高一数学压轴题选析

高一上学期数学压轴题解析
1
1. 设函数
y?log
2
(ax
2
?2x?2)
定义域为
A
．
（1）若
A?R
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
l og
2
(ax
2
?2x?2)?2
在
x?[1,2]
上恒成立，求实数
a
的取值范围．
解：（1）因为
A?R
，所以
ax
2
?2x?2?0
在
x?R
上恒成立.
① 当
a?0
时，由
?2x?2?0
，得
x?1
，不成立，舍去，
?
a?0
1
② 当
a?0
时，由
?
，得
a?
，
2
?
?
x
?4?8a?0
综上所述，实数
a
的取值范围是
a?
1
.
22x?211
?2(?)
在
x?[1,2]
上恒成
x
2
xx
2
11
1
立， 令
t?
，则由
x?[1,2]
，得
t?[,1]
， 记g(t)?t
2
?t
，由于
g(t)?t
2
?t
在
t?[,1]
上单调递增，
22
x
（2）依题有
ax
2
?2x?2?4
在
x?[1,2]
上恒成立， 所以
a?
所以
g(t)?g(1)?2
， 因此
a?4
。
2. 若函数
f(x)为定义域
D
上单调函数，且存在区间
[a,b]?D
（其中
a? b
），使得当
x?[a,b]
时，
f(x)
的取值范围恰为
[a,b]
，则称函数
f(x)
是
D
上的正函数，区间
[a ,b]
叫做等域区间.
（1）已知
f(x)?x
是
[0,??)
上的正函数，求
f(x)
的等域区间；
（2）试探究是否存在实数
m
，使得函数
g(x)?x
2
?m
是
(??,0)
上的正函数？若存在，请求出实
数
m
的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为
f(x)?x
是
[0,??)
上的正函数，且
f( x)?x
在
[0,??)
上单调递增， 所
?
?
f(a)?a,
?
a?a,
以当
x?[a,b]
时，
? 即
?
， 解锝
a?0,b?1
，故
f(x)
的等域区间为
[0,1]
。
f(b)?b,
?
?
?
b?b,
1
2
?
g(a)?b,
(??,0)x?[a,b]
（2）因为函数
g(x)?x ?m
是上的减函数， 所以当时，
?

g(b)?a,
?2
?
a
2
?m?b,
)1
，即
?
2< br> 两式相减得
a
2
?b
2
?b?a
，即
b??(a?
代入
a
2
?m?b
得
a
2?a?m?1?0
，
?
b?m?a,
1
由
a?b? 0
，且
b??(a?1)
得
?1?a??
，
2
1
故关于
a
的方程
a
2
?a?m?1 ?0
在区间
(?1,?)
内有实数解，
2

1

高一上学期数学压轴题解析
2
?
h(?1)?0,
3
?
m?(?1,?)
. 记
h(a)?a
2
?a?m?1
，则
?
解锝
1
4
h(?)?0,
?
?2
3. 已知函数
f (x)?2x
2
?(x?a)|x?a|
，
a?R
.
（1）若
f(0)?1
，求实数
a
的取值范围； （2）求
f(x)
的最小值．
?
a?0
解：（1）若
f( 0)?1
，则
?a|a|?1
故
?
2
，得
a??1
。
?
a?1
2
,?0
?
a2a?,0
?
f(a)a
??
（2）当
x?a
时，
f(x)?3x?2ax?a,

f(x)?
?
a
?
?
2a
2

m in
f(),a?0
,a?0
??
?
3
?
3
，
22
当
x?a
时，
f(x)?x?2a x?a,
f(x)
min
22
2
?
f(?a),a?0?
?
?2a,a?0
?
?
?
?
2
。

?
2a,a?0
?
f(a),a?0
?
综上
f(x)
min
?
?2a
2
,a?0
?
?
?
2a
2
,a?0
?
?
3
。
4.已知函数
f(x)?log
a
(x?1)
，
g(x)? log
a
(4?2x)
（
a?0
，且
a?1
）．< br>（1）求函数
f(x)?g(x)
的定义域；
（2）求使函数
f(x)?g(x)
的值为正数的
x
的取值范围．
解：（1）由题意可知，
f(x)?g(x)
?log
a
(x?1) ?log
a
(4?2x)
，

