高一数学期末压轴题(包含全国各重点中学模拟题)

1、若
4a
2
?4a?1?
3
(1?2a)
3
，则实数
a
的取值范围是（ ）
A
a?
11
11
B
a?
C
??a?
D
R

2222

10、已知A?{x?2?x?5}，B?{xm?1?x?2m?1}，
B?A
,则
m
的取值范围
为（ ）
A
?
??,3
?
B
[1
，

3]
C
[2
，
3]
D
[
3
，??）
2

14、设集合A={
a
2
，
a
＋1，-1}，B={2
a
－1，| a－2 |， 3
a
2
＋4}，A∩B={-1}，
则实数
a
的值是 ；

15、已知
f(x)?x
2
?2ax?2
，当x∈[ -1,+∞)时，f(x)≥a恒成立，则实数a的
取值范围
是 。.

0?x?c
?
cx?1,
9
2
19、（本小题满 分10分）已知函数
f(x)?
?
4c
满足；
f(c)?
2c
8
3x?x,c?x?1
?
（1）求常数
c
的值； （2）解不等式
f(x)?2
．

20、（本小题满分10分）
已知定义在区间
(?1,1)
上的函数
f(x)?
(1) 求实数
a
,
b
的值；
(2) 用定义证明:函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数；
(3) 解关于
t
的不等式
f(t?1)?f(t)?0
.



? 9.B 10.A 14、
a
＝０；15、[-3，1]




ax?b12
为奇函数,且.
f()?
1?x
2
25

1

19 、解：（1）因为
0?c?1
，所以
c
2
?c
； 由
f(c
2
)?
991
，即
c
3
?1?
，
c?

882
?11
??
x?1，??x?
??
?
22
???
（2）由（1）得
f(x)?
?

?
??
?
3x
2
?x，≤x?1
??
?< br>?
?
?
?
11
由
f(x)?2
得，当
0?x?
时，解得
0?x?
，
22
112
当
≤x?1
时，
3x
2
?x?2?0
解得
≤x?
， 所以
f(x)?2
的解集为
223
?2?
x0?x?
??< br>．
3
??

a
?b
ax?b
12
2
20、解：(1)由
f(x)?
为奇函数,且
f()??
1? x
2
2
1?(
1
)
2
5
2
a??b
x
112
2
则
f(?)?

??f() ??
，解得：
a?1,b?0
。
?
f(x)?
2
1
1?x
2
1?(?)
2
25
2
(2)证明：在区间
(?1,1)
上任取
x
1
,x
2
，令
?1 ?x
1
?x
2
?1
,
x
1
x
2
x
1
(1?x
2
2
)?x
2
(1?x1
2
)
(x
1
?x
2
)(1?x
1< br>x
2
)
?

f(x
1
)?f(x
2
)???
22
2222
(1?x
1
)(1?x
2< br>)
1?x
1
1?x
2
(1?x
1
)(1?x
2
)

?1?x
1
?x
2
?1

?

x
1
?x
2
?0
,
1?x
1
x
2
?0
,
(1?x
1
2
)?0
,
(1?x
2
2
)?0

?
f(x
1
)?f(x
2
)?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)

故函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数.
(3)
f(t?1)?f(t)?0

?

f(t)??f(t?1)?f(1?t)

?
t?1?t
1
?
函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
?

?
?1?t?1

?
0?t?

2
??1?1?t?1
?
1
故关于
t
的不等式的解集为
(0 ,)
.
2





2

（黄冈实验中学）
17、若
(a?1)?(3?2a)
，试求
a
的取值范围.
? 17. [-1,23)


（必修四难题1）
1
2
1
2
?
8
?
x?[0,)f()
2
时，
f(x)?3tanx?1
，
3
9．函数
f(x)
是周期为 π的偶函数，且当则
的值是（ ）.
A．
?4
B．
?2
C．
0
D．
2


10．给出下面的三个命题：
?
??
?
y?|sin
?
2x?
?
|
3
?
的最小 正周期是
2

?
①函数
3
?
?
y?sin
?
x?
2
?
②函数
??
3
?
?< br>,
?
?
?
在区间
?
2
?
?
?
上单调递增
5
?
?
5
?
y?sin2x??
x?
6
?
4
是函数③
?
?
?
的图象的一条对称轴。其中正确的命题个数
（ ）
A．0 B．1




