历年高考数学压轴题集锦

.
高考数学压轴题集锦

1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
22
，相应于焦点
F(c,0)
（
c?0
）的准线
l
与x轴相
交于点
A
，
OF?2FA
，过点
A的直线与椭圆相交于
P
、
Q
两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
OP?OQ?0
，求直线
PQ
的方程；
（3）设
AP?
?
AQ
（
?
?1
），过点
P
且平行于准线
l
的直线与椭圆相交于另一点
M
，证
明
FM ??
?
FQ
. (14分)


2． 已知函数
f(x)
对任意实数x都有
f(x?1)?f(x)?1
，且当
x?[0,2 ]
时，
f(x)?|x?1|
。
（1）
x?[2k,2k?2](k?Z)
时，求
f(x)
的表达式。
（2） 证明
f(x)
是偶函数。
（3） 试问方程
f(x)?log
4

3．（本题满分12分）如图，已知点F（0 ，1），直线L：y=-2，及圆C：
x?(y?3)?1
。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2） 过点F的直线g 交轨迹E于G（x
1
，y
1
）、H（x
2
，y
2< br>）两点，求证：x
1
x
2
为定值；
（3） 过轨迹E上一 点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求
10
点P的坐标及S 的最小值。
8

y

6

4

C
2

F

x
-15-10-55

O
X
-2


-4

4.以椭圆
22
1
?0
是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有
x
实数根，请说明理由。
1015
x
?y
2
＝1（
a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试
-8
2
a
-10
2
-6
.

.
判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

2
5 已知，二次函数< br>f
（
x
）＝
ax
＋
bx
＋
c
及一次函数
g
（
x
）＝－
bx
，其中
a、b、c
∈R，
a
＞
b
＞
c
，
a
＋
b
＋
c
＝0.
（Ⅰ）求证：
f
（
x
）及
g
（
x

（Ⅱ）设
f
（
x
）、
g
（
x
）两 图象交于
A
、
B
两点，当
AB
线段在
x
轴 上射影为
A
1
B
1
时，试求|
A
1
B1
|
的取值范围.

6 已知过函数f（x）=
x?ax?1
的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1） 求a、b的值；
（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
（3） 令
g
?
x
?
??f
?
x
?
?3x?tx? 1
。是否存在一个实数t，使得当
x?(0,1]
时，g（x）有
2
32
最大值1？
7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为 H，︱
PH
︱是2和
PM?PN
的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
8．已知 数列{
a
n
}满足
a
1
?3a(a?0),a
n? 1
（1）求数列{b
n
}的通项公式；
（2）设数列{bn
}的前项和为S
n
，试比较S
n
与
2
an
?a
2
a?a

?,设b
n
?
n< br>2a
n
a
n
?a
??
7
的大小，并证明你的 结论.
8
9．已知焦点在
x
轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两 条渐近线与以点
A(0,2)
为
圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于 直线
y?x
对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线
y? mx?1
与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线
l
经过M（-2，0）
及AB的中点，求直线
l
在
y
轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ） 若Q是双曲线C上的任一点，
F
1
F
2
为双曲线C的左，右两个焦点 ，从
F
1
引
?F
1
QF
2
的平分线的垂线 ，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

10.
f(x)
对任意
x ?R
都有
f(x)?f(1?x)?
（Ⅰ）求
f()
和
f( )?f(
1
.

2
n?1
) (n?N)
的值．
n
?
a
n
?
满足：（Ⅱ）数列
12n?1
a
n
=
f(0)
+
f()?f()?? ??f()?f(1)
，数列
nnn
?
a
n
?
是等 差数列吗？请给予证明；
（
.
1
2
1
n
y
A
O
P
x
Ⅲ）令
B

.
b
n
?
4
4a
n
?1
试比较
T< br>n
与
S
n
的大小．
222
,T
n
?b
1
2
?b
2
?b
3
????b
n,S
n
?32?
16
.

n

2→
·
→
＝0，求以
OA
、
OB
为直11. ： 如图，设
OA
、
OB
是过抛物线
y
＝2
px
顶点
O
的两条弦，且
OAOB
径的两圆的另一个交点
P
的 轨迹.(13分)


12.知函数
f
(
x
)＝
log
3
(
x
－2
mx
＋2
m
＋
22
9
)的定义域为
R

m
－3
2
(1)求实数
m
的取值集合
M
；
(2)求证：对
m
∈
M
所确定的所有函数
f
(x
)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2
的
m
的值和x
的值.

13.设关于x的方程2x-tx-2=0的两根为
?,
?
(
?
?
?
),
函数f(x)=
(1). 求f(
?
)和f(
?
)
的值。
（2）。证明：f(x)在[
?
,
?
]
上是增函数。
（3）。对任意正数x
1
、x
2
,求证：
f(
2
4 x?t
.

2
x?1
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
) ?2
?
?
?

x
1
?x
2
x1
?x
2
*
14．已知数列{
a
n
}各项均为 正数，
S
n
为其前
n
项的和.对于任意的
n?N
， 都有
4S
n
?
?
a
n
?1
?
.
I、求数列
?
a
n
?
的通项公式.
n
*
II、若
2?tS
n
对于任意的
n?N
恒成立，求实数t
的最大值.
2

15.( 12分)已知点
H
（－ 3，0），点
P
在
y
轴上，点
Q
在
x
轴的 正半轴上，点
M
在直线
PQ
上，
3
MQ
，
2
（1）当点
P
在
y
轴上移动时，求点
M
的轨迹
C
；
（2）过点
T
（－1，0）作直线
l
与轨迹
C
交于
A
、
B
两点，若在
x
轴上存在一点
E
（
x
0
,0），使
得△
ABE
为等边三 角形，求
x
0
的值.

且满足
HP
·
P M
=0，
PM
=－
16.（14分）设
f
1
(x
)=
f(0)?1
2
*
,定义
f
n
+1
(
x
)=
f
1
［
f
n
(< br>x
)］,
a
n
=
n
,其中
n
∈N.
f
n
(0)?2
1?x
(1) 求数列｛
a
n
｝的通项公式；
.

.
4 n
2
?n
*
(2)若
T
2
n
=
a
1
+2
a
2
+3
a
3
+…+2
n a
2
n
,
Q
n
=
2
,其中
n∈N,试比较9
T
2
n
与
Q
n
的大小.
4n?4n?1


17． 已知
a
=（x,0），
b
=（1，y），（
a
+
3
b
）
?
（< br>a
–
3
b
）．
（I） 求点
?
（x，y）的轨迹C的方程；
（II） 若直线L：y=kx+m(m
?
0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 |AD|=|BD|，
试求m的取值范围．

18．已知函数
f(x)对任意实数p、q都满足
f(p?q)?f(p)?f(q),
且f(1)?.

