2017届高考数学理-必做36道压轴题(高分突破题)

给力2017届高考数学理 必做36道压轴题
近几年的高考数学试题收集起来进行分 析，发现近三年高考数学压轴题最常见的考点是解析几何题或
函数与导数题，只要找到了解压轴题 的窍门，几乎所有高考压轴题都都 有一个突破口，可以 依照固定的
思路来解决，因此我们精心挑选了“36道必做的压轴题” 进行了深刻剖析，深层次解密压轴题精髓，高效
培养自主解题能力。
做太多压轴题会严重占用对基 础知识、基本技能的掌握时间，做少了又会缺乏对压轴题的自信和驾驭< br>能力，做偏了更是一种灾难。为了很好地巩固，本书教给你如何将复杂的问题简单化，如何做到不会也能< br>得三分。压轴题虽然变 化多端，但万变不离其宗，都可以从这36道题中找到影子。让你切身体会到一切
压轴题都是纸老虎。轻松搞定高考压轴题！

第一部分 2017年高考数学理科真题压轴题精选
解析几何
1、（2017新课标卷1）
x
2
y
2
3
已知点
A
（0，-2），椭圆
E
：
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，
F< br>是椭圆的焦点，直线
AF
的斜率
2
ab
为
23
，
O
为坐标原点.
3
(Ⅰ)求
E
的方程；
（ Ⅱ）设过点
A
的直线
l
与
E
相交于
P,Q
两点，当
?OPQ
的面积最大时，求
l
的方程.
【解析】：(Ⅰ) 设
F
?
c,0
?
，由条件知
223
?
，得
c?3
c3
又
c3
?
，
a2
x
2
?y
2
?1
. ……….6分 所以a=2，
b?a?c?1
,故
E
的方程
4222
（Ⅱ）依题意当
l?x
轴不合题意，故设直线l：
y?kx?2< br>，设
P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?

x
2
?y< br>2
?1
，得
?
1?4k
2
?
x
2< br>?16kx?12?0
， 将
y?kx?2
代入
4
8k?2 4k
2
?3
3
当
??16(4k?3)?0
，即
k ?
时，
x
1,2
?

1?4k
2
4
2
2
4k
2
?1
g
4k
2
?3
从而
PQ?k?1x
1
?x
2
?
1?4k
2
2

又点O到直线PQ的距离
d?
2
k?12
，所以
?
OPQ的面积
S
?OPQ
144k
2
?3
?dPQ?
， 21?4k
2
2
设
4k?3?t
，则
t?0
，
S
?OPQ
?
4t4
??1
，
2
4t?4
t?
t
当且仅当
t?2
，
k??
77< br>x?2
等号成立，且满足
??0
，所以当
?
OPQ的面积最 大时，
l
的方程为：
y?
22
或
y??
7
x?2
. …………………………12分
2


2、（2017新课标卷2）
2
y
2
x
设
F1
,
F
2
分别是椭圆
2
?
2
?1?
a?b?0
?
的左右焦点，M是C上一点且
MF
2
与
x
轴垂直，直线
MF
1
与C
ab
的另一个交点为N .
（Ⅰ）若直线MN的斜率为
3
，求C的离心率；
4
（Ⅱ）若直 线MN在y轴上的截距为2，且
MN?5F
1
N
，求
a,b
.

1
【答案】 (1)
2

【解析】
（1）
（2）
a=7,b=27

MF
1
3b< br>2
13
?由题知，=∴?=,且a
2
=b
2
+c2
.联立整理得：2e
2
+3e-2=0，
F
1
F2
4a2c4
11
解得e=.∴C的离心率为.
22
（2）

b
2
由三角形中位线知识可知，MF
2
= 2?2，即=4.
a
设F
1
N=m,由题可知MF
1
=4m .由两直角三角形相似，可得
3
M,N两点横坐标分别为c,-c.由焦半径公式可得:
2
3c
MF
1
=a+ec,NF
1
=a+e(-c)，且 MF
1
:NF
1
=4:1,e=,
2a
a
2
=b
2
+c
2
.联立解得a=7,b=27.
所以，a=7,b= 27