C．2 D．3
?
?< br>33
?
?
?
xx
?
a?
?
cosx ,sinx
?
,b?
?
cos,?sin
?
22
?
22
?
,
??
21. 已知向量
?
?
?
?
?
?
?
x?
?
0,
?
,
f
?
x
?
?a?b?2
?
a?b
2
??
且,（
?
为常数）求
?
?
?
?
a?b
(1)
a?b
及;
(2)若
f
?
x
?
的最小值是


?
3
2
,求实数
?
的值.
3

?9.D 10.C
3x3x
a?b?cosx?cos?sin x?sin?cos2x
2222
21. 解：⑴ …………1分
|a?b| ?(cos
3x3x
x?cos)
2
?(sinx?sin)
22222

?2?2cos2x?2cos
2
x

?
x?[0,],?cosx?0,?|a?b|?2cosx
2
…………5分
22
?2(cosx?
?
)?1?2
?
f( x)?cos2x?4
?
cosx
⑵
?
?
x?[0,],?0?cosx?1.
2

?
①当
?
?0
时，当且仅当
cosx?0
时，
f(x)
取得最小值－1，这与已知矛盾；
2
②当
0?
?
?1时,当且仅 当cosx?
?
时，
f(x)
取得最小值
?1?2
?
，由已知得:
31
?1?2
?
2
??,解得
?
?
22
；
③当
?
?1时,当且仅当cosx?1
时，f(x)
取得最小值
1?4
?
，由已知得
1?4
???
3
2

解得
?
?
5
8
，这与
?
?1
相矛盾，
综上所述，
?
?
1
2
为所求. …………9分


（必修四难题2）
1?2cos(2x?)
4
． 17．(本题满分10分) 已知函数
f(x )?
?
sin(x?)
2
3
，求
f(
?
)
．
5
31
??
18．已知tan(α+β) = , tan(β－ )= ,那么tan(α+ )为
54
44
【 】
133
137
A． B． C． D．
1818
2323
（Ⅰ）求f(x)
的定义域；（Ⅱ）若角
?
是第四象限角，且
cos
?< br>?

4
?

19
【 】
sin50
0
(1?3tan10
0
)
的值为
A．
3
B．
2
C．
2
D．
1


20．
cos 20
0
cos40
0
cos80
0
的值为
____ _________________________
．

6sin
?< br>?cos
?
?
21．已知
tan
＝2，则
tan；的值为
?
的值为
_________
3sin
?
?2 cos
?
2
____________
．

22．(本题满分10分) 已知函数
y?sin
2
x?2sinxcosx ?3cos
2
x
，
x?R
，那么
（Ⅰ）函数的最小正周期是什么？（Ⅱ）函数在什么区间上是增函数？



?
?
?
?
b
=23．(本题满分10分)已知向量
a
=（cos
?
，sin
?
），（cos
?
，s in
?
），|
a?b
｜
＝
25
．
5
（Ⅰ）求cos（
?
－
?
）的值；
（Ⅱ）若０＜
?
＜


?
33xx
??
24．(本题满分10分)已知向量
a?(cosx,sinx),b?(cos,?s in),且x?[0,]
，
22222
求
?
?
?
?
（Ⅰ）
a?b及|a?b|
；
3
?
?
?
?
（Ⅱ）若
f(x)?a?b?2
?|a?b|
的最小值是
?
，求实数
?
的值．
2


?17．(本题满分10分)
5
??
，－ ＜
?
＜０，且sin
?
＝－，求sin
?
的值．
13
22
解：（Ⅰ）（4分）由
sin(x?)?0
，得
cosx? 0
，
2
所以f(x)的定
{x|x?k
?
?
?< br>义城为
?
2
,k?Z}
．-------------------- ------------4分

