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高三数学-30道压轴题及答案 精品

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 01:51
tags:高中数学压轴题

高中数学出题网-高中数学选修2-2课本北师大

2020年10月6日发(作者:萧鹏)



1.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为
22
,相应于焦点
F(c,0)

c?0
)的准线
l
与x
轴相交于点
A

OF?2FA
,过点
A
的直线与椭圆相交于
P

Q
两点。
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若
OP?OQ?0
,求直线
PQ
的方程;
(3)设
AP?
?
AQ

?
?1
),过点
P
且平行于准线
l
的直线与椭圆相交于另一点
M

证明
FM ??
?
FQ
. (14分)


2. 已知函数
f(x)
对任意实数x都有
f(x?1)?f(x)?1
,且当
x?[0,2 ]
时,
f(x)?|x?1|

(1)
x?[2k,2k?2](k?Z)
时,求
f(x)
的表达式。
(2) 证明
f(x)
是偶函数。
(3) 试问方程
f(x)?log
4

3.(本题满分12分)如图,已知点F(0 ,1),直线L:y=-2,及圆C:
x?(y?3)?1

(1) 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1,求动点M的轨迹E的方程;
(2) 过点F的直线g 交轨迹E于G(x
1
,y
1
)、H(x
2
,y
2< br>)两点,求证:x
1
x
2
为定值;
(3) 过轨迹E上一 点P作圆C的切线,切点为A、B,要使四边形PACB的面积S最小,
10
求点P的坐标及S 的最小值。
8

y

6

4

C
2

F

x
-15-10-55

O
X
-2


-4

4.以椭圆
22
1
?0
是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没
x
有实数根,请说明理由。当
1015
x
?y
2
=1(a>1)短轴 一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形,
-8
2
a
-10
2
-6



试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

5 已知,二次函数f(x)=ax
2
+bx+c及一次函数g(x)= -bx,其中a

b

c∈R,a>b
>c,a+b+c=0.
(Ⅰ)求证:f(x)及g(x
(Ⅱ)设f(x)、g(x)两图象交于A、B两点,当AB 线段在x轴上射影为A
1
B
1
时,试求|A
1
B
1
|
的取值范围.

6 已知过函数f(x)=
x?ax?1
的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3。
(1) 求a、b的值;
(2) 求A的取值范围,使不等式f(x)≤A-1987对于x∈[-1,4]恒成立;
(3) 令
g
?
x
?
??f
?
x
?
?3x?tx? 1
。是否存在一个实数t,使得当
x?(0,1]
时,g(x)
2
3 2
有最大值1?
7 已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影为 H,︱
PH
︱是2和
PM?PN
的等比中项。
(1) 求动点P的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;
(2) 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的
方程。
8.已知数列{a
n
}满足
a
1
?3a(a?0),a
n? 1
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)设数列{bn
}的前项和为S
n
,试比较S
n

2
an
?a
2
a?a

?,设b
n
?
n< br>2a
n
a
n
?a
??
7
的大小,并证明你的 结论.
8
9.已知焦点在
x
轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两 条渐近线与以点
A(0,2)
为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y?x
对称.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线
y?mx?1
与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线
l
经过M(-2,
0)及AB的 中点,求直线
l

y
轴上的截距b的取值范围;
(Ⅲ)若Q是双 曲线C上的任一点,
F
1
F
2
为双曲线C的左,右两个焦点,从F
1

?F
1
QF
2
的平分线的垂线,垂足为 N,试求点N的轨迹方程.

10.
f(x)
对任意
x?R都有
f(x)?f(1?x)?
(Ⅰ)求
f()

f()?f(
1
.

2
n?1
) (n?N)
的值. n
12n?1
)?f(1)
,数列
?
a
n
?< br>(Ⅱ)数列
?
a
n
?
满足:
a
n
=
f(0)
+
f()?f()????f(
nnn
是等差数列吗?请给 予证明;
1
2
1
n



(Ⅲ )令
b
n
?
4
4a
n
?1
222
,T
n
?b
1
2
?b
2
?b
3
? ???b
n
,S
n
?32?
16
.

n
y
A
试比较
T
n

S
n
的大小.

11. :如图,设OA、OB是过抛物线y
2
=2px顶点O的两条
·

=0,求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点弦,且OAOB
P的轨迹. (13分)


9
12.知函数f(x)=log
3
(x
2
-2mx+2m
2

2
)的定义域为R
m-3
O
P
x
B
(1)求实数m的取值集合M;
(2)求证:对m∈M所确定的所有函数f(x)中,其函数值最小的一个是2,并求使函数值等于2的m的值和x的值.

13.设关于x的方程2x
2
-tx-2=0 的两根为
?
,
?
(
?
?
?
),
函 数f(x)=
(1). 求f(
?
)和f(
?
)
的值。
(2)。证明:f(x)在[
?
,
?
]
上是增函数。
(3)。对任意正数x
1
、x
2
,求证:
f(
4x?t.

2
x?1
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?2
?
?
?

x
1
?x
2
x
1?x
2
*
14.已知数列{a
n
}各项均为正数,S
n
为其前n项的和.对于任意的
n?N
,都有
4S
n
?
?
a
n
?1
?
.
I、求数列
?
a
n
?
的通项公式.
n
*
II、若
2?tS
n
对于任意的
n?N
恒成立,求实数t
的最大值.
2

15.( 12分)已知点H(-3,0),点P在 y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ
3
MQ

2
(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
(2)过点T(-1,0)作直 线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x
0
,0),
使得△ABE为 等边三角形,求x
0
的值.

上,且满足
HP
·
PM
=0,
PM
=-
16.(14分)设f
1
(x)=f(0)?1
2
,定义f
n+1
(x)=f
1
[f< br>n
(x)],a
n
=
n
,其中n∈N
*
.
f
n
(0)?2
1?x
(1) 求数列{a
n
}的通项公式;



4n
2
?n
(2)若T
2n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+2na
2n
,Q
n
=
2
, 其中n∈N
*
,试比较9T
2n
与Q
n
的大小.
4n?4n?1


17. 已知
a
=(x,0),
b
=(1,y),(
a
+
3
b

?
(< br>a

3
b
).
(I) 求点
?
(x,y)的轨迹C的方程;
(II) 若直线L:y=kx+m(m
?
0)与曲线C交于A、B两点,D(0,–1),且有 |AD|=|BD|,
试求m的取值范围.