（1）当
n?N
?
时，求
f(n)
的表达式；
（2）设
a
n
?nf(n)
??????
1
3
< br>3
(n?N
?
),
求证：
?
a
k
? ;

4
k?1
(n?N
?
),S
n
??
b
k
,
试比较
?
k?1
n
n

nf(n?1)
（3）设
b
n
?
f(n)
1< br>与6的大小．
k?1
S
k
n
19．已知函数
f(x )?log
a
x(a?0且a?1),
若数列：
2,f(a
1
),f(a
2
),
…，
f(a
n
),2n?4(n?N
?
)
成等差数列.
（1）求数列
{a
n
}
的通项
a
n
；
（2）若
0?a?1,数列{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求
limS
n
；
n??
?
（3）若
a?2,令b
n
?a
n
?f(a
n
)，对任意
n?N,都有b
n
?f
?1
(t)
,求实数t 的取值范围.


20．已知△OFQ的面积为
26,且OF?FQ?m.

（1）设
6?m?46,求向量OF与FQ的夹角
?
正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），
|OF|?c,m?(
当
|OQ|
取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F
1
为（2） 中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线
l
1
、
l
2
上的动
点，且2|AB|=5|F
1
F|，求线段AB的中点M的轨迹方程 ，并说明轨迹是什么曲线.
.
6
?1)c
2
，
4

.










21、已知函数
f(x)?3x?bx?1
是偶函数，
g(x)?5x?c
是奇函数，正数数列
?
a
n
?
满足
2
a
n
?1,f(a
n
?a
n? 1
)?g(a
n?1
a
n
?a
n
2
)?1

① 求
?
a
n
?
的通项公式；
②若< br>?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，求
limS
n
.
n??
22、直角梯形
ABCD中∠
DAB
＝90°，
AD
∥
BC
，
AB＝2，
AD
＝
且经过点
D
．
（1）建立适当坐标系，求椭圆
C
的方程；
（2）若点
E
满足
EC
?
31
，
BC
＝．椭圆
C
以A
、
B
为焦点
22
1
AB
，问是否存在不平行
AB
的直线
l
与椭圆
C
交于
M
、
N
两点且
2
|ME|?|NE|
，若存在，求出直线
l
与< br>AB
夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数
f(x)?
1
,

x
4?2
（1）求证：对一切
x?R,f(x)?f(1?x)
为定值；
（2）记
a
n
?f(0)?f()?f()???f(
项公式及前n项和.

24. 已知函数
f(x)
是定义在R上的偶函数.当X
?
0时,
f(x)
=
?
(I)
(II)
求当X<0时,
f(x)
的解析式;
试确定函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
的单调性，并证明你的结论.
1
n
2
n
n?1
)?f(1)
n
(n?N *),
求数列
{a
n
}
的通
7x
.
2
x?x?1
(III) 若
x
1
?2
且
x
2
?2
，证明：|
f(x
1
)
－
f(x
2
)
|<2.



.

.

25、已知抛物线
y?4x
的准线与
x
轴交于
M
点，过
M
作直线与抛物线交于
A
、B
两点，若
线段
AB
的垂直平分线与X轴交于
D
(X
0
,0)
⑴求
X
0
的取值范围。
⑵△< br>ABD
能否是正三角形？若能求出
X
0
的值，若不能，说明理由。

26、已知
□ABCD
，
A
（-2，0），
B< br>（2，0），且∣
AD
∣=2
⑴求
□ABCD
对角线交点
E
的轨迹方程。
⑵过
A
作直线交以
A
、
B
为焦点的椭圆于
M
、
N
两点，且∣
MN
∣=
离为
2
8
2
，MN
的中点到
Y
轴的距
3
4
，求椭圆的方程。
3
⑶与
E
点轨迹相切的直线
l
交椭圆于
P
、Q
两点，求∣
PQ
∣的最大值及此时
l
的方程。

Y



D C





E



A O B X


x
2
2
27．（14分）（理）已知椭圆
2< br>?y?1(a?1)
，直线
l
过点A（－
a
，0）和点B（< br>a
，
ta
）
a
（
t
＞0）交椭圆于 M.直线MO交椭圆于N.（1）用
a
，
t
表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，
a
为定值，求S的最大值.
y
M
B
A
N
Ox
.

.
28．已知函数
f
(
x
)=

bx
+
c

的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称.
x
+1
（1）求函数
f
(
x
)的解析式；
（2）若数列
{
a
n
}
（
n
∈N* ）满足：
a
n
>0，
a
1
=1，
a
n+1
=

[
f
(
项公式
a
n
，并证明你的结论.
30、已知点集
L?{(x,y)|y?m?n},
其中
m?(2x?b,1),n? (1,b?1),
点列
P
n
(a
n
,b
n
)
在
L
中，
P
1
为
L
与
y
轴的交点，等差数列
{a
n
}
的公差为1，
n?N
?。
（1）求数列
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；
（2）若
c
n
?
a
n
) ]
2
，求数列{
a
}的通
n
5
(n?2),
求
lim(c
1
?c
2
?
?
?c
n)
；
n??
n?|P
1
P
n
|
?< br>a
n
(n?2k?1)
(k?N
?
),
是否存在k?N
?
使得
f(k?11)?2f(k),
若存
?
b
n
(n?2k)
（3）若
f(n)?
?
在，求出
k
的值；若不存在，请说明理由。

2
21．经过抛物线
y?4x< br>的焦点F的直线
l
与该抛物线交于
A
、
B
两点. (12分)
（1）若线段
AB
的中点为
M(x,y)
,直线的斜率 为
k
,试求点
M
的坐标,并求点
M
的轨迹
方程 < br>1
（2）若直线
l
的斜率
k?2
,且点
M
到 直线
3x?4y?m?0
的距离为,试确定
m
的取值范
5
围 .
















.