5

[另解：由
sin( x?)?0
，得
x??k
?
,k?Z

2
2
∴
x?k
?
?
?
?
?
2
,k?Z

所以f(x)的定义城为
{xx?k
?
?
?
2
,k?Z}
］
1?2(cos2xcos
（Ⅱ）（6分）
f(x)?
＝
1 ?cos2x?sin2x
---------------------------------- --------------------
cosx
1分
1?cos2
?
?sin2
?
2cos
2
?
?2cos
?
sin
?
??2(cos
?
?sin
?
)
．--- 2分 ∴
f(
?
)?
cos
?
cos
?
3 4
因为
?
是第四象限角，所以
sin
?
??1?cos2
?
?1?1?()
2
??
．----------2
55
?sin2xsin)
42

cosx

??
分
所以
3
．---------------------- ---------------------------
)
5
--------- ------1分
18．C 19．D
4
17
20． 21．
?
（2分）； （3分）。
86
3
f(
?
?
22解：（Ⅰ）（5分）
y?sin
2
x?2sinxcosx?3cos
2
x

＝
(sin
2
x?cos
2
x )?sin2x?2cos
2
x

＝1+
sin2x?(1?cos2x)

?
4
5
?
??
=< br>sin2x?cos2x?2
=
2sin
?
2x?
?
?2
,-----------4分
4
??
∴函数的最小正周期是π．-- ------------------------------------1分
（Ⅱ）由
2k
?
?
得
k
?
?
?
2
?2x?
?
4
?2k
?
?
?
2
，
k?Z
----------------2分
3
??
?x?k
?
?
-------------------------------- --------2分
88
∴函数的增区间为：
3
??
??
k
?
?,k
?
?,k?Z
------------------ --------------1分
??
88
??

6

23．解：（Ⅰ）（5分）
a?
?
cos
?，sin
?
?
，b?
?
cos
?
，sin?
?
，
?a?b?
?
cos
?
?cos?
，sin
?
?sin
?
?
． ------------------1分
a?b?
25
，
5< br>22
?
?
cos
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
?
25
．------------------2分
5
即
2?2cos
?
?
?
?
?
?
4
． -------------------------1分
5
3
------------------------------------------1分
? cos
?
?
?
?
?
?
．
5
（Ⅱ） （5分）∵
0?
?
?
?
2
,?
?
2
?
?
?0
， ∴
0?
?
?
?
??
.
---------------------1分
34
，∴
sin
?
?
?
?
?
?.

55
----------------------------------1分
512
∵
sin
?
??
，∴
cos
?
?.

1313
--------------- --------------------------------------1分
∵
cos
?
?
?
?
?
?
∴
s in
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
??
cos
?
?cos
?
?
?
?
?sin
?

?
4123
?
5
?
33< br>???
?
?
?
?
．------------------- ----------------------
5135
?
13
?
65
------------------2分

24．(本题满分10分)
3x3x
解：（Ⅰ）（5分）
a
·b=
cosx?cos?si nx?sin?cos2x,
------------2分
2222
3x3x
|
a
+b|=
(cosx?cos)< br>2
?(sinx?sin)
2
?2?2cos2x?2cos
2
x
-----2分
2222
∵
x?[0,]
， ∴
cosx?0,

2
∴|

a
+b|=2c os
x
.-------------------------------------- --------------------
-------------1分
（Ⅱ）（5分）
f(x)?cos2x?4
?
cosx,



7
?

即
f(x)?2(cosx?< br>?
)
2
?1?2
?
2
.
--------- ------------------------2分
∵
x?[0,]
， ∴
0?cosx?1.

2
1
?
、
当
?< br>?0
时，当且仅当
cosx?0时,f(x)
取得最小值－1，这与已知矛盾．
1
??
、
当0?
?
?1
时，当且仅当
co sx?
?
时,f(x)
取最小值
?1?2
?
2
.< br>
?
31
由已知得
?1?2
?
2
??
，解得
?
?.

