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高考数学压轴题100道汇编(附详解)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 01:53
tags:高中数学压轴题

2012湖北高中数学竞赛-人教版高中数学必修三pdf

2020年10月6日发(作者:廉布)


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

高考数学100道压轴题汇编 附详解


?
1,1?x?2

f
?
x
?
?
?
?
x?1,2?x?3
1.设函数
其中
a?R
,记函数
g
?
x
?

g
?
x
?
? f
?
x
?
?ax,x?
?
1,3
?
最大值与最小值的差为
h
?
a
?
。(I)求函

h
?
a
?
的解析式; (II)画出函数
y?h
?
x
?
的图象并指出
h
?
x
?
的最小值。

2.已知函数
f(x)?x?ln
?
1?x
?
, 数列
?
a
?
满足
0?a
n
1
?1
,
a
n?1
?f
?
a
n
?
; 数列?
b
n
?

2
a
11
*
n< br>足
b
1
?,b
n?1
?(n?1)b
n
,
n?N
.求证:(Ⅰ)
0?a
n?1
?a
n
?1;
(Ⅱ)
a
n?1
?;
(Ⅲ)
2
22
a

1
?
2
则当
,
2
n≥2时,b
n
?a
n
?n!
.
3.已知定义在R上的函数
f
(
x
) 同时满足:(1)
a
为常数);(
2

f(0)?f(
?
)?1
f(x?x)?f(x?x)?2f(x)cos2x?4asinx

x,x?
R,
2
1212122
12
4
?
时,(
3
)当
x?[0,]
4
f(x)

2
求:(Ⅰ)函数< br>f(x)
的解析式;(Ⅱ)
常数
a
的取值范围.


22
yx
4.设
A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)是椭圆
2
?
2
?1(a?b ?0)
上的两点,满足
(
x
1
,
y
1
)? (
x
2
,
y
2
)?0

baba
xb
椭圆的离心率
e?
3
短轴长为
,
2
2,0为坐 标原点. (1)求椭圆的
方程; (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为 半焦距),
求直线AB的斜率k的值;(3)试问:△AOB的面积是否为定值?如

1


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

5.已知数列
{a}
中各项为:
n
12、1122、111222
11??????122??????2
……

、……、

nn
(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求
这个数列前n项之和S
n
.

22
xy< br>6
、设
F
1

F
2
分别是椭圆
+= 1
的左、右焦点
.
54
(Ⅰ)若
P
是该椭圆
上的 一个动点,求
PF?PF
的最大值和最小值;

(Ⅱ)是否存在过
12
0

D
,点
A

5
,的直线
l
与椭圆交于不同的两点
C
、使得
|F
2
C|=|F2
D|

若存在,求直线
l
的方程;若不存在,请说明理由.

7
、已知动圆过定点
P

1

0
),且与定直线
L:x=-1
相切,点
C

l

. (1)
求动圆圆心的轨迹
M
的方程;

(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.


i
)问:△
ABC
能否为正三角形?若能,求点
C
的坐标;若不能,< br>说明理由


ii
)当△
ABC
为钝角三角形时,求 这种点
C
的纵坐标的取值范围
.
8
、定义在
R
上的函数
y=f(x)

f(0)

0
,当
x>0
时,
f(x)>1
,且对任
意的
a

b

R
,有
f(a+b)=f(a)f(b)



1
)求证:
f(0)=1
;(
2
)求证:对任意的
x

R
,恒有
f(x)>0
;(
3

证明:
f(x)

R
上的增函数;(
4
)若
f(x)
·< br>f(2x-x
2
)>1
,求
x
的取值范
围。


2


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9
、已知二次函数
f(x)?x
2
?2bx?c(b,c?R)满足
f(1)?0
,且关于
x
的方程
,(
0

1
)内。

f(x)?x?b?0
的两实数根分别在区间(
-3

-2

求实数
b
的取值范围;


2
)若函数
F(x)?log
上具有单调性,求实数
C
的取值范围


10
、已知函数
f(x)?f(y)?f(
1
f(x)在(?1,1)上有意义,f()??1,
2
b

(< br>1


-1-
c
f(x)
在区间

1-
c

且任意的
x

y?(?1,1)
都有x?y

).
1?xy
?
2x
n
1
*
,x
n?1
?(n?N),求f(x
n
).
2
2< br>1?x
n



1
)若数列
{x}满足x
n1


2
)求
1?f(
1
)?f(
1
)??f(
511< br>11
的值
.
)?f()
n?2
n
2
?3n?1

11.在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为 A (0,-1),B (0,
1)平面内两点G、M同时满足①
GA?GB?GC?0
, ②
|MA|
=
|MB|
=
|MC|

GM

AB
(1)求顶点C的轨迹E的方程 (2)设P、
0) ,已知
PF
2
, Q、R、N都在曲线E上 ,定点F的坐标为(
和最小值.

12.已知
?
为锐角,且
tan
?
?
{a
n
}的首项
a
a
n?1
?a
n


1

FQ
,
RF

FN

PF
·
RF
= 0.求四边形PRQN面积S的最 大值
2?1
,函数
f(x)?x
2
tan2
?
?x ?sin(2
?
?
?
4
)
,数列
?
1,a
n?1
?f(a
n
)
. ⑴ 求函数
f(x)
的表达式; ⑵ 求证:
2
3


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⑶ 求证:
1?

13.(本小题满分14分)已知数列
?
a
?
满足
a
n
n
1
111
?????2(n?2,n? N
*
)
1?a
1
1?a
2
1?a
n

?1,a
n?1
?2a
n
?1
?
n?N
?
?

n
4
b
1
?1
(Ⅰ)求数列?
a
?
的通项公式;(Ⅱ)若数列
?
b
?
满足
44
?
4?(a?1)
,证明:
?
a
?
是 等差数列;
b
2
?1
b
3
?1b
n
?1
n
b
n
n
(Ⅲ)证明:
1


a
2
?
1
?
a
3
?
12
?
?
n?N
?
?
a
n?1
3

2
a
14.已知函数
g
?
x
?
??x
3
?a
x
2
?cx
?
a?0
?
,
(I)当
a?1
时,若函数
g
?
x
?
在区间
32< br>(II)当
a?
?
?1,1
?
上是增函数,求实数
c
的取值范围;
4
1
时,(1)求
2
证:对任意的
x ?
?
0,1
?

g

?
x
?
?1
的充要条件是
c?
3
;(3)若关于
x
的实
系数方程
g

?
x
?
?0
有两个实根
?,
?
,求证:
?
?1,

?

?1
?c?a
4
2
?1
的充要条件
?a.

?2
n(1?n)


15.已知数列{a 前n项的积为
T
,且满足
T
n
}前n项的和为S
n

n
1
n
①求
a
;②求证:数列{a
n
}是等比数列;③是否存在常数a,
使得
?
S

16
、已知函数
y?f(x)
是定义域为
R
的偶函数,其图像均在< br>x
轴的上
方,对任意的
m、n?[0,??)
,都有
f(mn )?[f(m)]
,且
f(2)?4
,又当
x?0
时,
n< br>对
n?N
?
都成立? 若存在,求出
n?1
?a
?< br>?
?
S
n?2
?a
??
S
n
?a< br>?
2
a,若不
存在,说明理由。

4


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其导函数
f'
(Ⅰ)求
F(0)、f(?1)
的值;(Ⅱ)解关于
(x)?0
恒成立。
2
x
的不
kx?2
?
等式:
?
)
?
?2
,其中
k?(?1,1).

?
f(
2
?
2x?4
?

17
、 一个函数
f
?
x
?
,如果对任意一个三角形,只要它的三边长
a,b,c


f
?
x
?
的定义域内,就有f
?
a
?
,f
?
b
?
,f
?
c
?
也是某个三角形的三边长,则称

I
)判断
f
1
?
x
?
?x
f
?
x
?


保三角形函数

.,
f
?
x
?
?x

f
?
x
?
?x
中,哪些
2
23


保三角形函数

,哪些不是,并说明理由;(
I I
)如果
g
?
x
?
是定义在
且值域为
?< br>0,??
?
,证明
g
?
x
?
不是

保三角形函数

;(
III

R
上的周期函数,< br>若函数
F
?
x
?
?sinx

x?
?
0,A
?


保三角形函数

,求
A< br>的最大值.(可以利
用公式
sinx?siny?2sin
x?y
co s
x?y


22

18、已知数列
{a}
的前
n
项和
S
满足:
S
nn
n
?
a
(a
n
?1)

a
a?1
为常数,且
a?0,a?1
).

(Ⅰ)求
{a}
的通项公式;
< br>n
(Ⅱ)设
b
n
?
2S
n
?1
,若 数列
{b
n
}
为等比数列,求
a
n
?
11
?
1?a
n
1?a
n?1
a
的值;(Ⅲ)在满足< br>n
条件(Ⅱ)的情形下,设
c
证:
T
n
n
, 数列
{c}
的前
n
项和为
T
n
.

?2n?
1
3


1
19< br>、数列
?
a
?
中,
a
n
?2
a
n?1
?a
n
?cn

c
是常数,
n?1,2,3,
),且
a,a,a

123
公比不为
1< br>的等比数列。


I
)求
c
的值;(
II< br>)求
?
a
?
的通项公式。(
III
)由数列
?
a
?
中的第
1

3

nn
9< br>、
27

……
项构成一个新的数列
{b}
,求
lim
b
的值。

n
n?1
n??
b
n
20
、已知圆
M:(x?5)
2
?y
2
?36,定 点N(5,0),点P为圆M

上的动点,点
Q

NP
5


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上,点
G

MP
上,且满足
NP?2NQ,GQ?NP?0
.

I
)求点
G
的轨迹
C
的方程;
< br>(
II
)过点(
2

0
)作直线
l
,与曲线
C
交于
A

B

点,
O
是坐标原点,设
OS?OA?OB,

是否存在这样的直线
l
,使四 边形
OASB
的对角线相等(即
|OS|=|AB|
)?若存在,求出直线< br>l
的方程;
若不存在,试说明理由
.

21.飞船返回仓顺 利到达地球后,为了及时
将航天员救出,地面指挥中心在返回仓预计到
达区域安排三个救援中心 (记为A,B,C),B
A B
C
在A的正东方向,相距6km,C在B的北偏东 30
0
,相距4km,P为航天
员着陆点,某一时刻A接到P的求救信号,由于B、C 两地比A距P
远,因此4s后,B、C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知
该信号的传播 速度为1kms.
(1)求A、C两个救援中心的距离;(2)求在A处发现P的方向
角;
(3)若信号从P点的正上方Q点处发出,则A、B收到信号的时
间差变大还是变小,并证明你 的结论.



22.已知函数
y?|x|?1

y?
是方程
x
1
x
2
?2x?2?t

y?
1
(x?
1?t
)
(x?0)
的最小值恰好
2x
3
其中
0?t?1
.(Ⅰ)求证:
a
2
?2b ?3
;(Ⅱ)
?ax
2
?bx?c?0
的三个根,
3
2

(x,M)

(x,N)
是函数
f(x)?x?ax
2
?bx?c
的两个极值点.①若
|x
1
?x
2< br>|?

2

3
6


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求函数
f(x)
的解析式;②求
|M?N|
的取值范围.


23.如图,已知直线
l
与抛物线
x
2
?4y< br>相切于



P
(2,1),且与
x
轴交于 点
A

O

标原点,定点
B
的坐标为(2,0).
(I)若动点M满足
AB?BM?
点M的轨迹C;
2|AM|?0


(II)若过点B的直线
l
′( 斜率不等于零)与(I)中的轨迹C
交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

24.设
g(x)?px?
q
?2f(x),其中f(x)?lnx,且g(e)?qe?
p
?2.

e< br>为自然对数的底数)
xe
(I)求p与q的关系; (II)若
g(x)
在其定义域内为单调函数,求
p的取值范围;
(III)证明: ①
2
ln2ln3lnn2n?n?1

n< br>∈N,
f(1?x)?x(x??1)
;②
2
?
2
?
?
?
2
?
4(n?1)
23n
n
≥2).
25.已知数列
{a}
的前
n
项和
S
满足:
S
nn
n
?
a
(a
n
?1)
a?10

a
为常数,且
,若数列
{b}
为等
na?0,a?1
).(Ⅰ)求
{a}
的通项公式;(Ⅱ)设
b
n
?
2S
n
?1
a
n
比数列,求
a
的值;(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设
c
数列
{c}
的前
n< br>项和为
T
n
,求证:
T
n
n
?
11
?
1?a
n
1?a
n?1

n
?2n?< br>1
3

26
、对于函数
f(x)
,若存在
x
点.如果函数
0
?R
,使
f(x
0
)?x
0
成立,则称
x
0

f(x)
的不动
x
2
?a


f(?2)??
1

f(x)?(b, c?N*)
有且仅有两个不动点
0

2

bx?c
2

7


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(Ⅰ)试求函数
f(x)
的单调区间;(Ⅱ)已知各项不为零的数列
?
a< br>?

n

4S
n
f(
11n?11
)?1
,求证:
??ln??
a
n
a
n?1
na< br>n
20082007
;(Ⅲ)设
b
n
??
1
a
n

T
为数列
?
b
?

nn

n
项和,求证:
T?1?ln2008?T



27
、已知函数
f

x
)的定义域为
{x| x ≠ kπ

k


Z
}
,且对于定义域内
f (x)·f (y)

1
的任何
x

y
,有
f

x
?
y

=
成立,且
f

a

= 1

a

f (y)

f (x)
正常数),当
0 < x < 2a
时,
f

x

> 0
.(
I
)判断
f

x
)奇偶性;(
II

证明
f

x
)为周期函数;(
III
)求
f

x
)在
[2a

3a]
上的最小值和最
大值.