18.已知函数
f(x)对任意实数p、q都满足
f(p?q)?f(p)?f(q),
且f(1)?.

(1)当
n?N
?
时,求
f(n)
的表达式;
(2)设
a
n
?nf(n)
??????
1
3
< br>3
(n?N
?
),
求证:
?
a
k
? ;

4
k?1
(n?N
?
),S
n
??
b
k
,
试比较
?
k?1
n
n

nf(n?1)
(3)设
b
n
?
f(n)
1< br>与6的大小.
k?1
S
k
n
19.已知函数
f(x )?log
a
x(a?0且a?1),
若数列:
2,f(a
1
),f(a
2
),
…,
f(a
n
),2n?4(n?N
?
)
成等差数列.
(1)求数列
{a
n
}
的通项
a
n

(2)若
0?a?1,数列{a
n
}
的前n项和为S
n
,求
limS
n

n??
?
(3)若
a?2, 令b
n
?a
n
?f(a
n
)
,对任意
n? N,都有b
n
?f
?1
(t)
,求实数t的取值范
围.


20.已知△OFQ的面积为
26,且OF?FQ?m.

(1)设
6?m?46,求向量OF与FQ的夹角
?
正切值的取值范围;
(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),
|OF|?c,m?(

|OQ|
取得最小值时,求此双曲线的方程.
(3)设F
1
为(2) 中所求双曲线的左焦点,若A、B分别为此双曲线渐近线l
1
、l
2
上的
6
?1)c
2

4




点,且2|AB|=5|F
1
F|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并 说明轨迹是什么曲线.










2

21、已知函数
f(x)?3x?bx?1
是偶函数,
g(x)?5x?c
是奇函数,正数数列
?
a
n
?
满足
a
n
?1,f(a
n
?a
n?1
)?g(a
n?1
a
n
?a
n
2
)?1

① 求
?
a
n
?
的通项公式;
②若
?< br>a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,求limS
n
.
n??
22、直角梯形ABCD中∠DAB=90°,A D∥BC,AB=2,AD=
B为焦点且经过点D.
(1)建立适当坐标系,求椭圆C的方程;
(2)若点E满足
EC
?
31
,BC=.椭圆C以A、
22
1
AB
,问是否存在不平行AB 的直线l与椭圆C交于M、N两点
2

|ME|?|NE|
,若存在,求出直 线l与AB夹角的范围,若不存在,说明理由.
23、.设函数
f(x)?
1
,

x
4?2
(1)求证:对一切
x?R,f(x)?f(1?x)
为定值;
(2)记
a
n
?f(0)?f()?f()???f(
通项公式及前n项和.

24. 已知函数
f(x)
是定义在R上的偶函数.当X
?
0时,
f(x)
=
?
(I)
(II)
求当X<0时,
f(x)
的解析式;
试确定函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
的单调性,并证明你的结论.
1
n
2
n
n?1
)?f(1)
n
(n?N *),
求数列
{a
n
}

7x
.
x
2
?x?1
(III) 若
x
1
?2

x
2
?2
,证明:|
f(x
1
)

f(x
2
)
|<2.



25、已 知抛物线
y?4x
的准线与
x
轴交于
M
点,过
M< br>作直线与抛物线交于
A

B
两点,
若线段
AB
的垂直平分线与X轴交于
D
(
X
0
,0)
⑴求
X
0
的取值范围。
⑵△
ABD
能否是正三角 形?若能求出
X
0
的值,若不能,说明理由。

26、已知
□ABCD

A
(-2,0),
B
(2,0),且∣
AD
∣=2
⑴求
□ABCD
对角线交点
E
的轨迹方程。 ⑵过
A
作直线交以
A

B
为焦点的椭圆于
M< br>、
N
两点,且∣
MN
∣=
距离为
2
8
2

MN
的中点到
Y
轴的
3
4
,求椭圆 的方程。
3
⑶与
E
点轨迹相切的直线
l
交椭圆于
P

Q
两点,求∣
PQ
∣的最大值及此时
l
的方程 。

Y



D C





E



A O B X


x
2
2
27.(14分)(理)已知椭圆
2
?y?1(a?1)
,直线l过点A(-a,0)和点B(a,ta)
a
(t>0)交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.(1)用a,t表示△AMN的面积S;
(2)若t∈[1,2],a为定值,求S的最大值.
y
M
B
A
N
Ox



28.已知函数
f
(
x
)=

bx
+
c

的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.
x
+1
(1)求函数
f
(
x
)的解析式;
(2)若数列
{
a
n
}

n
∈N* )满足:
a
n
>0,
a
1
=1,
a
n+1
=

[
f
(
通项公式
a
n
,并证明你的结论.
30、已知点集
L?{(x,y)|y?m?n},
其中
m?(2x?b,1),n ?(1,b?1),
点列
P
n
(a
n
,b
n
)

a
n
)]
2
,求数列{
a
}的n
L
中,
P
1

L

y
轴的 交点,等差数列
{a
n
}
的公差为1,
n?N
?

(1)求数列
{a
n
}

{b
n
}
的通项公式;
(2)若
c
n
?
5
(n?2),

lim(c
1
?c
2
?
?
?c
n
)

n??
n?|P
1
P
n
|
?a
n
(n?2k?1)
(k?N
?
),
是否存在
k?N
?
使得
f(k?11)?2f(k),

?
bn
(n?2k)
(3)若
f(n)?
?
存在,求出
k< br>的值;若不存在,请说明理由。

2
21.经过抛物线
y?4x的焦点F的直线
l
与该抛物线交于
A

B
两点. (12分)
(1)若线段
AB
的中点为
M(x,y)
,直线的斜率 为
k
,试求点
M
的坐标,并求点
M
的轨
迹方程 < br>1
(2)若直线
l
的斜率
k?2
,且点
M
到 直线
3x?4y?m?0
的距离为,试确定
m
的取值
5
范围 .


















x
2
y
2
1(1)解:由题意,可设椭 圆的方程为
2
??1(a?2)

a2
?
a
2
?c
2
?2,
?
由已知得
?
解得
a?6,c?2

a
2
?
c?2(?c).
c
?
x
2
y
2
6
所以椭 圆的方程为
?

