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数学高考压轴题大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 02:01
tags:高中数学压轴题

高中数学选修2 2学案-高中数学在线辅导哪家好

2020年10月6日发(作者:张艾嘉)


1、(本小题满分14分)
已知函数.
(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;
(2)当时,试比较与的大小;
(3)求证:().
2、设函数,其中为常数.
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点;
(Ⅲ)当且时,求证:.
3 、在平面直角坐标系
点的直线交椭圆
线于点

中,已知椭圆

.
两点,线段的中点为
.如图所示,斜率为
,射线交椭圆于点
且不过原< br>,交直
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;


(ii)试问点
此时
,能否关于轴对称?若能,求出
的外接圆方程;若不能, 请说明理由.
评卷人

得分

二、计算题

(每空? 分,共? 分)


4、设函数的图象在点处的切线的斜率为,且函数为偶函数.若函数满足下列条件:①;②
对一切实数,不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)求证:.

5、已知函数:
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取 值
时,函数在区间上总存在极值?
(3)求证:.


6、已知函数=,.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域;
(Ⅱ)是否存 在实数,对任意给定的
使得
,在区间上都存在两个不同的,
成立.若存在,求出的取值 范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对
于函数图象上的点(其中
成立,则称函数具备性质“
总能使得
”,试判断函数是不是 具
备性质“”,并说明理由.

7、已知函数
(Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值;
(Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围;
(Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两 点,线段的中点的横坐标
为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
8、已知函数:
⑴讨论函数的单调性;


⑵若函数的图象在点处的切 线的倾斜角为45,对于任意的
o
,函数
在区间上总不是单调函数,求m的取值范围;
⑶求证:.

9、已知正方形的中心在原点,四个顶点都在函数图象上.
(1)若正方形的一个顶点为,求,的值,并求出此时函数的单调增区间;
(2)若正方形唯一确定,试求出的值.

10、已知函数
(I)求a,b的值;
,曲线在点处的切线方程为.
(II)如果当x>0,且
2
时,,求k的取值范围.

11、设函数
f
(
x
)=
x
+
b
ln(
x
+1),其中
b
≠0.
(Ⅰ)当
b
>时 ,判断函数
f
(
x
)在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数
f
(
x
)的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数
n
,不等式ln)都成立.
12、如图7,椭圆
得的线段长等于的长半轴长。
的离心率为,x轴被曲线 截
(Ⅰ)求,的方程;


(Ⅱ)设
交与D,E.
与y轴的焦 点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相
(i)证明:MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是
请说明理由。
,.问:是否存在直线l,使得=?
13、已知点
直线
是直角坐标平面内的 动点,点
的距离为,到点


距离为,且.
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、
B(点A或B不在x轴上),分别过A、B点作直线
试判断点F与以线段
的垂线,对应的垂足分 别为,
为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);
(3)记
使
,,(A、B、是(2)中的点),问是否存在实数,
成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理 由.
进一步思考问题:若上述问题中直线、点、曲线C:
,则使等式成立的的值仍保持不变. 请给出
你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,
或证明).


14、如图,在轴上方有一段曲线弧
点及点,

(1)求曲线弧

, 其端点、在轴上(但不属于
.直线
),对

上任一
,满足:
两点.
分别交直线
的方程;
(2)求的最小值(用表示);
(3)曲线
明理由.
上是否存点,使为正三角形?若存在,求的取值范围;若不存在,说



15、设、是函数的两个极值点.
(1)若,求函数的解析式;
(2)若,求的最大值.
(3)若,且,,求证:.


16、 已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意,,不等式
恒成立,求实数的取值范围.

17、已知函数
(1)若曲线处的切线平行,求a的值;
(2)求的单调区间;
(3)设是否存在实数a,对
均成立;若存在,求a的取值范围;若不存在,
请说明理由。

18、已知函数图象的对称中心为

且的极小值为.
(1)求的解析式;
(2)设,若有三个零点,求实数的取值范围;


(3)是否存在实数,当时,使函数
在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b],若存在,求出
k
的范围;若不存在,说明理由.
19、已知函数.


