数学专题 高考数学压轴题19

新青蓝教育
高考数学压轴100题
1二次函数
2复合函数
3创新性函数
4抽象函数
5导函数（极值，单调区间）--不等式
6函数在实际中的应用
7函数与数列综合
8数列的概念和性质
9 Sn与an的关系
10创新型数列
11数列与不等式
12数列与解析几何
13椭圆
14双曲线
15抛物线
16解析几何中的参数范围问题
17解析几何中的最值问题
18解析几何中的定值问题
19解析几何与向量
20探究性问题


第1页 共9页 让优秀成为一种习惯

19 解析几何与向量
x
2
?y
2
?1
1.设
F
1
、
F< br>2
分别是椭圆
4
的左、右焦点.
（Ⅰ）若
P
是该椭 圆上的一个动点，求
PF
1
·
PF
2
的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点
M(0,2)
的直线
l
与椭圆交于不同的两点
A
、
B
，且∠
AOB
为锐角（其中
O
为坐
标原点），求直线
l
的斜率
k
的取值范围.
分析：本题主要考察 直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决
问题及推理计算能力。
函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题
解：（Ⅰ）解法一：易知
a?2,b?1,c?3

所以
F
1
?3,0,F
2
???
3,0
?
，设
P
?
x,y
?
，则
2
x1
22
?x?1??3?3 x
2
?8
??
3?x,?y?x?y?3
44

? ????????
x?
?
?2,2
?
PF?PF
2
因为，故当
x?0
，即点
P
为椭圆短轴端点时，
1
有最小值
?2

?????????
PF?PF
2
当
x?? 2
，即点
P
为椭圆长轴端点时，
1
有最大值
1
< br>?????????
PF
1
?PF
2
??3?x,?y,????
2
F
1
?3,0,F
2
解法二：易知
a?2,b?1,c?3
，所以
???
3,0
?
，设
P?
x,y
?
，则

????
2
?????< br>2
?????
2
???????????????????????????< br>PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
PF< br>1
?PF
2
?PF
1
?PF
2
?cos?F
1
PF
2
?PF
1
?PF
2
?
? ????????
2PF
1
?PF
2
22
1
?2
?x?3?y?x?3?y
2
?12
?
?x
2
?y
2
?3
?
??
2
?
（以下同解法一） ????
（Ⅱ）显然直线
x?0
不满足题设条件，可设直线
l:y?kx ?2,A
?
x
1
,y
2
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，
?
y?kx?2
?2
?
x
?
2
1
?
2
2
?y? 1
?
k?
?
x?4kx?3?0
?
y
4
?
联立
?4
，消去，整理得：
?

x
1
?x
2
??
4k
k
2
?
1
4
,x1
?x
2
?
3
k
2
?
1
4< br> ∴
第2页 共9页 让优秀成为一种习惯

1
?
2
?
3
3
??
?
4k
?
?4
?
k?
?
?3?4k
2
?3?0
k?
k??
4
??
2
或
2
由得：
????????
00
又
0?? A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0

????????
OA?OB ?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
∴
?8k
2
?k
2
?1
???4?
111
2 22
2
k?k?k?
yy?
?
kx
1
?2
??
kx
2
?2
?
?kx
1
x
2
?2k
?
x
1
?x
2
?
?4
444
又
12
?k
2
?1
??0
11
k
2< br>?k
2
?
2
44
∵，即
k?4
∴
?2?k?2

3
?2?k??
33
?k?2
2
或
2

3k
2
故由①、②得
y
l
y
F
O
1 x
M
Q
B
O
F
A
P
2．（07福建）
0)
， 如图，已知点
F(1，
直线
l :x??1
，
P
为平面上的动点，过
P
作直线
????????????????
QF?FP
?
FQ
．
l
的垂线，垂足为点
Q
，且
QP
?
?1

x
（Ⅰ）求动点
P
的轨迹
C
的方程；

（Ⅱ）过点
F
的直线交轨迹
C
于
A，B
两点，交直线
l
于点
M
，已知
求
????????
MA?
?< br>1
AF
????????
MB?
?
2
BF
， ，
?
1
?
?
2
的值；
分析：本小题主要考查直线 、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几
何特征的基本方法，考查运算能力和综 合解题能力．
函数与方程的思想，
等价转化思想方法
????????????????
QF?FP
?
FQ
得： 解法一 ：（Ⅰ）设点
P(x，y)
，则
Q(?1，y)
，由
QP
?
(x?1，0)?(2，?y)?(x?1，y)?(?2，y)
，化简得
C:y2
?4x
．
（Ⅱ）设直线
AB
的方程为：
x?my?1(m?0)
．
第3页 共9页 让优秀成为一种习惯