3、（2017辽宁卷）
圆x
2
＋y
2
＝ 4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-6
x
2
y
2
所示)．双曲线C
1
：
2
－
2
＝1过点P且离心率为3.
ab


图1-6

(1)求C
1
的方程；
(2)椭圆C
2
过点P且与C1
有相同的焦点，直线l过C
2
的右焦点且与C
2
交于A，B两 点．若以线段AB
为直径的圆过点P，求l的方程．
x
0
x
0【解析】解：(1)设切点坐标为(x
0
，y
0
)(x
0
>0，y
0
>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y
0
＝－(x－x< br>0
)，
y
0
y
0
44
，0
?
，
?
0，
?
.故其围成的三角形的面积S即x
0
x＋y< br>0
y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为
?
?
x
??
y
?
00
[来源学优高考网]

1448
2
＝··＝.由x
2
当且仅当x
0
＝y
0
＝2时x< br>0
y
0
有最大值2，此时S有最小值4，因此点P
0
＋y0
＝4≥2x
0
y
0
知，
2x
0
y< br>0
x
0
y
0

的坐标为(2，2)．
22
?
?
a
2
－
b
2
＝1，
由题 意知
?

?
?
a
2
＋b
2
＝3a
2
，
解得a
2
＝1，b
2
＝2，故C
1< br>的方程为x
2
－
y
2
＝1.
2
x
2
y
2
(2)由(1)知C
2
的焦点坐标为(－3，0)，(3，0 )，由此可设C
2
的方程为＋
2
＝1，其中b
1
>0. < br>3＋b
2
1
b
1
由P(2，2)在C
2
上， 得
解得b
2
1
＝3，
x
2
y
2
因此C
2
的方程为＋＝1.
63
显然，l不是直线y＝0.
设直线l的方程为x＝my＋3，点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
22
＋
2
＝1，
3＋b
2
1
b
1
?
?
x＝my＋3，
由
?
x
2
y
2
得(m
2
＋2)y
2
＋2 3my－3＝0.
??
6
＋
3
＝1，
又y
1
，y
2
是方程的根，因此
2 3m
y＋y＝－， ①
?
?
m＋2

?
－3
?
?
yy ＝
m＋2
，
12
2
12
2
②

由x
1
＝my
1
＋3，x
2
＝my
2
＋3 ，得
4 3
x＋x＝m（y＋y）＋2 3＝ ， ③
?
?
m＋2

?
6－6m
?
?
xx＝myy＋3m（y＋y）＋3＝
m＋2
. ④
1212
2
2
12
2
1212
2
→→→→
因为AP＝(2－x
1
，2－y
1
)，BP＝(2－x
2
，2－y
2
)， 由题意知AP·BP＝0，
所以x
1
x
2
－2(x
1＋x
2
)＋y
1
y
2
－2(y
1
＋y
2
)＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m
2
－2 6m＋4 6－11＝0，
3 66
解得m＝－1或m＝－＋1.
22
因此直线l的方程为

3 66
x－(－1)y－3＝0或x＋(－1)y－3＝0.
22


4、（2017上海卷）
在平面直角坐标系
xO y
中，对于直线
l
：
ax?by?c?0
和点
P
i
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
, y
2
),
记
?
?（ax
1
?by
1
?c)(ax
2
?by
2
?c).
若
?
<0，则 称点
P
1
,P
2
被直线
l
分隔。若曲线C与直线< br>l
没有公共点，
且曲线C上存在点
P
1
，P
2
被直线
l
分隔，则称直线
l
为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点
A（
被直线
x?y?1?0
分隔；
1,2），B（?1， 0）
⑵若直线
y?kx
是曲线
x?4y?1
的分隔线，求实数
k
的取值范围；
⑶动点M到点
Q（0,2）
的距离与到
y
轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，
有且仅有一条直线是E的分隔 线.
22
11
(-∞,-]∪[,+∞)
22
【答案】 (1) 省略 (2)
【解析】
(1)
(3)
只有直线x=0
< br>证明点A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0平分，过程如下.
把点A,B分别代 入直线方程左式中，得η=(1+2-1)(-1+0-1)=-4<0

