必修一高一数学压轴题全国汇编1附答案

22．（本小题满分12分）已知
x
满足不等式
2(log
1
x)
2
?7log
1
x?3?0
，
22
求
f(x)?log
2
xx
?log
2
的最大值与最小值及 相应
x
值．
42
1
1
22.解：由
2(log< br>1
x)
2
?7log
1
x?3?0
，∴
?3 ?log
1
x??
， ∴
?log
2
x?3
，
2
2
2
22
而
f(x)?log
2

xx
?log
2
?(log
2
x?2)(log
2
x?1)

42
31

?
(log
2
x)
2
?3log
2
x?2
?
(log
2
x?)
2
?
，
24
3
3
1
当< br>log
2
x?
时
f(x)
min
??
此时
x
=
2
2
=
22
，
2
4< br>当
log
2
x?3
时
f(x)
max
?91
??2
，此时
x?8
．
44
?2
x?a
21．（14分）已知定义域为
R
的函数
f(x)?
2x
?1
是奇函数
（1）求
a
值；
（2）判断并证明该函数在定义域
R
上的单调性；
（3）若对任意的
t?R
，不等式
f(t?2t)?f(2t?k)?0
恒成立，求实数
k< br>的取值范围；
21.．解：（1）由题设，需
f(0)?
?1?a
2
22
1?2
?0,?a?1
，
?f(x)?
1
< br>?2
x
x
经验证，
f(x)
为奇函数，
?a?1---------（2分）
（2）减函数--------------（3分）
证明：任取
x
,
x
?R,
x
p
x
,?x?
x?x
f
0
，
??
由（1）
?y?f(
x
)?f(
x
)?

Q
x
p
x
, ?0p2
x
p2
x
,?2
x
?2
x
p0, (1?2
x
)(1?2
x
)f
121221
21
1 ?2
x
2
1?2
x
2
1
1?2
x
1
1?2
x
1
2
2(2
x
1
?2
x
2
)
(1?2
x
1
)(1?2
x
2)
1122
12
0

??yp0

?
该函数在定义域
R
上是减函数--------------（7分） < br>22
22
（3）由
f(t?2t)?f(2t?k)?0
得
f (t?2t)??f(2t?k)
，
Qf(x)
是奇函数
22

?f(t?2t)?f(k?2t)
，由（2），
f(x)
是减函数
?
原问题转化为
t
2
?2tfk?2t
2
，
2
即
3t?2t?kf0
对任意
t?R
恒成立------（10分）
1

???4?12kp0,
得
k??
即为所求--- ---(14分)
3
20、（本小题满分10分）
ax?b
12
f()?
已 知定义在区间
(?1,1)
上的函数
f(x)?
为奇函数,且.
2
25
1?x
(1) 求实数
a
,
b
的值；
(2) 用定义证明:函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数；

(3) 解关于
t
的不等式
f(t?1)?f(t)?0
.
a
? b
ax?b
12
2
20、
解：
(1)由
f(x)?
为奇函数,且
f()??
1?x
2
2
1?(
1
)
2
5
2
a
??b
x
112
2< br>则
f(?)?

??f()??
，解得：
a?1,b?0。
?
f(x)?
2
1
1?x
2
1?(?)2
25
2
(2)证明：在区间
(?1,1)
上任取
x< br>1
,x
2
，令
?1?x
1
?x
2
? 1
,
x
1
x
2
x
1
(1?x
2
2
)?x
2
(1?x
1
2
)
(x
1
?x
2
)(1?x
1
x
2
)
?

f(x
1
)?f(x
2
)???
22
2222(1?x
1
)(1?x
2
)
1?x
1
1?x< br>2
(1?x
1
)(1?x
2
)
Q

?1?x
1
?x
2
?1

?

x
1
?x
2
?0
,
1?x
1
x
2
?0
,
(1?x
1
2
)?0
,
(1?x
2
2
)?0

?
f(x
1
)?f(x
2
)?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)

故函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数.
(3)
Q

f(t?1)?f(t)?0

?

f(t)??f(t?1)?f(1?t)

?
t?1?t
1
?
Q
函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
?

?
?1?t?1

?
0?t?