设
A(x，y
M
?
1
)
，
B(x
2
，y
2
)
，又
?
?
?1，?2
?
1
m
?
?
，
?
?
y< br>2
?4x，
联立方程组
?
x?my?1，
，消去
x< br>得：
y
2
?4my?4?0
，
??(?4m)
2< br>?12?0
，故
?
?
y
1
?y
2
?4m，
?
y
1
y
2
??4
．

???
由
MA
?
?
?
????????????
1
AF
，
MB?
?
2
BF
得：
y
2
1
?
m
??
?
2
1
y
1
，
y
2
?
m
??
?
2
y
2，整理得：
?
2
1
??1?
my
?
2
2
??1?
1
，
my
2
，
?
?
2
?
1
?
?
2
??2?
m
?
1 1
?
?
y
?
?
1
y
2
?

??2?
2
y
1
?y
2
m
?
y< br>1
y
2

??2?
24m
m
?
?4

?0
． ???????
解法二：（Ⅰ）由
QP
?
QF
?
????
FP
?
?
???
FQ
???????????? ?
得：
FQ
?
(PQ?PF)?0
，
?(
???
PQ
?
?
???
PF
?
)
?
(< br>???
PQ
?
?
???
PF
?
)?0
，
?
???
PQ
?
2
?
???
PF< br>?
2
?0
，
?
???
PQ
?
?< br>???
PF
?
．
所以点
P
的轨迹
C
是抛物线，由题意，轨迹
C
的方程为：
y
2
?4x
．???
（Ⅱ）由已知
MA
?
?
?
???????
，
MB
?
?
?
????
1
AF
2
BF
，得
?
1
?
?
2
?0
．
???
MA
?????
????
??
?
1
AF则：
MB
?
????
2
BF
．…………①
过 点
A，B
分别作准线
l
的垂线，垂足分别为
A
1
，
B
1
，
第4页 共9页




让优秀成为一种习惯

则有：
????????????
MAAA
1
AF
????
?
????
?
????
MBBB< br>1
BF
．…………②
由①②得：
????????
?
1
AFAF
?
????
?
????
?
2
BFBF
，即
?
1
?
?
2
?0
．
22
C:(x?1)?y?8,定点A(1,0),M
为圆上一动点，点P在AM上，点N在 3．如图所示，已知圆
CM上，且满足
AM?2AP,NP?AM?0,点N
的轨迹为 曲
（I）求曲线E的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的
（点G在点F、H之间），
且满足
FG?
?
FH
，求
?
的取值范围.

线E.
两点G、H
分析：本小题主要考查直线、圆、椭圆、向量等基础知识，考查轨 迹方程的求法以及研究曲线
几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．
函数与方程的思想，
等价转化思想方法
解：（I）
?AM?2AP,NP?AM?0.
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.
又
?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2.

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
2
2a?22,?a?2,c?1,b?1.
且椭圆长轴长为焦距2c=2.
x
2
?y
2
?1.
∴曲线E的方程为
2

（II）当直线GH斜率存在时，
x
2
y?kx?2,代入椭圆方程?y< br>2
?1,
2
设直线GH方程为
1
(?k
2
)x
2
?4kx?3?0.
得
2
3
由??0得k
2
?.
2

第5页 共9页 让优秀成为一种习惯

G(x
1
,y
1
),H(x
2
,y
2
),则x
1
?x
2< br>?
设
又?FG?
?
FH,
?4k3
,x
1< br>x
2
?
11
?k
2
?k
2
22
?(x
1
,y
1
?2)?
?
(x
2
,y
2
?2)

?x
1
?
?
x< br>2
,
2
?x
1
?x
2
?(1?
?< br>)x
2
,x
1
x
2
?
?
x
2
.?(
x
1
?x
2
2
xx
2
) ?x
2
?
12
1?
??
，
?4k
23
)
11
?k
2
?k
2
2
?
2
?,整理得
2
?
(1?
?
)
(
3161 6
,?4??.
3
23
?3
2k
2
16(1??
)
2
?
1
?
3(
2
?1)
2k

?4?
?
?
1
?k
2
?
?
?2?
161
.解得?
?
?3.
33

又 ?0?
?
?1,
1
??
?
?1.
3

x?0,FG?
11
FH,
?
?.
33
又当直线 GH斜率不存在，方程为
11
??
?
?1,即所求
?
的取值 范围是[,1)
33

x
2
y
2
?
2?1(a?b?0)
2
33
ab
4. 已知方向向量为v=(1,)的直 线l过点（0，－2）和椭圆C：的
焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
OM?ON?
4
6
3
， （Ⅱ） 是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
cot∠MON≠0（O为原点）.若 存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