.
x
2
y
2
1（1）解：由题意，可设椭 圆的方程为
2
??1(a?2)
。
a2
?
a
2
?c
2
?2,
?
由已知得
?
解得
a?6,c?2

a
2
?
c?2(?c).
c
?
x
2
y
2
6
所以椭 圆的方程为
?
。
?1
，离心率
e?
3
62
（2）解：由（1）可得A（3，0）。
?
x
2
y
2
? 1,
?
?
设直线PQ的方程为
y?k(x?3)
。由方程组
?
6

2
?
y?k(x?3)
?
66
。
?k?
33
18k
2
27k
2
?6
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
?
2
， ①
x
1
x
2
?
。 ②
3k?13k
2
?1
得
(3k
2
?1)x
2
?18k
2
x?27k
2
?6?0
，依题意
??12(2?3k
2)?0
，得
?
由直线PQ的方程得
y
1
?k(x
1
?3),y
2
?k(x
2
?3)
。于是
y< br>1
y
2
?k
2
(x
1
?3)(x
2
?3)?k
2
[x
1
x
2
?3(x
1?x
2
)?9]
。 ③
∵
OP?OQ?0
，∴
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
。 ④
由①②③④得
5k
2
?1
，从而
k??< br>566
?(?,)
。
533
所以直线PQ的方程为
x?5y ?3?0
或
x?5y?3?0

（3，理工类考生做）证明：
AP? (x
1
?3,y
1
),AQ?(x
2
?3,y
2< br>)
。由已知得方程组
?
x
1
?3?
?
(x
2
?3),
?
y?
?
y,
2
?
1
?
x
1
2
y
1
2

?
? ?1,
2
?
6
?
x
2
y
2
?2
?
2
?1.
2
?
6
注意
?
?1
，解得
x
2
?
5
?
?1

2
?
因
F(2,0),M(x
1
,?y
1
)
，故
1?
??
?1
FM?(x
1
?2,?y
1< br>)?(
?
(x
2
?3)?1,?y
1
)
?( ,?y
1
)??
?
(,y
2
)
。
22< br>?
?
?1
而
FQ?(x
2
?2,y
2
)?(,y
2
)
，所以
FM??
?
FQ
。
2
?
.

.
2 ①f(x)=
x?2k?1
(2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3 ①x=4y ②x
1
x
2
=-4 ⑶P(±2,1)
S
MIN
=
7

2
4 .解：因
a＞1，不防设短轴一端点为
B
（0，1
设
BC
∶
y＝
kx
＋1（
k
＞0
则
AB
∶
y
＝－

1
x
＋1
k

把
BC

2222
是（1＋
ak）
x
＋2
akx
＝0
2
2a
2
k2a
2
2
∴|
BC
|＝
1?k
，同理|
AB< br>|＝
1?k

2222
1?akk?a
由|
AB|＝|
BC
|
k
－
ak
＋
ka
－1＝ 0
22
（
k
－1）［
k
＋（1－
a
）< br>k
＋1］＝0
22
∴
k
＝1或
k< br>＋（1－
a
）
k
＋1＝0
2222
当
k< br>＋（1－
a
）
k
＋1＝0时，Δ＝（
a
－1）－4< br>由Δ＜0，得1＜
a
＜
3

由Δ＝0，得
a
＝
3
，此时，
k
＝1
故 ，由Δ≤0，即1＜
a
≤
3
由Δ＞0即
a
＞
3时有三解
5 解：依题意，知
a
、
b
≠0
∵
a
＞
b
＞
c
且
a
＋
b
＋
c
＝0
∴
a
＞0且
c
＜0
（Ⅰ）令
f
（
x
）＝g（
x

2
得
ax
＋2
bx
＋
c
＝0.（*
2
Δ＝4（
b
－
ac
）
∵
a
＞0，
c
＜0，∴
ac
＜0，∴Δ＞0 ∴
f
（
x
）、
g
（
x
）相交于相异两 点
（Ⅱ）设
x
1
、
x
2
为交点
A
、
B

22
则|
A
1
B
1|＝|
x
1
－
x
2
|，由方程（*

3222

4b
2
?4ac4(a?c)
2
?4a c
?
|
A
1
B
1
|＝
a
2< br>a
2
2
?
4
22
(a?c?ac)

2
a
c
??
c
?4
?
()
2??1
?
(**)

a
??
a
.

.
∵
?
?
a?b?c?0
?
a? b
?2a?c?0
，而a＞0，∴
c1
??

a2
c
??2

a
∵
?
?
a?b ?c?0
?
c?b
?a?2c?0
，∴
c1
??

a2
c
2
c
∴4［（）＋＋1］∈（3，12
aa
∴
?2?
∴|
A
1
B
1
|∈（
3
，2
3
）
6、解：（1）
f
'
'

?
x
?
=
3x
2
?2ax

依题意得k=
f
?
1
?
=3+2a=－3， ∴a=－3
?f
?
x
?
?x
3
?3x
2
?1
，把B（1，b）代入得b=
f
?
1
?
??1

∴a=－3，b=－1
（2）令
f
'
?
x
?=3x－6x=0得x=0或x=2
2
32
∵f（0）=1，f（2）=2－3×2＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004。
（1） 已知g（x）=－
x?3x?1?3x?tx?1??x?tx

∴
g
?
x
?
??3x?t

'2
?
32
?
23
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x＜0，
① 当t＞3时，t－3x＞0，
即g
?
x
?
?0

2
2
'
∴g（x）在
(0.1]
上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
② 当0≤t≤3时,
g
?
x
?
??3x?t

'2
令
g
?
x
?
=0,得x=
'
t

3
列表如下:
.

.

x
（0,
t
）
3
t

3
0
极大值
(
t
,1]

3
－
↘
g
'
?
x
?

g（x）

＋
↗
3
?
t
?
tt
?
＋tg（x）在x= 处取最大值－
?
=1
??
33
?
3
?
3
t
32
27
∴t=
3
=＜3
3
2
4
∴x=
t
＜1
3
'2
③ 当t＜0时，
g
?
x
?
??3x?t
＜0，∴g（x）在< br>(0.1]
上为减函数，
∴g（x）在
(0.1]
上为增函数， < br>3
3
2
∴存在一个a=，使g（x）在
(0.1]
上有最大值 1。
2
7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,
PH??
?x,0
?
,
PM
=（－2－x,－y）
?
?
PN
=（2－x,－y）
∴
PM
·
PN
=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=
x?4?y

?
?
22
?
PH?x

?
?
?< br>由题意得∣PH∣2=2·
PM
·
PN

即
x?2x?4?y
2
?
22
?

x
2
y
2
??1
，所求点P的轨迹为椭圆 即
84
（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣
双曲线的C实轴长2a=
QM?QN?QM?QE?ME?10
（当且仅当Q、E、M 共线时
取“=”），此时，实轴长2a最大为
10

.

.
所以，双曲线C的实半轴长a=
又
?c?
10

2
13
NM?2,?b
2
?c
2
?a
2
?