?1
,离心率
e?
3
62
(2)解:由(1)可得A(3,0)。
?
x
2
y
2
? 1,
?
?
设直线PQ的方程为
y?k(x?3)
。由方程组
?
6

2
?
y?k(x?3)
?
66

?k?
33
18k
2
27k
2
?6
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
,则
x
1
?x
2
?
2
, ①
x
1
x
2
?
。 ②
3k?13k
2
?1

(3k
2
?1)x
2
?18k
2
x?27k
2
?6?0
,依题意
??12(2?3k
2)?0
,得
?
由直线PQ的方程得
y
1
?k(x
1
?3),y
2
?k(x
2
?3)
。于是
y< br>1
y
2
?k
2
(x
1
?3)(x
2
?3)?k
2
[x
1
x
2
?3(x
1?x
2
)?9]
。 ③

OP?OQ?0
,∴
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
。 ④
由①②③④得
5k
2
?1
,从而
k??< br>566
?(?,)

533
所以直线PQ的方程为
x?5y ?3?0

x?5y?3?0

(3,理工类考生做)证明:
AP? (x
1
?3,y
1
),AQ?(x
2
?3,y
2< br>)
。由已知得方程组
?
x
1
?3?
?
(x
2
?3),
?
y?
?
y,
2
?
1
?
x
1
2
y
1
2

?
? ?1,
2
?
6
?
x
2
y
2
?2
?
2
?1.
2
?
6
注意
?
?1
,解得
x
2
?
5
?
?1

2
?

F(2,0),M(x
1
,?y
1
)
,故
1?
??
?1
FM?(x
1
?2,?y
1< br>)?(
?
(x
2
?3)?1,?y
1
)
?( ,?y
1
)??
?
(,y
2
)

22< br>?
?
?1

FQ?(x
2
?2,y
2
)?(,y
2
)
,所以
FM??
?
FQ

2
?



2 ①f(x)=
x?2k?1
(2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1,4]上有4个实根

3 ①x=4y ②x
1
x
2
=-4 ⑶P(±2,1)
S
MIN
=
7

2
4 .解:因a>1,不防设短轴一端点为B(0,1
设BC∶y=kx+1(k>0
则AB∶y=-

1
x+1
k

把BC
是(1+a
2
k
2
)x
2
+2a
2
kx=0
2
2a
2
k2a
2
2
∴|BC|=1?k
,同理|AB|=
1?k

2222
1?akk?a由|AB|=|BC|,k
3
-a
2
k
2
+ka
2
-1=0
(k-1)[k
2
+(1-a
2
)k+1]=0
∴k=1或k
2
+(1-a
2
)k+1=0
当k
2
+(1-a
2
)k+1=0时,Δ=(a
2
-1)
2-4
由Δ<0,得1<a<
3

由Δ=0,得a=
3
,此时,k=1
故,由Δ≤0,即1<a≤
3
由Δ>0即a>
3
时有三解
5 解:依题意,知a、b≠0
∵a>b>c且a+b+c=0
∴a>0且c<0
(Ⅰ)令f(x)=g(x
得ax
2
+2bx+c=0.(*
Δ=4(b
2
-ac)
∵a>0,c<0,∴ac<0,∴Δ>0
∴f(x)、g(x)相交于相异两点
(Ⅱ)设x
1
、x
2
为交点A、B
则|A
1B
1
|
2
=|x
1
-x
2
|
2
,由方程(*


4b
2
?4ac4(a?c)
2
?4ac
?
|A
1
B
1
|=
a< br>2
a
2
2
?
4
22
(a?c?ac)

2
a
c
??
c
?4
?
()2
??1
?
(**)

a
??
a




?
?
a?b?c?0
?
a?b
?2a?c?0
,而a>0,∴
c 1
??

a2
c
??2

a

?
?
a?b?c?0
?
c?b
?a?2c?0
,∴
c 1
??

a2
cc
∴4[()
2
++1]∈ (3,12
aa

?2?
∴|A
1
B
1
| ∈(
3
,2
3

6、解:(1)
f
'
'

?
x
?
=
3x
2
?2ax

依题意得k=
f
?
1
?
=3+2a=-3, ∴a=-3
?f
?
x
?
?x
3
?3x
2
?1
,把B(1,b)代入得b=
f
?
1
?
??1

∴a=-3,b=-1
(2)令
f
'
?
x
?=3x
2
-6x=0得x=0或x=2
∵f(0)=1,f(2)=2
3
-3×2
2
+1=-3
f(-1)=-3,f(4)=17
∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17
要使f(x)≤A-1987对于x∈[-1,4]恒成立,则f(x)的最大值17≤A-1987
∴A≥2018。
(1) 已知g(x)=-
x?3x?1?3x?tx?1??x?tx


g
?
x
?
??3x?t

'2
?
32
?
23
∵0<x≤1,∴-3≤-3x
2
<0,
① 当t>3时,t-3x
2
>0,
即g
?
x
?< br>?0

'
∴g(x)在
(0.1]
上为增函数,
g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合题意,舍去)
② 当0≤t≤3时,
g
?
x
?
??3x?t

'2

g
?
x
?
=0,得x=
'
t

3
列表如下:




x
(0,
t

3


3
t

3
0
极大值
(
t
,1]

3


g
'
?
x
?

g(x)

?
t
?
tt
?
+tg(x) 在x=处取最大值-
?
=1
??
33
?
3
?∴t=
3
27
3
3
2
t
=<3
4
3
2
t
<1
3
'2
∴x=
③ 当t<0时,
g
?
x
?
??3x?t
<0,∴g(x)在< br>(0.1]
上为减函数,
∴g(x)在
(0.1]
上为增函数, < br>3
3
2
∴存在一个a=,使g(x)在
(0.1]
上有最大值 1。
2
7、解:(1)设动点的坐标为P(x,y),则H(0,y),
PH??
?x,0
?
,
PM
=(-2-x,-y)
?
?
PN
=(2-x,-y)

PM
··(2-x,-y)=
x?4?y

PN
=(-2-x,-y)
?
?
22
?
PH?x

?< br>?
?
由题意得∣PH∣2=2·
PM
·
PN


x?2x?4?y
2
?
22
?

x
2
y
2
??1
,所求点P的轨迹为椭圆 即
84
(2)由已知求得N(2,0)关于直线x+y=1的对称点E(1,-1),则∣QE∣=∣QN∣
双曲线的C实轴长2a=
QM?QN?QM?QE?ME?10
(当且仅当Q、E、M 共
线时取“=”),此时,实轴长2a最大为
10



所以,双曲线C的实半轴长a=

?c?
10

2
13
NM?2,?b
2
?c
2
?a
2
?

