高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)资料

高中数学选择填空压
轴题精选(解析几何1)

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x
2
y
2
已知椭圆E：
??1
,O为坐标原点,A
、
B是椭圆E上两点,且
42
11
?
△AOB的面积为
2,则
的最小值是 .
|OA||OB|
解法一（利用椭圆参数方程）
设
A(2cos
?
,2sin
?
), B(2cos
?
,2sin
?
)
,
因为
S
?AOB
?2
, 所以
S
?AOB
?|x
1
y
2
?x
2
y
1
|?2
,
即
2|cos
?
sin
?
?sin
?
cos
?
|?2
,
?|sin(
?
?
?
)|?1
,
?cos(?
?
?
)?0
,
?
?
?
?k
?
?
1
2
?
2
(k?Z)
,
?|OA|
2
?|OB|
2
?4cos
2
?
?2sin
2
?
?4cos
2
(
?
?)?2sin
2
(
?
?)?6
.
22
11
?
下面求的最小值,有如下方法：
|OA||OB|
??
①均值不等式
|OA|
2
?|OB|
2
|OA|?|OB|??3
,
2
?
111223
??2??
.
|OA||OB||OA |?|OB|3
3
a
2
?b
2
211
????11
2ab
?
ab
②平方平均大于等于调和平均
2
a?b
2
22
,
112223
????
.
22
|OA||OB|3
3|OA|?|OB|
2
③权方和不等式
11
??
|OA||O B|
1
3
2
1
2
2
?
1
3
2
1
2
2
?
(1?1)
2
3
2
1
2
2
?
(|OA|)(|OB|)(|OA|+|OB|)
222 3
?
,
3
6

当且仅当
|OA|?|OB|?3
时,等号成立,
?(
1123
?)
min
?
.
|OA||OB|3
④权方和不等式+柯西不等式
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1144423
?????
.

22
|OA||OB||O A|+|OB|3
12
2(|OA|+|OB|)
点评:本解法利用椭圆的参数方程, 得到了一个很重要的中间结论：
|sin(
?
?
?
)|?1
. 一般地, 有如下结论：
x
2
y
2
若
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
为椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
上的动点 , 且
ab
ab
满足
S
?AOB
?
,则有： 2
222222
（1）
x
1
?x
2
?a
,
y
1
?y
2
?b
；
（2）
kOA
?k
OB
b
2
??
2
.
a
解法二：（利用柯西不等式）
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,由
S
?AOB
?|x
1
y
2
?x
2
y
1
|?2
得
（当且仅当
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
时等号成立）.
22
?(y
1
2
?y
2
?2)
2
?0
,
?y
1
2
?y
2
?2

1
2
2222
8 ?(x
1
y
2
?x
2
y
1
)
2< br>?(x
1
2
?x
2
)(y
1
2
?y
2
)?[8?2(y
1
2
?y
2
)](y
1
2
?y
2
)
,
又
x
1
2?2y
1
2
?4
,
x
2
2
?2y2
2
?4
,则
x
1
2
?2y
1
2
?x
2
2
?2y
2
2
?8
,
?x
1
2
?x
2
2
?4
,
进而
x
1
2
?x
2
2
?y
1
2
?y< br>2
2
?6
,
?
112223
????
,
22
|OA||OB|3
3
|OA|?|OB|
2
2311
?
取得最小值.
3
|OA||OB|
当且仅当
| OA|?|OB|?3
时,
点评:本解法利用柯西不等式,实现等与不等的相互转化,相当精彩 ！

解法三：（利用仿射变换,椭圆变圆）
?
?
x?2x
?
设伸缩变换
?
:
?
,则
x
?
2
?y
?
2
?1
,
?

?
y?2y
?
在该变换下,
A(x
1
,y
1
),B(x
2< br>,y
2
)
的对应点分别为
A
?
(x
1
?
,y
1
?
),B
?
(x
2
?
,y
2
?
)
,
而
S
?A
?
OB
?
?|x
1
?
y
2
?
?x
2y
1
?
|
,
S
?AOB
?|x
1y
2
?x
2
y
1
|?2|x
1
?y
2
?
?x
2
y
1
?
|
,
所以
S
?AOB
?22S
?A
?
OB
?< br>?2?S
?A
?
OB
?
?
,
?OA
?
?OB
?
,
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1
2
1
2
1
2

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?|x
2
?
|?|y
1
?
|
,
|y
2
?
|?|x
1
?
|

,
?x
2
?
2
?y
1
?
2
,
y
2
?
2
?x
1
?
2
,
?|OA|
2?|OB|
2
?4x
1
?
2
?2y
1
?
2
?4x
2
?
2
?2y
2
?
2
?6(x
1
?
2
?y
1
?
2
)? 6
,
?
11
??
|OA||OB|
1
3
2
1
2
2
?
1
3
2
1
2
2
?
(1?1)
2
3
2
1
2
2
?
(|OA|)(|OB|)(|OA|+|OB|)
2223
?
,

3
6
当且仅当
|OA|?|OB|?3
时,
23
1 1
?
取得最小值.
3
|OA||OB|
点评:本解法利用仿射变换 ,椭圆变圆,关键是发现
OA
?
?OB
?
.游数玩形,
妙在 转化！
解法四：（齐次化）
由
S
?AOB
?|x
1y
2
?x
2
y
1
|?2
及
x
1
2
?2y
1
2
?4
,
x
2
2< br>?2y
2
2
?4
,
得
2(x
1
y< br>2
?x
2
y
1
)
2
?(x
1
2
?2y
1
2
)(x
2
2
?2y
22
)
.