?
x?1?0
由
?
，∴函数
f(x)?g(x)
的定义域是
(?1,2)
。
?
4?2x?0
（2）由
f(x)?g(x)?0
，得
f( x)?g(x)
，即
log
a
(x?1)?log
a
(4? 2x)(1)
。当
a?1
时由
(1)
可得
x?1?4?2x
，解得
x?1
。又
?1?x?2
，所以
1?x?2
;
当
0?a?1
时，由
(1)
可得
x?1?4?2x，解得
x?1
。又
?1?x?2
，所以
?1?x?1
; 综上所述：当
a?1
时，
x
的取值范围是（1,2）；当
0?a?1
时，
x
的取值范围是（-1,1）.
5.二次函数
f(x)
的图像顶点为
A(1,16)
，且图像在
x
轴上截得线段长为8，（1）求 函数
f(x)
的解
析式；（2）令
g(x)?(2?2a)x?f(x)，若
g(x)
在区间
?
0,2
?
上的最大值是5，求实 数
a
的值.
解：（1）由题意知，设
f(x)?m(x?1)
2
?16
，
∵图像在
x
轴上截得线段长为8， ∴图像与
x
轴的交点为
(?3,0)
和
(5,0)

代入解得，
m??1
， ∴
f(x)??x
2
?2x?15

（2）由上知，
g( x)?(2?2a)x?(?x
2
?2x?15)
，即：
g(x)?x
2
?2ax?15

其图象的对称轴为
x?a
，分以下三种情形：

2

高一上学期数学压轴题解析
3
⑴ 当a?0
时，函数
g(x)
在区间
?
0,2
?
上 是增函数，∴
g(2)?4?4a?15?5
解得
a??4.

⑵ 当
0?a?2
时，由于
g(0)??15
，∴ 只有
g(2)?4?4a?15?5
，不合舍去。
a??4.
⑶ 当< br>a?2
时，函数
g(x)
在区间
?
0,2
?
上是减函数，而
g(0)??15
，不合题意舍去. 综上所述，
6.设函数f(x)＝x
2
－2tx＋2，其中t∈R．
(1)若t＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；
(2)若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．
(3)若对任意的x
1
，x
2
∈[0，4]，都有|f(x
1)－f(x
2
)|≤8，求t的取值范围．
解： 因为f(x)＝x
2
－2tx＋2＝(x－t)
2
＋2－t
2
，所以f(x)在区间( －∞，t]上单调减，
在区间[t，∞)上单调增，且对任意的x∈R，都有f(t＋x)＝f(t－x)，
(1)若t＝1，则f(x)＝(x－1)
2
＋1．
①当x∈[0，1]时．f(x)单调减，从而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f(x)单调增，从而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范围为[1，10]；
所以f(x)在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．
(2)“对任意的x∈ [a，a＋2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a，a＋2]上，[f(x)]
max
≤5”．
若t＝1，则f(x)＝(x－1)
2
＋1，所以，f(x)在区间(－∞ ，1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增．
当1≤a＋1，即a≥0时，由[f(x)]
max
＝f(a＋2)＝(a＋1)
2
＋1≤5，得－3≤a≤1，从而 0≤a≤1．
当1＞a＋1，即a＜0时，由[f(x)]
max
＝f(a)＝(a －1)
2
＋1≤5，得－1≤a≤3，从而 －1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[－1，1]．
(3)设函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x< br>1
，x
2
∈[0，4]，都有|f(x
1
)－f(x
2
)|≤8”等价于“M－m≤8”．
①当t≤0时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(0)＝2．
由M－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1． 从而 t∈?．
②当0＜t≤2时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(t)＝2－t
2
．
由M－m＝18－8t－(2－t
2
)＝t
2
－8t＋16＝(t－4)< br>2
≤8，得4－22≤t≤4＋22．从而 4－22≤t
≤2．
③当2＜t≤4时，M＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t
2
．
由M－ m＝2－(2－t
2
)＝t
2
≤8，得－22≤t≤22．从而 2＜t≤22．
④当t＞4时，M＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．
由M－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．从而 t∈?．
综上，a的取值范围为区间[4－22，22]．

7.某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元辆，出厂价为10万元辆，年销售

3

高一上学期数学压轴题解析
4
量为12万辆.本年度 为节能减排，对产品进行升级换代.若每辆车投入成本增加的比例为
1
x(0?x≤)
2
，则出厂价相应提高的比例为
0.75x
, 同时预计年销售量增加的比例为
0.5x
.
（1）写出本年度预计的年利润
y
与投入成本增加的比例
x
解：（1）由题可知,本年度每辆车的利润为
10 (1?0.75x)?8(1?x)

本年度的销售量是
12(1?0.5x)
,故年利润
?
1
?
??3x
2
?6x?24,x?
?
0,
?
y?1 2(1?0.5x)
?
10(1?0.75x)?8(1?x)
?
?
2
?
.

