高等考试数学压轴题秒杀

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秒杀 压轴题 第五章


关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数 很多朋友留
言说想掌握秒杀的最后一层。
压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会
难倒很多 学压轴题的把握。
很多很多人。

出题人很怕很怕全省没多少做出来的，相反，压轴题并不是那
般神秘难解，不过， 明白么？
他很怕。那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦
了。

想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。
08的除山东的外我都没做过，所以不在推荐范围内）。09
全是数学压轴题，且是理科（
全国一07山东，08江西，07全国二，08全国一，


可脉络依然清晰。虽然一年过去了，做过之后，但这几道题，

.
很多题目都忘了，一年过去了，
都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细
细研究。

记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。
会在以后的视频里面讲以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最
大价值，，”精“具体的题目的
解的很清楚。
不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难
度以及要求依次增高）
尤其推荐 通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，
或者问老师，这里必考。 ：1
） 我押题的第一道数列解答题。
裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和
（这几个是最基本和简 ：2.
单的数列考察方式，一般会在第二问考）
数学归纳法、不等式缩放 ：3
基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至
少有一道经典题想对应才行
哦。
开始解答题了哦，先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简
单的。

.
意义在只能说不大。这道题意义在什么呢？对于这道题在高考
中出现的可能性我不做解释，
于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨
论！！！！！！！

年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具
参考性，类似的题目07下面
年高考题中见了很多。10、09、08在
) 分14本小题满分(22)(

2

≠0.b其中+1),x ln(b+x)=x(f设函数
在定义域上的单调性；)x(f时，判断函数> b当)Ⅰ(
的极值点；)x(f（Ⅱ）求函数
n（Ⅲ）证明对任意的正整数. 都成立ln( )不等式,
~ 有点鸡肋了..这道题我觉得重点在于前两问，最后一问
这道题，太明显了对吧？


1




第三问其实就是直接 看出来么？ 想想我之前关于压轴题思路
的讲解， ， 看压轴问的形式

.
这道题就出来了。x 为1n 很明显的令 利用第一问和第
二问的结论，
绝大多数压轴题都是这样的。当然这只是例子之一了，这也
证明了我之前对压轴题的评述吧。
重点来了。 下面，下面，下面，
你可以利用导数去证明这个不等式的正确性， ln X<= X--1
大家是否眼熟这个不等式呢？
但我想说的是，这个小小的不等式，太有用了。
多么漂亮的一 这样简单的线性函数，X--1 将一个对数形式
的函数转化为一个 什么用？
个式子！可以说，导数不等式证明中，见到自然对数，我第一
个想的就会是这个不等式，看
能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。

年的全国各地高考题，看看07--10不信的话大家去看 这也
是一种很重要而且经典的缩放！
有多少省用到了这个不等式的！
而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法，
就是用了这个不等式！
再次强调：压轴题中，见到对数函数式的不等式证明，第一
个要想的是这个不等式！

.
再举几个例子：
一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则
三内角所成等差数列的公 1.
__ 差等于
解：
也挺麻烦 有点难度 这个题真算的话
完全可以秒杀 但考试的时候
答案就出来了 直接特殊化为等边三角形
随你加强 条件随你加， 只要不违背题意 满足， 等边三角形
满足题意么？
0 所以公差为

几秒钟一道很难的题 这就是秒杀的目的所在
这个题条件很强，既有角的限制又有边的限制，就说明答案
唯一
可是，那是考试现场时的秒杀。
对一道能秒杀的题，不仅要秒杀，还要真正做出来才算
详解：

A<=B<=C 假设
=ac 平方A+C=2B b
COS(A-C)=1 用正弦定理得出

.
。ABC也可用余弦定理求出


再说秒杀和压轴题 第六章


2




以下为视频讲解内容：
其实特殊值也是特殊化的一（有些人理解的特殊值，最常用的
一般是特殊性秒杀也分几类：
种罢了，还有其实技巧不在这里，而在于这个特殊值你如何取，
取得好，那叫艺术，取得不
嗯！）.......好
则下列x,y,z,项和分别是3n项和，前2n项和，前n是任意等
比数列，它的前A[N]第一题：
等式恒成立的是
1.X+Y=2Y 2.Y(Y-X)=Z(Z-X)
=XZ 4.Y(Y-X)=X(Z-X) 平方3.Y
是任意等比数列的等等A[N]如何秒杀呢，很明显，取特殊值，
如何取呢？以前说过，见到
或者说见到任意两字的，往往就是我们发挥的地方。