28、已知点R(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,
点M在直线PQ上 ,且满足
2PM?3MQ?0

RP?PM?0
.
(Ⅰ)⑴当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程; (Ⅱ)

A(x,y) 、B(x,y)
为轨迹C上两点,且
x?1, y?0
,N(1,0),求实数?
,使
112211
AB?
?
AN
,且
?AB ??
16

3

29
、已知椭圆
W
的中心 在原点,焦点在
x
轴上,离心率为
6
,两条
3
准线间的距离 为
6.
椭圆
W
的左焦点为
F
,过左准线与
x轴的交点
M
任作一条斜率不为零的直线
l
与椭圆
W
交于 不同的两点
A
、点
A

B


x
轴的对称点为
C
.
(Ⅰ)求椭圆
W
的方程;(Ⅱ)求证:(Ⅲ)求
?MBC
CF?
?
FB
(
?
?R
)

面积
S
的最大值
.


8


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
30
、已知抛物线
C:y?ax
,点
P

1
,-
1
)在抛物线
C
上,过点
P

2
斜 率为
k
1

k
2
的两条直线,分别交抛物线
C于异于点
P
的两点
A

x
1

y1
),
B

x
2

y
2
), 且满足
k
1
+k
2
=0.

I
)求抛物线
C
的焦点坐标;


II
)若点
M
满足
BM?MA
,求点
M
的轨迹方< br>程
.

31.设函数
f(x)?
1
ax
3
3
?bx
2
?cx(a?b?c)
?a
,其图象在点
A(1,f(1)),B(m,f(m))
处的切线
的斜率分别为
0,

(Ⅰ)求证:
0

b
?1
;(Ⅱ)若函数
f(x)
的递增区间为
[s,t]
,求
|s?t|
a
的取值范围; (Ⅲ)若当
x

k
时(
k
是与
a,b,c
无关的常数),恒有
f
?1
(x)?a?0
,试求
k
的最小 值.
32.如图,转盘游戏.转盘被分成8个均匀的扇
形区域.游戏规则:用力旋转转盘,转 盘停止时
箭头A所指区域的数字就是游戏所得的点数(转
盘停留的位置是随机的).假设箭头指 到区域分界
线的概率为
0.1
,同时规定所得点数为0.某同学进行了一次游戏,记所得点数为
?
.求
?
的分布列及数学期望.(数学期望结果保留两位< br>有效数字)
33.设
F
1

F
2
分别是椭 圆
C

y
Q(x,y)
x
2
y
2
??1
(m?0)
的左,右焦点. 22
6m2m
(1)当
P?C
,且
PFPF
1
2
|PF
1
|?|PF
2
|?8
时,
?0

1
M
F
1

O
F
2

x
求椭圆C的左,右焦点
F

F
.(2)
F
2
1
F
2
是(1)中的椭圆的左,右焦点,已

9


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

F
2
的半径是1,过动点
Q
的作
F
2
切线
QM
,使得
QF
1
?2QM

M

切点) ,如下图.求动点
Q
的轨迹方程.

34.已知数列
?
a
?
满足
a
n
1
(1)求证:
?
a
n?1
?2a
n
?
?5
,
a
2
?5
a
n?1
?a
n
?6a
n?1
(n?2)< br>.
n
是等比数列; (2)求数列
?
a
?
的通项公式 ;(3)设
3b
n
n
?n(3
n
?a
n
)
,且
b
1
?b
2
??b
n
?m
对 于
n?N
?
恒成立,求
m
的取值范围。

35. 已知集合
D?
?
(x,x)x
121
?0,x
2
? 0,x
1
?x
2
?k
.(1)设
?
(其中
k
为正常数)
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(? )
2
x
1
x
2
2k
2

u
的取值范围;(2)求证:当
k?1
时不等式
(
u?x
1
x
2

12
对任意
(x,x)?D
恒成立;(3)求使不等 式
(
1
?x)(
1
?x)?(
k
?
2)
对任意
x
1
1
x
2
2
2k
(x
1
,x
2
)?D
恒成立的
k
2
的范围 .

36
、已知椭圆
2
x
C

2
a
2
y

2
b

1

a

b

0
)的离心率为
6
3
,过右焦点
F
且斜率为
1
的直线交椭圆
C

A

B< br>两点,
N
为弦
AB
的中点。(
1

求直线< br>ON

O
为坐标原点)的斜率
K
ON
;(
2
)对于椭圆
C
上任意
一点
M
,试 证:总存在角
?

?

R
)使等式:
OM

cos
?
OA

sin
?
OB
成立。< br>
37

1
)已知曲线
C
上任意一点
M到点
F

0
,的距离比它到直线
l:y??2
的距离小
1



1
)求曲线
C
的方程;


2
)过点
P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设AP?
?
PB.

①当
?
?1时,求直线m
的方程;②当

AOB
的 面积为
42
时(
O
为坐标原点),求
?
的值。
< br>38、已知数列
{a}
的前
n
项和为
S
,对一切正整 数
n
,点
P(n,S)
都在函
n
n
nn

10


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

f(x)?x
n
2
?2x
的图像上,且过点
P
n
(n,S
n
)
的切线的斜率为
k
n



1
)求
数列
{a}
的通项公式.


2
)若
b
n
T
n


?2
k
n
a
n
,求数列
{b
n
}
的前
n
项和


3
)设
Q?{xx?k
n
,n?N
?
},R?{xx?2a
n
,n?N
?
}
,等差数列
{c
n
}
的任一

c
n?Q?R
,其中
c
1

Q?R
中的最小数,
1 10?c
10
?115
,求
{c
n
}
的通项公式< br>.
n
n
39
、已知
S
是数列
?
a
?
的前
n
项和,
a
1
?
3
,2
a
2
?2
,且
S
n?1
?3S
n< br>?2S
n?1
?1?0
,其

n?2,n?N
*.
S
n
?n
(1)
求数列
?
a
?
的通项公式
a
n

(2)(
理科
)
计算< br>lim
的值
. (
文科
)
n??
n
a
n


S
n
.

1
40

)
函数
f(x)
对任意
x

R
都有
f(x)

f(1

x)< br>=
.

1
)求
2
11n?1
f()和 f()?f()(n?N)
的值;

2nn


2
)数列
12n?1
{a
n
}满足a
n
?f(0)?f() ?f()???f()?f(1),求数列{a
n
}
的通项公式。

nnn


3
)令
b

n
?
4
4a
n
?1
22
,T
n
?b
1
2
?b
2
?b
3
2
???b
n
, S
n
?32?
16
试比较
n
T
n

S
n
的大小。

41.已知数列
?
a
?
的首项
a
n
n
1
(a
?2a?1
1
是常数 ,且
a??1
),
a
n
?2a
n?1
?n
2
?4n?2

n?2
),数列
?
b
?
的 首项
b
。 (1)证明:
?
b
n
?

?a

b
n
?a
n
?n
2

n?2< br>)
nn
第2项起是以2为公比的等比数列;(2)设
S
为数列
?
b
?
的前n项和,

?
S
?
是等比数列 ,求实数a的值;(3)当a>0时,求数列
?
a
?
的最小
nn项。

42.已知抛物线C:
y
的距离大1。

11
2
?2px(p?0)
上任意一点到焦点F的距离比到y轴

< p>
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,M在第一象限,
且|MF|=2|NF|,求直线M N的方程;
(3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提
出与原来问题有关 的新问题,我们把它称为原来问题的一
个“逆向”问题.
例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求
该正四棱锥
的体积”.求出体 积
16
后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱
3
锥底面边长为4,体积 为
16
,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥
3
的体积为
16
,求所有侧面面积之和的最小值”.
3
现有正确命题:过点
A(?
p
,0)
的直线交抛物线C:
y
2
2
?2px(p?0)< br>于P、
Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问
题。

43 .已知函数f(x)=
5?2x
,设正项数列
?
a
?
满足< br>a
=l,
a
16?8x
n
1
23n
n?1< br> (I)
?f
?
a
n
?

写出
a

a
的值; (Ⅱ)试比较
a

5
的大小,并说明理由; (Ⅲ)设
4
数 列
?
b
?
满足
b
=
5

a
,记S
n
=
?
b
.证明:当n≥2时,S
n
<< br>1
(2
n
-1).
n
n
n
4
n
i
i?1
4


12


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
44.已知函数f(x)=x-3ax(a∈R). (I)当a=l时,求f(x)的极小
值; (Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切
线,求a的取值范围; (Ⅲ)设g(x)=|f(x)|,x∈[-l,1],求g(x)
的最大值F(a)的解析式.


45.在平面直角坐标系中,已知三个点列{A
n
},{Bn
},{C
n
},其中
A
n
(n,a
n
),B
n
(n,b
n
)

C
n
(n?1 ,0)
,满足向量
A
n
A
n?1
与向量
B
n
C
n
共线,且点(B,n)
3
在方向向量为(1,6)的线上a
围。

1
(1)试用
?a,b
1
??a.

a
与n表示
a
n

(n?2)

(2 )若
a
6

a
7
两项中至少有一项是
a
n
的最小值,试求
a
的取值范
46.已知
F(?2,0),F(2,0 ),点P满足|PF|?|PF
1212
|?2
,记点
P
的轨迹为< br>E
.
(1)求轨迹
E
的方程;
(2)若直线
l
过点
F
2
且与轨迹
E
交于
P

Q
两点.
(i)无论直线
l
绕点
F
2
怎样转动,在
x
轴上总存在定点
M(m,0)

使MP?MQ
恒成立,求实数
m
的值.
(ii)过
P

Q
作直线
x?
1
的垂线
PA
OB
,垂足分别为
A

B

2

?< br>?
|PA|?|QB|
,求λ的取值范围.
|AB|

47 .设
x
1

x(x
21
?x
2
)是函数f (x)?ax
3
?bx
2
?a
2
x(a?0)
的两个极值点.
1
(1)若
x
1
??1,x
2?2
,求函数
f
(
x
)的解析式; (2)若
|x

|?|x
2
|?22,求b
的最大值;
13


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(3)若
x

48.已知
f(x)?log
a
x(0?a? 1),{a
n
}
1
?x?x
2
,且x
2
? a,函数g(x)?f
?
(x)?a(x?x
1
)
,求证:
|g(x)|?
1
a(3a?2)
2
.
12

,若数列{
a
n
}
(1)求{
使得2,f(a
1
),f(a
2
),f(a
3
),??,f(a
n
),2n?4(n?N*)
成等差数列.
a
n
}的通项
a
n
; (2)设
b
n
?a
n
?f(a
n
),
若 {b
n
}的前n项和是S
n
,且
2a
4
2na2n?4
?1,求证:S
n
??3.
22
1?a1?a


49.点P
22
xy
在以
F
1
,F2
为焦点的双曲线
E:
2
?
2
?1
(a?0, b?0)
上,已知
PF
1
?PF
2

ab
|PF
1
|?2|PF
2
|
,O为坐标原点.(Ⅰ)求双曲线的离心 率
e
;(Ⅱ)过点P
12
作直线分别与双曲线渐近线相交于
P,P< br>两点,且
OP?OP
12
??
27

4
,求 双曲线
2PP
1
?PP
2
?0
E的方程;(Ⅲ)若过点Q(m,0)

m
为非零常数)
的直线
l
与(2)中双 曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,

MQ?
?
QN
(< br>?
为非零常数),问在
x
轴上是否存在定点G,使
F
1
F
2
?(GM?
?
GN)
?若存在,求出所有这种定点G的坐标; 若不存在,
请说明理由.

