2018年高考数学压轴题

v1.0 可编辑可修改
2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
22
，相应于焦点
F(c,0)
（< br>c?0
）的准线
l
与x
轴相交于点
A
，
OF ?2FA
，过点
A
的直线与椭圆相交于
P
、
Q
两点 。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
OP?OQ?0
，求直线
PQ
的方程；
x
2
y
2
1．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为
2
??1(a? 2)
。
a2
?
a
2
?c
2
?2,
?
由已知得
?
解得
a?6,c?2

a
2
?
c?2(?c).
c
?
x
2
y
2
6
所以椭 圆的方程为
?
。
?1
，离心率
e?
3
62
（2）解：由（1）可得A（3，0）。
?
x
2
y
2
? 1,
?
?
设直线PQ的方程为
y?k(x?3)
。由方程组
?
6

2
?
y?k(x?3)
?
66
。
?k?
33
18k
2
27k
2
?6
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
?
2
， ①
x
1
x
2
?
。 ②
2
3k?13 k?1
得
(3k
2
?1)x
2
?18k
2
x?27k
2
?6?0
，依题意
??12(2?3k
2
)? 0
，得
?
由直线PQ的方程得
y
1
?k(x
1?3),y
2
?k(x
2
?3)
。于是
y
1
y
2
?k
2
(x
1
?3)(x
2
?3)?k
2
[x
1
x
2
?3(x
1
?x
2
)?9]
。 ③
∵
OP?OQ?0
，∴
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
。 ④
由①②③④得
5k
2
?1
，从而
k??
566
?(?,)
。
533
所以直线PQ的方程为
x?5y?3?0或
x?5y?3?0



11

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2．已知函数
f(x)
对任意实数 x都有
f(x?1)?f(x)?1
，且当
x?[0,2]
时，
f( x)?|x?1|
。
（1）
x?[2k,2k?2](k?Z)
时，求
f(x)
的表达式。
（2） 证明
f(x)
是偶函数。
（3） 试问方程
f(x)?l og
4
1
?0
是否有实数根若有实数根，指出实数根的个数；若没
x
有实数根，请说明理由。
2．①f(x)=
x?2k?1
(2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3．如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：
x?(y?3)?1
。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x
1
，y
1
）、H（x
2
， y
2
）两点，求证：x
1
x
2
为定值；
（3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，
求点P的坐标及S 的最小值。








8
10
22
y
6
4
C
2
F
x-15-10-5
O
-2
5
X
10
-4
23．①x=4y ②x
1
x
2
=-4 ⑶P(±2,1) S
MIN
=
7

-6
-8
4．以椭圆
x< br>2
?y
＝1（
a
＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三 角形，
-10
2
a
2
试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.


22

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4．解：因
a
＞1，不防设短轴一端点为
B
（0，1）
设
BC
∶
y
＝
kx
＋1（
k
＞0）
则
AB
∶
y
＝－
1
x
＋1
k
把
BC
方程代入椭圆，
是（1＋
ak
）
x
＋2
akx
＝0
2
2222

2a
2
k2a
2
2
∴|
BC
|＝
1?k
，同理|
AB
|＝
1?k

1?a
2
k
2
k
2
?a
2
由|
AB
|＝|
BC
|，得< br>2
k
3
－
a
2
k
2
＋
ka
2
－1＝0
2

（
k
－1）［
k
＋（1－
a
）
k
＋1］＝0
∴
k
＝1或
k
＋（1－
a
）
k
＋1＝0
22
2 2

22
当
k
＋（1－
a
）
k
＋ 1＝0时，
Δ
＝（
a
－1）－4
由
Δ
＜0，得1＜
a
＜
3

由
Δ
＝0，得
a
＝3
，此时，
k
＝1
故，由
Δ
≤0，即1＜
a
≤
3
时有一解
由
Δ
＞0即
a
＞
3
时有三解


5．已知，二次函数
f
（
x
）＝
ax
＋
bx
＋
c
及一次函数
g
（
x
）＝－
bx
，其中
a、b、c
∈R，
a
＞
b
＞
c
，
a
＋
b
＋
c
＝0.
（Ⅰ）求证：< br>f
（
x
）及
g
（
x
）两函数图象相交于相异 两点；
（Ⅱ）设
f
（
x
）、
g
（
x）两图象交于
A
、
B
两点，当
AB
线段在
x< br>轴上射影为
A
1
B
1
时，试求
|
A
1
B
1
|的取值范围.
5． 解：依题意，知
a
、
b
≠0
∵
a
＞
b
＞
c
且
a＋
b
＋
c
＝0

2


33

v1.0 可编辑可修改
∴
a
＞0且
c
＜0
（Ⅰ）令
f
（
x
）＝g（
x
），
得
ax
＋2
bx
＋
c
＝0.（*）
2
Δ
＝4（
b
2
－
ac
）
∵< br>a
＞0，
c
＜0，∴
ac
＜0，∴
Δ
＞0
∴
f
（
x
）、
g
（
x
）相交于相 异两点
（Ⅱ）设
x
1
、
x
2
为交点A
、
B
之横坐标
则|
A
1
B
1|＝|
x
1
－
x
2
|，由方程（*），知
2 2
4b
2
?4ac4(a?c)
2
?4ac
?
|< br>A
1
B
1
|＝
22
aa
2
?
4
22
(a?c?ac)

2
a
c
??
c
?4
?
()2
??1
?
(**)

a
??
a< br>∵
?
?
a?b?c?0
?
a?b
?2a?c?0，而a＞0，∴
c1
??

a2
c
??2
< br>a
∵
?
?
a?b?c?0
?
c?b
?a?2 c?0
，∴
c1
??

a2
c
2
c
∴4［（）＋＋1］∈（3，12）
aa∴
?2?
∴|
A
1
B
1
|∈（
3，2
3
）
6． 已知过函数f（x）=
x?ax?1
的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1） 求a、b的值；
（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；

32
44

v1.0 可编辑可修改
（3） 令
g
?
x
?
??f
?
x
?
?3x?tx?1< br>。是否存在一个实数t，使得当
x?(0,1]
时，g（x）
2
有最大 值1
6、解：（1）
f
'
'
?
x
?
=
3x
2
?2ax