所以，点A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0平分
(2)
若直线y =kx是曲线x
2
-4y
2
=1的分割线，则?P(x
1
, y
1
),?P(x
2
,y
2
)在曲线上，且(y
1
-kx
1
)(y
2
-kx
2
)<0
111
?曲线x
2
-4y
2
=1是双曲线，渐近线方程为y=±x∴当k∈ (-∞,-]∪[,+∞]时，直线y=kx与双曲线无焦点
222
且直线y=kx上下方存在 点均在双曲线上。
11
所以，当k∈(-∞,-]∪[,+∞)时，直线y=kx是曲线x2
-4y
2
=1的分割线
22
(3)

设动点M(x,y),Q(0，2),据题有MQ?|x|=1，即MQ
2
?|x|
2
=1
2
,即x
2
+(y-2)
2
=
变形为 ：x
2
-
1
x
2
1
2
+(y-2)=0， x≠0.
x
2
1
∴曲线x
2
+(y-2)
2
=
2
的图像关于x=0,y=2对称，也关于(0,2)中心对称，且y∈R
x
当x>0,y≥2时，曲线的图像单调递减.利用数形结合法,画出图像,可知,只有直线x=0
与图像不相交，且图像在直线左右两侧.
所以，只有直线x=0是E的分割线

5、（2017四川卷）

x
2
y
2
已知椭圆< br>C
：
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的 焦距为
4
，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角
ab
形。
（Ⅰ）求椭圆
C
的标准方程；
（Ⅱ）设
F
为椭圆
C
的左焦点，
T
为直线
x??3
上任意一点，过
F
作
TF
的垂线交椭圆
C
与点
P
，
Q
。 < br>（ⅰ）证明：
OT
平分线段
PQ
（其中
O
为坐标原点 ）；
（ⅱ）当
|TF|
最小时，求点
T
的坐标。
|PQ|
x
2
y
2
+=1
62
【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）
T(-3,1),或T(-3,-1)

【解析】
（Ⅰ）
?2c=4,a=3b,a
2
=b
2
+c
2
∴解得 c
2
=4,a
2
=6,b
2
=2
x
2y
2
所以，椭圆方程为+=1
62


（Ⅱ-1）

设T(-3,m),F(-2,0).当m=0时，OT平分线段PQ.下面证明m≠0时.
1
?k
TF
=-m∴设过F且垂直FT的直线方程为y=(x+2),P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
m
x
2
y
2
与椭圆方程+=1联立得完成时间20140614qq 373780592
62

x
2
x
2
+4x+4- 12
222
+=1，即(m+3)x+12x+12-6m=0.∴x
1
+x
2
=
2
62m
2
m+3
m1m1
联立OT 直线方程y=-x与PQ方程y=(x+2)，解得-x=(x+2)
3m3m
-6x+x?0=m
2
x+3(x+2)?即交点横坐标x=
2
=
12=PQ线段中点横坐标
m+32
所以,OT平分线段PQ.

