2018年高考数学压轴题数列大题含答案

2020年10月6日发(作者：元昭嘏)

2018年高考数学大题压轴题选讲含答案


1．已知数集
A?
?
a
1
,a
2
,...a,
n
??(1a
1
?a
2
?
有性质
P
:对任意的k

?
2?k?n
?
,
?...a
n
n?,
具
2)
?i,j
?
1?i?j?n
?
,使得
a
k
?a
i
?a
j
成立.
（Ⅰ）分别判 断数集
?
1,3,4
?
与
?
1,2,3,6
?是否具有性质
P
,并说明理由;
（Ⅱ）求证
a
n
?2 a
1
?a
2
?...?a
n?1
?
n?2
?
;
（Ⅲ）若
a
n
?72
,求数集
A
中 所有元素的和的最小值.
2．已知数列

满足：



，







. （其中 为自然对数的底数， ）
（Ⅰ）证明：





；
（Ⅱ）设



，是否存在实数 ，使得





对任意

成立？若存在，求出 的
一个值；若不存在，请说明理由.
3．数列
?
x
n
?
满足：
x
1
?1
，
x
n?1
?

x
n
?4
，
n?N
*

x
n< br>?1
(Ⅰ)判断
x
n
与
2
的大小关系，并证明你的结 论；
(Ⅱ)求证：
x
1
?2?x
2
?2??x
n
?2?2
.
2
?
a
n
?
?
a
n
?4
4．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1，
a
n?1
?
a
n
?2
，其中
n? N
*
，
?
，
?
为非零常数.
（1）若
?
?3
，
?
?8
，求证：
?
a
n
?1
?
为等比数列，并求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）若数列
?
a
n
?
是公差不等于零的等差数列.
①求实数
?
，
?
的值；
②数列
?
a< br>n
?
的前
n
项和
S
n
构成数列
?< br>S
n
?
，从
?
S
n
?
中取不同的四 项按从小到大排列组成四项子数列.试问：
是否存在首项为
S
1
的四项子数列 ，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条
件的四项子数列；若不存在， 请说明理由.
5．已知数列
?
a
n
?
，
?
b
n
?
，
S
n
为数列
?a
n
?
的前
n
项和，
a
2
?4b
1
，
S
n
?2a
n
?2
，
nb
n?1
?
?
x?1
?
b
n
?n
2
?n

?
n?N
*
?
.
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
试卷第1页，总7页

（2）证明
?
?
b
n
?
?
为等差数列.
n
??
a
n
b
n
,n为奇数
2
（3）若数列
?
c
n
?
的通项公式为
c
n
?{
，令
P
n
?c
2 n?1
?c
2n
.
T
n
为
?
P
n
?
的前
n
项的和，求
a
n
b
n
, n为偶数
4
?
T
n
.
6．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的
n?N
*
，都有
①
n
a
n?1
?
n?2
?
．
n?1
123
???
222
a
1
a
2
a< br>3
?
n
a
n
2
?3
；
②
111
???
a
n
a
n?1
a
n?2
?< br>1
a
nk?1
?
2
?
k?1
?
k? 1
（
k?2,k?N
）．
*
7．在数列
?
an
?
中，若
a
1
,a
2
是整数，且
a
n
?{
5a
n?1
?3a
n?2
,a
n? 1
?a
n?2
为偶数，

（
n?N
*
，且
n?3
）.
a
n?1< br>?a
n?2
,a
n?1
?a
n?2
为奇数,
（Ⅰ）若
a
1
?1
，
a
2
?2
，写出< br>a
3
,a
4
,a
5
的值；
（Ⅱ）若在数列
?
a
n
?
的前2018项中，奇数的个数为
t
，求
t
得最大值；
（Ⅲ）若数列
?
a
n
?
中，
a
1
是奇数，
a
2
?3a
1
，证明：对任意
n?N
*
，
a
n
不是4的倍数.
8．设等差数列
?
a
n?
的公差为
d
1
，等差数列
?
b
n
?
的公差为
d
2
，记
c
n
?max
?
b
1
?a
1
n,b
2
?a
2
n,??? b
n
?an
n
?

?
n?1,2,3???
?
，其中
max
?
x
1
,x
2
,??? x
s
?
表示
x
1
,x
2
,???x
s
这
s
个数中最大的数
(1)若
a
n
?2n, b
n
?4n?2
，求
c
1
,c
2
,c3
的值，并猜想数列
c
n
的通项公式（不必证明）
111?
?2
n
(2)设
a
n
??n,b
n
??n?2
，若不等式 对不小于2的一切自然数n都
???????
c
2< br>?2c
3
?2c
n
?2n
成立，求
?
的取值 范围
(3)试探究当无穷数列
?
c
n
?
为等差数列时，
d
1
、
d
2
应满足的条件并证明你的结论
9．已知数列
?
a
n
?
满足上：
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
2
?2a
n
?3?bn?N
*
.
??
试卷第2页，总7页

（1）若
b?1
，证明： 数列
?
?
a
n
?1
?
?
是等差数列； < br>2
（2）若
b??1
，判断数列
?
a
2n?1
?
的单调性并说明理由；
（3）若
b??1
，求证：
a
1
?a
3
???a
2n?1
?
10．在数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?
3n?4
.
6
38a
n
?1
20
19
，
a
n?1
?
，
b
n
?
，其中
n?N
*
．
4a
n
?422a
n
?1
2
⑴ 求证：数列
?
b
n
?
为等差数列；
2
⑵ 设
c
n
?b
n
b
n?1
cosnπ
， < br>n?N
*
，数列
?
c
n
?
的前
n< br>项和为
T
n
，若当
n?N
*
且
n
为 偶数时，
T
n
?tn
恒
成立，求实数
t
的取值范围；
⑶ 设数列
?
a
n
?
的前
n
项的和为S
n
，试求数列
?
S
2n
?S
n
?< br>的最大值.
11．（本小题满分16分）已知数列
?
a
n
?
的奇数项是首项为
1
的等差数列，偶数项是首项为
2
的等比数列，< br>数列
?
a
n
?
前
n
项和为
S
n
，且满足
S
5
?2a
4
?a
5
,a< br>9
?a
3
?a
4
.
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）若< br>a
m
a
m?1
?a
m?2
，求正整数
m的值；
（3）是否存在正整数
m
，使得
不存在，说明理由.
12．（本小题满分16分）设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，满足
a
n
?S
n
?An< br>2
?Bn?C
(A?0,n?N
*
)
．
（1）当
C?1
时，
①设
b
n
?a
n< br>?n
，若
a
1
?
39
，
a
2
?
．求实数
A,B
的值，并判定数列
?
b
n
?< br>是否为等比数列；
24
B?1
的值；
A
*
S2m
恰好为数列
?
a
n
?
中的一项？若存在，求出所有 满足条件的
m
值，若
S
2m?1
②若数列
?
an
?
是等差数列，求
n
311
?
?
1?
2
?
2
， （2）当
C?0
时，若数列
?
an
?
是等差数列，
a
1
?1
，且
?n?N，
?
?
n?1
i?1
a
i
a
i?1< br>求实数
?
的取值范围．
1
13．（本小题满分13分）已知二次函数
y?f(x)
的图象的顶点坐标为
(?1,?)
，且过坐标原点
O< br>.数列
{a
n
}
3
?
的前
n
项和为
S
n
，点
(n,S
n
)(n?N)
在二次函数y?f(x)
的图象上.
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
?2
（Ⅱ） 设
b
n
?a
n
a
n?1
cos(n?1)
?
,(n?N)
，数列
{b
n
}
的前
n
项 和为
T
n
，若
T
n
?tn
对
n?N
?
恒成立，求
试卷第3页，总7页