依题意得k=
f
?
1
?
=3+2a=－3， ∴a=－3
?f
?
x
?
?x
3
?3x
2
?1
，把B（1，b）代入得b=
f
?
1
?
??1

∴a=－3，b=－1
（2）令
f
'
?
x
?=3x－6x=0得x=0或x=2
2
32
∵f（0）=1，f（2）=2－3×2＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004。
（1） 已知g（x）=－
x?3x?1?3x?tx?1??x?tx

∴
g
?
x
?
??3x?t

'2
?
32
?
23
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x＜0，
① 当t＞3时，t－3x＞0，
即g
?
x
?
?0

2
2
'
∴g（x）在
(0.1]
上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
② 当0≤t≤3时,
g
?
x
?
??3x?t

'2
令
g
?
x
?
=0,得x=
'
t

3
列表如下:

55

v1.0 可编辑可修改

x
（0,
＋
↗
t
）
3
t

3
0
极大值
(
t
,1]

3
－
↘
g
'
?
x
?

g（x）

?< br>t
?
tt
?
＋tg（x）在x=处取最大值－
?
=1
?
3
?
33
??
3
27t
32
∴ t=
3
=＜3
43
2
3
∴x=
t
＜1
3
'2
③当t＜0时，
g
?
x
?
??3x ?t
＜0，∴g（x）在
(0.1]
上为减函数，
∴g（x）在
(0.1]
上为增函数，
3
3
2
∴ 存在一个a=，使g（x）在
(0.1]
上有最大值1。
2

7． 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱
PH
︱是2和
PM?PN

的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的
方程。
7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,
PH?
?
?x,0< br>?
,
PM
=（－2－x,－y）
?
??
?
PN
=（2－x,－y）
∴
PM
·
PN
=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=
x?4?y


66
?
?
22
?

v1.0 可编辑可修改
PH?x

?
?
?
由题意得∣PH∣2=2·
PM
·
PN

即
x?2x?4?y
2
?
22
?

x
2
y
2
??1
，所求点P的轨迹为椭圆 即
84
（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣
双曲线的C实轴长2a=
QM?QN?QM?QE?ME?10
（当且仅当Q、E、M 共
线时取“=”），此时，实轴长2a最大为
10

所以，双曲线C的实半轴长a=
又
?c?
10

2
13
NM?2,?b
2
?c
2
?a
2
?

22
x
2
y
2
??1
∴双曲线C的方程式为53
22
8．已知数列{
a
n
}满足
a
1?3a(a?0),a
n?1
（1）求数列{b
n
}的通项公式；
（2）设数列{b
n
}的前项和为S
n
，试比较S
n
与
8.（1）
b
n
?
2
a
n
?a
2
a?a

?,设b
n
?
n
2a
n
a
n
?a
7
的大小，并证明你的结论.
8
1
2
n?1

1
（2）
S?
7
?(
1
?
1
?
1
???)?
1
?(
1
?
1
?
1
?
1
?
1
??)?
1
?
16
?
1
?0

n
82
4
2
8
2
16
8162
4
224
2
2
8
1?
1
8
2
9．已知焦点在
x
轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
A(0,2)

77

v1.0 可编辑可修改
为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线
y?x
对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线
y?mx?1
与双曲线C的左支交 于A，B两点，另一直线
l
经过M（-2，
0）及AB的中点，求直线
l在
y
轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，
F
1
F
2
为双曲线C的左，右两个焦点，从
F
1
引
?F
1
QF
2
的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
2
∵该直线与圆
x?(y?2)
2
?1
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分
x
2
y
2
故设双曲线C的方程为
2
?
2
?1
．
aa
又双曲线C的一个焦点为
(2,0)

∴
2a?2
，
a?1
．
∴双曲线C的方程为
x?y?1
．………………………………………………4分 22
22
?
y?mx?1
22
(1?m)x?2mx?2?0< br>． （Ⅱ）由
?
2
得
2
?
x?y?1
令f(x)?(1?m)x?2mx?2

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x) =0在
(??,0)
上有两个不等实根．
22
?
?
??0
?
?
2m
因此
?
?0
解得
1?m?2
．
2
?
1?m
?
?2
? 0
?
2
1?m
?
又AB中点为
(
m1
,)
，
22
1?m1?m

88

v1.0 可编辑可修改
∴直线l的方程为
y?
1
(x?2)
．……………… ………………6分
?2m
2
?m?2
令x=0，得
b?
2 2
?
．
2
117
?2m?m?2
?2(m?)
2
?
48
∵
m?(1,2)
，
∴
?2(m?)?< br>1
4
2
17
?(?2?2,1)

8
∴b?(??,?2?2)?(2,??)
．………………………………………………8分
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长
QF
2
到T，使
|QT|?|QF1
|
，
若Q在双曲线的左支上，则在
QF
2
上取一点 T，使
|QT|?|QF
1
|
．
根据双曲线的定义
|TF
2
|?2
，所以点T在以
F
2
(2,0)
为圆心， 2为半径的圆上，即点T
的轨迹方程是
(x?2)
2
?y
2
?4(x?0)
①…………………………………………10分
由于点N是线段
F
1
T
的中点，设
N(x,y)
，
T(x
T
,y
T
)< br>．
?
x
T
?2
x?
?
?
x
T
?2x?2
?
2
则
?
，即
?
． ?
y
T
?2y
?
y?
y
T
?
2
?
22
代入①并整理得点N的轨迹方程为
x?y?1
．
( x??
2
)
………………12分
2
10．
f(x)
对任意
x?R
都有
f(x)?f(1?x)?
1
.
2
（Ⅰ）求
f()
和
f()?f(
1
2
1n
n?1
) (n?N)
的值．
n
1
n
2
n
n?1
数列
?
a
n
?
是
) ?f(1)
，
n
（Ⅱ）数列
?
a
n
?
满足 ：
a
n
=
f(0)
+
f()?f()????f(
等差数列吗请给予证明；

99

v1.0 可编辑可修改
试比较
T
n
与
S
n
的大小．
10 解： （Ⅰ）因为
f()?f(1?)?f()?f()?
1
2
1
2
1
2
1
2
111
．所以
f()?
．……2分 < br>224
令
x?
11111n?11
，得
f()?f(1?)?
，即
f()?f()?
．……………4分
nnn2nn2
（Ⅱ）< br>a
n
?f(0)?f()???f(
又
a
n
?f(1 )?f(
两式相加
1
n
n?1
)?f(1)

n
n?11
)???f()?f(0)
………………5分
nn
1n?1n?1
．
2a
n
?[f(0)?f(1)] ?[f()?f()]?
?
?[f(1)?f(0)]?
nn2
所以
a
n
?
n?1
,n?N
，………………7分
4
又
a
n?1
?a
n
?
（Ⅲ）
b
n
?
n?1?1n?11
??
．故数列
{a
n
}
是等差 数列．………………9分
444
4
?
4

n4a
n
?1
22
T
n
?b
1
2
?b
2
???b
n

111
????)