50.已知函数
f(x)?ax
f
?
(?1)?0
3
?3x
2
?6ax?11

g(x)?3x
2
?6x?12
,和直线
m:y?kx?9
,又
(Ⅰ)求
a
的值;(Ⅱ)是否存在
k
的值,使直线
m
既是曲线
y?f(x)
切线,又是
y?g(x)
的切线;如果存在,求出
k
的值;如 果不存在,说明
理由.
(Ⅲ)如果对于所有
x??2

x
,都有
f(x)?kx?9?g(x)
成立,求
k
的取值范

14


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
围.



51.已知二次函数
f(x)?ax
2
?b x?c,(a,b,c?R)
满足:对任意实数
x
,都有
且当
x?< br>(1,3)时,有
f(x)?
1
(x?2)
2
成立。 (1)证明:
f(2)?2

f(x)?x

8
(2 )若
f(?2)?0,f(x)
的表达式。 (3)设
g(x)?f(x)?
m
x

x?[0,??)
,若
g(x)
2
图上的点都位于直线
y?
1
的上方,求实数 m的取值范围。
4

52.(1)数列{
a
n
}和{b< br>n
}满足
a
n
?
1
,求
(b
1?b
2
???b
n
)
(n=1,2,3…)
n
证{b
n
}为等差数列的充要条件是{
a
n
}为等差数列。
(2)数列{
a
n
}和{c
n
}满足
c

53.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行,比赛采用积分
制,比赛规则规定赢一局得2分,平 一局得1分,输一局得0分;
比赛共进行五局,积分有超过5分者比赛结束,否则继续进行. 根
据以往经验,每局甲赢的概率为
1
,乙赢的概率为
1
,且每局比赛输
23
n
?a
n
?2a
n?1
(n?N*)
,探究
{a
n
}
为等差数列的
n
充分必要条件,需说明理由。[提 示:设数列{b
n
}为
b
?
a
n
?
an?2
(n
?
1,2,3
?
)

赢互不受影响. 若甲第n局赢、平、输的得分分别记为
a
变量
?
满足
S
n
?2

a
n
?1

(Ⅱ )若随机
a
n
?0
n?N
*
,1?n?5,
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
.( Ⅰ)求
S
3
?5
的概率;
?
,求
?
的分布 列和数学期望.
?7

?
表示局数)

15


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

54.如图, 已知直线
l
与抛物线
x
(I)若动点M满足
AB?BM?
迹 C;
(II)若过点B的直线
l
?
(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交 于
不同的两点E、F(E在B、F之间),试求
?
OBE与
?
OBF 面积之比的
取值范围.

55,,,
已知
A

B
是椭圆
x
2
a
2
?
y
2
b2
?1(a?b?0)
的一条弦,
M(2

2
?4y< br>相切于点P(2,
1),且与
x
轴交于点A,定点B的坐标为(2, 0) .
2AM?0
,求点M的轨
y
A
M
O
B
N
x
1)

AB
中点,以
M
为焦点,以
椭圆的右准线为相应准线的双
曲线与直线
AB
交于
N(4

—1).


(1)
设双曲线的离心 率
e
,试

e
表示为椭圆的半长轴长的函数
.(2)
当椭圆的离心率是双曲线的离
心率的倒数时,求椭圆的方程
.(3)
求出椭圆长轴长 的取值范围
.





56已知:
f(x)??4?
11
在曲线

,数列{a}的 前n项和为S,点P(a,?)
nnnn
2
a
x
n?1

16


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
y?f( x)上(n?N
*
),且a
1
?1,a
n
?0.


1
)求数列
{a
n
}
的通项公式;(
2
)数列
a
n?1
2
n
{b
n
}
的 前
n
项和为
T
n
,且满足
T
?
T
n
?16n
2
?8n?3
,设定
2
a
n?1
b
1
的值,使得
数列
{b
n
}
是等差数列;

3
)求证:
S

n
?
1
4n?1?1,n?N
*
2

57
、已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
Sn
,并且满足
a
1

2,na
n

1

S
n

n(n

1).

1
)求数列
{a}的通项公式a


2
)设
T为数列{
a
nn
n
2
n
n< br>}的前n项和,求T
n
.


58
、已知向量
m?(
1
,
11
) (a?0) ,将函数f(x)?ax
2
?a
的图象按向量
a2a2
m
平 移后
得到函数
g(x)
的图象。


(Ⅰ)求函数
g(x)
的表达式;

(Ⅱ)若函数
g( x)在[
值为
h(a),求h(a)
的最大值。


59< br>、
已知斜三棱柱
ABC?ABC
的各棱长均为
2


侧棱
BB
与底面
ABC

111
1
2,2 ]
上的最小
成角为
?


3
B
1
C
1
A
1
且侧面
ABBA?
底面
ABC
.
11
O
B
的中点;


1
)证明:点
B
在平面
ABC
上的射影
O

AB
1
A

2
)求二面角
C


?AB
1
?B
的大小

C
;(
3
)求点
C
到平面
CBA
的距离
.
1
1
60
、如图,已知四棱锥
S?ABCD
中,
? SAD


a
的正三角形,平面
SAD?
平面
AB CD


A
S
边长
四边
D
Q
C
17
P
B


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

ABCD为菱形,
?DAB?60

P

AD
的中点,
Q

SB
的中点
.
(Ⅰ)求证:
PQ
平面
SCD


(Ⅱ)求二面角
B?PC?Q
的大小.




61.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{
a
n
}的集合:

a
n
?a
n?2
?a
n?1
;

a
n
?M.其中n?N
*
,
M
2
是与n 无关的常数. (1)若
{
a
n
}是等差数列,S
n
是 其前n项的和,a
3
=4,S
3
=18,证明:{S
n
}∈
W。 (2)设数列{
b
n
}的通项为
b

6 2.数列
?
a
?
和数列
?
b
?

n?N
)由下列条件确定:(1)
a
n
n
n
?5n?2n
,且{b
n
}?W
,求
n
M的取值范
n围;(3)设数列{
c
n
}的各项均为正整数,且
{c}?W.证明:c ?c
n?1

+1
?0
k

b?0
;(2 )
1

k?2
时,
a

b
满足如下条件: 当
a
kk
k?1
?b
k?1
?0
2
时,< br>a
k
?a
k?1

b?
a
k?1
? b
k?1
2
;当
a
k?1
?b
k?1
?0
2
时,
a
k
?
a
k?1
?b
k? 1
2

b
k
?b
k?1
.
k
解答下列问题: (Ⅰ)证明数列
?
a
n
?b
k
?
n??
是等比数列;(Ⅱ)记数列
?
n(b
a
n
k
?a
n
)
?
的前
n
项和为
S< br>,若已知当
a?1
时,
lim
n
b
1
?b< br>2
??b
n
11
?0
,求
limS
.(Ⅲ)
n(n?2)
是满足
n??
n
的最大整数时,用
a

b
表示
n
满足的条件.

63. 已知函数
f
?
x
?
?lnx?
1
?ax,x?
?
0, ??
?
(a为实常数). (1) 当a = 0
x
时,求
f
?
x
?
的最小值; (2)若f
?
x
?

[2,??)
上是单调函数,求a的
取值范围; (3)设各项为正的无穷数列
{x}
满足
lnx?
1< br>?1
?
n?N
?
,

n
*
n
x
n?1
证明:
x
≤1(n∈N).
n
*

18


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

64.设函数
f(x)?x
3
(Ⅰ)求
?ax
2
?bx< br>(x?0)
的图象与直线
y?4
相切于
M(1,4)

?ax
2
?bx
的值域也是
[s,t]
,若存
(Ⅱ)是否 存在两个不
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
在区间
(0,4]
上的最大值与最小值;
等正数
s,t
(s?t)
,当x?[s,t]
时,函数
f(x)?x
3
在,求出所有这样的正数
s,t
;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)设存在
两个不等正数
s,t
(s? t)
,当
x?[s,t]
时,函数
f(x)?x
求正数
k< br>的取值范围.


65.

已知数列
?
a< br>?
中,
a
n
n
1
3
?ax
2
?bx
的值域是
[ks,kt]

?1

na
n ?1
?2(a
1
?a
2
?...?a
n
)n?N< br>*
?


1
)求
a,a,a

?

234

2
)求数列
?
a
?
的通项
a



3
)设数列
{b}< br>满足
b
n
n
11
2
?,b?b
n
? b
n

1n?1
2a
k
求证:
b

n
?1(n?k)

66
、设函数
f
?
x
?
?
?
1?x
?
2
?2ln
?
1 ?x
?
.(1)求
f
?
x
?
的单调区间;(2)若 当
?
1
?
x?
?
?1,e?1
?
时,(其 中
e?2.718?
)不等式
f
?
x
?
?m
恒成立,求实数
m
的取值范
?
e
?
围;(3)试讨论关于
x
的方程:
f
?
x
?
?x
2
2< br>?x?a
在区间
?
0,2
?
上的根的个数.
?x< br>67
、已知
f(x)?x?ax?a(a?2,x?R)

g(x)? e

?(x)?f(x)?g(x)
.(1)当
a?1
时,

?(x)
的单调区间;(2)求
g(x)
在点
(0,1)
处的切线与直线
x?1
及曲线
g(x)

围成的封闭图形的面积;( 3)是否存在实数
a
,使
?(x)
的极大值为3?
若存在,求出a
的值,若不存在,请说明理由.
22
xy
68
、已知椭圆< br>C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率 为
3
3
ab
,直线
l

y=x+2
与以< br>原点为圆心、椭圆
C
1
的短半轴长为半径的圆
O
相切。


1
)求椭

C
1
的方程;


2
)设椭圆
C
1
的左焦点为
F
1
,右焦点为
F
2
,直
线
l
1
过点
F1
,且垂直于椭圆的长轴,动直线
l
2
垂直于
l
1,垂足为点

19


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
P
,线段
PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点
M
,求点
M
的轨迹
C
2
的方程;


3
)设C
2

x
轴交于点
Q
,不同的两点
R

S

C
2
上,且

满足
QR?RS?0



|QS|
的取值范围。

22
xy
C:
2
?
2
?1
(a>b>0)的左、右焦点,点
ab
69< br>、已知F
1
,F
2
是椭圆P
(?2,1)
在椭圆上, 线段PF
2
与y轴的交点M满足
PM?FM?0
。(1)求椭圆C
2
的方程。(2)椭圆C上任一动点M
(x,y)
关于直线y=2x的对称点为M
1
00
(x
1
,y
1
),求3x
1
-4 y
1
的取值范围。

2
x
70
、已知
A ,B,C
均在椭圆
M:
2
?y
2
?1(a?1)
上 ,直线
AB

AC
分别过椭圆的
a
左右焦点
F
F
,当
AC?FF
12
12
?0
时,有9AF?AF
12
?AF
1
2
2
.(Ⅰ)求椭圆
M
的方
2
程;(Ⅱ)设
P
是椭圆
M
上的任一点,
EF
为圆
N:x?
?
y?2
?
径,求
PE ?PF
的最大值.

71.如图,

A(m,3m)

B(n,?3n)
两点分别在射
y
?1
的任一条直
线
OS

OT
上移动,且
OA?OB? ?
1

O
为坐标
2
A
原点,动点
P
满足
OP?OA?OB
.
(Ⅰ)求
m?n
的值;

(Ⅱ)求
P
点的轨迹
C
的方程,并说明它
B
O
P
x
表示怎样的曲线?

(Ⅲ)若直线
l
过点
E

2

0
)交(Ⅱ)中曲线
C

M

N


点,且
ME?3EN
,求
l
的方程
.


20


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

72.
已知函数
f(x)?
1
x
2
2
?alnx ,g(x)?(a?1)x(a??1),H(x)?f(x)?g(x)

(1)
若 函数
f

x
)、
g

x
)在区间
[1

2]
上都为单调函数且它们的单调性相同,
求实数
a
的取值范围;
(2)
?、?是函数
H

x
)的两个极值点, ?
<
?,
x
2
?[
?
,
?
],求证:对任意的
x
1
、不等式
|H(x
1
)?H(x
2
)|?1
?
?(1,e](e?2.71828)

成立


73.

f(x)
是定义在
?
?1 ,1
?
上的奇函数,且当
?1?x?0
时,
f(x)?2x
3
?5ax
2
?4a
2
x?b

(
Ⅰ< br>)
求函数
f(x)
的解析式;
(

)
当< br>1?a?3
时,求
函数
f(x)

?
0,1
?
上的最大值
g(a)

(

)
如果对满足
1?a?3
的一切实数
a

函数
f(x)

?< br>0,1
?
上恒有
f(x)?0
,求实数
b
的取值范围 .

74.
已知椭圆
C
的中心为原点,点
F
(1 ,0)
是它的一个焦点,直线
l
过点
F
与椭圆
C
交 于
A,B
两点,且当直线
l
垂直于
x
轴时,
OA? OB?
5
.(Ⅰ)求
6
椭圆
C
的方程;(Ⅱ)是否存在直线
l
,使得在椭圆
C
的右准线上可以
找到一点
P
,满 足
?ABP
为正三角形.如果存在,求出直线
l
的方程;
如果不存在 ,请说明理由.