（Ⅱ-2）

cc26-12
由上得，PQ=PF+QF= (a+x
1
)+(a+x
2
)=26+(x
1
+x
2
)=26+(
2
)
aa3m+3
6
-2m
2+1
=26(1+
2
)=26?
2
m+3m+3
m2
+1
PQ
26?
m
2
+3
1+m
2
22
?TF=1+m∴==26?，令t=1+m>1,则
2
2
TF m+3
1+m
PQ26t2626PQTF
=
2
=≤=3.∴当t= 2时，取最大值，即为最小值，这时m=±1
2
22
TFt+2TFPQ
t+
t
TF
所以,当取最小值时，点T(-3,1),或T(-3,-1)
PQ< br>


6、（2017湖北卷）
在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹 C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公
共点时k的相应取值范围．
?
4x,x? 0,
1
【答案】（Ⅰ）
y
2
?
?
（Ⅱ）当
k?(??,?1)U(,??)U{0}
时，直线
l
与轨迹
C
恰好 有一个公共点；
2
?
0,x?0.
1111
当
k?[?,0 )U{?1,}
时，直线
l
与轨迹
C
恰好有两个公共点；当
k?(?1,?)U(0,)
时，直线
l
与轨迹
C
恰
222 2
好有三个公共点.

（2）当
k?0
时， 方程①的判别式为
???16(2k
2
?k?1)
. ②
设直线
l
与
x
轴的交点为
(x
0
,0)< br>，则

由
y?1?k(x?2)
，令
y?0
， 得
x
0
??
2k?1
. ③
k
?
??0,
1
（ⅰ）若
?
由②③解得
k??1
，或
k?
.
2
?
x
0
?0,
1
即当
k?(??,?1)U(,??)
时，直线
l
与
C
1
没有公共点，与
C
2
有一个公共点，
2
故此时直线
l
与轨迹
C
恰好有一个公共点.


7、（2017天津卷）

x
2
y
2
3
F
1
F
2
. 设椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的左、右焦点为
F
1
,F
2
，右顶点为
A
，上顶点为
B< br>.已知
AB=
2
ab
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P
为椭圆上异于其顶点的一点，以线段
PB
为直径的圆经过点
F
1
，经过原点的直线
l
与该圆相切. 求
直线的斜率.
2
【答案】 （1）
2

【解析】
（2）
4±15

（1）
?|AB|=

（2）
33c22
|F
1
F
2
|∴a
2
+b2
=?4c
2
,且a
2
=c
2
+b
2
.解得e==.所以，离心率为
24a22

x
2
y
2
设P(x
1
,y
1
),由(1)知,B
(
0, b
)
,F
1
(-b,0),椭圆方程为
2
+
2=1.则F
1
B=(b,b),F
1
P=(x
1
+b, y
1
),
2bb
22
x
1
y
1
2
F
1
B?F
1
P=b(x
1
+b+y
1< br>)=0，即x
1
+b+y
1
=0，且
2
+
2
=1，∴x
1
+2(x
1
+b)
2
=2b
2
,
2bb
x
1
x
1
2
(k+)
x
1
y
1
+bx
1
-x
1
2
22
即3x
1
+4b=0.设所求直线为y=kx,圆心(,)即(,),半径r,则r= ,
2222k
2
+1
22
x
1
(k+1)
2
5x
1
22
22222
即(2r)=,又(2r)=BP=x1
+(y
1
-b)=x
1
+(x
1
+2b)= .
k
2
+14
5(k+1)
2
∴=
2
，即 k
2
-8k+1=0，解得k=4±15.所以，所求直线斜率为4±15
4k+1< br>


8、（2017安徽卷）
22
如图，已知两条抛物线
E
1
:y?2p
1
x
?
p
1
?0
?
和
E
2
:y?2p
2
x
?
p< br>2
?0
?
，过原点
O
的两条直线
l
1
和
l
2
，
l
1
与
E
1
,E2
分别交于
A
1
,A
2
两点，
l
2< br>与
E
1
,E
2
分别交于
B
1
,B< br>2
两点.
（1）证明：
A
1
B
1
A
2
B
2
；
[来源学优高考网gkstk]

（2）过原点
O
作直线
l
（异于
l
1
，
l
2< br>）与
E
1
,E
2
分别交于
C
1
,C
2
两点.记
?A
1
B
1
C
1
与< br>?A
2
B
2
C
2
的面积分别为
S
1
与
S
2
,求
S
1
的值.
S
2