22
x
2
y
2
??1
∴双曲线C的方程式为53
22
8.（1）
b
n
?
1
2
n? 1

1
7
（2）
S
n
??(
4< br>?
8
?
16
???)??(?
4
??
4?
2
??)??
16
??0
822281622228
1?
1
8
2
9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y =0
∵该直线与圆
x?(y?2)?1
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分
22x
2
y
2
故设双曲线C的方程为
2
?
2
?1
．
aa
又双曲线C的一个焦点为
(2,0)

∴
2a?2
，
a?1
．
∴双曲线C的方程为
x?y?1
．………………………………………………4分 （Ⅱ）由
?
22
22
?
y?mx?1
22
?< br>x?y?1
22
令
f(x)?(1?m)x?2mx?2

22
得
(1?m)x?2mx?2?0
．
直线与双曲线左支交于两 点，等价于方程f(x)=0在
(??,0)
上有两个不等实根．
?
???0
?
?
2m
因此
?
?0
解得
1?m?2
．
2
?
1?m
?
?2
? 0
?
?
1?m
2
m1
又AB中点为
(,)
，
1?m
2
1?m
2
1
(x?2)
．…………… …………………6分 ∴直线l的方程为
y?
2
?2m?m?2
22
?
令x=0，得
b?
．
2
117
?2m?m?2
?2(m?)
2
?
48
∵
m?(1,2)
，
1
2
17
∴
?2(m?)??(?2?2,1)

48
.

.
∴
b?(??,?2?2)?(2,? ?)
．………………………………………………8分
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长< br>QF
2
到T，使
|QT|?|QF
1
|
，
若Q在双曲线的左支上，则在
QF
2
上取一点T，使
|QT|?|QF
1
|
．
根据双曲线的定义
|TF
2
|?2
，所 以点T在以
F
2
(2,0)
为圆心，2为半径的圆上，即点T
的轨迹 方程是
(x?2)
2
?y
2
?4(x?0)
①…………………………………………10分
由于点N是线段
F
1
T
的中点，设
N(x,y)
，
T(x
T
,y
T
)< br>．
?
x?2
x?
T
?
?
x
T?2x?2
?
2
则
?
，即
?
．
?< br>y
T
?2y
?
y?
y
T
?
2
?
2
)
………………12分
2
1111111
10 解 ：（Ⅰ）因为
f()?f(1?)?f()?f()?
．所以
f()?
．…… 2分
2222224
11111n?11
令
x?
，得
f( )?f(1?)?
，即
f()?f()?
．……………4分
n
nn 2nn2
1n?1
（Ⅱ）
a
n
?f(0)?f()???f()?f (1)

nn
n?11
又
a
n
?f(1)?f() ???f()?f(0)
………………5分
nn
22
代入①并整理得点N的 轨迹方程为
x?y?1
．
(x??
两式相加
1n?1n?1
．
2a
n
?[f(0)?f(1)]?[f()? f()]?
?
?[f(1)?f(0)]?
nn2
n?1
所以
a
n
?,n?N
，………………7分
4
n?1?1n?11又
a
n?1
?a
n
???
．故数列
{a
n
}
是等差数列．………………9分
444
44
?
（ Ⅲ）
b
n
?
4a
n
?1n
22
T
n
?b
1
2
?b
2
???b
n

111
????)

2
2
3
2
n
2
111
?16[1???
?
?]
………………10分
1 ?22?3n(n?1)
11111
?16[1?(1?)?(?)???(?)]
… ……………12分
223n?1n
116
?16(2?)?32??S
n

n n
所以
T
n
?S
n
……………………………………………… ……………………14分
?16(1?
11．设直线
OA
的斜率为
k
，显然
k
存在且不等于0
则
OA
的方程为
y
＝
kx

.

.
由
?
?
y
＝
kx
?< br>y
2
＝2
px
解得
A
(
2
p
2
p
k
2
，
k
)
又由，知
OA
⊥
OB
，所以
OB
的方程为
y
＝－
1
k
x

?
由
?
?
y
＝－
1
k
x
解得
B
(2
pk
2
，－2
pk
)
?
?
y
2
＝2
px
从而
OA
的中点为
A
'(
pp
2
k
2
，
k
)，
OB
的中点为
B
'(
pk
，－
pk
)
所以，以
OA
、
OB
为直径的圆的方程分别为
x2
＋
y
2
－
2
px
2
py
k
2
－
k
＝0 ……①
x
2
＋
y
2
－2
pk
2
x
＋2pky
＝0 ……②
∵
P
(
x
，
y
)是异于
O
点的两圆交点，所以
x
≠0，
y
≠0
由①－②并化简得
y
＝(
k
－
1
k
)
x
……③
将③代入①，并化简得< br>x
(
k
2
＋
1
k
2
－1)＝2p
……④
由③④消去
k
，有
x
2
＋< br>y
2
－2
px
＝0
∴点
P
的轨迹为以(< br>p
，0)为圆心，
p
为半径的圆(除去原点).
12．(1)由题意 ，有
x
2
－2
mx
＋2
m
2
＋
9
m
2
－3
＞0对任意的
x
∈
R
恒成立 < br>所以△＝4
m
2
－4(2
m
2
＋
9
m
2
－3
)＜0
即－
m
2
－
9
m
2
－3
＜0 < br>(
m
2
－
3
)
2
＋27
∴
2
m
2
－3
＞0
由于分子恒大于0，只需
m
2
－3＞0即可
所以
m
＜－3或
m
＞3
∴
M
＝{
m
|
m
＜－3或
m
＞3}
(2)
x
2
－2
mx
＋2
m
2
＋
9
22
9< br>2
9
m
2
－3
＝(
x
－
m
)＋
m
＋
m
2
－3
≥
m
＋
m2
－3

当且仅当
x
＝
m
时等号成立. 所以，题设对数函数的真数的最小值为
m
2
＋
9
m
2< br>－3

又因为以3为底的对数函数为增函数
∴
f
(
x
)≥
log
2
3
(
m
＋
9
m< br>2
－3
)
∴当且仅当
x
＝
m
(
m
∈
M
)时，
f
(
x
)有最小值为
log< br>2
9
3
(
m
＋
m
2
－3
)
又当
m
∈
M
时，
m
2
－3＞0
.
……4分
……4分
……6分
……10分
……13分
……4分
……7分
……10分

.
∴
m
＋
2
99
2
＝< br>m
－3＋＋3≥2
m
2
－3
m
2
－3
2
2
(
m
－3)·
2
2
9
＋3＝9 < br>m
－3
当且仅当
m
－3＝
9
9
，即
m
＝±6时，
m
－3
9
log
3
(
m< br>2
＋
2
)有最小值
log
3
(6＋)＝
lo g
3
9＝2
m
－36－3
∴当
x
＝
m< br>＝±6时，其函数有最小值2.

13．解析：（1）。，由根与系数的关系得，
?
?
?
?

?f(
?
)?
t
,
??
??1.

2
4
?
?t
4
?
?2(
?
?
?
)
281
2
?????(t?t?16).

22
2
?
?1
?
?
???
t?t?16
2
同法得f(
?
)?

1
(t
2
?16?t).

