高中数学数列压轴题练习及详解

1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且?,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列满足,
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,
请说明理由.

解:(I)设数列的公差为d,则
由?,,得,
计算得出 或(舍去).
;
(Ⅱ)①,,
,
,
即,,,,
累加得:,

也符合上式.
故,.
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,
则
又,,,
,即,

化简得:
当,即时,,(舍去);
当,即时,,符合题意.
存在正整数,,使得,,成等差数列.
解析
(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的 方程组,求解方程组得首项和公差,代入
等差数列的通项公式得答案;
(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公
式;
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算
得出答案.
2.在数列中,已知,
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.
解:(1)证明:,

又,
,,
故,
是以3为首项,公比为3的等比数列
(2)由(1)知道,,

若为数列中的最小项,则对有恒成立,
即对恒成立
当时,有;
当时,有?;
当时,恒成立,
对恒成立.
令,则对恒成立,
在时为单调递增数列.
,即
综上,
解析
(1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列;
(2)由(1 )求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成
立,分类分别求得当时和当的取值 范围,
当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.
3.在数列 中,已知 , , ,设 为 的前n项和.
(1)求证:数列 是等差数列;
(2)求
(3)是否存在正整数p,q, ,使 , , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;
若不存在,说明理由.
(1)证明:由,,
得到,

则
又,
,
数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;
(2)由(1)可以推知:,
所以,,
所以,①
,②
①-②,得
,
,
,
所以
(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列.
则,
即
因为当时,,
所以数列单调递减.
又,
所以且q至少为2,
所以,
①当时,,

又,
所以,等式不成立.
②当时,,
所以
所以,
所以,(数列单调递减,解唯一确定).
综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.
解析
(1)把给出的数列递推 式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为
公差的等差数列;
(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;
(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.
4.已知n为正整数,数列 满足 , ,设数列 满足
(1)求证:数列 为等比数列;
(2)若数列 是等差数列,求实数t的值;
(3)若数列 是等差数列,前n项和为 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,
求满足条件的所有整数 的值.
(1)证明:数列满足,,
?,?,
数列为等比数列,其首项为,公比为2;
(2)解:由(1)可得:?,
,

数列是等差数列,,
,
计算得出或12.
时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列.
时,,,不是关于n的一次函数,
因此数列不是等差数列.
综上可得;
(3)解:由(2)得,
对任意的,均存在,使得成立,
即有??,
化简可得,
当,,,对任意的,符合题意;
当,,当时,,
对任意的,不符合题意.
综上可得,当,,对任意的,均存在,
使得成立.
解析
(1)根据题意整理可得,?,再由等比数列的定义即可得证;
(2)运用 等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对
t的值,检验即可得到所求值;
(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有??,讨论为偶数和奇数,化简
整理 ,即可得到所求值.

5.已知常数 ,数列 满足 ,
(1)若 , ,
①求 的值;
②求数列 的前n项和
(2)若数列 中存在三项 , , 依次成等差数列,求 的取值范围.
解:(1)①,
,
,
,
②,,
当时,,
当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,
数列的前n项和,,
显然当时,上式也成立,
;
(2),
,即单调递增.
(i)当时,有,于是,
,
若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,
即
,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.

当时,有.此时
于是当时,.从而
若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,
同(i)可以知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾.
故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.
当时,有
于是

此时数列中存在三项,,依次成等差数列.
综上可得:
解析
(1)①,可得,同理可得,
②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以 3为公比的等比数列,
利用等比数列的求和公式即可得出
(2),可得,即单调递增.
(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在.
当时,有.此时.于是当时 ,.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此
不存在.
当时,有.于是.即可得出结论.
6.已知两个无穷数列 和 的前n项和分别为 , , , ,对任意的 ,都
有
(1)求数列 的通项公式;

(2)若 为等差数列,对任意的 ,都有 .证明:
(3)若 为等比数列, , ,求满足 的n值.
解:(1)由,得,
即,所以
由,,可以知道
所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
故的通项公式为,
(2)证法一:设数列的公差为d,
则,
由(1)知,
因为,所以,
即恒成立,
所以,即,
又由,得,
所以
所以,得证.
证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得,
则,即,
因为,所以
所以,
因为,所以存在,当时,恒成立.
这与“对任意的,都有”矛盾!

所以,得证.
(3)由(1)知,.因为为等比数列,
且,,
所以是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以,
则,
因为,所以,所以
而,所以,即
当,2时,式成立;
当时,设,
则,
所以,
故满足条件的n的值为1和2.
解析
(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即
可得证;
方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作
差,推出大于 0,即可得证;
(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差
数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.