9、（2017湖南卷）
x
2
y
2
如图1-7 ，O为坐标原点，椭圆C
1
：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的 左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为e
1
；双曲线ab
x
2
y
2
3
C
2
：
2< br>－
2
＝1的左、右焦点分别为F
3
，F
4
，离心率为 e
2
.已知e
1
e
2
＝，且|F
2
F4
|＝3－1.
ab2
(1)求C
1
，C
2
的方程；

(2)过F
1
作C
1
的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线 OM与C
2
交于P，Q两点时，求四边
形APBQ面积的最小值．

图1-7
a
2
－b
2
a
2
＋b
2
333
【解析】解： (1)因为e
1
e
2
＝，所以·＝ ，即a
4
－b
4
＝a
4
，因此a
2
＝2b
2
，从而F
2
(b，
2aa24
0)，
F
4
(3b，0)，于是3b－b＝|F
2
F
4
|＝3－1，所以< br>y
2
＝1.

b＝1，a
2
＝2.故
x< br>2
2
x
2
C
1
，C
2
的方程分别为 ＋y＝1，－
22

x＝my－1，
?
?
(2)因AB不垂 直于y轴，且过点F
1
(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由
?< br>x
2
2
得(m
2
?
?
2
＋y＝1< br>＋2)y
2
－2my－1＝0.
2m
易知此方程的判别式大于0.设 A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)， 则y
1
，y
2
是上述方程的两个实根，所以y
1
＋y
2
＝
2
，
m＋2
y
1
y
2
＝< br>－1
.
m
2
＋2
－4
?
－2
，< br>m
?
，故直线PQ的斜率为－
m
，，于是AB的中点为M
?< br>m
2
＋2m
2
＋2
?
2
m
2
＋2
??
因此x
1
＋x
2
＝m(y
1
＋ y
2
)－2＝
m
PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
2< /p>

m
y＝－x，
2
4m
2
22222
由
2
得(2－m)x＝4，所以2－m>0，且x＝，y＝，从而|PQ|＝2x
2＋y
2
＝
22
2－m2－m
x
－y
2
＝1
2
?
?
?
2
m
2
＋4|mx
1
＋2y
1
|＋|mx
2
＋2y
2
|
.设 点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.
2－m
2
m
2
＋4
因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx
1
＋2y
1
)(mx
2
＋2y
2
)<0，于是|mx
1
＋2y
1
|＋|mx
2
＋2y
2
|＝|mx1
＋2y
1
（m
2
＋2）|y
1
－y
2
|
－mx
2
－2y
2
|，从而2d＝.
m2
＋4
又因为|y
1
－y
2
|＝（y
1
＋y
2
）
2
－4y
1
y
2
＝
2 2·1＋m
2
22·1＋m
2
，所以2d＝.
m
2
＋2
m
2
＋4
3
－1＋.
2－m
2
22·1＋m
2
1
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|· 2d＝＝22·
2
2
2－m
而0<2－m
2
≤2，故当m＝ 0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
[来源学优高考网gkstk]


10、（2017湖南卷）
x
2
y
2
如图7， O为坐标原点，椭圆
C
1
:
2
?
2
?1
（
a
>
b
>0）的左.右焦点分别为
F
1
，
F
2
，离心率为
e
1
：双曲
ab
x
2y
2
3
线
C
2
：
2
-
2?1
的左.右焦点分别为
F
3
，
F
4
，离心率 为
e
2
。已知
e
1
e
2
=，且
F
2
F
4
=3-1
。
2
ab
（Ⅰ）求C
1
.
C
2
的的方程；
（Ⅱ）过
F
1
做
C
1
的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与
C
2
交于P，Q两点时，求四边
形APBQ面积的最小值

d
1
?d
2
?
2n
2
8
2n
g?2
4?n
2
4?n
2
n?1
2
22
?
n
2
?2
?
?
4?n
2
n?1
2
,则四边形
APBQ
面积
5
n
2
?1
1
22
?8?1
4?4?n?0n?4?n??2
时, 四边形,因为,所以当
S?AB
?
d
1
?d
2
?
?
8< br>2
2
4?n
24?n
APBQ
面积取得最小值为
4< br>.