2
4(x
2
?1)?(4x?t)2x?2(2x
2
? tx?2)
?,
而当x
?[
?
,
?
]
时， (2).证明：
?
f(x)=
(x
2
?1)
2
(x
2
?1)
2
2x-tx-2=2(x-?
)(x?
?
)?0,
故当x
?[
?
,
?
]
时, f(x)≥0,

?
函数f(x)在[
?
,
?
]
上是增函数。
（3）。证明：
2
x
1
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)x
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)
?
?
?
2
?0,
1
?
?
?
1
?0,

x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x2
x
1
?x
2

?
?< br>?
x
1
?
?x
2
?
x
?
? x
2
?
?
?
, 同理
?
?
1
?
?
.
x
1
?x< br>2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
?
) ,故?f(
?
)??f(
1
)??f(
?
).
< br>x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2
?
)?f(
?
).
两式相加得 :
x
1
?x
2
x
1
?
?x
2< br>?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?f (
?
)?f(
?
),

x
1
?x
2
x
1
?x
2

?f(
?
)?f(
又f(
?
)?f(

?[f(
?
)?f(
?
)]?f(
即< br>f(
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?f(
?
)?f(
?
).

x
1
?x
2
x
1
?x
2
而由（1），f(
?
)??2
?
,f(
?
)??2
?
且f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)?f(< br>?
)
,

?

f(
x1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?f(
1
)?2
?
?
?
.
x
1
?x
2
x
1
?x
2
14(I)
. 4S
1
?4a
1
?(a
1
?1)
2
, ?a
1
?1.
当
n?2

.
时,
4 a
n
?4S
n
?4S
n?1
?
?
a
n
?1
?
?
?
a
n?1
?1
?
,
22
?2
?
a
n
?a
n?1
?
?a
n
2
?a
n?1
2
,又{
a
n}各项均为正数,
?a
n
?a
n?1
?2
.数列
?
a
n
?
是等差数列,
?a
n
?2n?1.

?
2
n
?
2
n
(II)
S
n< br>?n
,若
2?tS
n
对于任意的
n?N
恒成立,则< br>t?min
?
2
?
.令
b
n
?
2< br>,.当
n
?
n
?
2n
*
n?3
时,
b
n?1
2n
2
n
2
?(n?1)n?n
???1
22
b
n
(n?1)n?2n?1
.又
b
1
?2,b
2
?1,b
3
?
8
9
，
?
2
n
?
8
8
?
min
?
b< br>n
?
?min
?
2
?
?
.
?

t
的最大值是.
9
?
n
?
9
< br>15.（1）设点
M
的坐标为(
x
,
y
)，由
PM
=－
2分
由
HP
·
PM
=0，得（3， －
y
3x
MQ
,得
P
(0,－),
Q
(, 0),
23
2
y3y
2
）(
x
,)=0,又得
y
=4
x
, 5分
22
由点
Q
在
x
轴的正半轴上，得
x
＞0,
所以，动点
M
的 轨迹
C
是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分
22222
（2）设直线
l
:
y
=
k
(
x
+1),其中
k
≠0,代入
y
=4
x
,得
kx
+2(
k
－2)
x
+
k
=0,① 7分 < br>设
A
（
x
1
,
y
1
）,
B
(
x
2
,
y
2
),
2(k
2< br>?2)
则
x
1
,
x
2
是方程①的两个实根， ∴
x
1
+
x
2
=－,
x
1
x2
=1,
k
2
2?k
2
2
所以，线段
AB
的中点坐标为(,), 8分
k
k
2
2? k
2
21
线段
AB
的垂直平分线方程为
y
－=－(
x
－), 9分
2
kk
k
22
令
y
=0,
x
0
=
2
+1,所以点
E
的坐 标为(
2
+1,0)
kk
因为△
ABE
为正三角形，所以 点
E
（
2
3
+1,0）到直线
AB
的距离等于｜< br>AB
｜,
2
k
2
10分
41?k
2
而｜
AB
｜=
(x
1
?x
2
)?(y1
?y
2
)
=·
1?k
2
,
2< br>k
22
231?k
4
21?k
2
所以，=,
k
2
k
解得
k
=±
11分
3
11
,得
x
0
=.
2
3
12分
.

.
16.（1）
f
1
(0) =2,
a
1
=
2
2?11
=,
f
n
+1
(0)=
f
1
［
f
n
(0)］=,
1?f
n
(0)
2?2
4
1
?1
f
n? 1
(0)?1
1?f
n
(0)
1?f
n
(0)1
f
n
(0)?1
1
a
n
+1
=== =－=－
a
n
,
2
f
n?1
(0)?24?2 f
n
(0)
2
f
n
(0)?2
2
?21?f
n
(0)
∴数列｛
a
n
｝是首项为
4分
1111
n
－1
,公比为－的等比数列，∴
a
n
= (－). 6分
4242
（2）
T
2
n
=
a
1
+2
a
2
+3
a
3
+…+(2
n
－1)
a
2n－1
+2
na
2
n
, < br>111111
－
T
2
n
=(－
a
1
)+(－)2
a
2
+(－)3
a
3
+…+(－)(2
n
－1)
a
2
n
－1
+(－)·2
na
2
n

222222
=
a
2
+2
a
3
+…+(2
n
－1)
a
2
n
－
na< br>2
n
, 8分
3
两式相减得
T2
n
=
a
1
+
a
2
+
a3
+…+
a
2
n
+
na
2
n
,
2
1
?
1
2n
?
1?(?)
3
4
?
2
?
??
+
n
×
1
(－< br>1
)
2
n
－1
=
1
－
1
( －
1
)
2
n
+
n
(－
1
)
2
n
－1
, 10分 所以，
T
2
n
=< br>1
24266242
1?
2
111n113n?13n?1
T
2
n
=－(－)
2
n
+(－)
2
n
－1
=(1－
2n
). ∴9
T
2
n
=1－
2n
,
992629
22
Q
n
=1－
3n?1
,
(2n?1)
2
2
n

2
12分
当
n
=1时，2=4,(2
n
+1)=9,∴9
T
2
n
＜
Q
n
;
2
n
2
当
n
=2时，2=16,(2
n
+1)=25,∴9
T
2< br>n
＜
Q
n
;
13分
2
nn
2
当
n
≥3时，2=［（1+1）］
22

12n
=(C
0
n
+ C
n
+C
n
+…+C
n
)＞(2
n
+1) ,∴9
T
2
n
＞
Q
n
. 14分

17．解（I）
a
+
3
b
=（x,0） +
3
(1,y)=(x+
3
,
3
y),
???
a
–
?
3
?
?
b
=（x, 0）
?
?
3
(1,y)= (x
?
3
,–
3

y).
?
(
a
+
3
b
)
?
(
a
?
???
?
3
b
),
3
b
)=0,
?
(x+
3
)( x
?
3
)+
3
y·(
?
3
y)=0,
?