222
23n
111
?16[1???
?
?]
………………10分
1?22?3n(n?1)
?16(1?
11111
?16[1?(1?)?(?) ???(?)]
………………12分
223n?1n
116
?16(2?)?32??S
n

n n
所以
T
n
?S
n
……………………………………………… ……………………14分


2
11．如图，设
OA
、< br>OB
是过抛物线
y
＝2
px
顶点
O
的两条弦 ，且
→
OA
·
→
OB
＝0，求以
OA
、< br>OB

1010

v1.0 可编辑可修改
为直径的两圆的另一个交点
P
的轨迹.

11．设直线
O A
的斜率为
k
，显然
k
存在且不等于0
则
OA
的方程为
y
＝
kx

由
?
?
y
＝
kx
2
?
y
＝2
px2
p
2
p
解得
A
(
2
，)
kk
……4分
1
又由，知
OA
⊥
OB
， 所以
OB
的方程为
y
＝－
x

k
?
?
y
＝－
1
x
k
解得
B
(2
p k
2
，－2
pk
) 由
?
?
?
y
2
＝2
px
从而
OA
的中点为
A
'(
2< br>，)，
OB
的中点为
B
'(
pk
，－
pk< br>)
所以，以
OA
、
OB
为直径的圆的方程分别为
……4分
p
k
p
k
2
……6分
x2
＋
y
2
－
2
px
2
py
＝ 0 ……①
2
－
kk
x
2
＋
y
2
－2
pk
2
x
＋2
pk y
＝0 ……②
∵
P
(
x，
y
)是异于
O
点的两圆交点，所以
x
≠0，
y
≠0
1
由①－②并化简得
y
＝(
k
－)
x
……③
……10分
k
1
2
将③代入①，并化简得
x(
k
＋
2
－1)＝2
p
……④
k由③④消去
k
，有
x
＋
y
－2
px
＝ 0
∴点
P
的轨迹为以(
p
，0)为圆心，
p
为半 径的圆(除去原点).
12.知函数
f
(
x
)＝
log< br>3
(
x
－2
mx
＋2
m
＋
(1)求 实数
m
的取值集合
M
；
(2)求证：对
m
∈M
所确定的所有函数
f
(
x
)中，其函数值最小的一个是2，并 求使函数值等
于2的
m
的值和
x
的值.
12．(1)由题 意，有
x
－2
mx
＋2
m
＋
22
2222
……13分
9
)的定义域为
R

m
－3
2
9
＞0对任意的
x
∈
R
恒成立
m
－3
2

1111

v1.0 可编辑可修改
所以△＝4
m
－4(2
m
＋
即－
m
－
2
22
9
)＜0
m
－3
2
9
＜0
m
－3
2
3< br>22
(
m
－)＋27
2
∴＞0
2
m
－3
由于分子恒大于0，只需
m
－3＞0即可
所以
m
＜－3或
m
＞3
∴
M
＝{
m
|
m
＜－3或
m
＞3}
(2)
x
－ 2
mx
＋2
m
＋
22
2
……4分
999
222
＝(
x
－
m
)＋
m
＋
2< br>≥
m
＋
2

m
－3
m
－3
m
－3
2
当且仅当
x
＝
m
时等号成立.
所以，题设对数函数的真数的最小值为
m
＋
又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴
f
(
x
)≥
log
3
(
m
＋
2
2
9

m
－3
2
……7分
9
)
m
2
－3
2
∴当且仅当
x
＝
m
(
m
∈
M
)时，
f
(
x)有最小值为
log
3
(
m
＋
又当
m
∈
M
时，
m
－3＞0
∴
m
＋
2
2
9
)
m
－3
2
……10分
99
2
＝
m
－3＋
2
＋3≥2
m
－3
m
－3
2
2< br>2
(
m
－3)·
2
9
＋3＝9
m
－3
2
当且仅当
m
－3＝
9
9
，即
m＝±6时，
m
－3
9
log
3
(
m
2
＋
2
)有最小值
log
3
(6＋)＝
log3
9＝2
m
－36－3
∴当
x
＝
m
＝±6时，其函数有最小值2.

13.设关于x的方程2x-tx-2=0的两根为
?
,
?
(
?
?
?
),
函数f(x)=< br> (1) ．求f(
?
)和f(
?
)
的值。
（2）．证明：f(x)在[
?
,
?
]
上是增函数。

1212
2
4x?t
.

x
2
?1

v1.0 可编辑可修改
（3） ．对任意正数x
1
、x
2
,求证：
f(
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)? f(
1
)?2
?
?
?

x
1
?x
2
x
1
?x
2
13．解析：（1）．由根与系数的关系得，
?
?
?
?

?f(
?
)?
t
,
??
??1.

2
4
?
?t
4
?
?2(
?
?
?
)
281
2
?????(t?t?16).

22
2
?
?1
?
?
???
t?t?16
2
同法得f(
?
)?

1
(t
2
?16?t).