.
这样题目变成什么了呢？，N=1我们这里再令还不止，很特
殊了吧，呵呵，，A[N]=1我们令
是任意等比数列，它的前A[N]已知我翻译一下：则下z,项和
是3前，Y项和2前，x项和1
? 列等式恒成立的是
呢？4，1了，那么2,3你猜，呵呵，这样直接可以排除
，这样符合题意吧？A[3]=4，A[2]=2，A[1]=1我们假设
4 任然正确，答案是4不正确，1很明显

是 点中， 在如图，第二题：， ， 若， 于不同的两点 ， 的
直线分别交直线 过点的中点，
． 的值为 则
+向量如何秒杀呢，其实就只说向量，也有两三钟秒杀的方法，
我觉得好用的就是特殊化 坐
标化！！
呵呵，就是把三角形特殊化为等腰直角三角形，这意思也是
任意三角形吧，
---，根据上面的两个公式，可以求出，大家记得吗 ， 的直线，
若MN按照题意，我们画出
是直线的截距式（不记得的都面壁去吧，这可是基础）
过MN，我们还有个条件没有用，直线MX+NY=1的直线方
程为MN根据截距式我们得出

.
BC中点，明显M+N=2 对吧，带入得,）12,12中点为（
年江西的一道高考题，常规方法要比这个麻烦的多，而且可能
大部分同学还不会07这个是
就是最基本的加减运算啦！！—做，而换成秒杀的
其实秒杀呢，每张卷子都能用到的是那种集合，求范围等等
的题目，就不举例子了！！
还有就是三角函数，解析几何（这个主要是取特殊位置的直
线），至于三角函数，也分好多
种吧，比如，题目让你求一个三角函数表达式的值，而且是
道选择题。

无AB等等的算式吧，然后选择项里面都是常数，也就是和
tanA*tanB+conA *sinB比如哦：
值，就可AB取什么，结果都一样，这时候，我们就可以随便
给AB关，那么很明显，不管
以得出最后结果，这样的题我见过不少！！
比如函数或者用到复指数等，难一点的应该算是变换，上面说
的都是一些简单但很常用的，
旋转等等，就可以利用复向量的旋转特性去解决，哦，对了，
还有一种很常用的，我随便出
题：

.
3




的取值范围X+Y，求=1平方+Y平方X
平方+Y平方X常规的方法肯定是画图等等，或者消元了呗，
但我们可以用三角函数去做，
X=COSA,Y=SINA,，令=1，是吧？一眼就看2的范围，明显
是正负根conA+sinA 也就是求
出来了，当然，一般题目不会这么简单，比如：
取值范围，，这时候画图就不好使了哦，因为不是园，但三角
X,Y，求=1平方+4Y平方3X
3X函数依然可以，我们令平方，然后是不是和上面一样了
=sinA平方4Y平方，=conA平方
呢！！
好了秒杀就这样吧！

压轴题
下面这道是我高考的压轴题，是道椭圆的题，不算难。
大家应该知道，数列的也想整一道解析几何两者之间选一道，
压轴题一般会在数列不等式，
例题，可时间有限，就算了。
年的山东理科数学压轴题：09下面是

.

第一问：送分
时就笑了，高考题考来考去也就是这些基本 ，呵呵，我还记
得在考场上，我看到 第二问：
的不变的东西。
这个代表什么呢？这个是题眼，其实我们都很清楚。
（向量点乘），其实看到这里，后面的不用想也能再脑中出来
一推东西，我大概OA*OB=0
说下：

X1X2+Y1Y2=0 ，所以OA*OB=0首先
为：AB明显韦达定理要用了，然后要连立直线了，比如设直
线
不存K，就是”分类“（设出来这个直线的时候，脑子里面应
该本能的想到一个词Y=KX+M
在的情况，一定要分类，给大家说，只要能分类的，一定要分
类，因为每一个分类就有一定
的分，我们的目的就是拿分！！）
的一个等式，（有一个式子，那肯定能根据题目其它的一个条
件得出M和K然后可以得出
另外一个式子，这两个式子联立，一般就可以做出来了）
后出来的一推东西，后面的还没看呢，继续看，呵呵

.
OA*OB=0哦，这个说明下，这是看到
出来了，切线，我们都知道，根据切线，肯定能得出一个等
式，这样题目思路就清晰了！
难在你是不是明白其实这道题难得不是这些，大家是不是都能
熟练的背下来呢，上面这些，
题意。
那就是直线和曲线联立！！----还有对圆锥曲线问题，大家心
里一定一定要坚定一个信念
这句话很重要，只有你能找到直线和曲线联立（一定要找对哦，
比如说这道题，你总不能
去联立，那么后面的一直到韦达定理，一般就可AB和椭圆联
立吧？！只有你能想到用OA
联立，可是到了高考那样的氛围，你还能像平AB分了。大家
可能会想，谁都知道用8以得
时一样大脑清醒吗？而且万一不是一条直线呢等等的情况，
你真不一定找到）