?
(
a
+
3
b
)·(a
?
x
2
?y
2
?1
． （６分） 故P点的轨迹方程为
3
.

.
（II）考虑方程组
?
?
y?kx?m,
222
消去y，得（1–3k）x-6kmx-3m-3=0 (*)
2
?
x
2
?
?y?1,
?
3
22222
显然1-3k
?
0,
?
=(6km)-4(1-3k)( -3m-3)=12(m+1-3k)>0.
设x
1
,x
2
为方程 *的两根，则x
1
+x
2
=
6km
，x
0
=
x
1
?x
2
?
3km
, y
0=kx
0
+m=
2
2
1?3k
2
1?3km
,
1?3k
2
2
故AB中点M的坐标为（
3km< br>，
1?3k
2
m
）,
1?3k
2
m
=（
?
1
）
3km
,
(x?)
k
1? 3k
2
1?3k
2
2
?
线段AB的垂直平分线方程为y?
将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k
?
1,
?
m
2
?1?3k
2
?0,
22
故m、k满足
?< br> 消去k得 m
?
4m>0, 解得 m<0或m>4.
2
?< br>4m?3k?1,
又
?
4m=3k
?
1>
?
1,
?

m??
2
1
1
,
故m
?
(
?
,0)
?
(4,+
?
)． （１２分）
4
4
11
?f(n?1)?()
2
?f(n? 2)?
33

18．(1)解 由已知得
f(n)?f(n?1)?f(1)?

11
?()
n?1
?f(1)?()
n
． (4分)
33
1
n
(2)证明 由(1)可 知
a
n
? n?(),
设
T
n
?
3
则
T
n
? 1??2?()?
?
a
k?1
n
k

1
3
1
3
2
1
?n?()
n
.

3
111

?T
n
?1?()
2
?2 ?()
3
?
333
两式相减得
T
n
?
1< br>?
1
?
?
?
n?1
?
??
?n?( )
n?1
．
3
?
3
?
n
2
3< br>11
2
1
3
11
?()?()
+…+
()< br>n
?n?()
n?1

33333
1
?
1
n
?
1
n?1

?
?
1?()
?
?n?(),?

T
n< br>?
2
?
3
?
3
?
a
k
?< br>k?1
n
311
n?1
n1
n
3
?()?? ()?
． （9分）
443234
?n)?
n(n?1)
,

6
n
11
（3）解 由（1）可知
b
n
?n.?S
n
?
?
b
k
?(1?2?
33
k?1.

.
则
16
11
?
=
6(?),

S
n
n(n?1)
nn?1
故 有
1
111
?6(1????
?
S
223
k?1< br>k
n
111
??)
=6
(1?)?6
． （１４分）
nn?1n?1

19．（1）
2n?4?2?(n?2?1) d,?d?2,?f(a
n
)?2?(n?1?1)?2?2n?2,?a
n
?a
2n?2

a
4
(1?a
2n
)a
4
?.
（ 2）
limS
n
?lim
n??n??
1?a
2
1 ?a
2
2n?2
?(2n?2)?2
2n?2
?(n?1)?22n?3
.
（3）
b
n
?a
n
?f( a
n
)?(2n?2)a
b
n?1
n?2
??4?1
b
n
n?1
?b
n?1
?b
n
.

?1
?{b
n
}
为递增数列
?b
n
中 最小项为
b
1
?2?2
5
?2
6
,f(t)?2< br>t
,?2
6
?2
t
,?t?6.

?
1
?|OF|?|FQ|sin(
?
?
?
)?26
20． （1）
?

?tan
?
?
46
,?6?m?46

?1?tan
?
?4.

2
?
m
?
|OF|?|FQ|cos
?
?m
?

?
?
4
?
?
?arctan4.

x
2
y
2
（2）设所求的双曲线方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),Q(x
1
,y
1
),则FQ? (x
1
?c,y
1
)

ab
?S
?OFQ
?
146
|OF|?|y
1
|?26,?y
1
??
又由
OF?FQ?(c,0)?(x
1
?c,y
1
)?
< br>2c
66963c
2
222
(x
1
?c)?c?(? 1)c,?x
1
?c,?|OQ|?x
1
?y
1
???12 .

448
c
2
当且仅当
c
=4时，
|O Q|
最小，此时Q的坐标为
(6,6)或(6,?6)

6
?
6
?
2
?
2
?1
?
?
ab
?< br>a
2
?b
2
?16
?
2
?
?
a?4
?
?
2
?
?
b?12
x
2
y
2
??1.

?
所求方程为
412
（3 ）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

l
1
的方程为
y?3x,l
2
的方程 为
y??3x
则有
y
1
?3x
1
①
y
2
??3x
2
②
?2|AB|?5|FF
1
|

?2(x
1
?x< br>2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?5?2c?40

.

.
?(x
1
? x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2< br>?20
③ 设
M(x,y)
由①②得
y
1
?y2
?3(x
1
?x
2
)

y
1
?y
2
?3(x
1
?x
2
)?2y?3(x
1< br>?x
2
),y
1
?y
2
?23x

?x
1
?x
2
?
2y
3
，
y< br>2
x
2
y
1
?y
2
?23x
代入③ 得
()?(23x)?400

???1.?M
的轨迹为
100< br>300
3
3
2y
22
焦点在
y
轴上的椭圆.

21、解：（1）
?f(x)
为偶函数
?f(?x)?f(x)

?b?0

f(x)?3x?1

2
?g(x)
为奇函数
?g(?x)??g(x)

?c?0

g(x)?5x

?f(a
n?1
?a
n
)?g( a
n?1
?a
n
?a
n
)?3(a
n?1
?a
n
)
2
?1?5(a
n?1
?a
n
? a
n
)?1

22
?3a
n?1
?a
n? 1
?a
n
?2a
n
?0

?(a
n?1< br>?a
n
)(3a
n?1
?2a
n
)?0

?
22
a
n?1
2
?

a
n3
?{a
n
}
是以
a
n
?1
为首项， 公比为
22
n?1
的等比数列.
a
n
?()
< br>3
3
（2）
lim
s
n
?
n??
1
2
1?
3
?3

22、解析：（1）如图，以
A B
所在直线为
x
轴，
AB
中垂线为
y
轴建立直角坐 标系，
?
A
（-1，
0），
B
（1，0）

x
2
y
2
设椭圆方程为：
2
?
2
?1

ab
?
C? 1
?
a?2
b
?
2
x?C?y?
令 ∴
?
b

0
3
?
?
c
?
b?3
?
?
?
a2
2
.