实数
t
的取值范围；
（Ⅲ）在数列
{a
n
}
中是否存在这样一些项：
a
n
1
,a
n
2
,a
n
3
,,a
n
k
,
(1?n
1
?n
2
?n
3
??n
k
?,k?N
?
)
，
?
q(0?q?5,q?N)
为公比的等比数列
{a} ,k?N
?
？若存在，这些项都能够构成以
a
1
为首项，写出
n
k
关
n
k
于
k
的表达式；若不存在，说明理由 .
14．（本小题满分12分）设数列
{a
n
}
的首项为1，前n 项和为S
n
，且
S
n+1
?n
2
?a
n? 1
（
n?N
*
）．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
b
n
?
1
，
T
n
是数列
{b
n}
的前n项和，求
T
n
．
a
n
a
n ?1
15．（本小题满分13分）设数列
?
a
n
?
满足：
①
a
1
?1
；
②所有项
a
n
?N*
；
③
1?a
1?a
2
?...?a
n
?a
n?1
?...
．
设集合
A
m
?
?
n|a
n
?m,m?N*
?
，将集合
A
m
中的元素的最大值记为
b
m
，即
b
m
是数列
?
a
n
?
中满足不等式
a
n
?m
的所有项的项数的最大值．我们称数列
?
b
n
?
为数
?
a
n
?
的伴随数列．例如，数列1， 3，5的伴随数
列为1，1，2，2，3．
（Ⅰ）若数列
?
a
n< br>?
的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列
?
a
n?
；
（Ⅱ）设
a
n
?3
n?1
，求数列?
a
n
?
的伴随数列
?
b
n
?
的前30项之和；
2
（Ⅲ）若数列
?
a
n
?
的 前
n
项和
S
n
?n?c
（其中
c
常数）， 求数列
?
a
n
?
的伴随数列
?
b
m
?

的前
m
项和
T
m
．
16．（本 小题满分12分）已知正项数列
{a
n
}
的首项
a
1
?1
，前
n
项和
S
n
满足
a
n
?
（1）求证：
{S
n
}
为等差数列，并求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）记数列
{
值范围．
17．已 知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，设数 列
?
b
n
?
满足
b
n
?2
?S
n?1
?S
n
?
S
n
?n
?
S
n?1
?S
n
?
n?N
*
．
（1） 若数列
?
a
n
?
为等差数列，且
b
n
?0
，求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）若
a
1
?1
，
a
2
?3
，且数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n< br>?
都是以2为公比的等比数列，求满足不等式
b
2n
?b
2n ?1
试卷第4页，总7页
S
n
?S
n?1
(n?2)
．
1
}的前
n
项和为
T
n
，若对任意的
n?N
*，不等式
4T
n
?a
2
?a
恒成立，求实数
a
的取
a
n
a
n?1
??

的所有正整 数n的集合．
nn
18．（本小题满分18分）已知数列
{a
n
}
，
a
n
?p?
?
q(p?0,q?0,p?q,
?
?R,
?
?0,n?N*)
.
（1）求证：数列
{an?1
?pa
n
}
为等比数列；
（2）数列
{an
}
中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
nn
（3）设
A?{(n,b
n
)|b
n
?3?k,n?N*}
，其中
k
为常数，且
k?N
?
，
B?{(n,c
n
)|c
n
?5
n
,n?N*}
，求
AB
.
19．（本题满分14分）在单调递增数列
{a
n
}
中，a
1
?2
，
a
2
?4
，且
a
2n?1
,a
2n
,a
2n?1
成等差数列，
a
2 n
,a
2n?1
,a
2n?2
成等比数列，
n?1,2,3 ,?
．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列
{a
2n
}
为等差数列；
（ⅱ）求数列
{a
n
}
的通项公式.
（Ⅱ）设数列
{
1
4n
，
n?N
*
． < br>}
的前
n
项和为
S
n
，证明：
S
n
?
a
n
3(n?3)
20．(本小题满分12分)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，对任意的正整数n，都有a
n
＝4Sn
＋1成立.
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
1
3
（2）设b
n
＝log
3
|a
n
|，数列{} 的前n项和为T
n
, 求证：T
n
＜．
b
n
?b
n?2
4
21．(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题 4分，第（3）小题8分.
已知数列
?
a
n
?
是公差不为
0
的等差数列，
a
1
?
3
,
数列
?
b
n
?
是等比数列，且
b
1
?a
1，
b
2
??a
3
,b
3
?a
4
，
2
*
数列
?
b
n
?
的前
n< br>项和为
S
n
，记点
Q
n
(b
n
,S
n
),n?N
．
（1）求数列
?
b
n
?
的通项公式；
（2）证明 ：点
Q
1
、Q
2
、Q
3
、、Q
n
、
在同一直线
l
上，并求出直线
l
方程；
（3）若
A?S
n
?
1
?B
对
n?N
*
恒成立， 求
B?A
的最小值．
S
n
22．（本小题满分15分）已知数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
?t
?
S
n
?a
n
? 1
?
（
t
为常数，且
t?0,t?1
）．
2（1）设
b
n
?a
n
?S
n
?a
n< br>，若数列
?
b
n
?
为等比数列，求
t
的值；
（2）在满足条件（1）的情形下，设
c
n
?4a
n
?1< br>，数列
?
c
n
?
的前
n
项和为
T< br>n
，若不等式
12k
?2n?7
对任意的
n?N*
恒成立，求实数
k
的取值范围．
4?n?T
n
试卷第5页，总7页

23．（本题13分）已知数列
?
a
n
?
中 ，
a
1
?t(t为常数，t?0且t?1)
，
a
2
?t
2
，当
n?N,n?2
时，
?
a
n?1
?(t?1)a
n
?ta
n?1
．
（1）求证
?
a
n?1
?a
n
?
为等比数列，并求数列
?
a< br>n
?
的通项公式；
（2）若
t?2,
若
?
n?N
?
，
A?
111
??
?
??B
，试 求实数
A
、
B
的取值范围．
a
2
?a
1
a
3
?a
2
a
n?1
?a
n
24 ．（本小题满分14分）给定正奇数
n
?
n?5
?
，数列
?
a
n
?
：
a
1
,a
2
,
...
,a
n
是1，2，…，
n
的一个排列，
定义E（a
1
,a
2
，…，
a
n
）
?|a1
?1|?|a
2
?2|?
...
?|a
n
? n|
为数列
?
a
n
?
：
a
1
，< br>a
2
，…，
a
n
的位差和.
（1）当
n? 5
时，求数列
?
a
n
?
：1，3，4，2，5的位差和；
（2）若位差和E（
a
1
，
a
2
，…，
a
n
）=4，求满足条件的数列
?
a
n
?
：
a
1
，
a
2
，…，
a
n
的个数；
2
n?1
（3）若位差和
E
?
a
1
,a
2
,
...
,a
n
?
?
，求满足条件的数列
?
a
n
?
：
a
1
,a
2
,...
,a
n
的个数.
2
25．（本小题满分13分） 若有穷数列
a
1
，
a
2
，
a
3
,,a
m
（
m
是正整数）满足条件：
a
i
?a< br>m?i?1
(i?1,2,3,,m)
，则称其为“对称
数列”．例如，
1,2,3,2,1
和
1,2,3,3,2,1
都是“对称数列”．
（Ⅰ ）若
{b
n
}
是25项的“对称数列”，且
b
13
,
b
14
,
b
15
,
的所有项和
S
；
（Ⅱ）若
{c
n
}
是50项的“对称数列”，且
c< br>26
,c
27
,c
28
,
的前
n
项 和
S
n
，
1?n?50,n?N
.
26．（本题满分13 分）已知函数
?
，
b
25
是首项为1，公比为2的等比数列．求{b
n
}
，
c
50
是首项为1，公差为2的等差数列． 求
{c
n
}
f(x)?x
2
sinx
，各项均不相 等的有限项数列
{x
n
}
的各项
x
i
满足
|x
i
|?1
．令
F(n)?
?
x
i
?< br>?
f(x
i
)
i?1i?1
nn
，
n?3< br>且
n?N
，例如：
F(3)?(x
1
?x
2
?x
3
)?(f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
3
))
．
（Ⅰ）若
a
n
?f
?
?
?
，数列
?
a
n
?
的前n项和为S
n，
求 S
19
的值；
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
① 存在数列
{x
n
}
使得
F(n)?0
；②如果数列
{x
n
}
是等差数列，则
F(n)?0
；
③如果数列{x
n
}
是等比数列，则
F(n)?0
。
27．（本 小题满分13分）已知等比数列
?
a
n
?
的公比
q?1，前n项和为
S
n
,S
3
?7
且
a
1
?3,3a
2
,a
3
?4
成等
试卷第6页，总7页
?
n
?
?
2
?