2
??1?1?t?1
?
故关于
t
的不等式的解集为
(0,)
.
21．(14分)定义在R
?
上的函数f(x)对任意实数a,b
?R
?
,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且
当x>1时,f(x)<0，
(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式
1
2
f(x?3)?f(5)??1

21，（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
(2) 法一：设k为一个大于1的常数，x∈R+，则
f(kx)=f(x)+f(k)
因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x
所以kx>x,f(kx)f(x)为R+上的单调减函数
法二：设
x
1
,x
2?
?
0,??
?
且x
1
?x
2
令x
2
?kx
1
,则k?1

f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(kx
2
)?f(x1
)?f(k)?f(x
2
)??f(k)

有题知，f(k) <0
?f(x
1
)?f(x
2
)?0即f(x
1
) ?f(x
2
)

所以f(x)在（0，+
?
）上为减函数
法三：
设
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
且x
1
?x
2

f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
1
?
x
2
xxx
)??f(
2
)

?
2
?1?f(
2
)?0

x
1
x
1
x
1
x
1
?f(x
1
)?f(x2
)?0即f(x
1
)?f(x
2
)
所以f(x)在（0，+
?
）上为减函数
2
22、
（本小题满分1 2分）
已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x-2bx+
b
(b≥1)，
4
(I)求f(x)的最小值g(b)；
(II)求g(b)的最大值M。
22
b
22. 解：f(x)=(x-b)-b+的对称轴为直线x＝b（ b≥1），
4
31
2
b
(I) ①当1≤b≤4时，g(b)＝f(b)＝-b+; ②当b＞4时，g(b)＝f(4)＝16-
b
，
4
4
?
2
b
?b? (1≤b≤4)
?
?
4
综上所述，f(x)的最小值g(b)＝
?

。
31
?
16?b (b＞4)
?
?4
1
2
1b3
＝-(b-)+， ∴当b＝1时，M＝g(1)＝-；
8
4644
31
313
②当b ＞4时，g(b)＝16-
b
是减函数，∴g(b)＜16-×4＝-15＜-，
44
4
3
综上所述，g(b)的最大值M= -。
4
(II) ①当1≤b≤4时，g(b)＝-b+
2
22、（12分）设函 数
f(x)?log
a
(x?3a)(a?0,且a?1)
，当点
P (x,y)
是函数
y?f(x)
图象上的
点时，点
Q(x?2a,? y)
是函数
y?g(x)
图象上的点.
（1）写出函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若当
x?[a?2 ,a?3]
时，恒有
|f(x)?g(x)|?1
，试确定
a
的取值 范围；
（3）把
y?g(x)
的图象向左平移
a
个单位得到
y?h(x)
的图象，函数
F(x)?2a
1?h(x)
?a
2? 2h(x)
?a
?h(x)
，（
a?0,且a?1
）在
[< br>1
,4]
的最大值为
5
，求
a
的值.
4< br>4
22、解：（1）设点
Q
的坐标为
(x',y')
，则x'?x?2a,y'??y
，即
x?x'?2a,y??y'
。
∵点
P(x,y)
在函数
y?log
a
(x?3a)
图象上 < br>∴
?y'?log
a
(x'?2a?3a)
，即
y'?log
a
1
∴
g(x)?log
1

a
x?a
x'?a
1
?0
. (2)由题意
x?[ a?2,a?3]
，则
x?3a?(a?2)?3a??2a?2?0
，
1< br>?
x?a(a?2)?a

又
a?0
，且
a?1
，∴
0?a?1

|f(x)?g(x)|?|log
a
( x?3a)?log
a
1
|?|log(x
2
?4ax?3a
2
)|

a
x?a
1
∵
f(x)?g(x)?1
∴
?1剟log
a
(x
2?4ax?3a
2
)
∵
0?a?1
∴
a?2?2a，则
r(x)?x
2
?4ax?3a
2
在
[a?2,a ?3]
上为增函数，
∴函数
u(x)?log
a
(x
2< br>?4ax?3a
2
)
在
[a?2,a?3]
上为减函数， < br>从而
[u(x)]
max
?u(a?2)?log
a
(4?4 a)
。
[u(x)]
min
?u(a?3)?log
a
(9 ?6a)