.
x
2
y
2
??1
∴ 椭圆
C
的方程是：
43

（2）
EC?
11
AB?E(0
，
)
，
l
⊥
AB
时不符，
22
设
l
：
y
＝
kx
＋
m< br>（
k
≠0）
?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y
2
?(3?4k
2
)x
2
?8kmx?4m
2
?12?0

?1
?
?
3
?
4

M
、
N
存在
?
?0?64k
2
m
2
?4(3?4k< br>2
)
?
(4m
2
?12)?0
?4k
2?3?m
2

设
M
（
x
1
，y
1
），
N
（
x
2
，
y
2< br>），
MN
的中点
F
（
x
0
，
y0
）
∴
x
0
?
x
1
?x2
4km
3m
??
，
y?kx?m?
00
2
3?4k
2
3?4k
2

|ME|?|NE|?MN?E F?
y
0
?
3m1
1
?
2
2
??
1
?
3?4k
2
2
??
1
?m??
3?4k

4km
x
0
kk2
?
3?4k
2
3?4k
2
2
)
∴
4k
2
?3?4
∴
0?k
2
?1
∴
?1?k?1
且
k?0
∴
4k?3?(?
2
2
∴
l
与
AB
的夹角的范围是
(0
，
]
．

x
11141
23、
（1）
f(x)?f(1?x)?? ???.
4
x
?24
1?x
?24
x
?24?2? 4
x
2
1
4
(6
?
)

(2)由 (1)知f(0)?f(1)?
1
?
,f(1)?f(0)?.
2
11n?112n?21
,f()?f()?,f()?f()?
2nn2nn 2

(10
?
)
(12
?
)
将上述n?1 个式子相加得2a
n
?
n?1n?1
,?a
n
?.
24
11n?3n(n?3)
S
n
?[2?3?4?
?
?( n?1)]???n?.
4428

24、（1）当X<0时,
f(x)?
7x
（3分）
x
2
?x?1
（2）函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数；（证明略） （9分）
（3）因为函数
y
=
f(x)
(X
?
0)在
?
1,??
?
是增函数，由x
?2
得
f(x )?f(2)??2
；
.

.
又因为
x?x?1 ?0,?7x?0
，所以
?
2
7x
?0
，所以
?2 ?f(x)?0
；
x
2
?x?1
因为
x
1
,x
2
?0
，所以
?2?f(x
1
)?0
，且< br>?2?f(x
2
)?0
，即
0?f(x
2
)?2，
所以，-2≤f(x
1
) – f(x
2
) ≤2即|f(x
1
)
－
f(x
2
)
|<2. （14分）

25、解：⑴由题意易得
M
(-1,0)
设过点< br>M
的直线方程为
y?k(x?1)(k?0)
代入
y?4x
得
2
k
2
x
2
?(2k
2
?4)x?k2
?0
………………………………………（１）
再设Ａ（ｘ
１
，ｙ
１
），Ｂ（ｘ
２
，ｙ
２
）
4?2k
2
则ｘ
１
＋x
2
=，ｘ
１
·x
2
=１
2
k
y
１
＋y
2
=k(x
1
+1)+k(x
2
+1)=k(ｘ
１
＋x
2
)+2k=
4

k
2?k
2
2
,
） ∴ＡＢ的 中点坐标为（
2
k
k
212?k
2
)
，令
y?0
得 那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为
y???(x?
kk
k
2
k
2
?2k
2
?22
x?x??1?
，即 0
222
kkk
又方程（１）中△＝
(2k
2
?4)< br>2
?4k
4
?0,?0?k
2
?1,?
2
? 2,?x
0
?3

k
2
⑵若△
ABD
是正 三角形，则需点
D
到
AB
的距离等于
3
AB
2
16(1?k
2
)(1?k
2
)
AB?(1?k)( x
1
?x
2
)?(1?k)(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?

4
k
2
22 2
?
2
?
点到AB的距离d=
k
2
?2
k ??k
k
2
1?k
2
?
2k
2
?2
k1?k
2
21?k
2
?

k
4(k
2
?1)316(1?k
4
)
3
2
??
据
d ?AB
得：
24
4
kk
4
2
∴
4k?k ?3?0,(k?1)(4k?3)?0
，∴
k
2
?
4222
3
2
，满足
0?k?1

4
.

.
∴△
ABD
可以为正△，此时
x
0
?
11

3

26、解：⑴设E（
x
，
y
），D（
x
0
，
y
0
）
∵
ABCD
是平行四边形，∴
AB?AD?2AE
，
∴（ 4，0）+（x
0
+2，y
0
）=2（x+2，y）∴（x
0
+6，y
0
）=(2x+4，2y)
∴
?
?
x
0
?6?2x?4
?
x
0
?2x?2
?
?

?
y
0
?2y
?
y
0
?2y
2< br>又
AD?2,?(x
0
?2)
2
?y
0
?4 ,?(2x?2?2)
2
?(2y)
2
?4

即：
x?y?1

∴
□ABCD
对角线交点E的轨迹方程为
x?y?1

⑵设过A的直线方程为
y?k(x?2)

以A、B为焦点的椭圆的焦距
2C
=4，则
C
=2
22< br>22
x
2
y
2
x
2
y
2
? 1
…………………（*） 设椭圆方程为
2
?
2
?1
， 即
2
?
2
abaa?4
x
2
k
2
(x?2)
2
?1
将
y?k(x?2)
代入（*）得
2
?
aa
2
?4
即
(a?ak?4)x?4akx?4ak?a?4a?0

设
M
（x
1
，y
1
），
N
（x
2
，y
2< br>）则
2222222242
4a
2
k
2
4a
2
k
2
?a
4
?4a
2
x
1
? x
2
?,x
1
?x
2
?

4?a
2
?a
2
k
2
a
2
?a
2
k2
?4
∵
MN
中点到
Y
轴的距离为
4
，且
MN
过点
A
，而点
A
在
Y
轴的左侧， ∴
MN
中点也在
Y
轴的左侧。
3
2a
2
k
2
4?88?a
2
222
?,?ak?2a?8
，∴x
1
?x
2
?,x
1
?x
2
?
∴
2

22
333
a?ak?4
∴
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?()
2
?
∵< br>MN?
8
3
4
(8?a
2
)

3
88
2
∴
1?k
2
x
1
?x
2
?2

3 3
64324
2
128
2222
∴
(1?k
2)(?
即
12a?12ak?32k?160

?a)?< br>9339
9a
2
?64
∴
12a?12(2a?8)?32k ?160
∴
k?

8
222
2
.