(1)当直线OA与OB的斜率都存在时,两边同时除以
x
1
2
x
2
2
,
22
)(1?2k
OB
)
,
得
2(k
O A
?k
OB
)
2
?(1?2k
OA
1
2< br>
化简得
(2k
OA
k
OB
?1)
2
?0
,
?k
OA
k
OB
??
,
设
OA:y?kx
,则
OB:y??
1
x
,
2k
1
2

?
y?kx
44k
2
4k
2
?4
22
2
?x
A
?,y
A
?
由
?
2
,
?|OA|?
,
22
2
2
1?2k
1?2k1?2k
?
x?2y?4
12?8k
2
2
同理
（
将
k
换成
?）
,得
|OB|?
2
,
?|OA|
2
?|OB |
2
?6.

2k?1
2k
(2)当直线OA或OB的斜率 为0或不存在时,也有
|OA|
2
?|OB|
2
?6.
< br>于是
112223
????
,
22
|OA||OB|3
3
|OA|?|OB|
2

2
11
?
的最小值为.

3
|OA||OB|当且仅当
|OA|?|OB|?3
时,等号成立,
因此
点评:本解法利用齐次化,得出OA与OB的斜率关系,接下来便顺理成
章了.
解法五：常规思路
当直线
OA
与
OB
的斜率都存在时
,
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设直线
OA:y?k
1
x
,
直线
OB:y?k
1
x,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,

?
x
2
y
2
44
.
?
??1
22
x?x?
由
?
42
解得
1
1?2k
2
,
同理
2
1?2k
2

12
?
y?kx
?
1
|k
1
x
2
?y
2
||x
2
(k
1
?k
2
)|
,
d??

点
B
到直线
OA
的距离
2
1?k
1
1?k
1
2
因为
S
? AOB
?2
,
所以
|x(k?k)|
111
S
?A OB
?OA?d?1?k
1
2
?|x
1
|
212< br>?|x
1
x
2
(k
1
?k
2
)|< br>,

222
1?k
1
2
122
|k
1
?k
2
|?2
,
即
2|k?k|?(1?2k
2
)(1?2k
2
)
,

即
2
22
1212
1?2k
1
1?2k
2
1
2
(2kk?1 )?0
kk??
,
即
12
.
所以
12
2
下同解法四
.
点评:与上述方法相比,本解法相对复杂一些,熟悉以下二级结论的话,
过程会大大简化. < br>x
2
y
2
【结论】椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
,A,B为椭圆C上的动
ab
点,
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,且满足
k
OA
?k
OB
222222
（1）< br>x
1
?x
2
?a
,
y
1
?y
2
?b
,
b
2
??
2
,则有：
a< br>|OA|
2
?|OB|
2
?a
2
?b
2；
（2）
S
?AOB
?
uuuuruuuruuur
（3）若M为椭圆上一点,且
OM?
?
OA?
?
OB
,则
?
2
?
?
2
?1
.

ab
；
2
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相似题1(2011年山东卷理22题)
x
2
y
2
已知 动直线
l
与椭圆
C:??1
交于
P(x
1
,y1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
两不同点,
32
且
△OPQ
的面积
S
?OPQ
?
6
,其中O为坐标原点.

2
2222
（Ⅰ）证明
x
1
?x
2
和
y1
?y
2
均为定值；

（Ⅱ）（Ⅲ）略.
2222< br>答案：
x
1
?x
2
?3
,
y
1?y
2
?2
.
x
2
y
2
相似题2已 知椭圆E：
??1
,O为坐标原点,A
、
B是椭圆E上两
2412< br>1
点,OA,OB的斜率存在并分别记为
k
OA
,k
OB,且
k
OA
?k
OB
??
,则
2
11
?
的最小值是（ ）
|OA||OB|
22
2
1
A. B. C. D.
32
6
3
答案：C.
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x
2
y
2
相似题3已知A,B是椭圆C：
??1
上关于原点对称的两个< br>259
点,P、M、N是椭圆上异于AB的点,且
APOM
,
BPON
,则
?MON
的面
积为（ ）
A.
31525
3
B. C. D.
2
222
答案：C.
相似题4：
x
2
如图所示,
A
1
,A
2
分别是椭圆
?y
2
?1
,的长轴的左右端点,O为坐标原
2
点,
S,Q,T
为椭圆上不 同于
A
1
,A
2
的三点,直线
QA
1
,Q A
2
,OS,OT
围成一个平
行四边形
OPQR
,则
|OS|
2
?|OT|
2
等于（ ）
A.
4
B.
3

C. D.
答案：B.
相似题5：
x
2
y
2
在平面直角坐标系
xOy
中
,
已 知椭圆
C
：
2
?
2
?1(a?b?0)
,
其焦点到
ab
1
相应准线的距离为
3,
离心率为
.
2
3
2
5
2
（
1
）求椭圆
C
的 标准方程；

（
2
）如图所示
,A,B
是椭圆
C< br>上两点
,
且射线
OA,OB
的斜率满足
3
k
OA
k
OB
??
,
延长
OA
到
M,
使得
OM
＝
3OA,
且
MB
交椭圆
C
于
Q,
设
4
uuuruuuruuur
OQ?
?
OA ?
?
OB
,
求证：

BM
①
?
?
?
?1
；②
BQ
为定值
.
22
答案：5.







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