75.

已知数列
?
a
?
满足
a
n
n
1
?
a
n?1
1
,(Ⅰ)求数列
?
a
n
?

a
n
?(n?2,n?N)

n
4
?
?1
?
a
n?1
?2
n
通项公式
a
;(Ⅱ)设
b?
1
a
n
2
,求数列
?
b
?
的前
n
项和
S
;(Ⅲ)设
nn

21


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
c
n
? a
n
sin
(2n?1)
?
2
,数列
?
c
?
的前
n
项和为
T
.求证:对任意的
n?N

T
?
n
n
n
?
4

7

76
、已知函数
f(x)?(x
2
1
?x?)e
ax
(a?0)

1
)求曲线
y?f(x)在点
A(0,f(0))
处的
a
切线方程


2
)当
a?0
时,求函数
f(x)
的单调区间


3
)当
a?0
时,若
3
?
恒成立,求的取值范围。

不等式
f(x)?
3
?0,对x?
?
a
?,??
?
?
a
?
a
?

(1)

a?2
时,
已知函数
f(x)?
x?a
,其中< br>a
为实数.求曲线
y?f(x)
77

lnx
在点< br>(2,f(2))
处的切线方程;
(2)
是否存在实数
a
,使 得对任意
x?(0,1)?(1,??)

f(x)?x
恒成立
?< br>若不存在,请说明理由,若存在,求出
a
的值并加以证明.


78
、已知
f(x)?lnx,g(x)?
1
x
2
27
直线
l
与函数
f(x)

g(x)
的图像都
?mx?(m?0)

2
相切,且与函数
f(x)
的图像的 切点的横坐标为
1


(Ⅰ)求直线
l
的方程及
m
的值;(Ⅱ)若
h(x)?f(x?1)?g'(x)(其中g'(x)是g(x)

导函数),求函数
h(x)
的最大值;

(Ⅲ)当
0?b? a
时,比较:
a?2af(a?b)

b?2af(2a)
的大小,


79
、已知抛物线
C

y?4x
的准 线与
x
轴交于
M
点,过
M
点斜率为
k
的< br>2
直线
l
与抛物线
C
交于
A

B< br>两点
(
A

M

B
之间
)

(1)
F
为抛物线
C
的焦点,若
|AM|?5
|AF|
,求
k
的值;

4
(2)
如果抛物线
C
上总存在点
Q

使得
QA?QB
,试 求
k
的取值范围.



22


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
80、在平面直角坐标系 中,已知定圆
F:

F
为圆心),定直线
,
作与圆
F
内切且和直线相切的
动圆
P

(1)
试求动圆圆心P
的轨迹
E
的方程。(
2
)设过定圆心
F
的直 线自
下而上依次交轨迹
E
及定园
F
于点
A

B

C

D
,①是否存在直线
,使得成立?若存在,请求 出这条直线的方程;若不存在,
的值是否为定值?请说明理由。 ②当直线绕点
F
转动时,
若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。


81.已知函数
f
?
x
?
?x
且< br>f
?
?1?x
?
?f
?
?1?x
?
对任意

?

?mx?n
的图像过点
?
13
2
实数都成立,函数
y?g
?
x
?

y?f?
x
?
的图像关于原点对称。


f
?
x
?

g
(
x
)
的解析式;(Ⅱ)若
F
(
x
)
=g
(
x
)
f
?
?1?x
?
?f
?
?1?x
?
,f
?
1< br>?
?3
(Ⅰ)

?
f
?
x
?

[-1

1]
上是增函数,求实数λ的取值范围;


82.设数列
?
a
?
,
?
b
?
满 足
a
nn1
?b
1
?6,a
2
?b
2?4,a
3
?b
3
?3

,且数列
?
a
n
n?1
?a
n
?
n?N
?
n
??

等差数列,数列
?
b
n
?2
?
n? N
?
?
?

I
)求数列
?
a
?< br>和
?
b
?
的通项
?
是等比数列。
k
公式;(
II
)是否存在
k?N
,使
a
在,说明理由。

?
1
?
?b
k
?
?
0,
?
,若存在,求出
k
,若不存
?
2
?

23


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
83.

数列
{a}
的首项
a
n
1
?1
,前
1
S
n
n
项和
S
n

2
2S
a
n
之间满足
a
n
?
n< br>(n?2).

2S
n
?1


1
)求证:数列
{}
的通项公式;


2
)设存在正数
k
,使
k
的最大值
.
(1?S
1
)(1?S
2
)
?
(1?S
n
)?k2n?1
对一切
n?N*
都成立,求

84.已知< br>22
xy
F
1

F
2
分别是椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左、右焦点,其左准线
ab

x
轴相交于点
N
,并且满足,
FF
12
?2NF
1
,|F
1
F
2
|?2.

A

B
是上半椭圆
上满足
NA?
?
NB
的两点,其中< br>?
?[
1
,
1
].

53


1
)求此椭圆的方程及直线
AB
的斜率的取值范围;



2
)设
A

B
两点分别作此椭圆 的切线,两切线相交于一点
P

求证:点
P
在一条定直线上,并求点
P
的纵坐标的取值范

.

85.已知函数
f( x)?ln(x?
3
)?
2
,g(x)?lnx.


1
)求函数
f(x)
是单调区间;

2x< br>(
2
)如果关于
x
的方程
g(x)?
1
x? m
有实数根,求实数
m
的取值集合;

2

3
)是否存在正数
k
,使得关于
x
的方程
f(x)?kg(x )
有两个不相等的
实数根?如果存在,求
k
满足的条件;如果不存在,说明理 由
.

86、已知抛物线
y?2px(p?0)
的焦点为
F
,直线
l
过点
A(4,0)
且与抛物线
交于
P, Q
两点.并设以弦
PQ
为直径的圆恒过原点.(Ⅰ)求焦点坐标;
(Ⅱ)若< br>FP?FQ?FR
,试求动点
R
的轨迹方程.

2

24


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
22xy
87
、已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的点到右焦点
ab
F
的最小距离是
2?1

F
到上顶点的距离为
2
,点
C(m,0)
是线段
OF
上的一个 动点
.

I
)求椭圆的方程
;(

)
是 否存在过点
F
且与
x
轴不垂直的直线
l
与椭
圆交于
A

B
两点
,
使得
(CA?CB)?BA
,
并说明理由
.
88
、椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为
A (0,2)
,右焦点
F
与点
B(2,2)
的距离为
2




1
)求椭圆的方程;


2< br>)是否存在斜率
k?0
的直线
l

y?kx?2
,< br>使直线
l
与椭圆相交于不同的两点
M,N
满足
|AM|?|A N|
,若存在,求直
线
l
的倾斜角
?
;若不存在,说明理由 。


89
、已知数列
?
a
?
的前
n
项和为
S
,且对一切正整数
n
都有
S
n
n
n
1
?n
2
?a
n

2
(< br>1
)证明:
a
n?1
?a
n
?4n?2
;(
2
)求数列
?
a
?
的通项公式;(
3
)设
n
?
1
??
1
?
?
1
?
???
f(n)?
?
1?
??
1?
?
?
1 ?
?
?
?
a
1
??
a
2
?
?
a
n
?
,求证:
f(n?1)?f(n)
对一切
n?N
?
都成立。

?
?
2n?1
?

90
、已知等差数列
?
a
?
的前三项为
a?1,4 ,2a,
记前
n
项和为
S


n
n
(

)

S

k
? 2550
,求
a

k
的值;
(

)

b
n
?
S
n
n
,求
b
3?b
7
?b
11
?????b
4n?1
的值.

91.已知
f
?
x
?
定义在R上的函数,对于任意的实数a ,b都有
f
?
ab
?
?af
?
b
?
?bf
?
a
?
?
1
?
的值 ,且
f
?
2
?
?1
求(2)求
f
?
2
?
的解析式(
n?N

f
(1)
?
2
?
?n
?
??

92. 设函数
f
?
x
?
?xx?a?b
(1)求证:
f
?
x
?
为奇函数的充要条件是
a

2
?b
2
?0
25


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(2)设常数
b

2
取值范围
93.已知函数
f (x)?x
2
2?3
,且对任意x
?
?
0,1
?< br>,
f
?
x
?
<0恒成立,求实数
a

.1
)(
a
为常数)(如果对任意
x?[1,2],f(x)?a
?(a?3)x?a
2
?3a
2
恒成立,求实数
a
的取值范 围;(
2
)设实数
p,q,r
满足:
p,q,r
中的某一< br>个数恰好等于
a
,且另两个恰为方程
f(x)?0

的两实根 ,判断①
p?q?r


p
2
?q
2
?r
2
,③
p
3
?q
3
?r
3
是否为 定值?若是定值请求出:若不是定值,

,且
a?(0,1)

1< br>请把不是定值的表示为函数
g(a)
,并求
g(a)
的最小值;(3
)对于(
2

中的
g(a)
,设
H(a)? ?
1
[g(a)?27]
,数列
{a}
满足
a
6< br>n
n?1
?H(a
n
)
(n?N
*
)
试判断
a

a
的大小,并证明
.
n?1n
A< br>2
为焦点的双曲线
E
与半径为
c
的圆
O
相交 于
C
,94.如图,以
A
1

D

C1

D
1
,连接
CC
1

OB
交于点
H
,且有:
OH?(3?2


1
)当
c=1
时,求双曲线
E
的方程;



2
)试证:对任意正实数
c
,双曲线
E
的离心率为常数。



3
)连接
A
1C
与双曲线
E
交于
F
,是否存在

实数
?
,使AF?
?
FC
恒成立,若存在,试求出
?
的值;< br>
1
3)HB
。其中
A
1

A
2< br>,
B
是圆
O
与坐标轴的交点,
c
为双曲线的半焦距。


若不存在,请说明理由
.
95.设函数
f(x)?< br>1
ax
3
3
?bx
2
?cx(a?b?c),其图象 在点A(1,f(1),B(m,f(m))
处的切线的斜
率分别为
0
,-< br>a.

1
)求证:
0?
b
?1




2
)若函数
f

x
) 的递增区间为
[s

t]

a

|s
-< br>t|
的取值范围
.

3
)若当
x
≥< br>k
时,(
k

a

b

c
无关的常
数),恒有
f'(x)?a?0
,试求
k
的最小值



26


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

96.

设函数
f(x)?ax
2
?
f(x)(x ?0)
?bx?1(a,b为实数),F(x)?
?
(x?)
?
?f (x)


1
)若
f(?1)?0
且对任
意实 数均有
f(x)?0
成立,求
F(x)
表达式;

(< br>2
)在(
1
)在条件下,

x?[?2,2]时,g(x)? f(x)?kx
是单调函数,求实数
k
的取值范围;


3


mn<0

m+n>0

a>0

f(x)
为偶函数,证明
F(m)?F(n)?0.



97.

在平面直角坐标系内有两个定点
F、F
和动点
P< br>,
F、F
坐标分别为
1212
F
1
(?1,0)

F(1,0)
,动点
P
满足
|PF|
?< br>1
2
|PF
2
|
2
2
,动点
P的轨迹为曲线
C
,曲线
C

B
两于直线
y?x
的对称曲线为曲线
C'
,直线
y?x?m?3
与曲线
C'< br>交于
A

点,
O
是坐标原点,△
ABO
的面 积为

2
)求
m
的值。



9 8.数列
?
a
?

a?1,a?2a?n?3n(n?N)

⑴是否存在常数
?

?
,使得数列
?
a?
?
n?
?
n
?
是等比数列,若存在,
求出
?

?
的值,若不存在,说明理由。
⑵设
b?
1
,S?b?b?b?
?
?b
,证明:当
n?2
时,
6n?S?
5
.
2?
7



1
)求曲线
C
的方程;
n
1n?1n
2
n
n
a
n
?n?2
n?1
n123n
(n?1)(2n?1)
n
3


99
、数列
{a}
的前
n
项和为
S,a
n
n1
?10,a
n?1
?9S
n
?10


n

I
)求证:
{lga}< br>是等差数列;(Ⅱ)设
T
是数列
?
?
n
?
3
?
的前
n

?
(lga
n
)(lgan?1
)
?
和,求
T
;(Ⅲ)求使
T
n
n
1
?(m
2
?5m)
对所有的
n?N
?
恒成立的整数
m
的取值
4

27
集合。


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)


1 00
、已知数列{
a
}中,
a
n
1
在直线
?,点(n,2a
n?1
?a
n

1
2
y=x上, 其中
n=1,2,3….
(1)令
b
nn
n
(2)求数列
?
a
n
?
的通项;

?a
n?1?a
n
?1,
求证数列
?
b
n
?
是等 比数列;
n
n
n
S

S、T分别为数列
?
a
?