差数列，数列
?
b
n
?
的前n项和为
T
n
,6T
n< br>?(3n?1)b
n
?2
，其中
n?N
?
。
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）求数列
?
b
n
?
的通项公式；
（3）设< br>A?{a
1
,a
2
,,a
10
},B?{b
1
,b
2
,,b
40
}
，
C?AB
,求集 合
C
中的所有元素之和。
1
a
n
?1
．
2
28．数列
{a
n
}
的前
n
项和是
S
n
，且
S
n
?
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
2
a
n
3
1
（2）记
b
n
?log
3
，数列
{
．
}
的前n
项和为
T
n
，证明：
T
n
?
416
b
n
?b
n?2
29．已知数列
?
an
?
中，
a
1
?a,a
2
?t
（常数
t?0
），
S
n
是其前
n
项和，且
Sn
?
n
?
a
n
?a
1
?
．
2
（1）试确定数列
?
a
n
?
是否为等差数列，若 是，求出其通项公式；若不是，说明理由；
（2）令
b
n
?
Sn?2
S
n?1
?,证明：2n?b
1
?b
2
?????b
n
?2n?3
?
n?N
*
?
． S
n?1
S
n?2
a
1
1
?0,n?N
*
． ，
n?1
?
2
a
n?1
?1a
n
?1
30．（本题满分１４分）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
（1）求证：数列
{
1
}
是等 差数列；
a
n
?1
（2）设
b
n
?
a< br>n?1
3
?1
，数列
?
b
n
?
的前
n
项之和为
S
n
，求证：
S
n
?
．
a
n
4
试卷第7页，总7页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1．（1）具有（2）见解析（3）最小值为
147

【解析】试题分析：
（1）利用性质
P
的含义及特例可判断数集
?
1,3,4
?
不具有性质
P
，数集
?
1,2,3, 6
?
具有性质
（2）数集
A
具有性质
P
可得
a
n?1
?2a
n?2
，
a
n?2
?2a
n?3
，
P
．
将上述不 等式相加得
a
2
?
a
3
?2a
2
，
a
2
?2a
1
，
?n
?
n
a< br>?
?
1n
a?2
?
?
1
a?
2a?
?
，
a
1
化简得
a
n
?2a1
?a
2
??a
n?
，即为所求．（3）由
a
1
?1
及性质
P
可得
a
2
?2a
1
?2
，从而易知
数集
A
的元素都是整数，构造
A?
?1,2,3,6,7,18,36,72
?
或者
A?
?
1,2, 4,5,9,18,36,72
?
，
此时元素和为
147
，然后再证 明
147
是最小的和．
试题解析：
（
1
）∵
3?1?1
，
∴数集
?
1,3,4
?
不具有性质
P
．
∵
2?1?1
，
3?1?2
，
6?3?3
，
∴数集
?
1,2,3,6
?
具有性质
P
．
（
2
）∵集合
A?
?
a
1
,a
2
,,a
n
?
具有性质
P:
即对任意的
k
?
2?k?n
?
，
?i
，
j
?
1?i?j?n
?
使得
a
k
?a
j
?a
i
成立，
又
1?a
1
?a
2
?a
n
，
n?2
，
∴
a
i
?a
k
，
a
j
?a
k
，
∴
a
i
?a
k?1
，
a
j
?a
k?1
，
∴
a
k
?a
i
?a
j
?2a
k?1
，
即
a
n?1
?2a
n?2
，
a
n?2
?2a
n?3
，
将上述不等式相加得
a
2
?
化简得
a
n
?2a
1
?a
2
?
（
3
）最小值为
147
．
首先注意到
a
1
?1
，根据性质
P
，得到
a
2
?2a
1
?2
，
所以易知数集
A
的元素都是整数，
构 造
A?
?
1,2,3,6,7,18,36,72
?
或者
A ?
?
1,2,4,5,9,18,36,72
?
，这两个集合具有性质
P
，
答案第1页，总45页
a
3
?2a
2
，
a
2
?2a
1
，
?a
n?1
?a
n
?2
?
a
1
?a
2
??a
n?1?
，
?a
n?1
．

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
此时元素和为
147
．
下面，证明
147
是最小的和．
假设数集
A?
?
a
1
,a
2
,
n
,a
n
?
(a
1
?a
2
??a
n
,n?2)
，满足
S?
?
a
i
?147
最 小（存在性
i?1
n
显然，因为满足
?
a
i?1
i
．
?147
的数集
A
只有有限个）
第一步：首先说明集合
A?
?
a
1
,a
2
,,a
n
?< br>(a
1
?a
2
?
，
?a
n
,n?2)
中至少有
8
个元素：
由（
2
）可知，
a
2
?2a
1
，
a
3
?2a
2
，
又
a
1
?1
，
∴
a
2
?2
，
a
3
?4
，
a
n
?8
，
a
5
?16
，
a
6
?32
，
a
7
?64?72
，
∴
n?8
．
第二步：证明
a
n?1
?36
，
a
n?2
?18
，
a
n?3
?9
，
若
36?A
，设
a
t
?36
，
∵
a
n
?72?36?36
，为了使
S?
?
a
最小 ，
i
i?1
n
在集合
A
中一定不含有元素
ak
，使得
36?a
k
?72
，
从而
a
n?1
?36
；
若
36?A
，根 据性质
P
，对
a
n
?72
，有
a
i
，
a
j
，使得
a
n
?72?a
i
?a
j
，
显然
a
i
?a
j
，
∴
a
n
?a
i
?a
j
?144
，
此时集合
A
中至少有
5
个不同于
a
n
，
a
i
，
a
j
的元素，
从而
S?an
?a
i
?a
j
?5a
1
?149
， 矛盾，
∴
36?A
，进而，
a
t
?36
，且
a
n?1
?36
．
同理可证：若
18?A
，则
a
n?2
?18
．
假设
18?A
，
∵
a
n?1
?36
，根 据性质
P
，有
a
i
，
a
j
，使得
a
n?1
?36?a
i
?a
j
，
答案第2页，总45页
??

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
显然
a
i
?a
j
，
∴
a
n?a
n?1
?a
i
?a
j
?144
，
此时集合
A
中至少还有
4
个不同于
a
n
，
a
n?1
，
a
i
，
a
j
的元素，
从而
S?a
n
?a
i?a
j
?a
n?1
?4a
1
?148
，矛盾，
∴
18?A
，且
a
n?2
?18
，
同理可证：若
9?A
，则
a
n?3
?9
．
假设
9?A
，
∵
a
n?2
?18
，根据 性质
P
，有
a
i
，
a
j
，使得
a
n?2
?18?a
i
?a
j
，
显然
a
i
?a
j
，
∴
a
n?a
n?1
?a
n?2
?a
i
?a
j
?144
，
此时集合
A
中至少还有
3
个不同于
a
n
，
a
n?1
，
a
n?2
，
a
i
，
a
j
的元素，
从而
S?an
?a
n?1
?a
n?2
?a
i
?a
j
?3a
1
?147
，矛盾，
∴
9?A
，且
a
n?3
?9
．
至此，我们得到
3a
n?1
?36
，
a
n?2
?18
，
a
n?3
?9
，
a
i
?7
，
a
j
?2
，
根据性质
P
，有
a
i
，
a
j
， 使得
9?a
i
?a
j
，我们需要考虑如下几种情形：
①
a
i
?8
，
a
j
?1
，此时 集合中至少还需要一个大于等于
4
的元素
a
k
，才能得到元素
8
，
则
S?148
；
②
a
i
?7
，
a
j
?2
，此时 集合中至少还需要一个大于
4
的元素
a
k
，才能得到元素
7
，则
??
S?148
；
③
a
i
?6
，
a
j
?3
，此时 集合
A?
?
1,2,3,6,9,18,36,72
?
，
S
最小
?147
；
④
a
i
?5
，
a
j
?4
，此时 集合
A?
?
1,2,4,5,9,18,36,72
?
，
S?147
．
综上所述，若
a
n
?72
，则数集
A
中所有元素的和的最小值是
147
．
2．(1)见解析(2) 不存在满足条件的实数
【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，先证明一个不等式

，再利用该不等式证明
答案第3页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。






. (2)第（Ⅱ）问，先利用数学归纳法证明




，再利用该不等式证
明不存在实数M.
试题解析：（Ⅰ）证明：设

，令

，得到 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
故 ，即

（当且仅当 时取等号）.
故










，所以



.