22
x
2
y
2
??1
∴双曲线C的方程式为53
22
8.(1)
b
n
?
1
2
n? 1

1
7
(2)
S
n
??(
4< br>?
8
?
16
???)??(?
4
??
4?
2
??)??
16
??0
822281622228
1?
1
8
2
9.解:(Ⅰ)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y =0
∵该直线与圆
x?(y?2)?1
相切,
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.…………………………………………2分
22x
2
y
2
故设双曲线C的方程为
2
?
2
?1

aa
又双曲线C的一个焦点为
(2,0)


2a?2

a?1

∴双曲线C的方程为
x?y?1
.………………………………………………4分 (Ⅱ)由
?
22
22
?
y?mx?1
22
?< br>x?y?1
22

f(x)?(1?m)x?2mx?2

22

(1?m)x?2mx?2?0

直线与双曲线左支交于两 点,等价于方程f(x)=0在
(??,0)
上有两个不等实根.
?
???0
?
?
2m
因此
?
?0
解得
1?m?2

2
?
1?m
?
?2
? 0
?
?
1?m
2
m1
又AB中点为
(,)

1?m
2
1?m
2
1
(x?2)
.…………… …………………6分 ∴直线l的方程为
y?
2
?2m?m?2
22
?
令x=0,得
b?

2
117
?2m?m?2
?2(m?)
2
?
48

m?(1,2)

1
2
17

?2(m?)??(?2?2,1)

48




b?(??,?2?2)?(2,? ?)
.………………………………………………8分
(Ⅲ)若Q在双曲线的右支上,则延长< br>QF
2
到T,使
|QT|?|QF
1
|

若Q在双曲线的左支上,则在
QF
2
上取一点T,使
|QT|?|QF
1
|

根据双曲线的定义
|TF
2
|?2
,所 以点T在以
F
2
(2,0)
为圆心,2为半径的圆上,即点
T的轨迹 方程是
(x?2)
2
?y
2
?4(x?0)
①…………………………………………10分
由于点N是线段
F
1
T
的中点,设
N(x,y)

T(x
T
,y
T
)< br>.
?
x
T
?2
x?
?
?
x?2x ?2
?
2

?
,即
?
T

?< br>y
T
?2y
?
y?
y
T
?
2
?
2
)
………………12分
2
1111111
10 解 :(Ⅰ)因为
f()?f(1?)?f()?f()?
.所以
f()?
.…… 2分
2222224
11111n?11

x?
,得
f( )?f(1?)?
,即
f()?f()?
.……………4分
nnn2nn2
1n?1
(Ⅱ)
a
n
?f(0)?f()???f()?f(1)< br>
nn
n?11

a
n
?f(1)?f()???f ()?f(0)
………………5分
nn
22
代入①并整理得点N的轨迹方程 为
x?y?1

(x??
两式相加
1n?1n?1
. < br>2a
n
?[f(0)?f(1)]?[f()?f()]?
?
?[f( 1)?f(0)]?
nn2
n?1
所以
a
n
?,n?N,………………7分
4
n?1?1n?11

a
n?1
?a
n
???
.故数列
{a
n
}
是等差数列.… ……………9分
444
44
?
(Ⅲ)
b
n
?< br>4a
n
?1n
22
T
n
?b
1
2< br>?b
2
???b
n

111
????)
< br>2
2
3
2
n
2
111
?16[1????
?]
………………10分
1?22?3n(n?1)
11111?16[1?(1?)?(?)???(?)]
………………12分
223n?1n
116
?16(2?)?32??S
n

n n
所以
T
n
?S
n
……………………………………………… ……………………14分
?16(1?
11.设直线OA的斜率为k,显然k存在且不等于0
则OA的方程为y=kx



?
?
y= kx
?
y
2
=2px
解得A(
2p2p
k
2

k
)
又由,知OA⊥OB,所以OB的方程为y=-
1
k
x

?
?
?
y=-
1
k
x
?
解得B(2pk< br>2
,-2pk)
?
y
2
=2px
从而OA的中点为 A'(
p
k
2

p
k
),OB的中点为B'(pk
2
,-pk)
所以,以OA、OB为直径的圆的方程分别为
x
2
+y
2

2px
k
2

2py
k
=0 ……①
x
2
+y
2
-2pk
2
x+2pky=0 ……②
∵P(x,y)是异于O点的两圆交点,所以x≠0,y≠0
由①-②并化简得y=(k-
1
k
)x ……③ < br>将③代入①,并化简得x(k
2

1
k
2
-1)=2 p ……④
由③④消去k,有x
2
+y
2
-2px=0
∴点P的轨迹为以(p,0)为圆心,p为半径的圆(除去原点).
12.(1)由题意,有 x
2
-2mx+2m
2

9
m
2
-3>0对任意的x∈R恒成立
所以△=4m
2
-4(2m
2
9
m
2
-3
)<0
即-m
2

9
m
2
-3
<0
( m
2

3
)
2


2
27
m
2
-3
>0
由于分子恒大于0,只需m
2
-3>0即可
所以m<-3或m>3
∴M={m|m<-3或m>3}
(2)x
2
-2mx+2m
2< br>+
9
m-3
=(x-m)
2
+m
2

99
2
m
2
-3
≥m
2

m
2
-3

当且仅当x=m时等号成立.
所以,题设对数函数的真数的最小值为 m
2

9
m
2
-3

又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f(x)≥log
9
3
(m
2

m
2
-3
)
∴当且仅当x=m(m∈M)时 ,f(x)有最小值为log
9
3
(m
2

m
2< br>-3
)
又当m∈M时,m
2
-3>0


……4分
……4分
……6分
……10分
……13分
……4分
……7分
……10分



99
∴m
2

2
=m
2
-3+
2
+3≥2
m-3m-3
9
(m
2
-3)·
2
+3= 9
m-3
9
当且仅当m
2
-3=
2
,即m=±6时,
m-3
99
log
3
(m
2

2
)有最小值log
3
(6+)=log
3
9=2
m-36-3
∴当x=m=±6时,其函数有最小值2.

13.解析:(1)。,由根与系数的关系得,
?
?
?
?

?f(
?
)?
t
,
??
??1.