4





的取值范围，若不存在说明理由|AB |题目还要：并求

.
又有K，而K 的关系，所以玄长公式里面只有一个M 和K玄
长公式，对吧，因为知道了
不存在的情况，K一定的范围，所以再结合不等式的知识，可
以求出范围，当然还要考虑
不然又要扣分！

其实就是一定要有思路。想告诉大家的：啰嗦了这么多，
OA*OB=0思路哪里来的？是不是从
然后在实际做得出一个总体框架，思路就是一个题眼，这里展
开一系列的想法呢？可以说，
题中把各个细节填满，问题在于，你如何知道哪里是题眼？
就是知道，你如何正确处理？

我都会把这道题想的我记得我高二高三的时候，每做一道很典
型的题，嗯，问到点子上了，
很透很透，然后，闲暇时，脑子里想的就是最近做过的和新学
得知识，时间上了，基本上见
些东西，就能本能的搜索到相应的应对方法。

高考题是会变的，而且数学又是一门很灵活的东西，随便一点
变化，都可以大家可能会问，
出来很多很多的题目。其实高考是在变，而且变的很灵活。

.
但是高考中更多的是不变，所谓不变就是知识点不变，考点不
变（相对来说吧），以及更重
要的是难题的入手点不变！！或者就是说题眼不变，最多就
是变个说法！！
OA*OB=0就拿来说，可以衍生出很多不同的说法，比如中点，
角分线等等，还有比如向量
向量，这个也是大题中常见的。AF=3FB
这样的如何出处理？，带入坐标，会得到两个式子，这两个式
子中的一个比较简单比如：
的，如何用，任何时候，都只用其中一个，你如果两个都用，
那Y ，还有一个关于X2=3X1
... 你就
，这个对吧，因为这个简单。X2=3X1用哪个呢？很显然啊，
用
就可只要对这个式子做几次变化，然后再如何做呢？这个可以
用韦达定理了吗？其实可以，
以用韦达定理了，从而又要联立直线。
，然后带入X2，X1或者你可以联立后，解除 ，一样可以得
到一个等式。X2=3X1
我上面说的这些，都是需要你平时不断的积累！
，要做的是什么？是像圆锥曲线，数列不等式，立体几何等--
--我之前说过，重复的做试卷

.
等的很复杂的解答题。。。。

那时候我在干嘛？我基本上所有题的思路都立马出来了，一张
卷子看过去，我高三的时候，
就是为了训练自己的卷面，速度和正确率。....就做圆锥计算


5




不知道大家有什么收获，其实每一个题目（就算是最难的数列，
圆锥曲线等），都是有着明
显的切入点的，所谓切入点，我觉得就是命题人和考生之间
的一种约定。
一定要把这个切入点（暗示）抓出来！！
..... 如何一眼就看出来呢？这要靠平时积累，很累，但收获很
大
等等，一看就是余弦定理B+C=BC ，或者B+C=6比如

做题积累吧！！.....还有很多很多



6

.



——)一(高考综合题系列之”秒杀“
点差法在解析几何综合题中的应用
从强 优能中学
一般多浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综
合题，到高三的同学都知道，
）理科数学在此章节一1是椭圆和抛物线，按照命题的规律和
趋势，我们发现以下两点：（
）考察的题型一般是直线与解析几何的位置关2般考察椭圆，
文科数学一般考察抛物线；（
系。诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。
这个位置关系的题型的解析几何图形与直线相切在解决上过从
老师高考班的同学应该记得，
这六个字可以帮助大家快速提升做题速度。如果大家要用判别
式、”抄一个，代一个“时候，
分钟的计算量还不一定能保证5~10分钟不说，5~10耗费位
置关系等通法解决此类问题时，
直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线，一旦看到”抄一个，代一
个“结果正确。但诸位如果知道
10时，应做到能在等相切问题 的方程。切线秒钟以内准确地
写出

.
在相交的另外一种更常考的位置是相交。直线与上面图形的位
置关系除了相切以外，当然，
“等关键词时，应立即想到”面积“或者”弦长“题型中，一
旦看到设直线、代曲线、根与系数
（弦长公式）。相信大家对这种题型应该有较深的体会了。”
搞定一切
是椭圆AB（即B”、A直线与椭圆交于两点“今天我在这里
要跟大家探讨的是：题目中出现
M”中点“AB内的一条弦）、，通过”设而不求“精髓在于”
点差法“等关键词时的解题方法。
要求大家记住。重要的结论点差法有个








交任意一条直线，设椭圆方程为

.
椭圆于 两点，则，




，移向整理后得到：两式相减得到






中点）AB为M（即：


7






. ，结论为轴上的椭圆y同样的道理，对于长轴在
所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积
AB椭圆内任意弦也就是说：