2
4(x
2
?1)?(4x?t)2x?2(2x
2
? tx?2)
?,
而当x
?[
?
,
?
]
时， (2).证明：
?
f(x)=
(x
2
?1)
2
(x
2
?1)
2
2x-tx-2=2(x-?
)(x?
?
)?0,
故当x
?[
?
,
?
]
时, f(x)≥0,

?
函数f(x)在[
?
,
?
]
上是增函数。
（3）。证明：
2
x
1
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)x
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)
?
?
?
2
?0,
1
?
?
?
1
?0,

x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x2
x
1
?x
2

?
?< br>?
x
1
?
?x
2
?
x
?
? x
2
?
?
?
, 同理
?
?
1
?
?
.
x
1
?x< br>2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
?
) ,故?f(
?
)??f(
1
)??f(
?
).
< br>x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
)?f(
?
).
两式相加得 :
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2< br>?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?f (
?
)?f(
?
),

x
1
?x
2
x
1
?x
2

?f(
?
)?f(
又f(
?
)?f(

?[f(
?
)?f(
?
)]?f(
即< br>f(
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?f(
?
)?f(
?
).

x
1
?x
2
x
1
?x
2
而由（1），f(
?
)??2
?
,f(
?
)??2
?
且f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)?f(< br>?
)
,

?

f(
x1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?2
?
?
?
.
x
1
?x
2
x
1
?x
2
1313

v1.0 可编辑可修改
14．已知数列{
a
n
}各项均为正数，
S
n
为其前
n
项的和.对于任意的
n?N
，都有
*
4S
n
?
?
a
n
?1
?
.
I、求数列
?
a
n
?
的通项公式.
n
*
II、若
2?tS
n
对于任意的
n?N
恒成立，求实数t
的最大值.
2
14．(I)
4S
1
?4a
1
?(a
1
?1)
2
,?a
1
?1.
当< br>n?2

22
时,
4a
n
?4S
n
?4S
n?1
?
?
a
n
?1
?
?
?
a
n?1
?1
?
,
?2
?
a
n
?a
n?1
?
?a
n
2
?a
n?12
,又{
a
n
}各项均为正数,
?a
n
?a< br>n?1
?2
.数列
?
a
n
?
是等差数列,
?a
n
?2n?1.

?
2
n
?
2
n
(II)
S
n< br>?n
,若
2?tS
n
对于任意的
n?N
恒成立,则< br>t?min
?
2
?
.令
b
n
?
2< br>,.当
n
?
n
?
2n
*
n?3
时,
b
n?1
8
2n
2
n
2
?(n?1)n? n
.又
b?2,b?1,b?
???1
123
9
b
n
(n?1)
2
n
2
?2n?1
，
?
2< br>n
?
8
8
?
min
?
b
n
?
?min
?
2
?
?
.
?

t
的最大值是.
9
?
n
?
9

15.已知点
H
（－3，0），点
P
在
y
轴上，点
Q
在
x
轴的正半轴上，点
M
在直线
PQ
上，且满< br>足
HP
·
PM
=0，
PM
=－
3
M Q
，
2
（1）当点
P
在
y
轴上移动时，求点M
的轨迹
C
；
（2）过点
T
（－1，0）作直线l
与轨迹
C
交于
A
、
B
两点，若在
x
轴上存在一点
E
（
x
0
,0），
使得△
A BE
为等边三角形，求
x
0
的值.
15.（1）设点
M< br>的坐标为(
x
,
y
)，由
PM
=－
由
HP
·
PM
=0，得（3，－
y
3x
MQ
,得< br>P
(0,－),
Q
(,0), 2分
23
2
5分
y3y
2
）(
x
,)=0,又得
y
=4x
,
22
1414

v1.0 可编辑可修改
由点
Q
在
x
轴的正半轴上，得
x
＞0,
所以，动点
M
的轨迹
C
是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线 ，除去原点.
（2）设直线
l
:
y
=
k
(
x
+1),其中
k
≠0,代入
y
=4
x
,得kx
+2(
k
－2)
x
+
k
=0,①
分
设
A
（
x
1
,
y
1
）,
B
(
x
2
,
y
2
),
22222
7
2(k
2
?2)
则
x
1< br>,
x
2
是方程①的两个实根，∴
x
1
+
x< br>2
=－,
x
1
x
2
=1,
k
2< br>2?k
2
2
所以，线段
AB
的中点坐标为(,),
2
k
k
2?k
2
21
线段
AB
的 垂直平分线方程为
y
－=－(
x
－),
kk
k
2
22
令
y
=0,
x
0
=
2
+1 ,所以点
E
的坐标为(
2
+1,0)
kk
因为△
ABE
为正三角形，所以点
E
（




8分
9分
2
3
+1,0）到直线
AB
的距离等于｜
AB
｜,
2
k
2
10分
41?k
2
而｜
AB
｜=
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
=·
1?k
2
,
2
k
22231?k
4
21?k
2
所以，=,
k
2
k
11分
解得
k
=±

16.设
f
1
(
x
)=

3
11
,得
x
0
=.
2
3
12分
f(0)?1
2
*
,定义
f
n
+1
(< br>x
)=
f
1
［
f
n
(
x
) ］,
a
n
=
n
,其中
n
∈N.
f
n
(0)?2
1?x
(1) 求数列｛
a
n
｝的通项公式；
16.（1）
f
1
(0)=2,
a
1
=
2
2?1
1
=,
f< br>n
+1
(0)=
f
1
［
f
n
(0) ］=,
1?f
n
(0)
2?2
4

1515

v1.0 可编辑可修改
1
?1
f
n?1
(0)?1
1?f
n
(0)
1?f
n
(0)
1f
n
(0)?1
1
a
n
+1
====－=－< br>a
n
,
2
f
n?1
(0)?24?2f
n
(0)
2
f
n
(0)?2
2
?2
1?f
n
(0)
∴数列｛
a
n
｝是首项为
分

17． 已知
a
=（x,0），
b
=（1，y），（
a+
3
b
）
?
（
a
–
3
b）．
（I） 求点
?
（x，y）的轨迹C的方程；
??????
4分
1111
n
－1
,公比为－的等比数列 ，∴
a
n
=(－).
4242
6
（II） 若直线L ：y=kx+m(m
?
0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD |，
试求m的取值范围．
17．解（I）
a
+
3
b
=（x,0）+
3
(1,y)=(x+
3
,
3
y),
?
??
a
–
?
3
?
?
b
=（x, 0）
?
3
b
),
?
?
3
(1,y)= (x
?
3
,–
3

y).
?
(
a
+
3
b
)
?
(
a
?
??
?