（Ⅱ）先用数学归纳法证明



.
①当 时，



.②假设当 时，不等式



成立，那么当 时，










所以























，也成立.故对

都有




.

.
取



，





























.

即







.








所以，对任意实数 ，取 ，且

，

，
则





.
故，不存在满足条件的实数 .
点睛：本题难点在于思路的找寻，本题难度较大. 第（Ⅰ）问，先证明一个不等式

，第
（Ⅱ）问，先利用数学归纳法证明


题整体分析的结果.
3．（1）当
n
为奇数时，
x
n
?2?


，之所以要证明这两个不等式，当然是 对试
4
?
?3
?
n
?1
?0
，即
x
n
<
2
；当
n
为偶数时，
x
n
?2?
4
?
?3
?
n
?1
（2）见解析.
?0
，
x
n
>
2
；
【解析】试题分析：(Ⅰ) 分当
n< br>为奇数时和当
n
为偶数时两种情况，将
x
n
与2作差，变形< br>即可判断
x
n
与
2
的大小关系；
(Ⅱ) 要证x
1
?2?x
2
?2?
只需证
x
n
? 2?
?x
n
?2?2
，
4
?
?3
?n
?1
?
1
，验证可知当
n?1
时，当
n?2
时不等式成立，
n?1
2
当
n
为偶数且
n?4
时，
答案第4页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
41
?< br>2
??
1
?
要证
x
n
?2?
n?
n?1
，只需证
2?2
n
?3
n
?1
，即证
2?
??
?
??
?1
，
3?12
?
3
??
3
?
nn
?
2
??
1
?
令
f
?
n
?
?2?
??
???
，则
f
?
n
?
单调递减，即可证明；
?
3
??
3
?
当
n
为奇数且
n?3
时，要证
x
n
?2?
n
nn
41
，只需证
2?2
n
?3
n
?1
，
?
nn?1
3? 12
n
?
2
??
2
?
只需证
2?2
n
?3
n
，即证
2?
??
?1
，令
g< br>?
n
?
?2?
??
，讨论单调性即可证明.
?
3
??
3
?
试题解析：Ⅰ) 当
n
为奇数时，

x
n
<
2
；当
n
为偶数时，

x
n
>
2
. 证明如下：

x
n?1?2?
?
?
x
n
?2
?
x
n
?1
，
两边同取倒数得：
x?1
13
??
n
???1
，
x
n?1
?2x
n
?2x
n
?2
?
1111
????3?
?
?
?
，
x
n?1
?24
?
x
n
?24
?
所以数列
?
?
11?
3
?
?
是以
?
为首项，
?3
为公比的等比数列，
4
?
x
n
?24
?
113
4
n?1
????
?
?3
?
，
x
n
?2?
，所以当
n
为奇数时，
n
x
n
?244
?
?3
?
?1
x
n
? 2?
4
?
?3
?
n
?1
?0
，即
x
n
<
2
；当
n
为偶数时，
x
n
?2?
4
?
?3
?
n
?1
?0
，
x
n
>
2
.
(Ⅱ)证明：因为
1
?< br>1
?
1??
??
?
2
?
2
?
2
?
1
?
1?
??
n?1
2
?
1
?
?
??
?
??
?2
，
1
?
2
?
1?
2
?x
n
?2?2
，
n
要证
x
1
?2?x
2
?2?
只需证
x< br>n
?2?
4
?
?3
?
n
?1
?1
，
n?1
2
答案第5页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
当
n?1
时，
x
1
?2?2
成立，当
n?2
时，
x
1
?2?x
2
?2?1?
当
n
为偶数且
n?4
时，
要证
x
n
?2?
1
?2
成立，
2
41
，
?
nn?1
3?12
只需证
2 ?2
n
?3
n
?1
，即证
?
2
??1
?
2?
??
?
??
?1
，
?3
??
3
?
?
2
??
1
?
令
f
?
n
?
?2?
??
?
??
，则
f
?
n
?
单调递减，
f
?
n
?
max
?f
?
4
?
?1
，
?
3
??
3
?
当
n
为奇数且
n?3
时，
要证
x
n
?2?
nn
nn
41
，
?
3
n
?12
n?1
只需证
2?2
n
? 3
n
?1
，
只需证
2?2
n
?3
n
，
?
2
??
2
?
即证
2?
??
?1
，令
g
?
n
?
?2?
??
，
?
3
??
3
?
则
g
?
n
?
单调递减，
g
?
n
?
max
?g
?
3
?
?1
所以
x
n
?2?
，
nn
4
?
?3
?
n
?1
?
1
成立，
2
n?1
所以< br>x
1
?2?x
2
?2??x
n
?2?2
成立 .
n?1
4．（1）
a
n
?2?3?1
（2）①
?
?1
，
?
?4
，
a
n
?2n?1< br>.②
?
S
1
,S
4
,S
8
,S44
?
，
?
S
1
,S
12
,S24
,S
36
?
，
?
S
1
,S4
,S
20
,S
40
?

【解析】试题分析： （1）利用等比数列定义证明，即寻找
a
n?1
?1
与
a
n
?1
比例关系：利
2
3a
n
?8a
n
?4
用
a
n?1
?
代入化简可得
a
n?1
? 1?3
?
a
n
?1
?
.最后说明各项非零.（2）①令a
n
?2
n?1
，2，3，根据等差数列性质得
2a
2
?a
1
?a
3
,2a
3
?a
2
? a
4
，列出关于
?
，
?
的二元
2
一次方程组，解得
?
，
?
的值；再验证满足题意. ②先求数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n
，
再讨论四项奇偶性：三个奇 数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，
答案第6页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
直至确定. 2
?
3a
n
?2
??
a
n
?2
?

3a
n
?8a
n
?4
试题解析：解：（1） 当
?
?3
，
?
?8
时，
a
n?1
?

?
a
n
?2a
n< br>?2
?3a
n
?2
，
?a
n?1
?1?3
?
a
n
?1
?
.
又
a
n
?1?0
，不然
a
1
?1?0
，这与
a
1
?1?2
矛盾，
?
?
a
n
?1
?
为2 为首项，3为公比的等比数列，
?a
n
?1?2?3
n?1
，
?a
n
?2?3
n?1
?1
.
（2）①设
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

?dn?d?1
，
由
a
n?1
?
2
?< br>a
n
?
?
a
n
?4
2
得
a
n?1
?
a
n
?2
?
?

?
a
n
?
?
a
n
?4
，
a
n
?2
?
?
dn?d?3
??
dn?1
?

?
?
?
dn?d?1
?

?
?
?
dn?d?1
?
?4
，
2
?d
2
?n
2
?4d?d
2
n?d?3
??
?
?
d
2
n
2
?
?
2?
1?d
?
?
?
?
?

dn?
?
?
1?d
?
?