(1)若方程在区间内有两个不相等的实根,求实数的取值范围;
(2)如果 函数
求证:
x
的图像与x轴交于两点
(其中,
2
,且
满足

). 是的导函数,正常数
20、已知函数
f
(
x
)=
a

x

x
ln
a
(
a
>0,
a
≠1).
(1)当
a
>1时,求证:函数< br>f
(
x
)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数
y=|
f
(
x
)-
t
|-1有三个零点,求
t< br>的值;
(3)若存在
x
1

x
2
∈[-1 ,1],使得|
f
(
x
1
)-
f
(
x2
)|≥e-1,试求
a
的取值范围.
21、已知函数
处切线的斜率为—1。
处取得极小值,其图象过点A(0,1),且在点A
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设函数
,则称区间
值区间”;

为函数的“保值区间”。证明:当
上的值域也是
不存在“保
22、已知函数
(1)求证函数上的单调递增;
(2)函数有三个零点,求t的值;
(3)对恒成立,求a的取值范围。
23、已知函数,其中


(Ⅰ)若函数上有极值,求的取值范围;
(Ⅱ)若函数
求的值;
有最大值(其中为无理数,约为2.71828),
(Ⅲ)若函数有极大值,求的值。

24、已知函数。
(1)若函数在区间上存在极值,其中,求实数的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:
25、已知函数,,其中R.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数
总有成立,求实数
,当
的取值范围.

时,若,,
26、 已知函数.
(1)求函数的单调区间;


(2)设m>0,求在[m,2m]上的最大值;
(3)试证明:对任意N
+
,不等式<恒成立.

27、已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)设,求证:;
(3)设,求证:.

28、已知二次函数

对都满足且,设函
(,).
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围;


(Ⅲ)设,
.
,求证:对于,恒有
29、已知函数



不等式
围;
求实数的取值范
(3)若函数
30、已知函数
(Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值;
(Ⅱ)在 函数
为,直线
的图象上是否存在不同两点
的斜率为,有成立?若存在,请求出
,线段的中点的横坐标
的值;若不存在,请说明
理由.

31、已知函数
⑴求实数的值;
的图象在点(为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
⑵若,且对任意恒成立,求的最大值;
⑶当时,证明.

32、已知函数在点的切线方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设,求证:在上恒成立;


(Ⅲ)已知,求证:.

33、已知
(1)若,函数在其定义域内是增函数,求的取值范围;
(2)当时,证明:函数只有一个零点;
(3)若
求证:
的图象与轴交于

两点,AB中点为,


参考答案

一、综合题

1、解:(1)当时,,定义域是,
, 令,得

. …2分
当或时,,当时,,


函数在、上单调递增,在上单调递减. ……………4分


的极大值是,极小值是.
当时,; 当时,,
当仅有一个零点时,的取值范围是或.……………5分
(2)当时,,定义域为.
令,

在上是增函
数. …………………………………7分
①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即. …………………………………9分
(3)(法一)根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有, . ……………12分



. ………………………
……………14分
(法二)当时,.
,,即时命题成立. ………………………………10分
设当时,命题成立,即 .
时,

根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即时命题也成立.……………13分


因此,由数学归纳法可知不等式成
立. ………………………………14分
(法三)如图,根据定积分的定义,
得.……11分



. ………………………………12分

又,,

. ………………………
…………14分


【说明】本题主要考查函数导数运算法则 、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考
查分类讨论思想和数形结合思想,考查考生的计算 能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识.
2、解:(1)由题意知,的定义域为,

当时, ,函数在定义域上单调递增.
(2)①由(Ⅰ)得,当时,函数无极值点.
②时,有两个相同的解,
时,
时,函数在上无极值点.
③当时,有两个不同解,

时,,
,


此时 ,随在定义域上的变化情况如下表:







极小值



由此表可知:时,有惟一极小值点,
ii) 当时,0<<1
此时,,随的变化情况如下表:







极大值





极小值



由此表可知:时,有一个极大值和一个极小值点

综上所述:
当且仅当时有极值点;
当时,有惟一最小值点;


当时,有一个极大值点和一个极小值点
(3)由(2)可知当时,函数,
此时有惟一极小值点


令函数


3、【解析】(Ⅰ)由题意:设直线,


由消y得:,设A、B,AB的中点
E,则由韦达定理得: =,即
,,所以中点E的坐标为
E

,因为O、E、D三点在同一直线上, 所以,即,解
,所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
(Ⅱ)(i)证明:由题意知 :n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点
G的纵坐标为,又因为,,且?,所以
,又由 (Ⅰ)知:
,即有,令
,所以解得,所以直线的方程为
得,y=0,与实数k无关, 所以直线过定点(-1,0).
(ii)假设点
线上,
,关于轴对称,则有的外接 圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂
由(i)知点G(,所以点B(,又因为直线过定点
( -1,0),所以直线的斜率为,又因为,所以解得或6,又因为


,所以舍去,即,此时 k=1,m=1,E,AB的中垂线为2x+2y+1=0,
圆心坐标为,G(,圆半径为,圆的方程为 .综上所述,
点,关于轴对称,此时的外接圆的方程为.

二、计算题

4、(Ⅰ)解:由已知得:
. ……………1分

显然有
为偶函数,得为偶函数,

…………2分


,所以,即. …………3
又因为对一切实数恒成立,
即对一切实数,不等式恒成立. …………4分
显然,当时,不符合题
意. …………5分


当时,应满足

注意到 ,解得
. …………7分
所以
. ……
………8分
(Ⅱ)证明:因为,所以.………9分
要证不等式
即证
成立,
. …………10

因为
12分
, …………
所以



所以
14分

成立. ……………
5、解:(1) (1分),
当时,的单调增区间为,减区间为;…………2分
当时,的单调增区间为,减区间为;…………3分
当时,不是单调函数…………4分
(2)因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为,
所以,所以,, ……………..…6分

…………………………………….……7分
要使函数在区间上总存在极值,所以只需
, ………………ks5u……..……9
分 解得
………………………………………………………10分


⑶令此时,所以,
由⑴知在上单调递增,∴当时,
即,∴对一切成立,………12分
∵,则有,∴
…………14分

6、 解:(Ⅰ)
间上单调递减,且


在区间上单调递增,在区
的值域为 ………………3分
(Ⅱ)令

,则由(Ⅰ)可得

,原问题等价于 :对任意的
不可能是单调函数 …………………5分 上总有两个不同的实根,故

当时, ,.s 在区间上递减,不合题意
当时, ,在区间上单调递增,不合题意
当时, ,在区间上单调递减,不合题意


当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增,
由上可得,此时必有的最小值小于等于0 而由
可得,则
综上,满足条件的不存在。………………………..8分
(Ⅲ)设函数具备性质“”,即在点 处的切线斜率等于,不妨设,
则,而在点处的切线
斜率为,
故有………………10分

………………12分
,令,则上式化为,
令,则由可得在上单调递增,故

,即方程无解,所以函数不具备性质
”. ……………………14分


7、解(Ⅰ)
1分
若函数
成立,而当

时,
上递增,则对恒成立,即对恒


若函数在上递减,则对恒成立,即对恒
成立,这是不可能的.
综上, 的最小值为
1.
4分
(Ⅱ)解1、由

得=0的根为1,所以
当时,,则单调递增,当时,,则单调递减,
所以在处取到最大值,又 ,,


所以要使与有两个不同的交点,则有

……………8分
(Ⅲ)假设存在,不妨设
9分


若则,即,即.