?
(
a
+
3
b
)·(
a< br>?
3
b
)=0,
?
(x+
3
)( x
?
3
)+
3
y·(
?
3
y)=0,
?
x
2
?y
2
?1
． （６分） 故P点的轨迹方程为
3
?
y?kx?m,
222
消去y，得（1–3k）x-6kmx-3m-3=0 (*)
?
x
2
2
?
?y?1,
?
3
（II）考虑方程组
?< br>222222
显然1-3k
?
0,
?
=(6km)-4(1-3k)( -3m-3)=12(m+1-3k)>0.
设x
1
,x
2
为方程*的两根，则x
1
+x
2=
6km
，x
0
=
x
1
?x
2
?
3km
, y
0
=kx
0
+m=
2
2
1?3k
2
1?3k
m
,
1?3k
2
故AB中点M的坐标为（
3km
，
1?3k
2

m
）,
2
1?3k
1616

v1.0 可编辑可修改
?
线段AB的垂直平分线方程为y
?
m
=（
?
1
）
3km
,
(x?)
k
1?3k
2
1?3k
2
将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k
?
1,
2
?
m
2
?1?3k
2
?0,
22
故m、k满足
?
消去k得 m
?
4m>0, 解得 m<0或m>4.
2
?
4m?3k?1,
又
?
4m=3k
?
1>
?
1,
?

m??
2
1
1
,
故m
?
(
?
,0)
?
(4,+
?
)． （１２分）
4
4
1
3

18．已知函数
f(x)
对任意实数p、q都满足
f(p?q)?f(p)?f(q),
且f(1)?.

（1）当
n?N
?
时，求
f(n)
的表达式；
（2）设
a
n
?nf(n)

3
(n?N
?
),
求证：
?
a
k
?;

4
k ?1
(n?N
?
),S
n
?
?
b
k
,
试比较
?
k?1
n
n

nf(n?1)
（3）设
b
n
?
f(n)
1
与6的大小．
k?1
S
k

n
18．(1)解 由已知得
f(n )?f(n?1)?f(1)?
11
?f(n?1)?()
2
?f(n?2) ?
33
11
?()
n?1
?f(1)?()
n
． (4分)
33
1
n
(2)证明 由(1)可 知
a
n
?n?(),
设
T
n
?
3
则
T
n
?1??2?()?
?
a
k?1
n
k

1
3
1
3
2
1
?n?()
n
.

3
111

?T
n
?1?()
2
?2 ?()
3
?
333
两式相减得
T
n
?
1< br>?
1
?
?
?
n?1
?
??
?n?( )
n?1
．
3
?
3
?
n
2
3< br>11
2
1
3
11
?()?()
+…+
()< br>n
?n?()
n?1

33333

1717

v1.0 可编辑可修改
1
?
1
n
?
1
n?1

?
?
1?()
?
?n?(),?

T
n< br>?
2
?
3
?
3
?
a
k
?< br>k?1
n
311
n?1
n1
n
3
?()?? ()?
． （9分）
443234
?n)?
n(n?1)
,

6
n
11
（3）解 由（1）可知
b
n
?n.?S
n
?
?
b
k
?(1?2?
33
k?1则
16
11
?
=
6(?),

S
n
n(n?1)
nn?1
故有

1
11 1
?6(1????
?
223
k?1
S
k
n
111
??)
=6
(1?)?6
． （１４分）
nn?1n ?1
19．已知函数
f(x)?log
a
x(a?0且a?1),
若 数列：
2,f(a
1
),f(a
2
),
…，
f(a
n
),2n?4(n?N
?
)
成等差数列.
（1）求数列
{a
n
}
的通项
a
n
；
（2）若
0?a?1,数列{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求
limS
n
；
n??
?
（3）若
a?2,令b
n
?a
n
?f(a
n
)，对任意
n?N,都有b
n
?f
?1
(t)
,求实数t 的取值
范围.
19．（1）
2n?4?2?(n?2?1)d,?d?2,?f(a
n
)?2?(n?1?1)?2?2n?2,?a
n
?a
2n?2< br>
a
4
(1?a
2n
)a
4
?.
（2）
limS
n
?lim
22
n??n??
1?a1?a
2n?2
?(2n?2)?2
2n?2
?(n?1)?2
2n?3< br>.
（3）
b
n
?a
n
?f(a
n< br>)?(2n?2)a
b
n?1
n?2
??4?1
b
n
n?1
?{b
n
}
为
?1
?b
n?1?b
n
.

增数列 递
?b
n
中最小项为< br>b
1
?2?2
5
?2
6
,f

(t )?2
t
,?2
6
?2
t
,?t?6.

1818

v1.0 可编辑可修改
20．已知△OFQ的面积为
26,且OF?FQ?m.

（1）设
6?m?46,求向量OF与FQ的夹角
?
正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），
|OF|?c,m?(
当
|OQ|
取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F
1
为（2） 中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线
l
1
、
l
2
上的
动点，且2|AB|=5|F
1
F|，求线段AB的中点M的轨迹方程， 并说明轨迹是什么曲线.







6
?1)c
2
，
4
?
1
46
?
?|OF|?|FQ|sin(
?
?
?
)?26
20．（1）
?tan
?
?,?6?m?46

?1?tan
?
?4.

?
2
m
?
|OF|?|FQ|cos
?
?m
?

?
?
4
?
?
?arctan4.

x
2
y
2
（2）设所求的双曲线方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),Q(x
1
,y
1
),则FQ? (x
1
?c,y
1
)

ab
?S
?OFQ
?
146
|OF|?|y
1
|?26,?y
1
??
由
OF?FQ?(c,0)?(x
1
?c,y
1
)?
2c
66963c
2
222
(x
1
?c)?c?(?1 )c,?x
1
?c,?|OQ|?x
1
?y
1
???12.

2
448
c
当且仅当
c
=4时，
|OQ |
最小，此时Q的坐标为
(6,6)或(6,?6)

6
?
6
??1
?
?
?
a
2
b
2
?a
2
?b
2
?16
?

2
?
?
a?4
?
?
2
?
?
b?12
x
2
y
2
??1.

?
所求方程为
412
1919

v1.0 可编辑可修改
（3）设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
l
1
的方程为
y?3x,l
2
的方程为
y??3x
则有
y
1
?3x
1
①
y
2
??3x
2
②
?2|AB|?5|FF
1
|

?2(x
1
?x< br>2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?5?2c?40

?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?20
③ 设
M (x,y)
由①②得
y
1
?y
2
?3(x
1
?x
2
)

y
1
?y
2
?3(x
1
?x
2
)?2y?3(x
1
?x
2
),y1
?y
2
?23x

?x
1
?x
2
?
2y
3
，
y< br>2
x
2
y
1
?y
2
?23x
代入③ 得
()?(23x)?400

???1.?M
的轨迹为
100300
3
3
2y
22
焦点在
y
轴上的椭圆.