（2）当投入成本增加的比例
x
为何值时，本 年度比上年度利润增加最多？最多为多少？
22
f(x)
f(x)?(?3x?6x +24)?24??3(x?1)?3
， 因为（2）设本年度比上年度利润增加为，则
?1
?
x?
?
0,
?
?
2
?
，
1
?
1
?
9
0,
x?
?
?
2
时，函数
y?f(x)
有最大值为
4
. 在区间
?2
?
上
f(x)
为增函数，所以当
x?
1
2< br>时，本年度比上年度利润增加最多，最多为
2.25
亿元 . 故当
8.已知函数
f(x)?x?a,g(x)?ax,(a?R)
．

（1）若函数
y?f(x)
是偶函数，求出的实数
a
的值；
（2）若方程
f(x)?g(x)
有两解，求出实数
a
的取值范围；
（3）若
a?0
，记
F(x)?g(x)?f(x)
，试求函数y?F(x)
在区间
?
1,2
?
上的最大值.
解：（ 1）因为函数
f(x)?x?a
为偶函数，所以
f(?x)?f(x)
， < br>即
?x?a?x?a
，所以
x?a?x?a
或
x?a?a?x
恒成立，故
a?0
．
（2）方法一：
222
当
a?0
时，
x?a?ax?0
有两解，等价于方程
(x?a)?ax?0< br>在
(0,??)
上有两解，
222222
(0,??)
(a ?1)x?2ax?a?0h(x)?(a?1)x?2ax?a
即在上有两解， 令，
2< br>?
?
a?1?0,
?
2
??4a
2
?4a< br>2
(a
2
?1)?0,
0?a?1
h(0)??a?0
?
?
因为，所以故； 同理，当
a?0
时，得到
?1?a?0
；

4

高一上学期数学压轴题解析
5
当
a?0
时，不合 题意，舍去．综上可知实数
a
的取值范围是
(?1,0)(0,1)
。
方法二：
x?a?ax
有两解，
x?
aa
x?
1?a
，和
1?a
， 即
x?a?ax
和
a?x?ax
各有一解分别为
aaaa
?0?0?0 ?0
a?0a?0
0?a?1
1?a1?a1?a1?a
若，则且，即； 若，则且，即
?1?a?0
；
若
a?0
时，不合题意，舍去．
综上可知实数
a
的取值范围是
(?1,0)(0,1)
． 方法三：可用图象，视叙述的完整性酌情给分．
x?
a
?
1
??
?
0,
?
2
?
2
?
，函
2
（3）令
F(x)?f(x)?g(x)
①当
0?a≤1
时，则F(x)?a(x?ax)
，对称轴
数在
?
1,2
?
上 是增函数，所以此时函数
y?F(x)
的最大值为
4a?2a
．
2
?
?a(x
2
?ax),1?x≤a
a
?
1
?
F(x)?
?
x??
?
,1
?
2
2< br>?
2
?
，
?
a(x?ax),a?x≤2
，对称轴 ②当
1?a≤2
时，
22
1,a
?
a,2
?
y?F(x)
?
F(1)?a?aF(2)?4a?2a
?
所以函数在上是 减函数，在上是增函数， ，，
1)若
F(1)?F(2)
，即
1?a?< br>5
2
3
，此时函数
y?F(x)
的最大值为
4a?2 a
；
5
≤a≤2
2
F(1)≥F(2)
3
2)若 ，即，此时函数
y?F(x)
的最大值为
a?a
．
aa
3
a
F(x)
max
?F()?
x??
?
1,2?
2
F(x)??a(x?ax)
2?a≤4
24
，
2
③当时，对称轴，此时
a
x??
?
2,??
?
2
2
④当
a?4
时，对称轴，此时
F(x)
max
? F(2)?2a?4a

