高中数学_直线、圆和方程压轴题[培优、提高]

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高二数学 第3讲 直线与圆综合


1.已知圆C：x+y+2x-3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（ 2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x
1
，y
1
） 、B（x
2
，y
2
）两点，求证：
为定值；
（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．












2.已知点G（5，4），圆C
1
：（x-1）
2+（x-4）
2
=25，过点G的动直线l与圆C
1
相交于E、F两点， 线段EF
的中点为C．
（1）求点C的轨迹C
2
的方程；
（2） 若过点A（1，0）的直线l
1
与C
2
相交于P、Q两点，线段PQ的中点为 M；又l
1
与l
2
：x+2y+2=0的交
点为N，求证|AM|? |AN|为定值．










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22
11
?
x
1
x
2

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3.已 知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足
AC?BC?0，设M为弦AB的
中点．求点M的轨迹T的方程；














4.已知平面直角坐标系上一动点
P(x,y)
到点
A(?2,0)
的距离是点
P
到点
B(1,0)
的距离的
2
倍。
（1）求点
P
的轨迹方程；
（2）若点
P
与点
Q
关于点
(2,1)
对称，点
C(3,0)
，求
|QA|?| QC|
的最大值和最小值；
（3）过点
A
的直线
l
与点< br>P
的轨迹
C
相交于
E,F
两点，点
M(2,0)，则是否存在直线
l
，使
S
△EFM
取得最
大值，若存 在，求出此时
l
的方程，若不存在，请说明理由。












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5.已知圆
O:x
2
?y
2
?4
和点
M( 1,a)
．
（1）若过点
M
有且只有一条直线与圆
O
相切 ，求正数
a
的值，并求出切线方程；
（2）若
a?2
，过点
M
的圆的两条弦
AC
，
BD
互相垂直．
①求四边形
ABCD
面积的最大值；②求
|AC|?|BD|
的最大值．












6.已知过原点的动直线l与圆C
1
：x
2
+ y
2
-6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C
1
的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值 范围；若
不存在，说明理由．













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7.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l
1
：x+2y+7=0相切．过点B （-2，0）的动直线l与圆A相交于M、
N两点，Q是MN的中点，直线l与l
1
相 交于点P．
（I）求圆A的方程；
（Ⅱ）当MN＝
219
时，求直线l的方程；
（Ⅲ）
BQ?BP
是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．










8.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上 方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴 上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，
使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不 存在，请说明理由．















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9.平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
6.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程； < br>（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m ，0）
和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．















10.已知圆M：x
2
+（y-4）2
=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、< br>B．
（Ⅰ）当切线PA的长度为2
3
时，求点P的坐标；
（Ⅱ）若 △PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；
若不 存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．








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11.已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l
1< br>，l
2
，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，
E．设线段AB， DE的中点分别为P，Q．
①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；
②求|PQ|的最小值．




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