又0?a?1,则
(9?6a)
…
?1
?
log
log(4?4a)
?
1
a
a
?0?a?
9?57

12
（3）由（1）知
g(x)?log
a
象，
1
，而把
y?g(x)
的图象向左平移
a
个单位得到
y?h(x)
的图
x?a
则
h(x)?log
a
1
??log
a
x
x
，∴
F(x)?2a
1?h(x)?a
2?2h(x)
?a
?h(x)
?2a
1?log
a
x
?a
2?2log
a
x
?a
log
a
x
?2ax?a
2
x
2
?x

1
，又在
[
1
,4]
的最大即
F(x)??a
2
x< br>2
?(2a?1)x
，又
a?0,且a?1
，
F(x)
的对称轴为
x?
2a?
2
4
2a
值为
5
，
4
1
?
1
?
a
2
?4a?2?0?a ?2?6(舍去)或a?2?6
；①令
2a?
此时
F(x)
在
[
1
,4]
上递减，
2
4
4
2a
∴F(x)
的最大值为
F(
1
)?
5
??
1a
2
?
1
(2a?1)?
5
?a
2
? 8a?16?0?a?4?(2?6,??)
，此时无解；
441644
1
?4?8a
2
?2a?1?0??
1
?a?
1
，又
a?0,且a?1
，∴
0?a?
1
；此时
F(x)
在②令< br>2a?
2
42
2
2a
[
1
,4]
上 递增，∴
F(x)
的最大值为
F(4)?
5
??16a
2< br>?8a?4?
5
?a?
1?42
，又
0?a?
1，
444
4
2
∴无解；
③令
1
剟
2 a?1
4
2a
2
2?6且a?1
?
?
2?6剟a2 ?6
?
2
4?
?
a
2
?4a?2
?
0
?
?
a剠?
1
或a
1
?
8a?2a? 1…0
?
?42
且
a?0,且a?1
∴
1
剟a2
，
2
此
2
时
F(x)
2
的最大值为
1
)?
5
??a
2
(2a?1)
?
(2a ?1)
?
5
?
(2a?1)
?
5
?a
2< br>?4a?1?0
，解得：
F(
2a?
2
444
2a4 a
4
2a
2
4a
2
a?2?5
，又
1剟a
2
2?6且a?1
，∴
a?2?5
； 综上，
a
的值为
2?5
.
10、已知定义在
R
上 的偶函数
f(x)
在
[0,??)
上单调递增，且
f(2)?0，则不等式
f(log
2
x)?0

的解集为（ ）
A
．
(
1
,4)

4
B
．
(??,
1
)U(4,??)

C
．
(0,
1
)U(4,??)

4
1< br>4
D
．
(??,
1
)U(0,4)

411、设
a?(0,
1
)
，则
a
a
,log< br>1
a,a
2
之间的大小关系是
2
2
（ ）
1
2
A
．
a
a
?a?loga

B
．
a?loga?a
a

1
2
1
2
1
2
1
2
C
．
loga?a
a
?a

1
2
D
．
loga?a?a
a

1
2
1
2
12、函数
f(x)?ax
2
? bx?c(a?0)
，对任意的非常实数
a,b,c,m,n,p
，关于
x< br>的方程
m[f(x)]
2
?nf(x)?p?0
的解集不可能是 （ ）
A
．
{1,2}


B
．
{1,4}

C
．
{1,2,3,4}

D
．
{1,4,16,64}

xx
1?2?4a
(a?R)
.
f(x)?lg
21、（ 12分）设函数
3
（1）当
a??2
时，求
f(x)
的定义 域；
（2）如果
x?(??,?1)
时，
f(x)
有意义，试确定
a
的取值范围；
（3）如果
0?a?1
，求证：当
x?0
时，有
2f(x)?f(2x)
.
xx
1?2?2?4
? 0?1?2
x
?2?4
x
?0
，21、解：（1）当
a?? 2
时，函数
f(x)
有意义，则令
t?2
x
3
不等 式化为：
2t
2
?t?1?0??
1
?t?1
，转化为?
1
?2
x
?1?x?0
，∴此时函数
f(x)
的定
22
义域为
(??,0)