令,(),
则>0.∴在上增函数, ∴,
∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴
因此,满足条件的不存
在.
15分


*) 12





8、

9、⑴因为,所以,因此,
所以函数的图象在点处的切线方程为,…………………………2分


得,由,得.…4
⑵因为,
所以,由题意知在上有解,
因为,设,因为,
则只要解得,
所以
b
的取值范围.………………………………………………………………8分
⑶不妨设.因为函数在区间上是增函数,所以,
函数图象的对称轴为,且,
(ⅰ)当时,函数在区间上是减函数,所以,
所以等价于,


即,
等价于在区间上是增函数,
等价于在区间上恒成立,
等价于在区间上恒成立,
所以,又,
所以;………………………………………………………………………………………10分
(ⅱ)当时,函数在区间上是减函数,在上为增函数.
①当时,
等价于,
等价于在区间上是增函数,
等价于在区间上恒成立,
等价于在区间上恒成立,
所以,又,


所以;……………………………………………………………………………12分
②当时,
等价于,
等价于在区间上是增函数,
等价于在区间上恒成立,
等价于在区间上恒成立,
所以,故.………………………………………………………………14分
③当时,
由图象的对称性知,只要对于①②同时成立,那么对于③,
则存在,
使恒成立;
或存在,
使恒成立.
因此,.


综上,
b
的取值范围是.……………………………………………………16分

10、解:
(Ⅰ)
由于直线的斜率为,且过点,故即

得,。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以

考虑函数,则

(i)设
,故
,由知,当时,。而


当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<0,可得 h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
(ii)设00,故
2
(x)>0,而
h(1)=0,故当x(1,
矛盾。
) 时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设
(iii)设k1.此时(x)>0,而h(1)=0, 故当x(1,+)时,h(x)>0,可得
h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0]
解:(2)由(1)知.
故要证: 只需证
为去分母,故分x>1与0当x>1时,需证
即 即需证. (1)


设,则
由x>1得,所以在(1,+)上为减函数.又因g(1)=0
所以 当x>1时 g(x)<0 即(1)式成立.
同理0而由0所以 当0综上所证,知要证不等式成立.
点评:抓住基本思路,去分母化简问题,不可死算.

11、(I) 函数的定义域为.

令,则在上递增,在上递减,
.
当时,,
在上恒成立.


即当时,函数在定义域上单调递增。
(II)分以下几种情形讨论:
(1)由(I)知当时函数无极值点.
(2)当时,,
时,
时,
时,函数在上无极值点。
(3)当时,解得两个不同解,.
当时,,,

此时在上有唯一的极小值点.
当时,


在都大于0 ,在上小于0 ,
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知,时,在上有唯一的极小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;
时,函数在上无极值点。
(III) 当时,
令则
在上恒正,
在上单调递增,当时,恒有.
即当时,有,
对任意正整数,取得
12、





13、解 (1) 设动点为

1分
依据题意,有

化简得
. 3

因此,动点P所在曲线C的方程是:. …………4分
(2) 点F在以MN为直径的圆的外部.


理由:由题意可知,当过点F的 直线的斜率为0时,不合题意,故可设直线:,
如图所示. 5分
联立方程组,可化为,
则点的坐标满足
. 7分
又、,可得点、.
点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断, 也可以计算点与直径形成的
张角是锐角、直角、钝角来加以判断.


,,则=.9
于是,为锐角,即点F在以MN为直径的圆的外
部. 10分
(3)依据(2)可算出,







14分

所以,,即存在实数使得结论成
立. 15分
对进一步思考问题的判断:正
确.
18分
14、解:(1)由椭圆的定义,曲线是以,为焦点的半椭圆,
. ……………………………………………1分
∴的方程为. ……………………………………………3分
(注:不写区间“”扣1
分)
(2)解法1:由(1)知,曲线的方程为,设,


则有, 即 ……
① ………………………………4分
又,,从而直线的方程为
AP:; BP: ……………5分
令得,的纵坐标分别为
; .