2
?
1?d
?
?
?4

对任意
n?N
*
恒成立.
令
n?1
，2，3，解得，
经检验，满足题意.
综上，
?
?1
，
?
?4
，
d?2
.
?
?1
，
?
?4
，
a
n
?2n?1
.
n
?
1?2n?1
?
2
?n
2
. ②由① 知
S
n
?
设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或 者三个奇数一个偶数、或
者一个奇数三个偶数.
1°若三个奇数一个偶数，设
S
1
，
S
2x?1
，
S
2y?1
，
S
2z
是满足条件的四项，
则
1?
?
2x?1
?
?

?
2y?1
?
?4z
2
?2017
，
2
2
?2x
2
?x?y
2
?y?z
2

?1007
，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.
2°若一个奇数三个偶数，设
S
1
，
S
2x
，
S
2y
，
S
2z
是满足条件的四项，
答案第7页，总45页
??

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
22
则
1
2
?4x
2
?

4y?4z?2017
，
?x?y?z?504
.
222
由504为偶数知，
x
，
y
，
z
中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
1）若
x
，
y
，
z
中一个偶数两个奇数，不妨设
x?2x
1
，
y?2y
1
?1
，
z?2z
1
?1
，
2
则
2x
1
?y
1
2
?y
1?z
1
2
?z
1

?251
，这与251为奇数矛盾.
??
2）若
x
，
y
，
z
均为偶数，不妨设
x?2x
1
，
y?2y
1
，
z?2z
1
，
222
则
x
1
?y
1
?z
1
?126
，继续奇偶分 析知
x
1
，
y
1
，
z
1
中两奇数一个偶数，
222
不妨设
x
1
?2x
2
，
y
1
?2y
2
?1
，
z
1
?2 z
2
?1
，则
x
2
?y
2
?y
2
?

z
2
?z
2
?31
.
因为
y
2
?
y
2
?1
?
， z
2
?
z
2
?1
?
均为偶数，所以
x
2
为奇数，不妨设
0?y
2
?z
2
，
222
当
x
2
?1
时，
y
2
?y
2
?z
2
?z
2

?30
，
y
2
?y
2
?14
，检验得< br>y
2
?0
，
z
2
?5
，
x
2
?1
，
222
当
x
2
?3
时，
y
2
?y
2
?z
2
?z
2

?22
，
y
2
?y
2
?10
，检验得< br>y
2
?1
，
z
2
?4
，
x
2
?3
，
222
当
x
2
?5
时，
y
2
?y
2
?z
2
?z
2

?6
，
y
2
?y
2
?2
，检验得
y
2
?0
，
z
2
?2
，
x
2
?5
，
即
S
1
，
S
4
，
S
8
，
S
44
或者
S
1
，
S
12
，
S
24
，
S
36
或者
S
1
，
S
4
，
S
20
，
S
40
满足条
件，
综上所述，
?
S
1
,S
4
,S
8
,S
44
?
，
?
S
1
,S
12
,S
24
,S
36
?
，
?
S
1
,S
4
,S
20
, S
40
?
为全部满足条件的四
元子列.
n
5．（1）a
n
?2
（2）见解析（3）
T
n
?
712n ?7
n
??4

99
【解析】试题分析：
（1）利用S
n
与
a
n
的关系，即
a
n
?Sn
?S
n?1
?
n?2
?
，可得数列
?
a
n
?
的递推式，知其为等
比数列，同时由
a
1
?S
1
求得首项，从而得通项公式
a
n
；
（2）在已知等 式
nb
n?1
?
?
n?1
?
b
n
?n?n
中两边同时除以
n
?
n?1
?
可证得结论； 2
（3）由（2）可求得通项
b
n
，从而得通项
c
n< br>，最终得
P
n
?
?
4n?1
?
4
可 求得和
T
n
．
试题解析：
（1）当
n?1
时，
{
n?1
，利用错位相减法
S
n
?2a
n
?2
S
n?1
?2a
n?1
?2


?a
n
?2a
n
?2a
n?1

?a
n
?2a
n?1

答案第8页，总45页

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当
n?1
时，
S
1
?2a
1
?2

?a
1
?2
，
n
综上，
?
a
n
?
是公比为
2
，首项为
2
的等比数列，
a
n
?2
.
（2）
a
2
?4b
1
，
?b
1
?1
，
nb
n?1
?
?
n?1
?
b
n
?n
2
?n
，
?
b
n?1
b
n
??1

n?1n
综上，
?
?
b
n
?
?
是公差为
1
，首项为
1
的等差数列.
?
n
?
（3）由（2）知：
b
n
?1?n?1

?b
n
?n
2

n
?P
n
?c
2n?1
?c
2n

2n?1
??
??
2
?2
2n?1
2
2n
??
?
2
?2
2n
4

?
?
4 n?1
?
?2
2n?2
?
?
4n?1
?
? 4
n?1

T
n
?3?4
0
+7?4
1< br>+11?4
2
+????
?
4n?1
?
?4
n?1

?4T
n
?3?4
1
?7?4
2
?11?4
3
????

?
?
4n?5
?
4
n?1
?
?
4n?1
?
?4
n

两式相减得：
?3T
n
??3?4
0
?4?4
1
?4?4
2
?

????4?4
n?1
?
?
4n?1
?
4
n

??3T
n
?3?4 ?
?T
n
?
41?4
n?1
1?4
??
?
?
4n?1
?
?4

n
712n?7
n
??4
.
99
6．(1)
a
n
?n
(2)见解析
【解析】试题分析：（1）对递推关系式 进行变形，转化为一个常数列
?
?
a
n
?
?
，即得 数列
?
a
n
?
n
??
的通项公式；（2）①先对通 项进行放缩：
n
a
n
2
?
1
n
3
?
11
?
，再根据裂项相
n?1n?1
消法求和，即证得结论②先 倒序相加法求和，再利用基本不等式进行放缩求和，最后证明
和值与结果大小
试题解析：（Ⅰ） 当
n?2
时，
a
n
a
n?1
??
nn?1
?
a
1
?1
，
1
?
当
n?2
时，
a
n
?n
．又
a
1
?1
，
?

a
n
?n
，
n?N
*
．
（Ⅱ）①证明：当
n?1
时，
1?3
成立；
答案第9页，总45页

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当
n?2
时，
n
a
n
2
?
1< br>n
3
?
1
n?n
2
?
1
n
?
n?1
??
n?1
?

??
111
?
?

?
?
?
?n
?
n?1
?
?
n
?
n?1
?
?
n?1?n?1
?
11
1
?
n?1?n?1
?
1
??


?
?
??
?
n?1n ?1
n?1
?
2n
?
n?1
?

123< br>???
222
a
1
a
2
a
3
?n
a
n
2

1
?
?
11
?< br>?
11
??
11
??
?1?
?
1????? ??
?
?
???
?
?
?
3
?
?< br>24
?
?
35
??
46
??

1< br>??
11
??
1
?
?
???
???
n
??
n?1n?1
??
n?2
?1?1?
111
???3

2nn?1
?

123
???
a
1
2
a
2
2
a
3
2
111
?? ?
a
n
a
n?1
a
n?2
?
n
a
n
2
1
?3

111
???
nn?1n?2
11
?

nk?2n k?1
②
?
a
nk?1
??
设
s?
111
???
nn?1n?2
?
1111
，则
s????
nk?2nk?1nk?1nk?2
?
11
?
，
n?1n
1
??
11
??
1
2s?
?
???
???
?
?
nnk?1
??
n?1nk?2
?
当
x?0,y?0
时，
?
x?y
?
?
1
??
11
??
1
?
?
???
???

?nk?2n?1
??
nk?1n
?
?
11
?
1 14
yx
，当且仅当
?
?
?2???4
，
?