2
4
?
?t
4
?
?2(
?
?
?
)
281
2
?????(t?t?16).

22
2
?
?1
?
?
???
t?t?16
2
同法得f(
?
)?

1
(t
2
?16?t).

2
4(x
2
?1)?(4x?t)2x?2(2x
2
? tx?2)
?,
而当x
?[
?
,
?
]
时, (2).证明:
?
f(x)=
(x
2
?1)
2
(x
2
?1)
2
2x
2
-tx -2=2(x-
?
)(x?
?
)?0,
故当x
?[
?
,
?
]
时, f

(x)≥0,

?
函数f(x)在[
?
,
?
]
上是增函数。
(3)。证明:
x
1
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)x
?
?x
2
?
x (
?
?
?
)
?
?
?
2
?0,1
?
?
?
1
?0,

x
1
? x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2x
1
?x
2

?
?
?< br>x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
?
?
, 同理
?
?
1
?
?
.
x
1
?x< br>2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
?
) ,故?f(
?
)??f(
1
)??f(
?
).
< br>x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
)?f(
?
).
两式相加得 :
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2< br>?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?f (
?
)?f(
?
),

x
1
?x
2
x
1
?x
2

?f(
?
)?f(
又f(
?
)?f(

?[f(
?
)?f(
?
)]?f(
即< br>f(
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?f(
?
)?f(
?
).

x
1
?x
2
x
1
?x
2
而由(1),f(
?
)??2
?
,f(
?
)??2
?
且f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)?f(< br>?
)
,

?

f(
x1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?2
?
?
?
.
x
1
?x
2
x
1
?x
2
14(I)
4S
1
?4a
1
?(a
1
?1)
2
, ?a
1
?1.

n?2



时,
4 a
n
?4S
n
?4S
n?1
?
?
a
n
?1
?
?
?
a
n?1
?1
?
,
22
?2
?
a
n
?a
n?1
?
?a
n
2
?a
n?1
2
,又{a
n
}各 项均为正数,
?a
n
?a
n?1
?2
.数列
?a
n
?
是等差数列,
?a
n
?2n?1.

?
2
n
?
2
n
(II)
S
n< br>?n
,若
2?tS
n
对于任意的
n?N
恒成立,则< br>t?min
?
2
?
.令
b
n
?
2< br>,.当
n?3
n
?
n
?
2n
*
时,
b
n?1
2n
2
n
2
?(n?1)n?n
???1
22
b
n
(n?1)n?2n?1
.又
b
1
?2,b
2
?1,b
3
?
8
9

?
2
n
?
8
8
?
min
?
b< br>n
?
?min
?
2
?
?
.
?

t
的最大值是.
9
?
n
?
9

15.(1)设点M的坐标为(x,y),由
PM
=-

y
3x
MQ
,得P(0,-),Q(,0),
23
2
2
y
3y
)(x,)=0,又得y
2
=4x, 5分
2
2
由点Q在x轴的正半轴上,得x>0,
所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. 6

(2)设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y
2
=4x ,得k
2
x
2
+2(k
2
-2)x+k
2
=0,① 7分
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
2(k
2
?2)
则x
1
, x
2
是方程①的两个实根,∴x
1
+x
2
=-,x
1
x
2
=1,
k
2
2?k
2
2
所以,线段AB的中点坐标为(,), 8
2
k
k

2?k
2
21
线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x-), 9分
kk
k
2
22
令y=0,x
0
=
2
+1,所以点E的坐标为(
2
+1,0)
kk

HP·
PM
=0,得(3,-
因为△ABE为正三角形,所以点E(
2
3
+1,0)到直线AB的距离等于|AB|,
2
k
2
10分
41?k
2
而|AB|=
(x
1
?x
2< br>)?(y
1
?y
2
)

1?k
2
,
2
k
22
231?k
4
21?k
2
所以,=,
2
k
k
11分



解得k=±
3
11
,得x
0
=.
2
3
12分
16.(1)f
1
( 0)=2,a
1
=
2
2?1
1
=,f
n+1
(0)=f
1
[f
n
(0)]=,
1?f
n
( 0)
2?2
4
1
?1
f
n?1
(0)?1
1?f
n
(0)
1?f
n
(0)
1
f
n< br>(0)?1
1
a
n+1
====-=-a
n
, 2
f
n?1
(0)?24?2f
n
(0)
2
f
n
(0)?2
2
?2
1?f
n
(0)
∴数 列{a
n
}是首项为
4分
1111

,公比为-的等比 数列,∴a
n
=(-)
n1
. 6分
4242
(2) T
2n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+( 2n-1)a
2n

1
+2na
2n
,
1111 11
-T
2n
=(-a
1
)+(-)2a
2
+(- )3a
3
+…+(-)(2n-1)a
2n

1
+(-)· 2na
2n

222222
=a
2
+2a
3
+…+(2n-1)a
2n
-na
2n
, 8

3
T
2n
=a
1
+a
2
+ a
3
+…+a
2n
+na
2n
,
2
1< br>?
1
2n
?
1?(?)
?
3
4
?< br>2
?
+n×
1
(-
1
)
2n
1
=
1

1
(-
1
)
2n
+
n
(-
1
)
2n

1
, 10所以 ,T
2n
=
?
1
24266242
1?
2
两式相减得

T
2n
=
3n?13n?1
111n1
1
-(-)
2n
+(-)
2n1
=(1-
2 n
). ∴9T
2n
=1-
2n
,
992629
22
3n?1
,
2
(2n?1)
12Q
n
=1-

当n=1时,2
2n
=4,(2n+1 )
2
=9,∴9T
2n
<Q
n
;
当n=2时,2
2n
=16,(2n+1)
2
=25,∴9T
2n
<Qn
;

当n≥3时,2
2n
=[(1+1)
n

2

13
2
12n
2
=(C
0
n
+C
n
+C
n
+…+C
n
)>(2n+1),∴9 T
2n
>Q
n
. 14分

17.解 (I)
a
+
3
b
=(x,0)+
3
(1,y)=( x+
3
,
3
y),
?
??
a

3
b
=(x, 0)
?
3
(1,y)= (x
?
3
,–
3
y).
?
(
a
+
3
b
)
?
(a
?
3
b
),
???
?????