（2）当
x??1
时，
f(x)
有
，
意
令
义，则
在
1?2
x
?4
x
a
?0?1?2
x
?4
x
a?0?a??
1?2
x
??(
1
?
1
)
3
4
x
4
x
2
x
y??(
1
x
?
1
x
)
42
x?(??,?1)
上单调递增，∴
y??6
，则有
a…?6
；
（3）当
0?a?1,x?0
时，
xx2x2x
(1?2
x
?4
x
a)
2
1?2?4a1?2?4a
2f(x)?f(2x)?2log?lg?lg
， < br>33
3(1?2
2x
?4
2x
a)
设
2x
?t
，∵
x?0
，∴
t?1
且
0?a?1< br>，则
(1?2
x
?4
x
ga)
2
?3(1 ?2
2x
?4
2x
ga)?t
4
(a
2
? 3a)?2at
3
?t
2
(2a?2)?2(t?1)

? t
4
(a
2
?3a
2
)?2at
3
?t< br>2
(2a?2)?2(t?1)??(at?1)
2
t
2
?( at
2
?1)
2
?(t?1)
2
?0

∴
2f(x)?f(2x)


22．（本题满分14分）已知幂函 数
f(x)?x
(2?k)(1?k)
(k?z)
满足
f(2)。
（1）求整数k的值，并写出相应的函数
f(x)
的解析式； < br>（2）（2）对于（1）中的函数
f(x)
，试判断是否存在正数m，使函数
g (x)?1?mf(x)?(2m?1)x
，在区间
?
0,1
?
上的 最大值为5。若存在，求出m的值；若不

存在，请说明理由。
22．解: （ １）
Qf
?
2
?
?f
?
3
?
，< br>?
?
2?k
??
1?k
?
?0??1?k?2,
Qk?Z,?k?0
或
k?1
；当
k?0
时，
f
?
x
?
?x
2
，当
k?1
时，
f
?
x
?
?x
2
；
?k?0
或
k?1
时，
f
?
x
?
?x
2
．
（２）
Qg
?
x
?
?1?mf
?
x
?< br>?
?
2m?1
?
x??mx
2
?
?
2m?1
?
x?1
，
Qm?0
，
Qg
?
x
?
开口方向向下，对称轴
x?
2m?11
?1??1

2m2m
又
Qg
?
0
?
?1,g
?
x
?
在区间［０，１］上的最大值为５，
1
1
?
?1??0
m?
?
?
5
2
?
2m
?
?m??6

?
?
?
?
1< br>?
2
5?26
?
g
?
?
1??5
m ?
??
??
?2
?
?
2m
?

2 2．（本题满分14分）已知函数
f(x)?a
x?1
(a?0
且
a ?1)

（Ⅰ）若函数
y?f(x)
的图象经过
P
?< br>3,4
?
点，求
a
的值；
（Ⅱ）当
a
变化 时，
比较
f(lg
1
)与f(?2.1)
大小，并写出比较过程；
100
（Ⅲ）若
f(lga)?100
，求
a
的值．

3-12
22.（Ⅰ）函数
y?f(x)
的图象经过
P( 3,4)
∴
a?4
，即
a?4
. 又
a?0
，所以
a?2
.
（Ⅱ）当
a?1
时，
f(lg
因为，
f(lg
11
)?f(?2.1)
; 当
0?a?1
时，
f(lg)?f(?2.1)

100100< br>1
)?f(?2)?a
?3
，
f(?2.1)?a
?3.1< br>
100
x
当
a?1
时，
y?a
在
(??,??)
上为增函数， ∵
?3??3.1
，∴
a
x
?3
?a
?3.1
. 即
f(lg
1
)?f(?2.1)
.
100
1
)?f(?2.1)
.
100
当
0 ?a?1
时，
y?a
在
(??,??)
上为减函数，
∵< br>?3??3.1
，∴
a
?3
?a
?3.1
. 即
f(lg
（Ⅲ）由
f(lga)?100
知，
a?100
.
lga?1
?2
（或
lga?1?log
a
100）. 所以，
lga
∴
(lga?1)?lga?2
. ∴
lga?lga?2?0
，
2
lga?1