7.已知数列 , 都是 单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序
排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数 列
(1)设数列 , 分别为等差、等比数列,若 , , ,求
(2)设 的首项为1,各项为正整数, ,若新数列 是等差数列,求数列 的
前n项和
(3)设 是不小于2的正整数), ,是否存在等差数列 ,使得对任意的 ,
在 与 之间数列 的项数总是 若存在,请给出一个满足题意的等差数
列 若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,
所以,,
所以,,
所以,
因为,,,

(2)设等差数列的公差为d,又,且,
所以,所以
因为是中的项,所以设,即
当时,计算得出,不满足各项为正整数;
当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以;
当时,,此时,只需取,
由,得,是奇数, 是正偶数,m有正整数解,

所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以
综上所述,数列的前n项和,或
(3)存在等差数列,只需首项,公差
下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,
即成立.
由,

所以首项,公差的等差数列符合题意
解析
(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,
因数列,单调递增,,,可得,,利用通项公式 即可得出.
(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时 ,
计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出.
(3)存在等差数列,只需首项 ,公差.下证与之间数列的项数为.即证对任意正
整数n,都有,作差利用通项公式即可得出.
8.对于数列,称(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,,都有,则称
数列为“趋稳数 列”.
(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,,都有,试计
算:.

解:(1)根据题意可得,
即,两边平方可得,
计算得出;
(2)证明:由已知,设,
因且,
故对任意的,,都有,

,,
因,
,,,,,
,
,
,

即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”;
(3)当时,
当时,,

同理,,
因,
,
即,

所以或
所以 或
因为,且,所以,从而,
所以,

.
解析
(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;
(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即
可得证; (3)由任意,,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式
定理,化简整理 即可得到所求值.

9.已知首项为1的正项数列{a
n
}满足+＜an+1
a
n
，n∈N.
（1）若a
2
=，a
3
=x，a
4
=4，求x的取值范围；
（2）设数列{a
n
}是公比为q的等比数列，S
n
为数列{a
n
}前n项的和，若S
n
＜S
n+1
*
＜2S
n
，n∈N，求q的取值范围； < br>*
（3）若a
1
，a
2
，…，a
k
（k≥3 ）成等差数列，且a
1
+a
2
+…+a
k
=120，求正整 数
k的最小值，以及k取最小值时相应数列a
1
，a
2
，…，ak
（k≥3）的公差.
解：（1）由题意，a
n
＜a
n+1
＜2a
n
，
∴＜x＜3,
＜x＜2x，
∴x∈（2，3）.

（2） ∵a
n
＜a
n+1
＜2a
n
，且数列{a
n
}是公比为q的等比数列，a
1
=1，
∴q＜q＜2q，
∴q(q-)＞0，q(q-2)＜0，
∴q∈（，1）.
∵S
n
＜S
n
+1＜2S
n
，当q=1时，S
2
=2S
1
，不满足题意，
当q≠1时，＜＜2?，
∴①当q∈（，1）时，
，即，
∴q∈（，1）.
②当q∈（1，2）时，，即，无解，
∴q∈（，1）.
（3）设数列a
1
，a
2
，…，ak
（k≥3）的公差为d.
∵a
n
＜a
n
+1＜2a
n
，且数列a
1
，a
2
，…，a
n
成等差 数列，
∴a
1
=1，
∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1，
∴，
∴d∈（-，1）.
∵a
1
+a
2
+…+a
k
=120，
∴S
k
=k+(a
1
-)k=k+(1-)k=120，
∴d=，
∴∈（-，1），
∴k∈（15，239），k∈N*，
22
n-1n-1
n-1nn-1

∴k的最小值为16，此时公差d=.
解析
【解题方法提示】
分析题意，对于（1），由已知结合完全平方公式可得a< br>n
＜a
n+1
＜2a
n
，由此可
得到关于a
2
，a
3
，a
4
的大小关系，据此列式可解得x的取值范围； 根据a
n
＜a
n+1
＜2a
n
，以及等比数列的通项公 式可得q∈（，1），再结合S
n
＜S
n+1
＜2S
n
以及 等比数列的前n项和公式分类讨论可得q的取值范围；
设公差为d，根据a
n
＜a< br>n+1
＜2a
n
，以及等差数列的通项公式可得d∈（-，1），
然后 根据等差数列的前n项和公式结合题意可得d=，由此可解得k的取值范
围，进而得到k的最小值和d的 值.