??
xyx?y
xy
?
xy
?
x?y
时等号成立．
?
当
k?2,k?N
*
时， 2s?
4
?
k?1
?
4
?
k?1
?< br>4
?
?
nk?n
?
??
，
1
n?nk?11?k
1?k?
n
?

s?
2
?
k?1
?
111
．即
???
k?1
a
n
a
n?1
a
n?2
?
1
a
n k?1
?
2
?
k?1
?
k?1
．
点睛: 证明数列不等式，，常用方法为方缩法，经过放缩，将数列化为可求和，最后再比较和
值与结果大小即可
答案第10页，总45页

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7．(1)
a
3
?7
，
a
4
?29
，
a
5
?22
.(2) 前2018项中奇数的个数
t
的最大值是1346.(3)
详见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）将
a
1
?1
，
a
2< br>?2
代入递推关系求解
a
3
,a
4
,a
5< br>的值即可；
（Ⅱ）讨论
a
1
,a
2
都是偶数时，
a
1
,a
2
都是奇数时，
a
1
是奇数，
a
2
是偶数时，
a
1
是偶数，
a
2
是奇数时四种情况即可得解；
（Ⅲ）由
a
1
是奇数，分析得前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数
t
?
t?3
?，使得
a
t
是
4的倍数，则
a
t?1
,at?2
均为奇数，所以
a
t?3
一定是偶数，结合递推关系即可推出矛盾 ，进而
得证.
试题解析：
（Ⅰ）
a
3
?5a
2
?3a
1
?7
，
a
4
?5a
3
?3a
2
?29
，
a
5
?a
4
?a
3
?22
.
所以
a
3
?7
，
a
4
?29
，
a
5
?22
.
（Ⅱ）（i）当
a
1
,a
2
都是偶数时，
a1
?a
2
是偶数，代入
5a
n?1
?3a
n? 2
得到
a
3
是偶数；
因为
a
2
?a3
是偶数，代入
5a
n?1
?3a
n?2
得到
a
4
是偶数；
如此下去，可得到数列
?
a
n
?< br>中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…
所以前2018项中共有0个奇数.
（ii）当
a
1
,a
2
都是奇数时，
a
1
?a
2
是奇数，代入
a
n?1
?a
n?2
得到
a
3
是偶数；
因为
a
2
?a
3< br>是偶数，代入
5a
n?1
?3a
n?2
得到
a
4
是奇数；
因为
a
3
?a
4
是偶数，代入5a
n?1
?3a
n?2
得到
a
5
是奇数；
如此下去，可得到数列
?
a
n
?
中项的奇偶情况是奇，奇， 偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…
所以前2018项中共有1346个奇数.
（iii）当
a
1
是奇数，
a
2
是偶数时， < br>理由同（ii），可得数列
?
a
n
?
中项的奇偶情况是奇，偶 ，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…
所以前2018项中共有1345个奇数.
答案第11页，总45页

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（iv）当
a
1
是偶数，
a
2
是奇数时， 理由同（ii），可得数列
?
a
n
?
中项的奇偶情况是偶，奇， 奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…
所以前2018项中共有1345个奇数.
综上所述，前2018项中奇数的个数
t
的最大值是1346.
（Ⅲ）证明：因为
a
1
是奇数，
所以由（Ⅱ）知，
a
n
不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况.
因为a
1
是奇数，且
a
2
?3a
1
，所以
a
2
也是奇数.
所以
a
3
?a
2
?a< br>1
?2a
1
为偶数，且不是4的倍数.
因为
a
4< br>?5a
3
?3a
2
?a
1
，
所以前4项没有4的倍数，
假设存在最小正整数
t
?
t?3
?
，使得
a
t
是4的倍数，
则
a
t?1
,a
t?2
均为奇数，所以
a
t?3
一定是偶数，
由于
a
t?1
?5a
t?2
?3a
t?3
，且
a
t
?a
t?1
?a
t?2
，
将这两个式子作和 ，可得
3a
t?3
?4a
t?2
?a
t
.
因为
a
t
是4的倍数，所以
a
t?3
也是4的倍数，
与
t
是最小正整数使得
a
t
是4的倍数矛盾.
所以假设不成立，即对任意
n?N
*
，
a
n
不是4的倍数.
8．(1)
c
1
?0,c
2
??2,c
3
??4,c
n
??2n?2
(2)
?
?
1
（3）
d
1
?0,d
2
?2d
1
或d
1
?0

4
【解析】试题 分析：（1）根据定义，依次求出
c
1
,c
2
,c
3
的值，根据规律猜想数列
c
n
的通项
公式（2）先根据定义以及单调性得< br>c
n
，再利用裂项相消法求和
根据变量分离法得
?
?
111
??????
，
c
2
?2c
3
?2c
n
?2
n?1n?1
，最后根据数列单调性确定最大值，即得
?
的取值范围
2
n
2
n
（3）先根据定义以及单调性分类讨论
c
n
，再比较
c
n
，c
n?1
大小与单调性是否一 致，进而确
定
d
1
、
d
2
应满足的条件
答案第12页，总45页

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试题解析：

















答案第13页，总45页

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点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法
先研究数列的单调性，可以用
{
数形结合求解..
9．（1）依题意
b?1
，
?
a
n?1
?1?
?
?
a
n
?1
?
?2
恒为常数；（ 2）见解析；（3）见解析.
22
a
n
?a
n?1
an
?a
n?1

或
{
a
n
?a
n?1
a
n
?a
n?1

也可以转化为函数最值问题或利用
答案第14页，总45页

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【解析】试题分析 ：（1）由
a
n?1
?1?
（2）先由
f
?
x?
?
a
n
2
?2a
n
?3?
?
a
n
?1
?
2
?2
，平方即可证明；
?
x
2
?2x?3?1
在
x?
?
0,1
?
上单调递减得
f
?
x
?
?
?
?
2?1,3 ?1
?
，进
而得当
0?a
n
?1
时，
0 ?a
n?1
?f
?
a
n
?
?1
，即当0?a
1
?1
时，
a
n?1
?1
与
a
n
?1
同号，
即
0?a
n
?1
，由a
n?2
?a
n
?
?
a
n?1
?a< br>n?
a
2
n?1
?
1
2
??
an?
?a
1n?
2
n?1
?
1
，分析得
?2a
n?1
?3?a?2a
n?1
?3
a
2n?
?a
n2
?0,a
?n2
?
1
a
?n
，
?0

?
?
a
2n?1
?
单调递减，
?
a
2n
?
单调递增；
2
3
??
1
??
a?a?
n
??
n
?
13
?11
2
??
2
??
2
（3）由
a
n? 1
??a
n
?2a
n
?3??
，得
a
n? 1
?
与
a
n
?
异号，由
3
22
2 2
2
a
n
?2a
n
?3?
2
3
? ?
3
?
5
???
a?a?2?
?
2n
??
2n?1
??
11
?
?
1
?
2
? ?
2
?
2
?
??
??
a
2n?1
??a??a?
2n?1
??
?
2
?
2n?1
3< br>??
2
3
?
?
2
?
2
22
??
?
?
3
?
?
2?
?
a
2n< br>?2a
2n
?3?
??
a
2n?1
?2a
2 n?1
?3?
?
??
2
??
2
??
2??
，求和即可证得.
试题解析：
（1）依题意
b?1
，
a
n?1
?1?
2
1
?
?
a
2n ?1
?
4
?
a
n
2
?2a
n
?3 ?
?
a
n
?1
?
2
?2
，平方得： ?
a
n?1
?1
?
?
?
a
n
?1
?
22
?2
恒为常数.
2
a
n
?2a
n
?3?1
， （2）显然
a
n
?0
，
a
n?1
?
f< br>?
x
?
?x
2
?2x?3?1
在
x?
?
0,1
?
上单调递减，
?
?f
?
x
?
?
?
?
2?1,3?1
?
，
故当
0?a
n
?1
时，
0?a
n?1
? f
?
a
n
?
?1
，即当
0?a
1
?1
时，
a
n?1
?1
与
a
n
?1
同号
?0?a
n
?1
，
22
a
n?2
?a< br>n
?a
n?1
?2a
n?1
?3?a
n?1
?2a
n?1
?3?
?
a
n?1
?a
n?1
?2
??
a
n?1
?a
n?1
?
a
2< br>n?1
?2a
n?1
?3?a
2
n?1
，
?2a
n?1
?3
a
n?1
?a
n?1
?2?0, a
n?2
?a
n
与
a
n?1
?a
n?1< br>异号，且
a
3
?a
1
?0
，
?a
2n?2
?a
2n
?0,a
2n?1
?a
2n?1
?0
，
?
?
a
2n?1
?
单调递减，
?
a
2n
?
单调递增，
答案第15页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
（3）
3
??
1
??
a?a?
n
??
n
?
13
?
11
2
??
2
??
2
a
n?1
??a
n
?2a
n
?3??
，
?a
n?1
?
与
a
n
?
异号，
3
22
22
2
a
n
?2a
n
?3?
2
a
1
?
1111
?0
，
?a
2n?1
??0
，
a
2n
??0
，
?a
2n
??a
2n?1
，
n?N
*
.
2222
3
??
1
?
3
??
3
? ??
a?a?a?a?
2n
??
2n
??
2n
??
2n?1
?
1
?
1
?
2
??
2< br>?
2
??
2
?
?
??
a
2n?1< br>???a?
2n?1
?
3
?
2
3
??
2
3
?
?
22
2
??
a
2n
? 2a
2n
?3?
a
2n
?2a
2n
?3?
??
a
2n?1
?2a
2n?1
?3?
??
2?
2
??
2
?