综上可知，函数
y?F(x)
在区间
?1,2
?
上的最大值
9.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研 究后，发现一天中综合污染指数
时间x(小时)的关系为
将每天中
1
?
1
f(x)
＝｜
sinx??a
｜＋2a，
x?[0,24]，其中
2323
f(x)
与
a为与气象有关的参数，且
a?[< br>1
,
3
]
．若
34
f(x)
的最大值作为当 天的综合污染指数，并记作M(a) ．

5

高一上学期数学压轴题解析
232
6
(Ⅰ)令t＝
1
sin
?
x
，
x?[0,24]
，求t的取值范围；
(Ⅱ) 求函数M(a)的解析式；
(Ⅲ) 为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的 综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的
综合污染指数是否超标？
解：(Ⅰ)：因为x?[0,24]
，所以
?
x
?[0,
3
?
]
，所以
sin(
?
x
)?[0,1]
，故
t?[0 ,
1
]
．
324322
(Ⅱ)因为
a?[
1,
3
]
,所以
0≤a－
1
≤
5
＜1
，
343122
11
?
?t?3a?,t?[0,a?]?
1
?
33
．．
f(t)?t?(a?)?2a?
?
3
?
t?a?
1
,t?[a?
1
,
1]
?
332
?
当
t?[0,a?
1
]
时，
f(t)
max
?
3
26
f(0)?3a?
1
；当
t?[a?
1
,
1
]
，
f(t)max
?f(
1
)?
5
?a
．
33226< br>2
1573
f()??a
;当
＜a≤
26124
而< br>f(0)?f(
1
)?2a?
7
，当
1
≤a≤
7
，
f(0)≤f(
1
)
，
M(a)?
312< br>，
f(0)?
1
f()
，
2
17
?
5
?a,a?[,],
?
1
?
6312
M(a)?f(0) ?3a?
．所以
M(a)?
?
，
3
?
3a?1
,a?(
7
,
3
]
?
3124
?< br>(Ⅲ)由(Ⅱ)知
M(a)
的最大值为
23
，它小于2，所以目前市中 心的综合污染指数没有超标．
12
10.已知函数
f(x)
＝x
2
－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．
(Ⅰ)若y＝f(x)在[－1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当a＝0时 ，若对任意的x
1
∈[1，4]，总存在x
2
∈[1，4]，使f(x
1
)＝g(x
2
)成立，求实数m的取
值范围；
(Ⅲ)若函数y ＝f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7－2t？若
存在 ，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q－p）．
解：(Ⅰ)：因为函 数
f(x)
＝x
2
－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，所以
f(x)
在区间[－1，1]上是减函数，
f(1)≤0a≤0
即
?
，解得
－8≤a≤0
，
?
?
f(?1)≥0
?
a?8≥0
因为函数在区间[－1，1]上存 在零点，则必有：
?
?
故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．
(Ⅱ) 若对任意的x
1
∈[1，4]，总存在x
2
∈[1，4]，使f(x
1
)＝g(x
2
)成立，只需函数y＝f(x)的值域
为函数y＝g(x)的 值域的子集．
f(x)
＝x
2
－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1 ，3]，下求g(x)＝mx＋5－2m的值域．
①当m＝0时，g(x)＝5－2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g(x)的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3]
?
[5－m，5＋2m]，
需
?
?

5-m≤-1
，解得
5?2m≥3
?
m≥6；
6

高一上学期数学压轴题解析
7
③当m＜0时，g(x)的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3]
?
[5＋2m，5－m]，
需
?
?
5?2m≤-1
，解得
5 -m≥3
?
m≤－3；
综上，m的取值范围为
(??,?3]?[6,??)
．
(Ⅲ)由题意知< br>?
?
t?4
，可得
t?
7
2
?
7? 2t?0
．
①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，
所以f(t)－f(2)＝7－2 t即t
2
－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去）；
②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，
所以f(4)－f(2)＝7－2 t即4＝7－2t，解得t＝
3
；
2
③当2＜t＜
7
时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，
2
所以f(4)－f(t)＝7－2t即t
2
－6t＋7＝0，解得t＝3?
综上所述，存在常数t满足题意，t＝－1或
3
．
2
2
（舍去）



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