使得数列
?
?
b
?
的前
n
项和,是否存在实数
?

?
?
?
?
T< br>n
?
?
n
?
为等差数列?若存在,试求出
?
.若不存在,则说明理由。















高考数学压轴100题解析

28


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)


1 .解:(
I

g
?
x
?
?
?
?< br>1?ax,1?x?2
?
1?a
?
x?1,2?x?3

?


1
)当
a?0
时,函数
g
?
x
?

?
1,3
?
增函
此时,
g
?
x
?
max
?g
?
3
?
?2 ?3a


g
?
x
?
min
?g
?
1
?
?1?a
,所以
h
?
a
?
?1?2a
;——
2


2
)当
a?1
时 ,函数
g
?
x
?

?
1,3
?
减 函
此时,
g
?
x
?
min
?g
?
3
?
?2?3a


g
?
x
?
m ax
?g
?
1
?
?1?a
,所以
h
?a
?
?2a?1
;————
4




3
)当
0?a?1
时,若
x?
?
1,2
?
,则
g
?
x
?
?1?ax
,有
g
?
2
?
?g
?
x
?
?g
?
1< br>?



x?
?
2,3
?
,则g
?
x
?
?
?
1?a
?
x?1
,有
g
?
2
?
?g
?
x
?
?g
?
3
?



因此,
g
?
x
?
min
?g
?
2
?
?1?2a
,— ———
6




g
?
3
??g
?
1
?
?
?
2?3a
?
?
?
1?a
?
?1?2a



故当
0? a?
1
2
时,
g
?
x
?
max
? g
?
3
?
?2?3a
,有
h
?
a
?
?1?a




1
2
?a?1
时,
g
?
x
?
max
?g
?
1
?
?1?a
,有
h
?
a
?
?a
;————
8


?
?
1?2a,a?0
综上所述:
?
1?a,0?a?
1
h
?
a
?
?
??
2
。————
10


?
?
a,< br>1
?a?1
?
2
?
2a?1,a?1

(< br>II
)画出
y?h
?
x
?
的图象,如右图。————
12



数形结合,可得
h
?
x
?
?h
?
?
1
?
min
?
2
?
?
?
1
2
。————
14




数,


数,
29


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
2.解
: (Ⅰ )
先用数学归纳法证明
0?a
n
?1
,
n?N
*< br>.


1
)当
n=1

,
由已知得结论成立
;


2
)假设当
n=k

,
结论成立,

0?a

因为
0
,
f
?
(x)?1?
k
?1
.
则当
n=k+1

,
1x
??0
,
所以
x?1x?1
k
f(x)

(0,1)
上是增函数
.
k?1


f(x)

?
0,1
?
上连续
,
所以f(0)a
)
0<
a

故当
n=k+1

,
结论也成立
.

0?a

.————4



又由
0?a
n
n
?1?ln2?1
.
?1
对于一切正整数都成
?1
,

a
n?1n?1
?a
n
?a
n
?ln
?
1?a
n
?
?a
n
??ln(1?a
n
)?0
,
从而
a
n?1
?a
n
.

综上可知
0?a?a
n
?1.
————6


(Ⅱ)
构造函数

2
x
g(x)=
2
-f(x)=
x
2
?ln(1?x)?x
, 02
2
x

g
?
(x)??0
,

1?x
g( x)

(0,1)
上增函数
.

g(x)

?
0,1
?
上连续
,
所以
g(x)>g(0)=0.

22
aa
nn
因为
0?a
n
?1
,
所以
g
?
a
n
?
?0
,

?f
?
a
n
?
>0,
从而
a
n?1
?.
————10
22


(Ⅲ)
因为


所以
b

n
b
11
n?1

b
1
?,b
n ?1
?(n?1)b
n
,
所以
b
n
?0
,
n?1
?
b
n
2
22
,
?
b
n
b
n?1
?
b
n?1
b
n?2
b
2
1
?b
1
?
n
?n!

b
1
2
————① , ————12


n
2
a
n

(Ⅱ)
a
n?1
?,

:
a
n?1
?
a
n
a
n
2
2
,
所以
a
=
a
a
1
2
a
1
?
a
3
a
2
a
n
aa
?
12
a
n?1
22
a
n?1

2
,

因为
a
1
?
2
2
, n≥2,
0?a
n?1
?a
n
?1.


所以

aa
a
n
?
12
22
a< br>n?1
<
a
1
n
?a
1
2
n?1< br>2
2
2?a
1
<
n
2
=
1
————② . ————14


2
n

由①②

两式可知
:
b
n
?a
n
?n!
.————16



30


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

?
?
x??x
1
?
x?0
?
?
3.(Ⅰ)在
f (x
1
?x
2
)?f(x
1
?x
2
)?2 f(x
1
)cos2x
2
?4asin
2
x
2中,分别令
?
1

?
4

?
x
2
?x
?
x?
?
2
?
?4
?
?
f(x)?f(?x)?2cos2x?4asin
2
x, ①
?
?
x
1
?
?
?
?
?
?
4



?
f(+x)?f(x)?2a,
?
?
2
?< br>x?
?
?x
2
?
?
?
?
?4
2
?
f(+x)?f(?x)=2cos(+2x)?4asin(+x)③
??224




②-③,
1?cos2(? x)
?
1?cos2x
4

2f(x)?2a?2cos2x?2c os(?2x)?4[

a]-4[a]
222
?

2a? 2(cos2x?sin2x)?2a(cos2x?sin2x)

f(x)?a?
?
时,
?
(Ⅱ)当
x?[0,]sin(2x?)
?
[44
2


,1]
2
2[
2(1?a)sin(2x?)

4
?

1
)∵
f(x)

2
,当
a<1时,
1?a?
2
(1?a)]

f(x)

a ?2(1?a)

2


2

1?2
≤< br>(1?2)a

2?2


?2

a

1




2
)∵
f(x)

2
,当
a

1
时,?
2

a?2(1-a)

f(x)

1
.即
1

a

4?32< br>.

故满足条件
a
的取值范围[?
2

4?32
].


4.(
1

2b?2.b?1,e?
c
?
a
椭圆的方程为
a
2
?b
2
3
??a?2.e?3

a2
y
2
?x
2
?1

4


2
分)

3


2
)设
AB
的方程为
y?kx?
?
y?kx?3
?23k?1
22

?
2
?(k?4)x?23kx?1?0x?x?,x x?
?
y
1212
22
2
k?4k?4
?x?1< br>?
?
4

31


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
4
分)

由已知

x
1
x
2
y
1
y
2
1k
2
3k3
0?
2
?
2
?x
1
x
2
?(kx
1
?3)(kx
2
?3)?(1 ?)x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
4444
ba
k
2
?413k?23k3
?(?
2
)??
2
?,解得k??
2
44
k?4k?4
4



7
分)



3
)当
A为顶点时,
B
必为顶点
.S

AOB
=1

8
分)


A

B
不为顶点 时,设
AB
的方程为
y=kx+b
?
y?kx?b
?2kb

?
2
222
? (k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x?
?
y
12
2
k< br>2
?4
?x?1
?
?
4
b
2
?4< br>
x
1
x
2
?
2
k?4
x
1
x
2
?
y
1
y
2
(kx?b)(kx< br>2
?b)
?0?x
1
x
2
?
1
?0 代入整理得:
2b
2
?k
2
?4

11
4 4
分)

11|b|4k
2
?4b
2
?16
2
S??|b||x
1
?x
2
|?|b|(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
|?
22
k
2
?4

4k
2
??1

2|b|
所以三角形的面积为定值
.

12
分)


5(
1

a
n
12
?(10
n
?1)?10
n
??(10
n
?1)

99

………………………………
(2

)

)
10
n
?110
n
?1
1
nn
)?(?1)
…………………………………
(4
?(10?1)?(10 ?2)
?(
33
9
n
10
记:
A =
?1

3
,

A=
33??????3
为整数


n
?

a
n
= A (A+1)





………………………………………………………
( 6

) (2)

32


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
112
a
n
?10
2n
?10
n
?
999
………………… ………………………………
(8

)

S?
1
(10
n
2
9
12
?10
4
????????10
2n
)?(10?10
2
???????10
n
)?n
99
1
?11
n?
1?0

?
1
n?2
(1
2
0?
891
(12n?198
……………………………………………
210)

)

6
、解:(Ⅰ)易知
a?
1
222
5,b?2, c?1,?F
1
?(?1,0),F
2
(1,0)

2


P

x

y
),则
PF?PF
41
x?4?x?1?x?3

55
?x?[?5,5]


?(?1?x,?y)?(1?x,? y)?x
2
?y
2
?1

?当x?0
,即点
P
为椭圆短轴端点时,
PF?PF
有最小值
3


12
12

x??5
,即点
P
为椭圆长轴端点时,
PF?PF
有最大值
4
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线
l
易知 点
A

5

0
)在椭圆的外
部,当直线
l
的斜率不存在时,直线
l
与椭圆无交点,所在直线
l
斜率存在,设为
k
直线
l
的方程为
y?k(x?5)

?x
2
y
2
??1
由方程组
?
,得(5k
2
?4)x
2
?50k
2
x?125k
2
?20 ?0

4
?
5
?
y?k(x?5)
?
依题 意
??20(16?80k

?
2
)?0,得?
55

?k?
55

22
00
55
时,设交点
?k?
55
C
(x,y)、D(x,y)

CD
的中点为
R
(x,y)


11
22
x
1
?x
2
50k25k

x
1
?x
2
?
2
,x
0
? ?
2
2
5k?45k?4

33


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
25k?20k

?y?k(x?5)?k(?5)?.
2
00
5k
2
?4< br>2
5k
2
?4

|F
2
C|=|F
2
D|
?FR?l?k?k
0?(?
?k?k
F
2
R
F
2
R
??1

20k
)
2
2 0k
2
5k?4
?k????1

22
25k4?20k
1?
2
5k?4


20k
2
=20k
2

4
,而
20k
2
=20k
2

4
不成立,

所以不存在直线< br>l

使得
|F
2
C|=|F
2
D|
综上所述,不存在直线
l
,使得
|F
2
C|=|F
2D|

7
、解:
(1)
依题意,曲线
M
是 以点
P
为焦点,直线
l
为准线的抛物线,
所以曲线
M
的方程为
y
2
=4x.
?
(2)(i)由题意得,直线AB的方 程为:y??3(x?1)由
?
y
2
??3(x?1)
消去 y 得:
?
y?4x

假设存在点
C
(-
1

y
),使△
ABC
为正三角形,则
|BC|=|AB|
且< br>|AC|=|AB|
,即

16
2
?
22
( 3?1)?(y?23)?(),
?
3
相减得:4
2
?(y?23)
2
?(
4
)
2
?(y?
23
)
2
,解得y??
143
(不符,舍)
?
12
2
16< br>2
339
)?()
?
(?1)
2
?(y?
3
3
?
3
112316
3x
2
?10x?3?0,解 得x
1
?,x
2
?3.所以A(,),B(3,?23),|AB|?x1
?x
2
?2?.
3333

因此,直线l
上不存在点
C
,使得△
ABC
是正三角形
.

ii
)解法一:设
C
(-
1

y
)使 △
ABC
成钝角三角形,

?

?
y??3(x?1)
得 y?23,此时A,B,C三点共线,故y?23.
?
x??1





34
123
2
28
43y
16256
又|AC|
2
?(?1?)
2
?(y?)???y2
,|AB|
2
?()
2
?
339339
当| BC|
2
?|AC|
2
?|AB|
2
,即28?43y?y
2
?
28432562
?y?y
2
?,即y?3 时,
9399

CAB
为钝角
.


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
当|AC|
2< br>?|BC|
2
?|AB|
2
,即
2843256
?y ?y
2
?28?43y?y
2
?
939


y??
10
3 时?CBA为钝角.
3

2562843y
???y
2
?28?43y?y
2
993
又|AB|
2
?|AC|
2
?|BC|
2
,即
即:y
2?
442
2
3y??0,(y?)?0
33
3
.
该不等式无解,所以∠
ACB
不可能为钝角
.
因此,当△
ABC
为钝角三角形时,点
C
的纵坐标
y
的取值范围是
:
.
解法二:


AB
为直径的圆的方程为
: < br>528528
(x?)
2
?(y?3)
2
?()
2< br>圆心(,?3)到直线L:x??1 的距离为
333333
所以,以AB为直径的圆 与直线L相切于点G(?1,?
23
).
3
y??
10323
或y?(y?23)
39
.