……② ………………………………………7
将①代入②, 得 .
∴ .
当且仅当,即时,取等号.
即的最小值是. ……………………………………………9分
解法2:设,则由三点共线,得 ..①
同理,由三点共线得: …② …………………5分


由①×②得:.
由,代入上式,.
即 . …………………………………………………………7分

当且仅当,即时,取等号.
即的最小值是 . ………………………………………………9分
(3)设,依题设,直线∥轴,若为正三角形,则必有


,…………………………………………………10
从而直线的斜率存在,分别设为、,由(2)的解法 1知,

11分
; , ……………………………
于是有

, 而,矛盾.………………………13
∴不存在点P,使为正三角形. ……………………………………………14分
注:如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.


15、解:
(1)∵是函数的两个极值点,
∴,.∴,,
解得.∴.-------------------4分
(2)∵是函数的两个极值点,∴.
∴是方程的两根.
∵,∴对一切恒成立.,

∵,∴.
∴.
由得,∴.
∵,∴,∴. 令,
则.
当时,,∴在(0,4)内是增函数;


当时,,∴在(4,6)内是减函数.
∴当时,有极大值为96,∴在上的最大值是96,
∴的最大值是.----------- ----------------------------8分
(3)∵是方程的两根,
∴, ∵,,∴.

∵,


.-------------------------------12分
16、解: (I)的定义域是


............ 2分
..........1
...




由及 得;由及得,
故函数

的单调递增区间是;单调递减区间是 ........4
(II)若对任意,,不等式恒成立,
问题等价于

, .........5
由(I)可知,在
故也是最小值点,所以
上,是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,
; ...................6


当时,;
当时,;


时,; ............8
问题等价于

或 或 ........11
解得 或 或


即,所以实数的取值范围是
.................12分

17、
18、解:(1)

……………………
……………………4分
(2)


……………………7分
(3)
,

①当时,在
上单调减,

…………………9分



…………………11分
②且,
在上不单调时,



…………………14分
综上得: …………………15分

19、解:(1)∵

,, -----1
∴当
单调递
时,,单调递增;当时,,
减。
----3分
∴当x=1时,有极大值,也是最大值,即为-1,但无最小值。



最小值。
的单调递增区间为,单调递减区间为;最大值为-1,但无
方程化为
, ----
-3分
由上知,在区间上的最大值为-1,,,
。故在区间上有两个不等实根需满足

∴,∴实数m的取值范围为
。 -----6分
(2)∵,又有两个实根,
∴两式相减,得


----
-8分
于是


=.
∵,∴,∵,∴
。 -----9分
要证:
只需证:
,只需证:.
. (*)
令,∴(*)化为
只证即
可. -----11分



,,0 ∴t-1<0.
∴u'(t)>0,∴u(t)在(0,1)上单调递增,∴u(t) ∴u(t)<0,


即:.

.......
......13分

20、解:(1).……………………………3分
由于,故当时,,所以,
故函数在上单调递增.…………………………………………………………5分
(2)当时,因为,且在R上单调递增,
故有唯一解.…………………………………………………………………7分
所以的变化情况如下表所示:
x




递减

0
0
极小值

递增

又函数有三个零点,所以方程有三个根,
而,所以,解得.…………………………10分
(3)因为存在,使得,
所以当时,.………11分


由(2)知,在上递减,在上递增,
所以当时,.………12分
而,
记,因为(当时取等号),
所以在上单调递增.
而,故当时,;当时,.即当时,;
当时,.……………………………………………………………14分
①当时,由;
②当时,由.
综上可知,所求的取值范围为.…………………………………16分

21、解:(1)
, ………………2分


所以 ………………4分
(2)由(1)得,
①假设当存在“保值区间”

于是问题转化为有两个大于1的不等实根。 …………6分
现在考察函数,


…………10分

x
变化时,的变化情况如下表:





0

+

单调递减 极小值 单调递增
所以,上单调递增。



22、


23、(1)

(2)
在(1,3)上有解,且,分离参数法,
由,得。
当时,函数上单调递减,所以由,得
时,函数有最大值。


(3)当时,函数上单调递增,所以无极值。
当时,函数上单调递减,所以无极值。
当时,由得,则
(其中)
所以函数上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
由极大值,得(※),
又代入(※)得
设函数,则
所以函数上单调递增,而
所以 ,所以
时,函数有极大值。

