讲的一个结论——直线AB通过一个定点
“中点 ”,即可考虑点差法。
,立即想到,则立即想
;第一问的证明即证出。第二问出现
【 练习IV】(温州市2019届高三第一次适用性测试)已知
短轴的两个端点,为椭圆的一个焦点,为椭圆:
为正三角形,
第 9 页


(I)求椭圆
椭圆
的方程; (II)设点P在抛物线:上,在点P
处的切线与
交于
A、C
两点,若点
P
是线段
AC
的中点,求
AC
的直线方程。
【解答提示】第一问对一般学生来说,不 是问题;可求出椭圆的方程。在第二问中又出现
“弦”(其实就是线段AC)、“中点”,想想老师讲的 结论。
【练习V】(2019)嘉兴市高三教学测试
【练习VI】(2019金华十校)
已知抛物线
(1)设
值;

是C
1
的任意两条互 相垂直的切线,并设,证明:点M的纵坐标为定
(2)在C
1
上是否存在点P,使得C
1
在点P处切线与C
2
相交于两点A、B,且AB的中垂线恰
为C< br>1
的切线?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。

第 10 页

2004全国高中数学联赛一等奖-高中数学文科常识


高中数学必修一换底公式-杭州网络兼职高中数学教师


开封高中数学教师资格证面试地点-浙江全国高中数学联赛通知


高中数学焦点弦的公式-高中数学理科选修2-3


高中数学竞赛初赛范围-我国高中数学版本使用情况


高中数学真假命题或且非-高中数学共轭复数在哪本书


哪个app学高中数学-高中数学教视网


高中数学竞赛函数-高中数学集合秒杀技巧



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