当直线
l
上的
C
点与
G
重合时,∠
ACB
为直角,当
C

G
点不重合,且
A


B

C
三点不共线时,


ACB
为锐角 ,即△
ABC
中∠
ACB
不可能是
钝角
.
因此 ,要使△
ABC
为钝角三角形,只可能是∠
CAB
或∠
CBA
为钝角
.
过点A且与AB垂直的直线为:y?
233123
?(x?) .令x??1得y?
3339
.
.
过点B且与AB垂直的直线为:y? 23?
310
(x?3),令x??1得y??3
33
?
又由
?
y??3(x?1)
解得y?23,所以,当点C的坐标为(?1,23)时,
?
x??1

A

B

C
三点共

线,不构成三角形
.
因此,当△
ABC
为钝角三角形时,点
C
的纵坐标
y
的取值范围是:

y??
10323
或y?(y?23).
39



35


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

2
8
、解:
1a=b=0f(0)=[f(0)]
()令,则∵
f(0)

0

f(0)=1

2
)令
a=x

b=-x

f(0)=f(x)f(-x)


f(?x)?
1
f(x)

由已知
x>0
时,f(x)>1>0
,当
x<0
时,
-x>0

f(-x )>0


f(x)?
1
f(?x)
?0
又< br>x=0
时,
f(0)=1>0


对任意
x

R

f(x)>0
(3)
任 取
x
2
>x
1
,则
f(x
2
)>0

f(x
1
)>0

x
2
-x
1
>0



f(x
2
)
f(x
?f( x
2
)?f(?x
1
)?f(x
2
?x
1
)?1

1
)


f(x
2
)>f(x
1
)

f(x)

R
上是增函数


4

f(x )
·
f(2x-x
2
)=f[x+(2x-x
2
)]=f( -x
2
+3x)

1=f(0)

递增




f(3x-x
2
)>f(0)
得:
x-x
2
>0

0

9
、解:(
1
)由题意知
f(1)?1?2b?c?0
,∴
c??1? 2b


g(x)?f(x)?x?b?x
2
?(2b?1)x?b ?c?x
2
?(2b?1)x?b?1



1
5








g(?3)?5?7b?0


g(?2)?1?5b?0










?

5

?

b

?

7



g(0)??1?b?0

g(1)?b?1?0


b?(
1
5
,
5
7
)


2
)令
u=
f(x)
。∵
0?
1
5< br>?b?
5
7
?1


log
b
u< br>在(
0
,+∞)是减函数

?1?c?2b??b,函数f(x)?x
2
?2bx?c的对称轴为x??b


f(x)

R



36


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

f(x)在区间(?1?c,1?c)
上为增函数,

从而
F(x)?log
b
f(x)在(?1?c,1?c)
上为减函数。


f(x)在区间(?1?c,1?c)
上恒有
f(x)
>0 ,
只需
f(?1?c)?0



c??2b?1(
1
5
?b?
5
7
)所以?
17
7
?c? ?2



10
、解:(
1

?1?x< br>2
n
?2|x
n
|?|
2x
n
1
1 ?x
2
|?1又x
1
?.

n
2
?|
2x
n
1?x
2
|?1

n
f(x
1
1
)?f(
2
)??1

f(x
n?1
)?f(
2x
n
1?x
2)?f(
x
n
?x
n
)?f(x
n
)?f(x
n
)?2f(x
n
).

n
1?x
nx
n
?
f(x
n?1
)
x
?2
?{f (x
n
)}是以?1为首项,以2为公比的等比数列,故f(x
n
)??2< br>n?1
f(

n
)



2
)由题设,有
f(0)?f(0)?f(
0?0
1?0
)?f(0) ,故f(0)?0


x?(?1,1),有f(x)?f(?x)?f(
x ?x
1?x
2
)?f(0)?0,


f(?x)??f(x),故知f(x)在(?1,1)
上为奇函数
.


1
1
1
k
2
?3k?1
?< br>1
(k?1)(k?2)?1
?
(k?1)(k?2)
?
1< br>?
k?1k?2

1?
11
(k?1)(k?2)
1 ?
(k?1)(k?2)

f(
1
k
2
?3k?1
)?f(
1
k?1
)?f(?
1
k?2
)?f(< br>1
k?1
)?f(
1
k?2
)

于是
?
n
f(
11
k?1
k
2
?3k?1)?f(
2
)?f(
1
n?2
)??1?f(
1
n?2
).


37


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

1?f(1
)?f(
1
)??f(
511
11
)?f()?0.

2
n?2
n?3n?1


11.解:(
1
)设
C ( x , y )



33
GA?GB?2GO
,
由①知
GC??2GO
,?
G


?
ABC
的重心



G(
x
,
y
)
…………………………………………(
2
分)

由②知
M< br>是△
ABC
的外心,
?
M

x
轴上。

由③知
M

x

0
),

3

|MC| ? |MA|


xx
()2
?1?(x?)
2
?y
2
33

2
x
化简整理得:
?y
2
?1

x

0
3
)…………………………
(6

)

2

F

2

0
2
x
)恰为
?y
2
?1
的右焦点

3


PQ
的斜率为
k

0

k
≠±
2
)
2
2
,则直线
PQ
的方程为
y = k ( x

?
y?k(x?

?
?
2)
2222
? (3k?1)x?62kx?6k?3?0

22
?
?
x?3y?3 ?0
62k
2
3k
2
?1

P(x
1 , y
1
)

Q (x
2
,y
2
)

x
1
+ x
2
=
2
6k
=
2
?3

3k?1
, x
1
·
x
2


……


8
分)

1?k
2

| PQ | =
=
1?k
2
·
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2


23(k
2
?1)

3?k
2

2
22
23(k?1)

62k6k?3
2
·
(
2
)?4?
2
=
3k
2
?1
3k?13k?1
RN

PQ,

k
换成
?

| RN | =
k

-7-
1

………………………
38


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

10

)

22
16(k?1)
| RN | =
2

?
S =| PQ | ·
2
2
(3k?1)(k?3)
=
2?
8
)
1
3(k
2
?
2
)?10
k

?3(k
2
?
k
2
?
18
)?10?
k< br>2
2?S

81

2


?

16

?
3

S < 2

(

k =
±
1
时取等
k
2
2?S
2

)
……(
12
分)

又当
k
不存在或
k = 0

S = 2
综上可得

3
2


S

2


?
S
max
= 2
3
2

……………………………………(
14
分)



12.解:⑴
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
?
2(2?1)
1?(2?1)
2
?1
又∵
?
为锐角

2
?
?
?
4

sin(2
?
?
?
4
)?1

f(x)?x
2
?x


a
n?1
?a
2
1
n
?a
n

a
1
?
2

a
2
,a
3
,?a
n
都大于0

a
2
n
?0

a
n?1
?a
n


1
11
a
?
1111
n?1
a
2
???n
?a
n
a
n
(1?a
n
)a
n1?a
,∴
1
n
1?a
??
n
a
n
a
.
n?1

11111
1?a
?
?a
?
?< br>????
1
?
1
?
?
?
1
?
1

1
1
2
1?a
n
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n?1
?
111
a
??2?
1
a
n?1
a

n?1

a?(
1
2
)
2
?
1
2
?
3
4
,
a
33
23
?(
4
)
2
?
4
?1
, 又∵
n?2a
n?1
?a
n


S
min
=
39



a


n?1
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
1
111
?a?1
, ∴
1?2??2
,∴
1???
?
??2

3
a
n?1
1?a
1
1?a
2
1?a
n
1 3
(
本小题满分
14

)
解:(
1

?a
故数列
{a
3


?a
n
?1?2
n

a
n
?2
n
?1
…………………………………………
4
n
n?1
?2a
n
?1

?a
n?1
?1?2(a
n
?1 )
……………………
2


?1}
是首项为
2,公比为
2
的等比数列。……………………



< br>(
2

?
4
b
1
?1
4
b
2
?1
4
b
3
?1
?
4
b
n
?1
?(a
n
?1)
b
n

?4(b
1
?b
2
???b
n
?n)
?2
nb
n
……………
5
2(b
1
?b
2
?< br>?
?b
n
)?2n?nb
n


2(b1
?b
2
???b
n
?b
n?1
)?2(n? 1)?(n?1)b
n?1


②—①得
2b


n?1
?2?(n?1)b
n?1
?nb
n
,即
n b
n
?2?(n?1)b
n?1
③……………………
8
?( n?1)b
n?1
?2?nb
n?2

④—③得
2nb< br>n
n?1
?nb
n
?nb
n?1
,即
2b< br>n?1
?b
n
?b
n?1
……………………
9

所以数列
{b}
是等差数列


3

?
1

S?
a
n
?
1
2
n?1
?1
?
1
2
n?1
?2
?
11
2 a
n?1
………………………………
11



1 11
????
a
2
a
3
a
n?1
,则S?
111

11111
?(S?)
?(????)
?
a
2
2a
n?1
a
2
2a
2
a< br>3
a
n
…………
13


S?
21 212
????
………………………………
14
a
2
an?1
3a
n?1
3





40


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
14.
(
本小题满分
16



1)当
a?1
时,
g(x)??
1
x
3
3
?
1
2
x?cx

g
?
(x)??x
2
?x?c
………………
1
2


?g(x)
在(—
1

1
)上为单调递增函数,
?g
?
(x )?0
在(—
1

1
)上恒成
立…………
2


??x
2
?x?c?0
在(—
1

1
)上恒成立……………………
3


?c?2
………………………………………………………
4



2
)设
g
?
(x)?f(x)
,则




15、①
a
1
?1
;③
a?
4
3


41


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
16
、解:
(1)

f(m·n)

[f(m)]
n
得:
f(0)

f(0×0)

[f(0)]
0

∵函数f(x)
的图象均在
x
轴的上方
,∴f(0)< br>>
0,∴f(0)

1 ……3


∵f(2)
f(1×2)

[f(1)]
2

4
,又< br>f(x)

0
∴f(1)

2,f(

1 )

f(1)

2 ……3


(2)
?
?
f
?
?
?
kx?2
?
?
?kx?2
?
?2?f2
??
?
??
?2?
22
?
2x?4
?
?
?
2x?4
?
?
2
?
kx?2
?
f
??
?f
?
?1
?
?
2
?
x?4
?
?
kx?2
?
f
??
?f
?
1
?

2
?
x? 4
?
又当
x?0
时,其导函数
f'
?
x
?
?0
恒成立,∴
y?f
?
x
?
在区间
?< br>0,??
?
上为单调递增
函数


kx?2
x
2
?4
?1?kx?2?x
2
?4?
?
k
2
?1
?
x
2
?4kx?0

①当
k?0
时,
x?
?
0
?


②当
?1?k?0
时,
x
?
?
x?
?4k
?
4k
?
4k
?


,∴
x?,0
?0??x?0
?
2
??
1?k
2
?< br>1?k
2
?
1?k
?
③当
0?k?1
时,< br>x
?
?
x?
?
4k
?
4k
?0?0 ?x?
?
1?k
2
?
1?k
2
,∴
x?< br>?
?
0,
4k
?

2
?
1?k?
?
综上所述:当
k?0
时,
x?
?
0
?
;当
?1?k?0
时,
x?
?
?

0 ?k?1
时,
x?
?
?
0,


4k
?


2
?
1?k
?
?
4k
?

,0
2
?
?
1?k
?
17
、解:(
I

f
?
x
?
,f
?
x
?
是“保三角形函数”,
f
?
x
?
不是“保三角形函
123
数”.
1


任给三角形,设它的三边长分别为
a,b,c
,则
a?b?c
,不妨假设
a剟c,bc

a?b?a?b?c?0
,所以
f
1
?
x
?
,f
2
?
x
?
是“保三角形函数”
.
由于


3
42


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
对于
f
?
x
?

3

3

5
可作为一个 三角形的三边长,但
3?3?5
,所
222
3
以不存在三角形以3,3,5
为三边长,故
f
?
x
?
不是“保三角形函< br>222
3
数”.
4



II
)设
T?0

g
?
x
?
的一个周期,由于其值域为
?
0,??
?
,所 以,存

n?m?0
,使得
g
?
m
?
?1 ,g
?
n
?
?2


取正整数
?
?
n?m
,可知
?
T?m,
?
T?m,n
这三个数 可作为一个三角形
T
的三边长,但
g
?
?
T
三边长 .
?m
?
?1

g
?
?
T?m
?
?1,g
?
n
?
?2
不能作为任何一个三角形的

g
?
x
?
不是

保三角形函
8






5
?
6
III

A
的最大值为

9


一方面,若
A?
5
?
,下证
F?
x
?
不是

保三角形函数
”.
6

?
,
5
?
,
5
?
?
?
0,A
?
,显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但

266
s in
?
2
?1,sin
5
?
15
?
1不能作为任何一个三角形的三边长,故
F
?
x
?
?,sin?< br>6262
不是

保三角形函数
”.
另一方面,以下证明A?
5
?
时,
F
?
x
?