.
9a
2
?64
?2a
2
?8
，
9a
4
?80a
2
?64?0
∴
a?
8
2
(a
2
?8)(9a
2
?8)?0
，∵
a?c?2
，∴
a
2
?8

∴
b
2
?a
2
?c
2
?8?4?4

x
2
y
2
??1
∴所求椭圆方程为
84
⑶由⑴可知点E的轨迹是圆
x?y?1

设< br>(x
0
,y
0
)
是圆上的任一点，则过
(x
0
,y
0
)
点的切线方程是
x
0
x?y
0
y?1

①当
y
0
?0
时，
y?
22
22
1?x
0
x
代入椭圆方程得：
y
0222
(2x
0
?y
0
)x
2
?4x
0
x?2?32y
0
?0
，又
x
0
?y
0
?1

∴
(x
0
?1)x?4x
0
x?32x
0
?30?0

2< br>2
2
x
1
?x
2
?
4x
0
x
0
?1
2
2
,x
1
x
2
?2
32x
0
?30
x
0
?1
2
2
∴
(x
1
?x
2
)?(x
1
?x< br>2
)?4x
1
x
2
?
1
42
(?1 28x?8x?120)

00
2
2
(x
0
?1)
22
xx?y
PQ?(1?(?
0
)
2
)(x1
?x
2
)
2
?
0
2
0
(x
1
?x
2
)
2

y
0
y
0
2
=
1
1?x
0
2
?
1
(1? x
0
)
2
2
(?128x
0
?8x
0?120)?
42
16x
0
?15
(1?x
0
)
2
2
2

令
16x
0
?15?t(15?t?31)



则
PQ?
2
2
t256t256
?
2
?< br> ， ∵
15?t?31

t?1
2
t?2t?1
1
()t??2
16t
2
∴当t=15时，
PQ
取最大值为15 ，
PQ
的最大值为
15
。
此时
16x
0
?0,x
0
?0,?y
0
?1
，∴直线
l
的方程为
y??1

.
2

.
②当
y
0
?0
时，容易求得
PQ?7?15
故：所求
PQ
的最大值为
15
，此时
l
的方程为
y??1


t
?
y?(x?a)
222
27． 解（理）（1）易得
l
的方程为
y?
t
(x?a)
…1分 由
?
，得（
at
+4）
y
－4
aty
=0 …2分
2
?
?
2
2
?
x
?y
2
?1
?
?
a
2
解得y=0或
y?
4at< br>………………4分
4at
即点M的纵坐标
y
M
?
22
at?4
at?4
22
S=S
△AMN
=2S
△AOM
=|OA|·y
M
=
4a
2
t
…7分 （2）由（1）得，
4a
2
t4a
2
S??(t?0)

22
22
4?at
4
4?at
?a
2
t< br>t
令
V?
2
44
?a
2
t,V
?< br>??
2
?a
2
…………9分 由
V
?
?0?t?

a
t
t
当
t ?
2
时，
V
?
?0;当0?t?
2
时,V
?
?0
…10分 若1≤
a
≤2，则
2
?[1,2)
，故当
t?
2
时，S
max
=
a
11分
a
aa
a
2
若
a
＞2，则
0?
2
?1.?V?
4
?a
2
t
在[1，2]上递增，进而S(t)为减 函数. ∴当t=1时,
S?
4a
13
max
at
4?a< br>2
分
综上可得
S
max
?
a(1?a?2)
?
…………14分
?
?
4a
2
(a?2)
?< br>?
4?a
2
28. (1) ∵函数
f
(
x
)=

又函数
f
(
x
)=

bx
+
cbx
.

的图象过原点，即
f
(0)=0，∴
c

=0，∴
f
(
x
)=

x
+1
x
+1
bxabx
b

-

的图象关于点（-1，1）成中心对称，∴
a
=1，
b
=1，∴f
(
x
)=

.(2)

=

x
+1
x
+1
x
+1
a
n
a
n
+1
]，即
a
n
+1
=

2
由题意有
a
n
+1
=[

1
a
n
a
n
+1
，即
1
a
n
+1
=
1
a
n

+1，∴
1
1
a
n
+1

-
1
a
n

=1.
∴数列{
1
a
n
}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴
a
n

1
=1+(
n
-1)=
n
，即
a
n

=

，∴
a
n
=

n
1111
.∴
a
2
=

，
a
3
=

，
a
4
=

，
a
n
=

2
.
n
4916
n
2

?
y?m?n
?
?
29、解：（1）由
?
m?(2x?b,1)
，得
y?2x?1
…………2分
?
n?(1,b?1)
?
?
?L:y?2x?1,?P
1
(0,1)
，则
a
1
?0,b
1
?1,

?a
n
?n?1(n?N
?
) ,b
n
?2n?1(n?N
?
)
…………4分
.

.
（2）当
n?2
时，，
P
n
(n?1,2n?1),|P
1
P
n
|?5(n?1)

c
n
?
5111
???
…………6分 < br>n|P
1
P
n
|n(n?1)n?1n
?lim(c
1
?c
2
???c
n
)?

n??
111 111
lim[(1?)?(?)?
?
(?)]?lim(1?)?1
…………8分
n??n??
223n?1nn

（3）假设存在符合条件的
k
使命题成立
当
k
是偶数时，
k?11
是奇数，则
f(k?11)?k?10,f(k)?2k?1

由
f(k?11)?2f(k),
得
k?4
…………11分
当
k
是奇数时，
k?11
是偶数，则
f( k?11)?2k?21,f(k)?k?1

由
f(k?11)?2f(k),
得
k
无解
综上存在
k?4
，使得
f(k?11)?2f(k)
…………14分

30.解：（1）设
A(x
1
,y
1< br>)
，
B(x
2
,y
2
)
，直线AB的方程为 ：
y?k(x?1)(k?0)

把
y?k(x?1)
代入
y
2
?4x
得：
k
2
x
2
?(2k
2
?4)x?k
2
?0

2k
2
?4
4
∴
x
1
?x
2
?
∴
y
1
?y
2
?k(x
1
?1)?k(x
2
?1)?
< br>2
k
k
?
x
1
?x
2
k
2
?2
x??
?
2
?
k
2
?22
?
?
2k
,
?
； ∴
?
∴点M的坐标为
M< br>?
2
kk
??
?
y?
y
1
?y2
?
2
?
2k
?
消去
k
可得点M的轨 迹方程为：
y
2
?2x?2(x?0)
；
k
2
? 22
|3?
2
?4??m|
1
kk
（2）∵
d??

55
6868
68
∴
|3?
2
??m| ?1
∴
3?
2
??m??1
∴
2
???1?3?m

kkkk
kk
11
6811
638
∵
k ?2
∴
0?
2
?
，
0??4
∴
0?
2
??
∴
0??1?3?m?

kk2
k2k
2
∴
0?1?3?m?
11111519
或
0??1?3?m?
∴
??m??2
或
??m??4

222
2
.

.
∴
?

19
?
19
?
?m??2
∴
m
的取值范围为
?
?,?2
?
。
2
?
2
?
.