24、解:(1)因为当
当 所以上单调递增;在上单调递减,所以


函数处取得极大值。因为函数
,解得。…………4分
(2)不等式记
所以

,令

=1>0
从而

上也单调递增,所以
………………………………………………………………9分
(3)由(2)知:当,,
令则所以
,…,叠加得:

=。



所以………………14分

25、解:(Ⅰ)的定义域为,且, ----------------1

①当时,,在上单调递
增; ----------------2分
②当时,由,得;由,得;
故在上单调递减,在上单调递
增. ------4分
(Ⅱ),的定义域为

-------------5分
因为在其定义域内为增函数,所以,

而,当且仅当时取等号,
所以 ------- --- -----6分
---


(Ⅲ)当时,,
由得或
当时,;当时,.
所以在上, ----------------8分
而“,,总有成立”等价于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为
所以有 ---------------10分

所以实数的取值范围是 ---------------------------12分


26、



27、解:(1)定义域为,由………………2分

故的增区间: , 减区间:……………………5分
(2)即证:

在在

,所以
,令,得,且


故当时,有得证……………………10分
(3)由(2)得,即
所以则

…………………………………………14分

28、解:(Ⅰ)设,于是
所以
又,则.所以. …………3分
(Ⅱ)
m
>0时,由对数函数性质,
f

x
)的值域为R;…………4 分

m
=0时,对

恒成立; …………5分

m
<0时,由,列表:
x






0




极小












所以若

恒成立,则实数
m
的取值范围是.
故使成立,实数
m
的取值范围

…………9分
(Ⅲ)因为对,所以在内单调递减.
于是

记,则
所以函数在是单调增函数,
所以,故命题成立. …………12分


29、

30、(Ⅰ)

2分


若函数
成立,而当

时,
上递增,则对恒成立,即对恒


若函数在上递减,则对恒成立,即对恒
成立,这是不可能的.
综上, 的最小值为
1.
6分
(Ⅱ)假设存在,不妨设
9分


若则,即,即. (*) 12分
令,(),


则>0.∴在上增函数, ∴,
∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴
因此,满足条件的
16分

不存
在.
31、(1)解:因为,所以.
因为函数的图像在点处的切线斜率为3,
所以,即.
所以.
(2)解:由(1)知,,
所以对任意恒成立,即对任意恒成立.
令,
则,
令,
则,


所以函数在上单调递增.
因为,
所以方程在上存在唯一实根,且满足.
当,即,当,即,
所以函数
所以
在上单调递减,在上单调递增.

所以.
故整数的最大值是3.
(3)证明1:由(2)知,是上的增函数,
所以当时,.

整理,得


因为, 所以.


即.
即.
所以
证明2:构造函数
.[来源:]

则.
因为,所以.
所以函数在上单调递增.
因为
所以
, 所以.

即.
即.
即.
所以

32、解:(Ⅰ)将代入切线方程得


∴,化简得
…………………………………………2分


解得:.

.
…………………………………………4分
(Ⅱ)由已知得在上恒成立
化简
即在上恒成立
设,

…………………………………………6分
∵ ∴,即
∴在上单调递增,





∴在上恒成
立 …………………………………………8分
(Ⅲ)∵
由(Ⅱ)知有
∴,
, …………………
………………………10分
整理得
∴当时,
. ……………………………………
……12分

33、解:(1)依题意:
在(0,+∞)上递增,
恒成立
即恒成立,


只需

…………2分
,当且仅当时取“=”,

的取值范围为

…………4分
(2)当时,,其定义域是(0,+∞)

时,;
当时,


函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减……6
时,函数取得最大值,其值为,

函数只有一个零点,…………8分


(3)由已知得
两式相减,得


……10分


,得





13分
在(0,1)上递减,…………

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