2
5
??
2 ?
??
1
?
2
?
?
?
?a?
?< br>?
2
?
2n?1
2
?
3
?
?
?
2?
??
2
??
1
?
1
?
a ?
?
2n?1
?
.
4
?
2
?
?
?
1
?
n
?
1?
??
??
n?1
?
1
??
1
?
1
?
1111
?< br>1
?
1
?
?
4
?
?
??
?
?
2

?
?
a
1
?
?
?
?
a
3
?
?
???
?
a
2n? 1
?
?
??·???
??
?
2
??
2?
2
?
2242
?
4
?
2
1?
1
3
??
4
3n?4
.
6
29
10．⑴见解析⑵
?
1,??
?
⑶
6
?a
1
?a
3
???a
2n?1
?
【 解析】试题分析：（1）根据题意，由数列的递推公式分析可得
b
n?1
与
a
n
的关系式，由等
差数列的定义分析可得答案；
（2）根据题意，求出数列 数列
?
c
n
?
的前
n
项和为
T
n
的表达式，当
n?N
*
且
n
为偶数时，
设
n?2m，m?N
*
，求出的
T
n
表达式，分析可得答案；
（3）由（2）的结论求出
S
2n
、S
n
，
即可 得
?
S
2n
?S
n
?
的表达式，设
1?
1
M
n
?S
2n
?S
n
?10?
??
n?1n?2
?
化的规律，分析可得答案．
试题解析：
⑴证明：
?
1
?
n
?
?
，由数列的函数特征分析数列
?
M
n
?
变
2n
?
2
答案第16页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
20
?< br>4a
n
?42
?
2a?21
20
，
b< br>n?1
????
n
38a?1
2a
n?1
?1
2?
n
?1
2
?
38a
n
?1
?
?
?
4a
n
?42
?
2a
n
?1
4a
n
?42
20
?b
n?1
?b
n
?
2a
n
?21
20
??1
，
2a
n?12a
n
?1
?
数列
?
b
n
?是公差为1的等差数列；
⑵由⑴可知，
b
1
?
20
?1
，故
b
n
?n
.
2a
1
?1因为
c
n
?b
n
b
n?1
cosn
?
,n?N
*
，
所以
T
n
?c
1
?c
2
?
??
?c
n

??b
1
b
2
?b
2
b
3
?b
3
b
4?b
4
b
5
?
*
?
?
?1
?
b
n
b
n?1
，
n
当
n??
*
且
n
为偶数时，设
n?2m,m?N
，
则
Tn
?T
2m
??b
1
b
2
?b
2b
3
?b
3
b
4
?b
4
b
5
??
?
?1
?
b
2m
b
2m?1

2m
?b
2
?
?b
1
?b
3
?< br>?b
4
?
?b
3
?b
5
?
?
?2
?
b
2
?b
4
?
?b
2m
?
?b
2m?1
?b
2m?1
?

1
?m
?

?2m
2
?2m?n
2
?n
，
2
?b
2m
?
?4
?
1?2?
2
要使
T
n
?tn
对
n??
*
且
n
为偶数恒成立，
1
2
n?n?tn
2
对
n??
*
且
n< br>为偶数恒成立，
2
11
即使
t??
对
n
为正偶数恒成立，
2n
只要使
11
?
11
?
????1
，
?t?1
，故实数
t
的取值范围是
?
1,??
?< br>；
??
2n22
??
max
⑶由⑴得
b
n
?
20
101
?n
，
?a
n
??
，
2a
n
?1
n2
1
?
n
?
?
?
，
n
?
2?
111
???
nn?1n?2
?
?
1
?2n
，
?
?
2n
?
2
?
1
?S
n
?10
?
1??
?
2
?
1
?S
2n
?10
?
1??
?
2
设
M
n
?S
2n
?S
n
?10
?
1
?
1
??
n?1n?2
?
1
?
n
?
?，
2n
?
2
答案第17页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
1
?1
?M
n?1
?10
?
??
?
n?2n?3< br>?
111
?
n?1
，
??
?
?
2 n2n?12n?2
?
2
11
?
1
?
1
? M
n?1
?M
n
?10
?
??
?
?

2n?12n?2n?1
??
2
1
?
1101
?
1

?10
?
????
?
?
2n?12 n?2
?
2
?
2n?1
??
2n?2
?
2
?
当
n?1
时，
M
n?1
?M
n
?
101
??0
，即
M
1
?M
2
，
3?42
， 当
n?2
时，
M
n?1
?M
n
?0
，即
M
2
?M
3
?M
4
?
29
?
11
?
?
?
M
n
?max
?M
2
?10?
?
?
?
?1?
，
6
?
34
?
因此数列
?
S
2n
?S
n
?
的最大值为
29
．
6
【点睛】本题 考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）
的关键是分析得到
b
n?1
与
a
n
的关系式．
n
n为奇数
?
?
a
n
?
?
n
?1
2
?
?
2?3

n为偶数
（2）
m?2（3）
m?1
或
m?2
11．（1）
【解析】
试题 分析：（1）数列
?
a
n
?
通项分奇偶求：方法为待定系数法，注意 项数，由
可解得公差及公比，从而
S
5
?2a
4
?a
5
,a
9
?a
3
?a
4
a
2k
?a
2
q
k?1
?2?3
k?1
，
n

n为奇数
?
?
a
n
?
?
n
?1< br>2
?
a
2k?1
?a
1
?(k?1)d?2k?1< br>2?3

n为偶数
（2）由于数列
?
a
n
?
通项分
?
，因此
奇偶，因此从奇偶分别讨论：若
m?2k(k? N*)
则
a
2k
a
2k?1
?a
2k?2
，解得
m?2
；若
m?2k?1(k?N*)
，即
a
2k? 1
a
k
?
2
a
?k2
，解得
k?1
，舍（3）先求和
S
2m?1
?(a
1
?a
3
? ...(a
2m?1
)?(a
2
?a
4
?...?a
2m?2
)
?3
m?1
?m
2
?1
，限定
S
2m
S?a
?
m?2
S
2m?1
S
2 m?1
m
2
S
2m
S
2m
2(m
2
?1)
?3?
m?1
?3
a,a,a
SS
3?m
2
?1
，而
2m?1
为正整数，即
2m?1
只能为
123
，
1
答案第18页，总45页