?
(
a
+
3
b
)·(
a
?
3
b
)=0,
?
(x+
3
)( x
?
3
)+
3
y·(
?
3
y)=0,
?



x
2
?y
2
?1
. (6分) 故P点的轨迹方程为
3
?
y?kx?m,
消去y,得(1–3k
2
)x
2
-6kmx-3m
2
-3=0 (*)
2
?
x
2
?
?y?1,
?
3
(I I)考虑方程组
?
显然1-3k
2
?
0,
?
=(6km)
2
-4(1-3k
2
)( -3m
2
-3)=12(m
2
+1-3k
2
)>0. 设x
1
,x
2
为方程*的两根,则x
1
+x
2
=
y
0
=kx
0
+m=
m
,
1 ?3k
2
6km
,x=
x
1
?x
2
3km
,
0
?
2
2
1?3k
1?3k
2< br>故AB中点M的坐标为(
3km

1?3k
2
m
),
2
1?3k
m
=(
?
1

3km
,
(x?)
k
1?3k
2
1?3k
2
?
线段AB的垂直平分线方程为y
?
将D(0,–1)坐标代入,化简得 4m=3k
2
?
1,
?
m
2
?1?3k
2
?0,
22
故m、k满足
?
消去k得 m
?
4m>0, 解得 m<0或m>4.
2
?
4m?3k?1,

?
4m=3k
2
?
1>
?
1,
?

m??

18.(1)解 由已知得
f(n)?f(n?1)?f(1)?
1
1
,
故m
?
(
?
,0)
?
(4,+
?
). (12分)
4
4
11
?f(n?1)?()
2
?f(n? 2)?
33

11
?()
n?1
?f(1)?()
n
. (4分)
33
1
n
(2)证明 由(1)可 知
a
n
? n?(),

T
n
?
3

T
n
? 1??2?()?
?
a
k?1
n
k

1
3
1
3
2
1
?n?()
n
.

3
111

?T
n
?1?()
2
?2 ?()
3
?
333
两式相减得
T
n
?

1
?
1
?
?
?
n?1
?
???n?()
n?1

3
?
3
?
n
2
3
11
2
1
3
11
?()?()
+…+< br>()
n
?n?()
n?1

33333



1
?
1
n
?
1
n?1

?
?
1?()
?
?n?(),?

T
n< br>?
2
?
3
?
3
?
a
k?1
n
k
?
311
n?1
n1
n
3
?()?? ()?
. (9分)
443234
?n)?
n(n?1)
,

6
n
11
(3)解 由(1)可知
b
n
?n.?S
n
?
?
b
k
?(1?2?
33
k?1
16
11
?
=
6(?),

S
n
n(n?1)
nn?1
故有
1
111
?6(1????
?
S
223
k?1
k
n
111
??) =6
(1?)?6
. (14分)
nn?1n?1

19 .(1)
2n?4?2?(n?2?1)d,?d?2,?f(a
n
)?2?(n?1 ?1)?2?2n?2,?a
n
?a
2n?2

a
4
(1?a
2n
)a
4
?.
( 2)
limS
n
?lim
n??n??
1?a
2
1 ?a
2
2n?2
?(2n?2)?2
2n?2
?(n?1)?22n?3
.
(3)
b
n
?a
n
?f( a
n
)?(2n?2)a
b
n?1
n?2
??4?1
b
n
n?1
?b
n?1
?b
n
.

?1
?{b
n
}
为递增数列
?b
n
中 最小项为
b
1
?2?2
5
?2
6
,f(t)?2< br>t
,?2
6
?2
t
,?t?6.

?
1
?|OF|?|FQ|sin(
?
?
?
)?26
46< br>20.(1)
?

?tan
?
?,?6?m?46

?1?tan
?
?4.

2
?
m
?
|OF|?|FQ|cos
?
?m
?

?
?
4

?
?
?arcta4.n
x
2
y
2
(2)设所求的双曲线方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),Q(x
1
,y
1
),则FQ?(x
1
?c,y
1
)
ab
?S
?OFQ
?
146
|OF|?|y
1
|?26,?y
1
??
又由
OF?FQ?(c,0)?(x
1
?c,y
1
)?
< br>2c
66963c
2
222
(x
1
?c)?c?(? 1)c,?x
1
?c,?|OQ|?x
1
?y
1
???12 .

448
c
2
当且仅当c=4时,
|OQ|
最小 ,此时Q的坐标为
(6,6)或(6,?6)


6
?
6
??1
?
?
?
a
2
b
2
?
a
2
?b
2
?16
?
2?
?
a?4
?
?
2
?
?
b?12x
2
y
2
??1.

?
所求方程为
412
(3)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

l
1
的方程为
y?3x,l
2
的方程为
y??3x
则有
y
1
?3x
1

y
2
??3x
2

?2|AB|?5|FF
1
|

?2(x
1
?x< br>2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?5?2c?40

?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?20
③ 设
M (x,y)
由①②得
y
1
?y
2
?3(x
1
?x
2
)

y
1
?y
2
?3(x
1
?x
2
)?2y?3(x
1
?x
2
),y1
?y
2
?23x

?x
1
?x
2
?
2y
3

y< br>2
x
2
y
1
?y
2
?23x
代入③ 得
()?(23x)?400

???1.?M
的轨迹为
100
300
3
3
2y
22
焦点在y轴上的椭圆.

21、解:(1)
?f(x)
为偶函数
?f(?x)?f(x)

?b?0

f(x)?3x?1

2
?g(x)
为奇函数
?g(?x)??g(x)

?c?0

g(x)?5x

?f(a
n?1
?a
n
)?g( a
n?1
?a
n
?a
n
)?3(a
n?1
?a
n
)
2
?1?5(a
n?1
?a
n
? a
n
)?1

22
?3a
n?1
?a
n? 1
?a
n
?2a
n
?0

?(a
n?1< br>?a
n
)(3a
n?1
?2a
n
)?0

?
22
a
n?1
2
?

a
n3
?{a
n
}
是以
a
n
?1
为首项, 公比为
2
n?1
2
的等比数列.
a
n
?()

3
3
(2)
lim
s
n
?
n??
1
2
1?
3
?3

22、解析:(1)如图,以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴建立直角坐标系,
?A(-1,
0),B(1,0)



x
2
y
2
设椭圆方程为:
2
?
2
?1

ab
?
C? 1
?
a?2
b
2
?
2

x?C?y
0
?