21、已知函数
f(x)?3x?bx?1
是偶函数，
g(x)? 5x?c
是奇函数，正数数列
?
a
n
?
满
2
2
足
a
n
?1,f(a
n
?a
n?1
) ?g(a
n?1
a
n
?a
n
)?1

① 求
?
a
n
?
的通项公式；
②若
?
an
?
的前
n
项和为
S
n
，求
limS
n
.
n??

21、解：（1）
?f(x)
为偶函数
?f(?x)?f(x)

?b?0

f(x)?3x?1

2
?g(x)
为奇函数
?g(?x)??g(x)

?c?0

g(x)?5x

?f(a
n?1
? a
n
)?g(a
n?1
?a
n
?a
n
)? 3(a
n?1
?a
n
)
2
?1?5(a
n?1?a
n
?a
n
)?1

22
?3a
n
?a?a?2a
?1n?1nn
?0

?(a
n?1
?a
n
)(3a
n?1
?2a
n
)?0

?
22
a
n?1
2
?

a
n3
?{a
n
}
是以
a
n
?1
为首项， 公比为
22
n?1
的等比数列.
a
n
?()
< br>33
（2）
lim
s
n
?
n??
1
2
1?
3
?3


2020

v1.0 可编辑可修改
22．直角梯形
ABCD
中∠DAB
＝90°，
AD
∥
BC
，
AB
＝2，< br>AD
＝
31
，
BC
＝．椭圆
C
以
A
、
22
B
为焦点且经过点
D
．
（1）建立适当坐标系，求椭圆
C
的方程；
（2）若点
E
满足
EC
?
1
AB
，问是否存在不平行
AB
的直线
l
与椭圆
C
交于
M
、
N
两点且
2
|ME|?|NE|
，若存在，求出直线
l
与
AB
夹角的范 围，若不存在，说明理由．
22、解析：（1）如图，以
AB
所在直线为
x
轴，
AB
中垂线为
y
轴建立直角坐标系，
?
A（-1，
0），
B
（1，0）

x
2
y
2
设椭圆方程为：
2
?
2
?1

ab
?
C? 1
?
a?2
b
2
?
2
令
x?C?y
0
?
∴
?
b

3
?
?
c
?
b?3
?
?
a2
?
x< br>2
y
2
??1
∴ 椭圆
C
的方程是：
43

（2）
EC?
11
AB?E(0
，
)
，
l
⊥
AB
时不符，
22
设
l
：
y
＝
kx
＋
m< br>（
k
≠0）

2121

v1.0 可编辑可修改
?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y
2
?(3?4k
2
)x
2
?8kmx?4m2
?12?0

?1
?
?
3
?
4

M
、
N
存在
?
?0?64k
2
m
2
?4(3?4k< br>2
)
?
(4m
2
?12)?0
?4k
2?3?m
2

设
M
（
x
1
，y
1
），
N
（
x
2
，
y
2< br>），
MN
的中点
F
（
x
0
，
y0
）
∴
x
0
?
x
1
?x2
4km
3m
，
??
y?kx?m?
00
2
3?4k
2
3?4k
2

|ME|?|NE|?MN?E F?
y
0
?
3m1
1
?
2
2
??
1
?
3?4k
2
2
??
1
?m??
3?4k

4km
x
0
kk2
?
2
3? 4k
3?4k
2
2
)
∴
4k
2
?3?4
∴
0?k
2
?1
∴
?1?k?1
且
k?0
∴
4k?3?(?
2
2
∴
l
与
AB
的夹角的范围是
(0
，
]
．

23．设函数
f(x)?
1
4
1
,

4
x
?2
（1）求证：对一切
x?R,f(x)?f(1?x)
为定值；
（2）记
a
n
?f(0)?f()?f()???f(
通项公式及前n项和.

x
11141
23、（1）
f(x)?f(1?x)?
x
?
1?x
?
x
??.
4?24?24?24?2?4
x
2
1
n
2
n
n?1
)?f(1)
n< br>(n?N*),
求数列
{a
n
}
的
(6
?< br>)

(2)由(1)知f(0)?f(1)?
1
?
,f(1) ?f(0)?.

2
11n?112n?21
,f()?f()?,f ()?f()?
2nn2nn2

(10
?
)
(12
?
)
将上述n?1个式子相加得2a
n
?
n?1n?1
, ?a
n
?.
24
11n?3n(n?3)
S
n
?[ 2?3?4?
?
?(n?1)]???n?.
4428
2222

v1.0 可编辑可修改

24. 已知函数
f(x)
是定义在R上的偶函数.当X
?
0时,
f(x)
=
?
(I)
(II)
求当X<0时,
f(x)
的解析式;
试确定函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
的单调性，并证明你的结论.
7x
.
x
2
?x?1
(III) 若
x
1
?2
且
x
2
?2
，证明：|
f(x
1< br>)
－
f(x
2
)
|<2.
24、（1）当X<0时,
f(x)?
7x
（3分）
x
2
?x?1
（2）函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数；（证明略） （9分）
（3）因为函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数，由x
?2
得
f(x )?f(2)??2
；
又因为
x?x?1?0,?7x?0
，所以
?
2
7x
?0
，所以
?2?f(x)?0
；
x< br>2
?x?1
因为
x
1
,x
2
?0
， 所以
?2?f(x
1
)?0
，且
?2?f(x
2
) ?0
，即
0?f(x
2
)?2
，
所以，-2≤f(x
1
) – f(x
2
) ≤2即|
f( x
1
)
－
f(x
2
)
|<2. （14分）

25.已知抛物线
y?4x
的准线与
x
轴交 于
M
点，过
M
作直线与抛物线交于
A
、
B
两点，
若线段
AB
的垂直平分线与X轴交于
D
(
x
0
,0)
⑴求
x
0
的取值范围。
⑵△
ABD< br>能否是正三角形若能求出
x
0
的值，若不能，说明理由。
25、解：⑴由题意易得
M
(-1,0)
设过点
M
的直线 方程为
y?k(x?1)(k?0)
代入
y?4x
得
2
2
k
2
x
2
?(2k
2
?4)x?k
2?0
………………………………………（１）
再设Ａ（ｘ
１
，ｙ
１
），Ｂ（ｘ
２
，ｙ
２
）

2323

v1.0 可编辑可修改
4?2k
2
则ｘ
１
＋x
2
=，ｘ
１
·x
2
=１
2
ky
１
＋y
2
=k(x
1
+1)+k(x
2+1)=k(ｘ
１
＋x
2
)+2k
=
4

k
2?k
2
2
,
） ∴ＡＢ的中点坐标为（
2k
k
212?k
2
)
，令
y?0
得 那么线段 ＡＢ的垂直平分线方程为
y???(x?
2
kk
k
k
2?2k
2
?22
x?x??1?
，即
0
k
2
k
2
k
2
又方程（１）中△＝
(2k
2
? 4)
2
?4k
4
?0,?0?k
2
?1,?
2?2,?x
0
?3

k
2
⑵若△
ABD
是正三角形，则需点
D
到
AB
的距离等于
3
AB

2
16(1?k
2
)(1?k
2
)
AB?(1?k )(x
1
?x
2
)?(1?k)(x
1
?x
2)?4x
1
x
2
?