点评：本小题主要考查直线、椭圆及平面 向量的基本知识，平面解析几何的基本方和综合解题
能力。
函数与方程的思想，数形结合思想
（I）解法一：直线
l:y?3x?23
， ①
y??
3
x
3
， ②

过原点垂直
l
的直线方程为
第6页 共9页 让优秀成为一种习惯

3
x?.
2
解①②得
∵椭圆中心（0，0）关于直线
l
的对称点在椭圆C的右准线上，
a
2
3
??2??3.
c2

∵直线
l
过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
x
2
y
2
??1.
?c?2,a
2
?6,b
2
?2.< br> 故椭圆C的方程为
62
③
解法二：直线
l:y?3x?33
.
p
?
q
?3 ??23
?
2
?
2
?
?
3?
q
? ?1.
?
p
设原点关于直线
l
对称点为（p，q），则
?< br>解得p=3.
∵椭圆中心（0，0）关于直线
l
的对称点在椭圆C的右准线上，
a
2
??3.
c
∵直线
l
过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
x
2
y
2
??1.
?c?2,a
2
?6,b
2
?2.
故椭圆C的方程为
62
③
（II）解法一：设M（
x
1
,y
1
），N（
x
2
,y
2
）.
当直线m不垂直
x
轴时，直线
m:y?k(x?2)
代入③，整理得
12k
2
12k
2
?6
?x?x
2
??< br>2
,x
1
?x
2
?,
2
(3k
2< br>?1)x
2
?12k
2
x?12k
2
?6?0,
1
3k?13k?1

|MN|?1?k
2
(x< br>1
?x
2
)?4x
1
x
2
?1?k
22
12k
2
2
12k
2
?626(1?k
2)
(?
2
)?4??,
3k?13k
2
?13k
2
?1

d?
|2k|
1?k
2
点O到直线MN的距离
?OM?ON?


4
4cos?MON6cot?MON,
|OM|?|ON|cos?MON?6?0,
3
3sin? MON
即
424
6,?S
?OMN
?6.?|MN|?d?6,
333

?|OM|?|ON|sin?MON?
第7页 共9页 让优秀成为一种习惯

即
46|k|k
2?1?
4
6(3k
2
?1).
3


13
k
2
?,?k??.
33
整理得
S?
2
6
当直线m垂直x轴时，也满足
?OMN
3
.
323
故直线m的方程为
y?
3
x?
3
,

3

y??
3
x?
23
或
3
,
或
x? ?2.

经检验上述直线均满足
OM?ON?0
.
所以所求直线 方程为
y?
323
323
3
x?
3
,
或< br>y??
3
x?
3
,
或
x??2.

解法二：设M（
x
1
,y
1
），N（
x
2
,y
2
）.
当直线m不垂直
x
轴时，直线
m:?k(x?2)
代入③，整理得
12k
2

(3k
2
?1)x
2
?12k
2
x?12k
2
?6?0,

?x
1
?x
2
??
3k
2
?1
,

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
a
2< br>a
2
c212k
2
e(?x?e(?x
26(k
2< br>?1)
=
c
1
)
c
2
)?
a
(x
1
?x
2
)?2a?
6
?(?
3k
2
?1
)?26?
3k
2
?1
.

以下与解法一相同.
解法三：设M（
x
1
,y
1
），N（
x
2
,y
2
）.
设直线
m:x?ty?2，代入③，整理得
(t
2
?3)y
2
?4ty?2?0.


?y
1
?y
2
?
4t
t
2
?3
,y
1
y
?2
2
?
t
2
?3
,

|y|?(y)?4y
4t824t
2
2
?24
1
?y
21
?y
21
y
2
?(
t
2
?3
)?
t
2
?3
?
( t
2
?3)
2
.


?OM?ON?
4
3
6cot?MON,
即
|OM|?| ON|cos?MON?
4cos?MON
3
6
sin?MON
?0 ,
第8页 共9页 让优秀成为一种习惯

?| OM|?|ON|sin?MON?
42
6,?S
?OMN
?6.
3 3

24t
2
?24
S
?OMN
?S
?O EM
?S
?OEN
?
1
|OE|?|y
1
?y2
|?
(t
2
?3)
2
.
2

24t
2
?24
2
∴
(t
2
?3)
2< br>=
3
6
，整理得
t
4
?3t
2
.< br>
解得
t??3,
或
t?0.

故直线m的方程为
y?
3
323
3
x?
23
3
,
或
y??
3
x?
3
,
或
x??2.

经检验上述直线方程为
OM?ON?0.

所以所求直线方程为
y?
3
3
x?
23
3
,
或
y??
32 3
3
x?
3
,
或
x??2.
第9页 共9页 让优秀成为一种习惯