保三角形函数



6
对任意三角形的三边
a,b ,c
,若
a,b,c?(0,
5
?
)
,则分类讨论如下:< br>
6

1

a?b?c…2
?


此时
a…2
?
?b?c?2
?
?
5
??
5
?
?
?
,同理,
b,c?
?
,< br>
663
3

43


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

a,b,c? (
?
,
5
?
)
,故
sina,sinb,sinc ?(
1
,1]

sina?sinb?
1
?
1?1…sinc


362
22
同理可证其余两式
.

sina,sinb,sinc
可作为某个三角形的三边长.


2

a?b?c?2
?

此时,
a?b
?
c
?
?
,可得如下两种情况:

22
a ?b
?
时,由于
ca?b
?
≤≤
a?b?c
,所以 ,
0??
22222
.

sinx

(0,?
]
上的单调性可得
0?sin
c
?sin
a?b≤1


2
22
a?b
?
?
22时,
0?
c
?
?
?
a?b
?
?


222
?
2
?
?
?
上的单调性可得
ca?b
同样,由
sinx

?
0,
0?sin? sin?1


??
22
总之,
0?sin
c?sin
a?b
≤1
.
22
又由
a?b?c?
5
?
及余弦函数在
?
0,
?
?
上单调递减,得< br>
6
cos
a?b
a?bc5
?
?cos?cos? cos?0


22212

sina?sinb?2sin
a?b
cos
a?b
?2sin
c
cos
c
?s inc


2222
同理可证其余两式,所以
sina,sinb, sinc
也是某个三角形的三边
长.故
A?
5
?
时,
F
?
x
?


保三角形函数



6
综上,
A
的最大值为
5
?

6
18
、解:(Ⅰ)
S
1
?
a
(a
1
?1),
a-1

a
1
?a,

44


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

n ?2
时,
a?S?S?
a
a?
a
a,

n nn?1
a?1
n
a?1
n?1
a
n
?a
a
n?1


a
,即
{a}
是等比数列.
n
n
?a?a
n?1
?a
n

……………………;
4


(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
b

则有



再将
a?
1
代入得
b
3
n
2?
?
n
a
(a
n
?1)< br>(3a?1)a
n
?2a
a?1
?1?
n
aa
n
(a?1)
,若
{b}
为等比数列,

n
3a ?23a
2
?2a?2
b
2
?b
1
b
3< br>,
b
1
?3,b
2
?,b
3
?,
a a
2
1
3a?2
2
3a
2
?2a?2
a?
()?3?
aa
2
3
2


,解得,

………………………………
7
?3
n
成立,

以所
a?
1
3


……………………………………………………………

8



III
)证明:由(Ⅱ)知
1
a
n
?()
n< br>3
,所以
113
n
3
n?1
c
n
? ???
1
n
1
n?1
3
n
?13
n?1< br>?1
1?()1?()
33

3
n
?1?13
n?1
?1?111
?
n
?
n?1
?1?
n?1?
n?1
3?13?13?13?1
11
?2?(
n
?
n?1
)
3?13?1



…………………………………………………



9



所以
从而
11111111
?, ????,
3
n
?13
n
3
n?1
?13
n?1
3
n
?13
n?1
?13
n
3
n? 1
1311
c
n
?2?(
n
?
n?1
)? 2?(
n
?
n?1
)
3+13?133
111111
T
n
?c
1
?c
2
??c
n
?[2?( ?
2
)]?[2?(
2
?
3
)]?[2?(
n?
n?1
)]
333333
111111
?2n?[(?
2
)?(
2
?
3
)??(
n
?
n?1< br>)]
333333
111
?2n?(?
n?1
)?2n?333


……………………
12







T
n
?2n?
1
3


……………………

45


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
……
14



19
、解:(
I

a
所以
(2?c)
2
1
?2

a
2
?2?c

a
3
?2?3c
,因为
a
1

a
2

a
3
成等比数列,

?2(2?3c)
,解得
c?0

c?2

?a
2
?a
3
,不符合题意舍去,故
c?2

……

c?0
时,
a
分)

1
4
分(文
6

II
)当
n≥2
时,由于
a
2
?a
1
?c

a
3
?a
2
?2 c
,……

a
n
?a
n?1
?(n?1)c
,所以
a
n
?a
1
?[1?2??(n?1)]c?
n( n?1)


c
2

a
1
,,)
?2

c?2
,故
a
n
?2?n(n?1)?n
2
?n?2(n?23
n
.当
n=1
时,上式也成立,
所以< br>a?n
2
?n?2(n?1,2,)
……8


n? 1

III

b
n
=3
2n-2
-3n-1
+2, ∴
lim
b
=9. ……12


n??
b
n


NP?2NQ
?
?
Q20
、解:(
1

?
?
GQ?PN?0
??

PN
的中点且
GQ

PN


?
GQ

PN
的中垂线
?
|PG|=|GN|
∴短半轴长
5

b=2
,∴点
G
的轨迹
N
为焦点的椭圆,∴
|GN|+|GM|=|MP|=6
,故
G
点的轨 迹是以
M

其长半轴长
a?3
,半焦距
c?
22< br>xy
方程是
??1

94
………
5




2
) 因为
OS?OA?OB
,所以四边形
OASB
为平行四边形


若存在
l
使得
|
OS
|=|
AB
|
,则四边形
OASB
为矩形
?OA?OB?0


46


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)


?

l
的斜率不存在,直线
l
的方程为
x=2
,由
?
?
x
?
x?2
?
2

?
y
2
25
??1
y??
??
4
?
9
3
?
x?2

?OA?OB?
16
?0,与OA?OB?0
矛盾,故
9
1122
l
的斜率存在
.
………
7




l
的方程为
y?k(x?2),A(x,y),B(x,y)






?
y?k(x?2)
?

?
x
2
y
2
?(9k
2
?4)x2
?36k
2
x?36(k
2
?1)?0

? 1
?
?
4
?
9
36k
2
36(k
2
?1)

?x
1
?x
2
?
2
, x
1
x
2
?
9k?49k
2
?4



y
1
y
2
?[k(x
1
?2 )][k(x
2
?2)]

20k
2

?k[x< br>1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4]??2
9k?4
2



……………
9


3

2
把①、②代入< br>xx
12
?y
1
y
2
?0得k??


∴存在直线
l:3x?2y?6?0或3x?2y?6?0
使得四边形OASB
的对角线相

.


21、 解:(1)以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面
直角坐标系,则

A

C?5?323219km
A?3,03,B,05,C,23
??
?
????
??
?
??
2
2
即A、C两个救援中心的距离为
219km

(2)
∵|PC|?|PB|
,所以P在BC线段的垂直平分线上


,所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上,
|PBP|?|A|?4

AB?6

∴双曲线方程为
x
2
y
2
??1?
x?0
?

45

47


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
BC的垂直平分线的方程为
x

?3y?7?0
联立两方程解得:
x

??8

∴ P?8,53,k?tan∠PAB??3
PA
??
∴∠PAB=120°所以P点在 A点的北偏西30°处
(3)如图,设
P

Q?h,PB?x,PA?y ∵QB??QAx?h?y?h
2222
?
xy
2
?
2x
2
?h
2
??y
2
h
2
?
?
x?y
?
·
x?y
x
2
?h
2
??y
2
h
2

又∵
x?y
x
2
?h
2
?y
2
?h
2
?1

∴QB?QA ?PB?PA

QB
1
?
QA
1
?
PB< br>1
?
PA
1

即A、B收到信号的时间差变小
< br>22

解:(Ⅰ)三个函数的最小值依次为
1

1?t
,……………………


3



f(1)?0
,得
c??a?b?1

f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c?x
3
?ax2
?bx?(a?b?1)

?(x?1)[x
2
?(a?1)x?(a?b?1)]

故方程
x
2
?(a?1)x?(a?b?1)?0
的两根是
1?t

1?t


1?t?1?t??(a?1)

1?t? 1?t?a?b?1

………………………
4分
(1?t?1?t)
2
?(a?1)
2
,即
2?2(a?b?1)?(a?1)
2


a
2
?2b?3


…………………………………………………………
5分

(Ⅱ)①依题意x,x
是方程
f'(x)?3x
2
12
?2ax?b?0
的根,

故有
x
1
?x
2
??
2a3

x?
b
1
x
2
3



1?t

48


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)


? (2a)
2
?12b?0
,得
b?3



|x
2a
2
2
?3b23?b
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?3
?
3
………………………
7分

23?b
3

?
2
3
;得,
b?2

a
2
?2b?3?7

由(

)知
1?t?1?t??(a?1)?0
,故
a??1



a??7

c??(a?b?1)?7?3


f(x )?x
3
?7x
2
?2x?7?3

………………………… ………………
9分


|M?N|?|f(x
1
)?f(x )|
?|(x
3
2
?x
3
)?a(x
2
x
2
121
?
2
)?b(x
1
?x
2
)|

?|x
1
?x
2
|?|(x
1
? x
2
)
2
?x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?b|

?
23?b
3
|(?< br>2a
3
)
2
?
b
3
?a?(?
2a
3
)?b|

?
4
3
49?
27
(3?b)
2
(或
27
(
a
2
3
2
)
2
).
………………………………………
11分
由(< br>Ⅰ

(a?1)
2
?(1?t?1?t)
2
?2?2 1?t
2



0?t?1
,∴
2?(a?1)
2
?4


a??1



?2?a?1??2
?3?a??2?1

3?22?a
2
?9
(或
2?b ?3

…………………
13分


0?|M?N|?
4
3
27
(3?2)
2

…………………………… ……
15分

23.(本小题满分
12
分)

解 :(
I
)由
x
2
?4y得y?
1
4
x2

?y
?
?
1
2
x.
∴直线
l
的斜率为
y
?
|
x?2
?1
,………
1



l
的方程为
y?x?1
,∴点
A
坐标为(
0


……………………………………
2



1

49


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

M(x,y)


AB?(1,0),BM?(x?2,y),AM?(x?1,y)



AB?BM?2|AM|?0


(x?2)?y?0?2?(x?1)
2
?y
2
?0.
< br>2
x
整理,得
?y
2
?1.
…………………………… ……
4
2


∴动点
M
的轨迹
C
为以原点为中心,焦点在
x
轴上,长轴长为
22

短轴长为
2
的椭


……………………………………………………………
5




II
)如图,由题意知直线
l的斜率存在且不为零,设
l
方程为
y=k(x

2)(k

0)


2
x
将①代入
?y
2
?1
,整理,得
< br>2
(2k
2
?1)x
2
?8k
2
?x?(8 k
2
?2)?0


由△
>0

02
<
1
.

E(x
1

y
1
)

F(x
2

y
2
)
2

?
8k
2x?x
2
?
2
,
?
?
1
2k?1
?
2
?
xx?
8k?2
.
12
?< br>2k
2
?1
?
②………………………………………………………
7



?
?
S
?OBE
S
? OBF
,则
?
?
x?2
|BE|
,由此可得
BE?
?
?BF,
?
?
1
,且0?
?
?1.
|BF|x
2
?2
由②知
(x
1
?2)?( x
2
?2)?
?4

,
2k
2
?1
2
2k?1
2
(x
1
?2)?(x
2
?2)?x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?.?
2k
2
?14
?
1
2
??,即k??.??????
10分
8
(1?
?
)
2
(1?< br>?
)
2
2
14
?
11

?
0?k
2
?,?0???,
2
222
(1?
?
)< br>解得3?22?
?
?3?22.

?
0?
?
?1,

50


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
?3?22?
?
?1
.
∴△
OBE
与△
O BF
面积之比的取值范围是(
3

2

2

1

.
……
12


24.(本小题满分
14
分)

解:(
I
)由题意
g(x)?px?
q
?2lnx,

x
qqq
?2,?pe??2?qe??2,
eee
11

?(p?q)e?(p?q)?0,?(p?q)(e?)?0,
ee
1
而e ??0,?
p
?
q
.
?????????????
3分e
又g(e)?pe?

2
p2pxx?p

p< br>(
II
)由(
I
)知:
g(x)?px??2lnx

g
?
(x)?p?
2
??
?2
,
2xxx
x

h(x)=px
2

2x+p.
要 使
g(x)
在(
0

+
∞)为单调函数,只需
h( x)
在(
0

+
∞)满足:

h(x)

0

h(x)

0
恒成立
.
……………… ………………
4



p?0时,h(x)??2x
?x?0,?h(x)?0,?g
?
(x)??
2x
?0,
< br>x
2
+
∞)∴
g(x)
在(
0
,单调递减, ∴
p=0
适合题意
.
………………………
5

< br>②当
p>0
时,
h(x)=px
2

2x+p
图象为开口向上抛物线,

称轴为
x=
1
∈(
0

+
∞)
.

h(x)
min
=p
1
.
只需
p

1

0
,即
p

1
ppp

h(x)

0

g

(x)

0



g(x)

(0,+

)
单调递增,∴
p

1

.
…………………………
7


③当
p<0
时,
h(x)=px
2

2x+p图象为开口向下的抛物线,其对称

51
适合题


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
轴为x=
1
?