?
b

3
?
?
c
?
b?3
?
?
?
a2
x< br>2
y
2
??1
∴ 椭圆C的方程是:
43

(2)
EC?
1
1
AB?E(0

)
,l⊥AB时不符,
2
2
设l:y=kx+m(k≠0)
?
y?kx?m
?

?
x
2
y2
?(3?4k
2
)x
2
?8kmx?4m
2
?12?0

?1
?
?
3
?
4
M、N 存在
?
?0?64k
2
m
2
?4(3?4k
2)
?
(4m
2
?12)?0
?4k
2
?3?m
2

设M(
x
1

y
1
), N(
x
2

y
2
),MN的中点F(
x
0

y
0


x
0
?
x< br>1
?x
2
3m
4km

??
y?kx?m ?
00
2
2
2
3?4k
3?4k

|M E|?|NE|?MN?EF?
y
0
?
3m1
1
?
2
2
??
1
?
3?4k
2
2
??
1
?m??
3?4k

4km
x
0
kk2
?
3?4k
2
3?4k
2
2
)

4k
2
?3?4

0?k
2
?1

?1?k?1

k?0

4k?3?(?
2
2
∴ l与AB的夹角的范围是
(0

]


x
111 41
23、
(1)
f(x)?f(1?x)?????.
4
x
?24
1?x
?24
x
?24?2?4
x
2
1< br>4
(6
?
)

(2)由(1)知f(0)?f(1)?
1
?
,f(1)?f(0)?.

2
11n?112n?2 1
,f()?f()?,f()?f()?
2nn2nn2

(10
?
)
(12
?
)
将上述n?1个式子相加得2a
n
?
n?1n?1
,?a
n
?.
24
11n?3n(n?3)
S
n
?[2?3?4?
?
?(n?1)]???n?.
44 28




24、(1)当X<0时,
f(x)?
7x
(3分)
x
2
?x?1
(2)函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数;(证明略) (9分)
(3)因为函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数,由x
?2

f(x )?f(2)??2

又因为
x?x?1?0,?7x?0
,所以
?
2
7x
?0
,所以
?2?f(x)?0

x< br>2
?x?1
因为
x
1
,x
2
?0
, 所以
?2?f(x
1
)?0
,且
?2?f(x
2
) ?0
,即
0?f(x
2
)?2

所以,-2≤f(x
1
) – f(x
2
) ≤2即|
f( x
1
)

f(x
2
)
|<2. (14分)

25、解:⑴由题意易得M(-1,0)
设过点M的直线方程为
y?k(x?1)(k?0)
代入
y?4x

2
k
2
x
2
?(2k
2
?4)x?k2
?0
………………………………………(1)
再设A(x

,y

),B(x

,y


4?2k
2
则x

+x
2
=,x

·x
2
=1
k
2
y


y
2
=k(x
1
+1)+k(x
2
+1)=k(



x
2
)+2k=
4

k
2?k
2
2
,
) ∴AB的中点坐标为(
2k
k
212?k
2
)
,令
y?0
得 那么线段 AB的垂直平分线方程为
y???(x?
kk
k
2
k
2?2k
2
?22
x?x??1?
,即
0
222
kkk
又方程(1)中△=
(2k
2
?4)
2
?4k4
?0,?0?k
2
?1,?
2
?2,?x
0
?3

k
2
⑵若△ABD是正三角形,则需点D到AB的距离等于
3
AB

2
16(1?k
2
)(1?k
2
)
AB?(1?k)(x
1
?x
2
)?(1?k)(x
1?x
2
)?4x
1
x
2
?

4
k
2
222
?
2
?



点到AB的距离d=
k
2
?2
k??k
k
2
1?k
2
?
2k
2
?2
k1 ?k
2
21?k
2
?

k
4(k
2
?1)316(1?k
4
)
3
2
??

d?AB
得:
24
4
kk
4
2

4k?k?3? 0,(k?1)(4k?3)?0
,∴
k
2
?
∴△ABD可以为正△ ,此时
x
0
?
4222
3
,满足
0?k
2
?1

4
11

3

26、解:⑴设E(x,y),D(x
0
,y
0

∵ABCD是平行四边形,∴
AB?AD?2AE

∴(4,0)+(x< br>0
+2,y
0
)=2(x+2,y)∴(x
0
+6,y
0
)=(2x+4,2y)

?
?
x
0
?6? 2x?4
?
x
0
?2x?2
?
?

?y
0
?2y
?
y
0
?2y
2

AD?2,?(x
0
?2)
2
?y
0
?4,?(2x?2 ?2)
2
?(2y)
2
?4

即:
x?y?1



ABCD对角线交点E的轨迹方程为
x?y?1

⑵设过A的直线方程为
y?k(x?2)

以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4,则C=2
22
22
x
2< br>y
2
x
2
y
2
?1
…………………(*)
设椭圆方程为
2
?
2
?1
, 即
2
?
2
aa?4
ab
x
2
k
2
(x?2)2
?1

y?k(x?2)
代入(*)得
2
?
2
aa?4

(a?ak?4)x?4akx?4ak?a?4a?0

设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)则
222222 2242
4a
2
k
2
4a
2
k
2
?a
4
?4a
2
x
1
?x
2
?,x
1
?x
2
?

222222
4?a?aka?ak?4
∵MN中点到Y轴的距离为
的左侧。
4
,且MN过点A,而点A在Y轴的左侧,∴MN中点也在Y轴
3



2a
2
k
2
4?88?a
2< br>222
?,?ak?2a?8
,∴
x
1
?x
2
?,x
1
?x
2
?

2

33
a?a
2
k
2
?4
3

(x
1
? x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2< br>?4x
1
x
2
?()
2
?

MN?
8
3
4
(8?a
2
)

3
88
2

1?k
2
x
1
?x
2
?2

3 3
64324
2
128

(1?k
2
)(?

12a
2
?12a
2
k
2
?32 k
2
?160

?a)?
9339
9a
2
?64

12a?12(2a?8)?32k?160

k?