22
1
???
、
当?
?1
时，当且仅当
cosx?1时,f(x)
取得最小值
1? 4
?
,

35
由已知得
1?4
?
??，解得
?
?
，这与
?
?1
相矛盾．
281
综上所述，为
?
?
2
求．---------------- ---------------------------------------3分



（鄂州二中）
??
22
所
12．已知函数
f
(
x
)=
f
(??
x
),且当
x?(?,)
时，
f
(
x
)=
x
+sin
x
,设
a
=
f
(1),
b
=
f
(2),
c
=
f
(3),则（ ）
A.
a B.
b C.
c D.
c
14. 已知向量
OA
=
?
3 ,?4
?
,
OB
=
?
6,?3
?
,
OC
=
?
5?m,?
?
3?m
??
.
若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件 ；

16．已知最小正周期为2的函数
y?f(x),
当
x?[? 1,1]
时,
f(x)?x
2
,则函数
y?f(x)(x?R)
的图象与
y?log
5
x
的图象的交点个数为

21．（本题满分12分）
?
?
已知
a?(cos
?,sin
?
),b?(cos
?
,sin
?
)(0?< br>?
?
?
?
?
)
．
?
?
?
?
⑴求证：
a?b与a?b
互相垂直； < br>?
?
?
?
⑵若
ka?b与a?kb
大小相等，求?
?
?
（其中k为非零实数）．


8

22(本小题满分14分)
x
?
x
已知
a?(1?cosx,2sin),b?(1?cosx,2cos)

22
1??
2
(Ⅰ)若
f(x)?2?sinx?|a?b|,
求
f( x)
的表达式；
4
?
（Ⅱ）若函数
f
(
x)和函数
g
(
x
)的图象关于原点对称，求函数
g
(< br>x
)的解析式；
（Ⅲ）若
h(x)?g(x)??f(x)?1
在< br>[?,]
上是增函数，求实数?的取值范围.

??
22
1
?12.D 14、m≠
2
； 16、5
?
?
21．解：⑴由
a?(cos
?
,sin< br>?
),b?(cos
?
,sin
?
),

?
?
?
?
得
a?b?(cos
?
?cos
?
,sin
?
?sin
?
)
，
a?b?(cos?
?cos
?
,sin
?
?sin
?
),
?
?
?
?
又
(a?b)?(a?b)?(cos?
?cos
?
)(cos
?
?cos
?
)?( sin
?
?sin
?
)(sin
?
?sin
?)

?cos
2
?
?cos
2
?
?s in
2
?
?sin
2
?
?0.

?
?
?
?
?(a?b)?(a?b).

?
?
（2）
?
ka?b?(kcos
?
?cos
?
,ksin
?
?sin
?
),

?
?
?< br>?
2
?ka?b?k?2kcos(
?
?
?
)?1,
同理
?a?kb?1?2kcos(
?
?
?
)?k< br>2
,

?
?
?
?
由
ka?b?a? kb
得
2kcos(
?
?
?
)??2kcos(
?
?
?
)

又
k?0,
所以
cos(
?
?
?
)?0,
因
0?
?
?
?
?
?
,
所以
?
?
?
?

22.解 ：（1）
f(x)?2?sinx?[4cos
2
x?4(sin?cos)
2
]

1
4
x
2
x
2
?
2
.

=2+sin
x
?
c
os
2
x
?1+si n
x
=sin
2
x
+2sin
x

(1)设函数
y
=
f
(
x
)的图象上任一点M(
x
0
,
y
0
)关于原点的对称点为N（
x
,
y
）
则
x
0
= ?
x
,
y
0
= ?
y

∵点M在函数
y
=
f
(
x
)的图象上
??y?sin
2
(?x)?2sin(?x)
,即
y
= ?sin
x
+2sin
x


9
2

∴函数
g
(
x
)的解析式为
g
(
x)= ?sin
2
x
+2sin
x

(3)
h (x)??(1??)sin
2
x?2(1??)sinx?1,
设sin
x
=
t
,(?1≤
t
≤1)
则有
h(t)??(1??)t
2
?2(1??)t?1 (?1?t?1)

① 当
???1
时，
h
(
t< br>)=4
t
+1在[?1,1]上是增函数，∴λ= ?1
② 当
???1
时，对称轴方程为直线
t?
ⅰ)
???1
时，
1??
.
1??
1??
??1
，解得
???1

1??1??
ⅱ)当
???1
时，
?1
,解得
?1???0< br>
1??
综上，
??0
.