4
k
2
222
?
2
?
点到AB的距离d=
k
2
?2
k??k
k
2
1?k
2
?
2k
2
?2< br>k1?k
2
21?k
2
?

k
4(k
2
?1)316(1?k
4
)
3
2
??
据
d?AB
得：
24
4
kk
4
2
∴
4k ?k?3?0,(k?1)(4k?3)?0
，∴
k
2
?
∴△
ABD
可以为正△，此时
x
0
?

4222
3
，满足
0?k
2
?1

4
11

3
26、已知
□ABCD
，
A< br>（-2，0），
B
（2，0），且∣
AD
∣=2
⑴求
□ABCD
对角线交点
E
的轨迹方程。
⑵过
A
作直线交以
A
、
B
为焦点的椭圆于
M
、
N
两点，且∣
MN
∣=

2424
8
2
，
MN
的中点到
Y
轴
3

v1.0 可编辑可修改
的距离为
4
，求椭圆的方程。
3
⑶与
E< br>点轨迹相切的直线
l
交椭圆于
P
、
Q
两点，求∣PQ
∣的最大值及此时
l
的方程。








26、解：⑴设E（
x
，
y），D（
x
0
，
y
0
）
∵
ABCD
是平行四边形，∴
AB?AD?2AE
，
∴（ 4，0）+（x
0
+2，y
0
）=2（x+2，y）∴（x
0
+6，y
0
）=(2x+4，2y)
∴
?
Y

D C


E
A O B X
?
x
0
?6?2x?4
?
x
0
?2x?2
?
?

?
y
0
?2y
?
y
0
?2y
2< br>又
AD?2,?(x
0
?2)
2
?y
0
?4 ,?(2x?2?2)
2
?(2y)
2
?4

即：
x?y?1

∴
□ABCD
对角线交点E的轨迹方程为
x?y?1

⑵设过A的直线方程为
y?k(x?2)

以A、B为焦点的椭圆的焦距
2C
=4，则
C
=2
22< br>22
x
2
y
2
x
2
y
2
? 1
…………………（*） 设椭圆方程为
2
?
2
?1
， 即
2
?
2
abaa?4
x
2
k
2
(x?2)
2
?1
将
y?k(x?2)
代入（*）得
2
?
2
aa?4
即
(a?ak?4)x?4akx?4ak?a?4a?0

设
M
（x
1
，y
1
），
N
（x
2
，y
2< br>）则

2525
2222222242

v1.0 可编辑可修改
4a
2
k
2
4a
2
k
2< br>?a
4
?4a
2
x
1
?x
2
?,x
1
?x
2
?

222222
4?a?aka?ak ?4
∵
MN
中点到
Y
轴的距离为
左侧。
4
，且
MN
过点
A
，而点
A
在
Y
轴的左侧 ，∴
MN
中点也在
Y
轴的
3
2a
2
k2
4?88?a
2
222
?,?ak?2a?8
，∴
x
1
?x
2
?,x
1
?x
2
?
∴< br>2

22
33
a?ak?4
3
∴
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?()
2
?
∵
MN?
8
3
4
(8?a
2
)

3
88
2
∴
1?k
2
x
1
?x
2
?2

3 3
64324
2
128
∴
(1?k
2
)(?
即
12a
2
?12a
2
k
2
?32 k
2
?160

?a)?
9339
9a
2
?64
∴
12a?12(2a?8)?32k?160
∴
k?

8
222
2
9a
2
?64
?2a
2
?8
，
9a
4
?80a
2
?64?0
∴
a?
8
2
(a
2
?8)(9a
2
?8)?0
，∵
a?c?2
，∴
a
2
?8

∴
b
2
?a
2
?c
2
?8?4?4

x
2
y
2
??1
∴所求椭圆方程为
84
⑶由⑴可知点E的轨迹是圆
x?y?1

设< br>(x
0
,y
0
)
是圆上的任一点，则过
(x
0
,y
0
)
点的切线方程是
x
0
x?y
0
y?1

①当
y
0
?0
时，
y?
22
22
1?x
0
x
代入椭圆方程得：
y
0222
(2x
0
?y
0
)x
2
?4x
0
x?2?32y
0
?0
，又
x
0
?y
0
?1

∴
(x
0
?1)x?4x
0
x?32x
0
?30?0


2626
2
2
2

v1.0 可编辑可修改
x
1
?x
2
?
4x
0
x
0
?1
2
2
,x
1
x
2
?
2
32x0
?30
x
0
?1
2
2

∴
(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
1
42
(?128x?8x
00
?120)

2
(x
0
?1)
2
22xx?y
PQ?(1?(?
0
)
2
)(x
1
? x
2
)
2
?
0
2
0
(x
1
?x
2
)
2

y
0
y
0
2=
1
1?x
0
2
?
1
(1?x
0)
2
2
(?128x
0
?8x
0
?120)?
42
16x
0
?15
(1?x
0
)
22
2

令
16x
0
?15?t(15?t?31)

则
P Q?
2
2
t256t256
?
2
?
， ∵
15?t?31

t?1
2
t?2t?1
1
() t??2
16t
2
∴当t=15时，
PQ
取最大值为15 ，
PQ
的最大值为
15
。
此时
16x
0
?0,x
0
?0,?y
0
?1
，∴直线
l
的方程为
y??1