。为一个常数
有一条切线P两点离的非常近时，可以将这个结论看做：过

.
椭圆上某点B、A当【再拓展】






，则
题21年浙江高考第2009请看








的焦点且垂直长轴的弦长，过的右顶点为：已知椭圆




．为

.
处的在点上，：在抛物线）设点II的方程；（）求椭圆I（










的中点的横坐标相等时，求交于点的中点与．当线段切线与
的最小值．




设出直线给我们的解题过程，”标准答案“也许很多同学都看
过所谓
这也是很多参考书上给出的参考解题思的取值范围。h经过两
次判别式来确定方程后代入，
多分钟。7~10路。不过按照此种通法解题思路，计算量和
整理的工作至少需要




第一问很简单，结果为：

.
就应 立即想到：等关键词，”中点“、”弦“在第二问中一旦
看到，”点差法“按照我们上面讲到的




T（ 中点）MN为


8






纵坐标为P，则点横坐标为P处的切线斜率，设点P的斜率
即是点MN首先想到





根据导函数可得：




中点横坐标，PA的横坐标即T中点MN

.
，切线直线方程P很容易直接就得到过点的技巧，”代一个
抄一个，“根据







所以 的值代入直线方程，得：将






，显然这是一个基本不 ，整理，得：于是




或者等式，非常容易就得到




，此时的抛物线内部包含了椭圆，切线与椭圆没有交点，排
除掉；很显然，对于

.
。1的最小值为。所以
弦“注意题目中出现的【总结一下】等关键词，利用点差法推
导出来的这个结论，”中点“、”
而且可以大大数学解题，”需要什么就写什么“很顺畅地进行
不仅可以提供解决题目的思路，
减少运算量，提高速度和正确率。
对于抛物线，利用点差法也可以有类似的结论，由于篇幅关
系，不再赘述。
比较一下两种再用上面的小结论分析解决一次。利用常规方法
解决下面问题，【课外练习】
方法所需的时间。






）与过点0＞b＞a（1＝如图，椭圆】I【练习






I。（e=，且椭圆的离心率T的直线有且只有一个公共点）求
椭圆方程；

.



。TAF∠ATM=∠求证：的中点，AF为线段M右焦点，分别
为椭圆的左、F、F设）II（


9




的时间，我们可以将这个结论5-10【解答提示】如果利用常
规解法，第一问需要




进而直线的斜率，OT利用该结论很快得到扩充到直线与椭圆
相切的模型，
的坐标，问题得解。在第一小问解决后，根据相似或者余弦定
理都可得证第二小T得到点
问。

.


分别为椭圆，，椭圆，直线已知】II【练习




. 的左、右焦点






的方程；时，求直线过右焦点（Ⅰ）当直线










若原点.的重心分别为，两点，交于与椭圆（Ⅱ）设直线

.


的取值范围。为直径的圆内，求实数在以线段




这个词，我会跟”圆内“，同时，注意在”中点“【解答提示】
重心是三角形中线的交点，出现
这个词，有两个角度可以考虑：第一，圆心到该点的距离小于
半径，”圆内“同学强调，看到
这个方法比较繁琐；第二，说明该点和直径两端点所成的夹这
个思路最直观，但在此题中，
即可。0，可考虑使用向量，向量点积小于90°角大于




A,B已知第二次联考）2008湖北省八校高（】III【练习）
P>0（是抛物线








。满足,为坐标原点，非零向量上的两个动点，

.



经过一定点；（Ⅰ）求证：直线








的值。时，求的距离的最小值为的中点到直线（Ⅱ）当






【解答提示】从老师强调，看到，则立即想，立即想到




通过一个定点AB直线——到老师讲的一个结论；第一问的
证明即证出。第二问出
，即可考虑点差法。”中点“现

.



:为椭圆已知届高三第一次适用性测试）2010（温州市】IV
【练习






为正三角形，为椭圆的一个焦点，短轴的两个端点，


10










处的切线与椭P在点上，:在抛物线P）设点II（ 的方程；）
求椭圆I（

.


、

的直线方程。AC的中点，求AC是线段P两点，若点CA交
于圆
不是问题；第一问对一般学生来说，【解答提示】”弦“在第
二问中又出现可求出椭圆的方程。
，想想老师讲的结论。”中点“）、AC（其实就是线段
）嘉兴市高三教学测试2010】（V【练习





金华十校）2010】（VI【练习




已知抛物线





的纵坐标为M，证明：点的任意两条互相垂直的切线，并设
C是）设1（

1

定值；

.
的中垂AB，且B、A相交于两点C处切线与P在点C，使得
P上是否存在点C）在2（

211

的坐标；若不存在，说明理由。P的切线？若存在，求出点
C线恰为

1




11