0

+
∞),

p
只需
h(0)

0
,即
p

0

h(0)
≤(
0,+

)
恒成立
.

g

(x)<0
,∴
g(x)
在(
0,+
∞)单调递减,∴
p<0
适合题意
.
p

1
p

0.
……………………………………
9
综上①② ③可得,




III
)证明:①即证:
l nx

x+1

0 (x>0)



k(x)?lnx?x?1,则k
?
(x)?
1
?1?
1?x
.
xx

x
∈(
0

1
)时,
k

(x)>0
,∴
k(x)
为单调递增函数;


x
∈(
1
,∞)时,
k

(x)<0
,∴
k(x)
为单调递减函数;


x=1

k( x)
的极大值点,∴
k(x)

k(1)=0.

lnx

x+1

0
,∴
lnx

x

1.
………………………………
11


.
②由① 知
lnx

x

1,

x>0

?
n?N*,n?2

,

x?n
2
,

lnxx?11
???1?
xxx

lnn
2
1< br>?1?.
n
2
n
2
lnn11
?
2
?(1?
2
),
2
nn
ln2ln3lnn1111
?2
?
2
?
?
?
2
?(1?
2
?1?
2
?
?
?1?
2
)
2
23223n

11111111
?[(n?1)]?(
2
?
2
?
?
?
2
)]?[(n?1)?(??
?
?)]
2 22?33?4n(n?1)
23n
1111111
?[n?1?(????
?
??)]
22334nn?1
111
?[n?1?(?)]
22n ?1
2n
2
?n?1
?
4(n?1)
∴结

论成
52


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
.
………………………………………………………………………

14



25.解:(Ⅰ)

n?2
时,
a
n
?a
a
n?1
a?1
a
1
?0,
(a
1
?1),
a
aa
a
n
?S
n?S
n?1
?a
n
?a
n?1
,
a?1a?1
S
1
?





a
, 即
{a}
是等比数列.
n
n
?a?a
n?1
?a< br>n

………………;
4


(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
b

则有

所以
2
2 ?
?
n
a
(a
n
?1)
(3a?1)a
n
?2a
a?1
?1?
n
aa
n
(a?1)

,若
{b}
为等比数列,
n

III
)证明:由( Ⅱ)知

所以
从而


3a?23a
2
? 2a?2
b
2
?b
1
b
3
,
b
1
?3,b
2
?,b
3
?,
2
aa
113a?2
2
3a
2
?2a?2
n
b?3
a?a ?
()?3?
n
aa
2
33
1
a?
3113
n
3
n?1
1
n
c
n
????
a
n
?()
1
n
1
n?1
3
n< br>?13
n?1
?1
3
1?()1?()
33
213
n
?1?13
n?1
?1?111
?
n
?< br>n?1
?1?
n
?1?
n?1
?2?(
n
?
n?1
)
3?13?13?13?1
3?13?1
11111111
?,????,
3
n
?13
n
3
n?1
? 13
n?1
3
n
?13
n?1
?13
n
3
n?1
1311
c
n
?2?(
n
?
n?1
)?2?(
n
?
n?1
)
3?13?133
111 111
T
n
?c
1
?c
2
??c
n
?[2?(?
2
)]?[2?(
2
?
3
)]?[2?(< br>n
?
n?1
)]
333333
111
111111< br>?2n?[(?
2
)?(
2
?
3
)??(
n
?
n?1
)]
?2n?(?
n?1
)?2n?
33 3333
333
1
T
n
?2n?
3


,解得,再将代入得成立,



,所以










.…………………………
14


2
x
26
、解:(Ⅰ)设
?a
?x?(1?b)x
2
?cx?a?0(b?1)
bx?c

53


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)


c
?
2?0??
?
a?0
?
?
1?b


?
?
?
?
c

b?1?
??
2?0?
a
?2
?
1?b
?

f( ?2)?
?2
??
1
??1?c?3

1?c2
2


x
2
f(x)?
c
(1?)x?c
2


又∵
b,c?N*


c?2,b?2


f(x)?
x
(x?1)

……………………
3



于 是
2(x?1)
2x2(x?1)?x
2
2x
2
?2xf
?
(x)??
4(x?1)
2
2(x?1)
2



f
?
(x)?0

x?0

x?2



f
?
(x)? 0

0?x?1

1?x?2

< br>故函数
f(x)
的单调递增区间为
(??,0)

(2,?? )


单调减区间为
(0,1)

(1,2)

……………………
4


(Ⅱ)由已知可得
2S?a?a



n?2
时,
2S?a?a

22
nnnn?1n?1n?1

两式相减得
(a

a
n
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?1)?0

??a
n?1

a
n
?a
n?1
??1

2
,若
a
n
??a
n?1
,则
a
2
?1
这与
a
n
? 1
矛盾

?a?a
111
?a
1
??1

n?1
时,
2a
nn?1

a?a??1


a??n

……………………
6


于是,待证不等式即为
1
?ln
n?1
?
1


n
n
为此,我们考 虑证明不等式
1
?ln
x?1
?
1
,x?0
x?1xx

1?
1
?t,x?0,

t?1

x?
1

xt?1
再令
g(t)?t?1?lnt

g
?
(t)?1?
1


t?(1,??)

g
?
(t)?0

t
n?1n
t?1?lnt

∴当
t?(1,??)
时,
g(t)
单调递增


g(t)?g(1)?0

于是

1
?ln
x?1
,x?0





xx

h(t)?lnt?1?
1

h
?
(t)?
1
?
1
?
t?1


t?(1,??)

h
?
(t)?0

ttt
2
t
2
∴当
t?(1,??)
时,
h(t)
单调递增


h(t)?h(1)?0

于是
lnt?1?
1

t

54


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)

ln
x?1
?
x
1
,x?0

x?1





……………………
10



……
11


由①、②可知
所以,
1x?11
?ln?,x?0

x?1 xx
1n?11
1n?11
,即
1??ln??
?ln?
a
n
na
n
n?1nn
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
b





T
n
?
1

n


T
n
11
?1???
23
?
1

n
1n?11
中令
?ln?
n?1,2,3,
n?1nn< br>?
123
l?nl?n?
200812
,2007
,并将各式 相加得

11
??
23
2008
l?n
20081 11
?1???

?
2007232007
?1?ln2008?T
2007

27
、解:(
1
)∵定义域
{x| x ≠ kπ

k
∈Z
}
关于原点对称,

f (a

x)·f (a)

11

f (a

x)
= =

f
(?
x

= f [

a
?
x


?
a]=
f (a)

f (a

x)1

f (a

x)
f (a)·f (x)

11

f (x)
1

1

f (x)

f (a) f (x)

1
2f (x)
= = =
?
f

x
),对于定义域内
f (a)·f (x)

11

f (x)

2
1

1

f (x)

f (a) f (x)

1
的每个
x
值都成立


f< br>(
x
)为奇函数
---------------------------- -------------------------------------------------- ------

4
分)


2
)易证:
f

x + 4a

= f

x
),周期为
4a

--------------- ---------------------------

8
分)

f (a)·f (

a)

11

f
2
(a)
f2a

=

fa + a

= f [a
?
]= =

3
)((?
a

f (

a)

f (a)

2f (a)

55


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
= 0


f (2a)·f (

a)

1
1
f3a

=

f2a + a

= f [2a
?
]= =
((?
a

f (

a)

f (2a)

f (a)
=
?
1


3 a]
上单调递减为此,先证明
f

x
)在
[2a
, 必须证明
x
∈(
2a

3a
)时,
f
(< br>x

< 0



2a < x < 3a
,则
0 < x
?
2a < a


f (2a)·f (x)

1
1
=
?
> 0
,∴
f

x

<

f

x
?
2a

=
f (x)
f (2a)

f (x)
0---------------------

10
分)


2a < x
1
< x
2
< 3a



0 < x
2

?
x
1
< a
,∴
f

x
1

< 0 f

x
2

< 0 f

x
2

?
x
1

>
0


f (x
1
)·f (x
2
)

1
> 0
,∴
f

x
1

> f

x
2



f

x
1
)?
f

x
2

=

f (x
2

x
1
)

f

x)在
[2a

3a]
上单调递减
-------------- ------------------------------------

12
分)

∴ f

x
)在
[2a

3a]
上的最大值为
f

2a = 0
,最小值为
f

3a

=
?
1

28、解:(Ⅰ)设点M(x,y),由
2PM?3MQ?0
得P(0,< br>?
y
),Q(
x
,0
).
2
3

RP?PM?0,
得(3,
?
y
)·(
x

3y
)=0,即
y
22
2
?4x

又点Q在x轴 的正半轴上,
?
方程是
y
2
x?0
故点M的轨迹C的
?4x(x?0)
.……6分

56
(Ⅱ)解法一:由题意可知N为抛 物线C:y
2
=4x的焦点,且


全国名校高考数学复习优质专题汇编( 附经典解析)
A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。
当直线AB斜率不存在时, 得A(1,2),B(1,-2),|AB|
?4?
16

3
不合题 意;………7分
当直线AB斜率存在且不为0时,设
l
AB
: y?k( x?1)
,代入
y
2
?4x

k
2
x2
?2(k
2
?2)x?k
2
?0

则|AB |
?x?x
2(k
2
?2)416
12
?2?
k< br>2
?2?4?
k
2
?
3
,解
k
2< br>?3
…………………10分
代入原方程得3x
2
?10x?3?0
,由于
x
1
?1
,所 以
x
1
1
?3,x
2
?
3
,

AB?
?
AN

3?
1
?
?
x
2
?x
1
3
x?x
??
4
. ……………………13分
N1
3?13
解法二:由题设条件得
?
?
?
y
2
1
?4x
1
(1)
?
?
y
2
2
?4x
2
(2)
?
x
2< br>?x
1
?
?
(1?x(3)

?
1< br>)
?
y
2
?y
1
??
?
y
1
(4)
?
?
?
(x
2
?x
22
16
1
)?(y
2
?y
1
)?
3
(5)< br>由(3)、(4)得
?
?
x
2
?x
1
??
(1?x
1
)
?
y
2
?(1?
?< br>)y
1

代入(2)得(1?
?
)
2
y2
1
?4x
1
?4
?
(1?x
1
)< br>再把(1)代入上式并化简得

(
?
?1)x
1
?1 (6)
??
9分
同样把(3)、(4)代入(5)并结合(1)
化简后可得( 1?x
1
)
?
?
16
3
(7)
??
11分
由(6)、(7)解得
?
?
?
?
?
43

?
?
?
?4
,又,故
4
. ?
?
?
x
x
1
x
1
?1
?< br>?
3
1
?3
?
?
1
?
3




57


全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
29
、解:(Ⅰ )设椭圆
W
22
xy
的方程为
2
?
2
?1
,由题意可知

ab
y
A
?
c6
?,?
a3
?
?
222
?
a?b?c,
解得
a?6
?
2
a
?
2??6,
?
c
?
c?2

B
M
F
C
O
x
b ?2


所以椭圆
W
的方


程为
x
2
y
2
??1
.……………………………………………
4
62
(Ⅱ)解法
2
a
1
:因为左准线方程为
x? ???3
,所以点
M
c
坐标为
(?3,0)
.
于是 可设直线
l

的方程为
y?k(x?3)


?< br>y?k(x?3),
?
2
2222
2

(1?3k) x?18kx?27k?6?0
.
?
xy
?1
?
?
2
?
6
由直线
l
与椭圆
W
交于
A

B
两点,可知

??(18k
2
)
2
?4(1?3k
2
)(27k
2
?6)?0
,解得
k
2
?
2


3
22
设点
A
,< br>B
的坐标分别为
(x,y)

(x,y)
,
11< br>2
?18k

x
1
?x
2
?
1?3 k
2
2
27k?6
,,
x
1
x
2
?
y
1
?k(x
1
?3)

y
2
?k(x
2
?3)


2
1?3k
因为
F (?2,0)

C(x,?y)


11
所以
FC ?(x?2,?y)

FB?(x
112
?2,y
2
).
又因为
(x?2)y
12
?(x
2
?2)(?y< br>1
)

?(x
1
?2)k(x
2
?3)?( x
2
?2)k(x
1
?3)

?k[2x
1
x
2
?5(x
1
?x
2
)?12]

54k
2
?12?90k
2
?k[??12]

22
1?3k1?3k

58

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