②当
y
0
?0
时，容易求得
PQ?
2
7?15

故：所求
P Q
的最大值为
15
，此时
l
的方程为
y??1
< br>x
2
2
27．已知椭圆
2
?y?1(a?1)
，直线
l
过点A（－
a
，0）和点B（
a
，
ta
）
a
（
t
＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.
（1）用
a
，
t
表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，
a
为定值，求S的最大值.
t
?
y?( x?a)
27．解（1）易得
l
的方程为
y?
t
(x?a)
…1分 由
?
，
2
?
?
2
2
?< br>x
?y
2
?1
?
?
a
2
y
M
B
得（
at
+4）
y
－4
aty
=0

2727
222
A
N
Ox

v1.0 可编辑可修改
解得y=0或
y?
4at
………………4分
4at
即 点M的纵坐标
y?
M
a
2
t
2
?4
a2
t
2
?4
4?a
2
t
2
2
2
S=S
△AMN
=2S
△AOM
=|OA|·y
M
=
4at
…7分
2
（2）由（1）得，
S?
4at
2
4?at
?
4a
2
4
?a
2
t
t
(t?0)

2
令
V?
4
?a2
t,V
?
??
4
?a
2
…………9分 由
V
?
?0?t?

a
t
t
2
2
当
t?
2
时，则
2
?[1,2)
，故当
t ?
2
时，S
max
=
a

V
?
?0;当0?t?时,V
?
?0
…10分 若1≤a
≤2，
a
a
a
a
若
a
＞2，则0?
2
?1.?V?
4
?a
2
t
在[1，2] 上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1
at
时,
S
max
4 a
2
?
4?a
2
13分
综上可得
S

max
?
a(1?a?2)
?
…………14分
?
?
4a
2
(a?2)
?
?
4?a
2
28． 已知函数
f(x)?
bx?c

的图象过原点，且关于点
(?1,1)
成中心对称.
x?1
（1）求函数
f(x)
的解析式；
?
2

（2）若 数列
{a
n
}(n?N)
满足：
a
n
?0,a1
?1,a
n?1
?[f(a
n
)]
，求数列
{a
n
}
的通项
公式
a
n
，并证明你的结论.
28. (1) ∵函数
f
(
x
)=

又函数
f
(
x
)=

bx
+
cbx
.

的图象过原点，即
f
(0)=0，∴
c

=0，∴
f
(
x
)=

x
+1
x
+1
bxab
b

-

的图象关于点（-1，1）成中心对称，∴
a
=1，
b
=1，∴f
(
x
)=

=

x
+1
x
+1
xa
n
2
a
n
1111
.(2)由 题意有
a
n
+1
=[

]，即
a
n
+1
=

，即∴

=

+1，

-

=1.
x
+1
a
n
+1
a
n
+1
a
n
+ 1
a
n
a
n
+1
a
n
∴数列{
1
1
a
n
}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴
1
a
n

1
=1+(
n
-1)=
n
，即
a
n

=

，∴
a
n
=

n
1111
.∴
a
2
=

，
a
3
=

，
a
4
=

，
a
n
=

2
.
n
4916
n
2


2828

v1.0 可编辑可修改
29．已知点集
L?{(x,y)|y?m ?n},
其中
m?(2x?b,1),n?(1,b?1),
点列
P
n
(a
n
,b
n
)
在
L
中，
P< br>1
为
L
与
y
轴的交点，等差数列
{a
n}
的公差为1，
n?N
?
。
（1）求数列
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；
（2）若
c
n
?
5
(n?2),
求
lim(c
1
?c
2
?
?
?c
n
)
；
n??
n?|P
1
P
n
|
?
y?m?n
?
?29、解：（1）由
?
m?(2x?b,1)
，得
y?2x?1
…………2分
?
?
?
n?(1,b?1)
?L:y?2x?1,? P
1
(0,1)
，则
a
1
?0,b
1
?1 ,

?a
n
?n?1(n?N
?
),b
n
?2n?1(n?N
?
)
…………4分
（2）当
n ?2
时，，
P
n
(n?1,2n?1),|P)

1
P
n
|?5(n?1
c
n
?
5111
??? …………6分
n|P
1
P
n
|n(n?1) n?1n
?lim(c
1
?c
2
???c
n
)?< br>
n??
111111
lim[(1?)?(?)?
?
(?) ]?lim(1?)?1
…………8分
n??n??
223n?1nn

（3）假设存在符合条件的
k
使命题成立
当
k
是偶数时，
k?11
是奇数，则
f(k?11)?k?10,f(k)?2k?1

由
f(k?11)?2f(k),
得
k?4
…………11分
当
k
是奇数时，
k?11
是偶数，则
f( k?11)?2k?21,f(k)?k?1

由
f(k?11)?2f(k),
得
k
无解
综上存在
k?4
，使得
f(k?11)?2f(k)
…………14分

2929

v1.0 可编辑可修改

2
30．经过抛物线
y?4x
的焦点F的直线
l
与该抛物线 交于
A
、
B
两点.
（1）若线段
AB
的中点为
M(x,y)
,直线的斜率为
k
,试求点
M
的坐标,并求点
M
的轨
迹方程.
1
（2）若直线
l
的斜率
k?2
,且点
M
到直线
3x?4y?m?0
的距离为,试确定m
的取值
5
范围.
30.解：（1）设
A(x
1,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，直线AB的方程为：
y?k(x?1)(k?0)

把
y?k(x?1)
代入
y
2
?4x
得：
k
2
x
2< br>?(2k
2
?4)x?k
2
?0

2k
2< br>?4
4
∴
x
1
?x
2
?
∴
y
1
?y
2
?k(x
1
?1)?k(x
2
?1)?

2
k
k
?
x
1
?x
2
k
2
?2
x??
?
2
?
k
2?22
?
?
2k
,
?
； ∴
?
∴点M 的坐标为
M
?
2
kk
??
?
y?
y
1
?y
2
?
2
?
2k
?
消去
k
可得点M的轨迹方程为：
y
2
?2x?2(x?0)
；
k
2
?22
|3?
2
?4??m|
1
kk
（ 2）∵
d??

55
6868
68
∴
|3?
2
??m|?1
∴
3?
2
??m??1
∴
2???1?3?m

kkkk
kk
11
6811
863
∵
k?2
∴
0?
2
?
，
0??4
∴
0?
2
??
∴
0??1?3?m?

k k2
k2
k
2
∴
0?1?3?m?
11111519
或
0??1?3?m?
∴
??m??2
或
??m??4

2222
∴
?
19
?
19
?
?m??2< br>∴
m
的取值范围为
?
?,?2
?
。
2
?
2
?




3030