8
222
2
9a
2
?64
?2a
2
?8

9a
4
?80a
2
?64?0

a?
8
2
(a
2
?8)(9a
2
?8)?0
,∵
a?c?2
,∴
a
2
?8


b
2
?a
2
?c
2
?8?4?4

x
2
y
2
??1
∴所求椭圆方程为
84
⑶由⑴可知点E的轨迹是圆
x?y?1

设< br>(x
0
,y
0
)
是圆上的任一点,则过
(x
0
,y
0
)
点的切线方程是
x
0
x?y
0
y?1

①当
y
0
?0
时,
y?
22
22
1?x
0
x
代入椭圆方程得:
y
0222
(2x
0
?y
0
)x
2
?4x
0
x?2?32y
0
?0
,又
x
0
?y
0
?1


(x
0
?1)x?4x
0
x?32x
0
?30?0

2< br>2
2
x
1
?x
2
?
4x
0
x
0
?1
2
2
,x
1
x
2
?2
32x
0
?30
x
0
?1
2
2

(x
1
?x
2
)?(x
1
?x< br>2
)?4x
1
x
2
?
1
42
(?1 28x?8x?120)

00
2
2
(x
0
?1)
22
xx?y
PQ?(1?(?
0
)
2
)(x1
?x
2
)
2
?
0
2
0
(x
1
?x
2
)
2

y
0
y
0
2
=

1
1?x0
2
?
1
(1?x
0
)
2
2
(?128x
0
?8x
0
?120)?
42
16x
0
?15
(1?x
0
)
2
2
2




16x
0
?15?t(15?t?31)




PQ?
2
2
t256t256
?
2
?< br> , ∵
15?t?31

t?1
2
t?2t?1
1
()t??2
16t
2
∴当t=15时,
PQ
取最大值为15 ,
PQ
的最大值为
15

此时
16x
0
?0,x
0
?0,?y
0
?1
,∴直线l的方程为
y??1

②当
y
0
?0
时, 容易求得
PQ?
2
7?15

故:所求
PQ
的最大 值为
15
,此时l的方程为
y??1


t
?y?(x?a)
27.解(理)(1)易得l的方程为
y?
t
(x?a)
…1分 由
?
,得(a
2
t
2
+4)y
2
-4aty=0…2分
2
?
?
2
2
?
x
?y
2
?1
?
?
a
2
解得y=0或
y?
4at
………………4分
4at
即点M的纵坐标
y?< br>M
a
2
t
2
?4
a
2
t
2
?4
2
4at
…7分 (2)由(1)得,
4a
2
t4a
2
S=S

AMN
=2S

AOM
=|OA|·y
M
=
S??(t?0)

22
4?a
2
t
2
4
4?at
?a
2
t
t< br>令
V?
2
44
?a
2
t,V
?
??
2
?a
2
…………9分 由
V
?
?0?t?

a
t
t

t ?
2
时,
V
?
?0;当0?t?
2
时,V
?
?0
…10分 若1≤a≤2,则
2
?[1,2)
,故当
t?
2
时,S
max
=a11分
a
aa
a
2
若a>2,则
0?
2
?1.?V?
4
?a
2< br>t
在[1,2]上递增,进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,
S?
4a
13分
max
at
4?a
2
综上可得
S
max
?
a(1?a?2)
?
…… ……14分
?
?
4a
2
(a?2)
?
?
4?a
2
28. (1) ∵函数
f
(
x
)=

又函数
f
(
x
)=

bx
+
cbx
.

的图象过原点,即
f
(0)=0,∴
c

=0,∴
f
(
x
)=

x
+1
x
+1
bxab
的图象关于点(-1,1)成中心对称,∴
a
=1,< br>b
=1,∴
f
(
x
)=

=

b

-

x
+1
x
+1
xan
2
a
n
1111
.(2)由题意有
a
n+1
=[

],即
a
n
+1
=

,即

=

+1,∴

-

=1.
x
+1
a
n
+1
a
n
+ 1
a
n
+1
a
n
a
n
+1
an
∴数列{
1
a
n
}是以1为首项,1为公差的等差数列. ∴
1
a
n

1
=1+(
n
-1)=
n
,即
a
n

=

,∴
a
n
=

n



1111
.∴
a
2
=


a
3
=


a
4
=


a
n
=

2
.
n
4916
n
2
1

?
y?m?n
?
?
29、解:(1)由
?
m?(2x?b,1)
,得
y ?2x?1
…………2分
?
n?(1,b?1)
?
?
?L:y?2x?1,?P
1
(0,1)
,则
a
1
?0,b
1
?1,

?a
n
?n?1(n?N
?
),b
n
?2n?1(n?N
?
)
…………4分
(2)当
n?2
时,,
P
n
(n?1,2n ?1),|P
1
P
n
|?5(n?1)

c
n
?
5111
???
…………6分 < br>n|P
1
P
n
|n(n?1)n?1n
?lim(c
1
?c
2
???c
n
)?

n??
111 111
lim[(1?)?(?)?
?
(?)]?lim(1?)?1
…………8分
n??n??
223n?1nn

(3)假设存在符合条件的
k
使命题成立

k
是偶数时,
k?11
是奇数,则
f(k?11)?k?10,f(k)?2k?1


f(k?11)?2f(k),

k?4
…………11分

k
是奇数时,
k?11
是偶数,则
f( k?11)?2k?21,f(k)?k?1


f(k?11)?2f(k),

k
无解
综上存在
k?4
,使得
f(k?11)?2f(k)
…………14分

30.解:(1)设
A(x
1
,y
1< br>)

B(x
2
,y
2
)
,直线AB的方程为 :
y?k(x?1)(k?0)


y?k(x?1)
代入
y
2
?4x
得:
k
2
x
2
?(2k
2
?4)x?k
2
?0

2k
2
?4
4

x
1
?x
2
?

y?y?k(x?1 )?k(x?1)?
1212
k
2
k
?
x
1
?x
2
k
2
?2
x??
?
2
?
k
2
?22
?
?
2k
,
?
; ∴
?
∴点M的坐标为
M
?
2
kk
??
?
y?
y
1
?y
2
?
2
?
2k
?



消去
k
可得点M的轨迹方程为:
y
2
?2x?2(x?0)

k
2
?22
|3?
2
?4??m|
1
kk
(2)∵
d??

556868
68

|3?
2
??m|?1

3?
2
??m??1

2
???1?3?m

kkkk
kk
11
6811
8
63

k?2
0?
2
?

0??4

0?
2
??< br>∴
0??1?3?m?

kk2
k
k2
2

0?1?3?m?
11111519

0??1?3?m?

??m??2

??m??4

2222

?



19
?
19
?
?m??2

m
的取值范围为
?
?,?2
?

2
?
2
?

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