∴
lga??1
或
lga?2
， 所以，
a?
1
或
a?100
.
10
20．（本题16分）已知函数
f(x)? log
9
(9
x
?1)?kx
(
k?R
)是偶函数 ．
(1)求
k
的值；
(2)若函数
y?f(x)
的图象 与直线
y?
1
x?b
没有交点，求
b
的取值范围；
2
(3)设
h(x)?log
9
a?3
x
?
4< br>a
，若函数
f(x)
与
h(x)
的图象有且只有一个公共点， 求实数
3
?
?
a
的取值范围．
20．(1)因为
y?f(x)
为偶函数，
所以
?x?R,f(?x)?f(?x)
，
即
log
9
(9
?x
?1)?kx?log
9
(9
x
?1)? kx
对于
?x?R
恒成立.
x
?xx
9?1
?l og(9
x
?1)??x
恒成立,
2kx?log(9?1)?log(9 ?1)?log
于是
9999
9
x
而
x
不恒为零， 所以
k??
1
. -----------------4
2
(2)由题意知方程
log
9< br>(9
x
?1)?
1
x?
1
x?b
即方程log
9
(9
x
?1)?x?b
无解.
22
令
g(x)?log
9
(9
x
?1)?x
，则函数
y?g(x)
的图象与直线
y?b
无交点.
x
1
?log
?
1?
1
?
因为
g(x)?log
9
9?
?
9
?
x
9
?< br>9
x
?
?
1
任取
x
1
、
x
2
?
R，且
x
1
?x
2
，则
0? 9
x
1
?9
x
2
，从而
1
.
x
1
99
x
2
?
1
?
1
?
于是
log
9
?
?
1?
x
1
?
? log
9
?
1?
x
2
?
，即
g(x
1
)?g(x
2
)
，
?
9
??
9?
所以
g(x)
在
?
??,??
?
上是单调减 函数.
1
?
因为
1?
1
x
?1
，所以< br>g(x)?log
9
?
?
1?
x
?
?0.
9
?
9
?
所以
b
的取值范围是
?
??,0
?
.
----------------------- 6
(3)由题意知方程
3
x
?
1
x
?a?3
x
?
4
a
有且 只有一个实数根．
3
3
令
3
x
?t?0
，则关于
t
的方程
(a?1)t
2
?
4
at?1?0
(记为
(
*
)
)有且只有一个正根.
3
若
a
=1，则
t??
3
，不合, 舍去； 4
若
a?1
，则方程
(
*
)
的两根异号或有两 相等正跟.

由
??0?a?
3
或－3；但
a?3
?t??
1
，不合，舍去；而
a??3?t?
1
；
4422
方程
(
*
)
的两根异号
?
?a?1
?
?
?
?1
?
?0?a?1.

综上所述，实数
a
的取值范围是
{?3}U(1,??)
． ----------------------- 6
10. 若函数
f(x)??x?2 x
，则对任意实数
x
1
,x
2
，下列不等式总成立的是（ C ）
2
x
1
?x
2
f(x
1
)? f(x
2
)x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
B．
f(
1

)?)?
2222
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
2
f( x
1
)?f(x
2
)
C．
f(
1
D．
f(
1

)?)?
2222
A．
f(

18. （本小题满分12分）二次函数
y?f(x)
的图象经过三点
A(? 3,7),B(5,7),C(2,?8)
.
（1）求函数
y?f(x)
的 解析式（2）求函数
y?f(x)
在区间
?
t,t?1
?
上 的最大值和最小值
18
(1)
解
A,B
两点纵坐标相同故可令f(x)?7?a(x?3)(x?5)
即
f(x)?a(x?3)(x?5)?7
将
C(2,?8)
代入上式可得
a?1

?
f(x)? (x?3)(x?5)?7?x
2
?2x?8
…………4分
(2)
由
f(x)?x
2
?2x?8
可知对称轴
x?1

1） 当
t?1?1
即
t?0
时
y?f(x)
在区 间
?
t,t?1
?
上为减函数
?
f(x)
max
?f(t)?t
2
?2t?8

f(x)
min
?f(t?1)?(t?1)
2
?2(t?1)?8 ?t
2
?9
………6
2） 当
t?1
时，
y?f (x)
在区间
?
t,t?1
?
上为增函数
?
f(x )
max
?f(t?1)?(t?1)
2
?2(t?1)?8?t
2
?9

f(x)
min
?f(t)?t
2
?2t?8
…………8分
3）当
1?t?t?1?1?0
即
0?t?
1
2
时
f(x)
max
?f(t)?t?2t?8

2

f(x)
min
?f(1)??9
…………10分
4）当
0?1?t?t?1?1
即
1
?t?1
时
2
22

f(x)
max
?f(t?1)?(t?1)?2(t?1)?8?t?9

f(x)
min
?f(1)??9
…………12分