（台州期末）
10．已知函数
y?f(x)
是定义域为
R
的奇函数，当
x?0
时，
f(x)?9
的值 为
A．
?18
B．
18
C．
27
D．
?27

11．函数
y?f(x)
的图象如右下图所示，则函数
y?log
0.2
f(x)的图象大致是
x?
1
2
，则
f(?2)

Ａ Ｂ Ｃ
Ｄ
12．< br>O
为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若
(OB?OC)?(OB?O C?2OA)?0
，
则?ABC是
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形



10

13．设向量
a?(cos25
?
,sin25
?
)
，
b?(sin20
?
,cos20< br>?
)
，若
t
是实数，且
u?a?tb
，
则< br>u
的最小值
为
A．
2
B．1 C．
2
1
D．
2
2
14．函 数
f(x)?x
2
?2x
在
[m,n]
上的值域是
[?1,3]
，则
m?n
取值所成的集合是
A．
[?5,?1]
B．
[?1,1]
C．
[?2,0]
D．
[?4,0]

24． (本题满分8分）已知向量
OA?(cos2
?
,1?sin2
?
)
，
OB?(1,2)
,
OC?(2,0)
.
10
?
(1)若
?
?(0,)
，且
sin
?
?
，求证：
O,A,B
三点共线；
10
2
(2)若


?
4
?
?
?
?
2
，求向量OA
与
OC
的夹角
?
范围．
25．(本题满分10分 ）已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a,b,c?R)
，
f(?2)?f(0)?0
，
f(x)
的最小值为
?1
．
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）设
g(x)?f(? x)?
?
f(x)?1
，若
g(x)
在
[?1,1]
上是减函数，求实数
?
的取值
范围；
（3）设函数
h(x)? log
2
[p?f(x)]
，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实
数< br>p
的取值范围.


?11—---14.
C

24. 解：（1）
?sin
?
?
10
310
?< br>，
?
?(0,)
，
?cos
?
?

10
10
2
B C D
sin2
?
?2sin< br>?
cos
?
?
3
5
4
．……………………… ………… 3分
5
11
，
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?

484?OA?(,)?OB
，
?
OAOB
．
555
?O,A,B
三点共线，……………………………………………………… 4分
(2)
?cos
?
?

(cos2?
,1?sin2
?
)?(2,0)
2cos2
?
?( 1?sin2
?
)
22
?
cos2
?
2?2sin 2
?
?
cos2
?
2sin
?
?cos
?

?
?
cos
2
?
?sin
2
?
2(sin
?
?cos
?
)
?
?
?
?
2
?
(cos
?
?sin
?
)?cos(?
?)
……………………… 6分
24
?
4
?
2
,?
?
2
?
?
?
?
4
?
3
?
,
4
而
?
?[0,
?
]
，
?
?
?
?
?
?
4
?
3
?
?
?
的范围为
[,]
．………………………………… … 8分
24
25.解：（1）设
f(x)?ax(x?2)
，又
a?0
，
f(?1)??1
，
?a?1
，
?
f(x)?x
2
?2x
.……………………………………… 4分
(2)
g(x)?(1?
?
)x
2
?2(1?
?
)x?1
,
③ 当
?
?1
时，
g(x)??4x ?1
在[?1,1]上是减函数，∴
?
?1
.
1?
?
.
1?
?
1?
?
ⅰ)当?
?1
时，
1?
?
?0
，所以
?1?1??
?1?
?
，得
0?
?
?1
；
1?
?
1?
?
1?
?
ⅱ)当
?
?1
时 ，
1?
?
?0
??1
，所以
??1?1?
?
??1?
?
，得
?
?1
.
1?
?
1?
?
综上，
?
?0
．………………………………………………………… … 7分
④ 当
?
?1
时，对称轴方程为:
x?
(3) 函数
h(x)?log
2
[p?f(x)]
在定义域内不存在零点,必须且只 须有

p?f(x)?0
有解,且
p?f(x)?1
无解.
即
[p?f(x)]
max
?0
,且1不在
[p?f(x) ]
的值域内．
f(x)
的最小值为
?1
，
?
函数
y?p?f(x)
的值域为
(??,p?1]
．
?
p?1?0
，解得
?1?p?0
．
?
?
?
1?p?1
?p
的取值范围为
(?1,0)
．…………………… …………… 10分

12