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分类讨论得
m?1
或
m?2
.
试题解析：（1）设
a
1
,a
3
,a
5
,...,a
2k?1
...
的公比为
q
，则
的公差为d.

a
2
,a
4
,a
6
,...,a
2k
,...a
4
?a
2
?q?2q,a
3
?a
1
?d?1?d ,a
9
?a
1
?4d
?
S
5
?2a
4
?a
5
?
a
4
?a
1
?a
2
?a
3
?
??
a?a?a
34
?
a
1
?4d?a
1
?d?2q
由
?
9
?
2q?4?d
?
d?2
?
?
?
?
?
2q? 3d
?
q?3

故
a
2k
?a
2
q
k?1
?2?3
k?1


a
2k?1
?a
1
?(k?1)d?2k?1
n

n为奇数
?
?
a
n
?
?
n
?1< br>2
?
?
2?3

n为偶数
4分 故（2）由
a
m
a
m?1
?a
m?2
，若
m?2k(k?N*)
，则
a
2k
a
2k?1
?a
2k?2

即
2k?1?3?k?1
，即
m?2

若
m?2k?1(k?N*)
，即
k?1
(2k?1)?2?3?2k?1
即
a
2k?1
a
2k
?a
2k?1

2?3
k?1
?1?
2
2k?1

2?3
k?1
为正整数
2
?
2k?1
为正整数，即
2k?1?1

0
2?3?3
不合题意
k?1
即，此时式为
综上，
m?2
. 9分
（3） 若
又
S
2m
S
2m?1
为
?
a
n
?
中的一项，则
S
2m
S
2m?1
为正整数

S
2m?1
?(a
1
?a
3
?...( a
2m?1
)?(a
2
?a
4
?...?a
2m? 2
)
答案第19页，总45页

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m(1?2m?1 )2(3
m?1
?1)
???3
m?1
?m
2
?1
23?1

2
S
2m
S
2m?1
?a2m
2(m?1)
???3?
?3
S
2m?1
S
2m?1
3
m?1
?m
2
?1

S
2m
a,a,a
?
a
?
S
故若
2m?1
为n
中的某一项只能为
123

2(m
2
?1)
3?
m?1
?1?
2
3?m?1
①若无解
2(m
2
?1)
3?
m?1
?2?3
m?1
?1?m
2< br>?0
2
3?m?1
②若，显然
m?1
不符合题意，
m ?2
符合题意
m?12m?1
?
f(m)?3?1?mf(m)3?nl3 2,(?)m3nl3)f(
??
2m0?
m?3
当时，即，则
m1 ?2
??

???
即
f(m)?3m?1ln3?2m
为增 函数，故
f(m)?f(3)?0
，即
f(m)
为增函数
m?12
故
f(m)?f(3)?1?0
，故当
m?3
时方程
3?1 ?m?0
无解
即
m?2
是方程唯一解
2(m
2
?1)
3?
m?1
?3?m
2
?1
2
3?m?1< br>③若即
m?1

综上所述，
m?1
或
m?2
. 16分
考点：等差数列及等比数列综合应用
13
A?,B?
22
，数列< br>?
b
n
?
是等比数列；②3；12．（1）①（2）
?
?3

【解析】
试题分析：（1）①由
a
1
?
39
13
a
2
?
A?,B?
2
，
4
列出关于
A,B
两个独立条件，解出
22
，利用
a
n?S
n
?S
n?1
(n?2)
解出递推关系式
2an
?a
n?1
?n?1
，再根据
b
n
?an
?n
，构造
1
a
n
?n?[a
n?1
?(n?1)]
?
b
??
a
?
2
，从而得证数列
n
是等比数列；②从数列
n
是等差数列出发，将
d
2
d
n?(a
1
?)n?a
1
?d?An
2
?Bn ?1
2
条件转化为关于
n
恒等式：
2
，消去
a1
，
d
得出
A,B
关
B?1
系，即可求出A
的值；（2）本题实质求和
?
i?1
n
1?
11?
a
i
2
a
i
2
?1
，难点为配方：
答案第20页，总45页

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1?
11 11n(n?1)?111
??1????1??
22
a
n
a
n
n
2
(n?1)
2
n(n?1)nn?1
?1
，以下就简单了，一是裂项相消
求和，二是恒成立转化为最值求解
2
试题解析：（1 ）
C?1
，
?a
n
?S
n
?An?Bn?1
，
①令
n?1
，可得
2a
1
?A?B?1
，即
A?B?2
，
令
n?2
，可得
a
1
?2 a
2
?4A?2B?1
，即
4A?2B?5
，
1313< br>?A?,B??a
n
?S
n
?n
2
?n?1
22
,
22
， ①
13?a
n?1
?S
n?1
?(n?1)
2
?(n?1)? 1
22
当
n?2
时，， ②
①-②，得
2a
n
?a
n?1
?n?1
(n?2)
，
11
?a
n
?n?[a
n?1
?(n?1)]b
n
?b
n? 1
22
，即，
又
?
b
1
?a
1
?1?
1
?0
2
，
b
n
?0< br>，
b
n
1
?
b
n?1
2
，
?
数列
?
b
n
?
是等比数列；
② 数列
?
设
?
a
n
?
是等差数列，
n(n?1)
d
2
，
a
n
?a
1
?(n?1)d,S
n
?na
1
?
a
n
?Sn
?An
2
?Bn?1
，
dd
?n
2
?(a
1
?)n?a
1
?d?An
2
?Bn?1
*
22
，
n?N

d
?
A?
?
2
?
d
?
?
?
B?a
1
?
2?
?
a
1
?d?1
?
?
，
?
B?1
?
A
a
1
?
ddd
?1a
1?1?d?
22
?
2
?3?
ddd
222
；
2
a?S?An?Bn

C?0
nn
（2）当时，
数列
?
a
n
?
是等差数列，
a
1
?1，
答案第21页，总45页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
?
an
?1?(n?1)d,S
n
?n?
n(n?1)
d
2
，
dd
?n
2
?(1?)n?1?d?An
2
? Bn
22
，
?d?1
，
?a
n
?n
，
1?
1111n(n?1)?111
??1????1??
22
a< br>n
a
n
n
2
(n?1)
2
n(n?1)nn ?1
?1
111
??n?1?
a
i
2
a
i
2
?1
n?1
，
?
?
1?
i?1
n
，
n
31131
?
?
??
?
1?
2
?
2
?
?
??n?1?
n?1
i?1
a
i
a
i?1
n?1n?1
，
即
?
?n?1?
22
?
?n?1?
*
n?1
，
??n?N
，
n?1
，
2
f(x)?x?
x
， 令
2x
2
?2
f
?
(x)?1?
2
?
xx
2
，
?(n?1?
2
)
min
?3
n?1
，
?
当
x?2
时，
f(x)?0
，
?f(x)在
[2,??)
上是增函数，而
n?1?2
，
?
??3
．
考点：等比数列定义，裂项相消求和，数列最值
3
k
?1
2n?1 5
?
(k?N
?
).
13．（Ⅰ）
a
n
?
（Ⅱ）
(??,?].
（Ⅲ）存在，
n
k
?
(n ?N)
；
2
39
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知可得数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
的公式，再 利用
?
S
1
,(n?1)
a
n
?
?
求得数列
{a
n
}
的通项公式；
S?S,(n?2)
n ?1
?
n
2
（Ⅱ）分n为奇数与偶数先求出
T
n
， 由使
T
n
?tn
对
n?N
?
恒成立，通过分离参数 t转化
为求函数的最值，即可求得实数
t
的取值范围；
（Ⅲ）由
a
n
?
2n?1
知，数列
{a
n
}
中每一项 都不可能是偶数，假设存在，对q的每一个取
3
11
(x?1)
2
? .

33
值：1，2，3，4逐一讨论即可获得结论．
试题解析：（Ⅰ）由 题意可知
f(x)?
所以
S
n
?
1112
1分
(n?1)
2
??n
2
?n(n?N
?
).
3333

答案第22页，总45页