11、（2017广东卷）
x
2
y
2
5
已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的一 个焦点为
(5,0)
，离心率为.
3
ab
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点
P(x
0
,y
0
)
为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨 迹方程.

（2）若一条切线垂直
x
轴，则另一条直线垂直 于
y
轴，则这样的点P共4个，
其坐标分别为（-3，
?
2），（3，
?
2）.
若两条切 线不垂直于坐标轴，设切线方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，
x
2
y
2
??1
并整理得 即
y?k(x? x
0
)?y
0
，代入椭圆方程
94
2
(9k
2
?4)x
2
?18k(y
0
?kx
0
)x?9
?
(y?kx)?4
?
00
??
?0
，依题意，△ =0，即：
22
22
?
4(y?kx)?4(9k?4)?0
， ，即
(18k)
2
(y
0
?kx
0
)
2< br>?36
?
(y?kx)?4(9k?4)?0
00
00
??< br>222
∴
(x
0
?9)k?2x
0
y
0k?y
0
?4?0
，
y
0
2
?4
∵ 两条切线垂直，∴
k
1
k
2
??1
，即
2
??1
，∴
x
0
2
?y
0
2
?13
，
x
0
?9
显然
(?3,?2),(3,?2)
也满足 上述方程，
∴点F的轨迹方程为
x?y?13.


12、（2017陕西卷）
22
y
2
x
2
2如图，曲线
C
由上半椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0,y?0)
和部分抛物线
C
2
:y??x?1( y?0)
连接
ab
而成，
C
1
,C
2
的公 共点为
A,B
，其中
C
1
的离心率为
（1）求
a, b
的值；
（2）过点
B
的直线
l
与
C
1
,C
2
分别交于
P,Q
（均异于点
A,B
），若< br>AP?
3
.
2
AQ
，求直线
l
的方程.

2
?
?
y??x?1
由方程组
?
?
y?0
?
，得
x
2
?kx?k?1?0
，
?
?
y?k
?
x?1
?
2
设
Q
?
x
2
,y
2
?
，则
x
2??k?1
，∴
y
2
??k?2k
，
Q?k?1,?k
2
?2k
，
k
AQ
?k?2
，
??∵
AP?AQ
，∴
??
?
k?2
?
??1， 解得
k??
，经检验符合题意，
8
?
x?1
?
.
3

4
k8
3
所以直线
l
的方程是
y??
13、（2017辽宁 卷）
圆
x?y?4
的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面 积最小时，切点为P（如图），
22
x
2
y
2
双曲线
C
1
:
2
?
2
?1
过点P且离心率为
3
.
ab
（1）求
C
1
的方程；
（2）椭圆C
2
过点P且与
C
1
有相同的焦点，直线
l
过
C
2
的右焦点且与
C
2
交于A，B两点，若以线段AB为< br>直径的圆心过点P，求
l
的方程.

4 3
x＋x＝m（y＋y）＋2 3＝ ， ③
?
?
m＋2

?
6－6m
xx＝myy＋3m（y＋y）＋3＝. ④
?
?m＋2
1212
2
2
12
2
1212
2
→→→→
因为AP＝(2－x
1
，2－y
1
)，BP＝(2－x< br>2
，2－y
2
)，由题意知AP·BP＝0，
所以x
1x
2
－2(x
1
＋x
2
)＋y
1
y< br>2
－2(y
1
＋y
2
)＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m
2
－2 6m＋4 6－11＝0，
3 66
解得m＝－1或m＝－＋1.
22
因此直线l的方程为
3 66
x－(－1)y－3＝0或x＋(－1)y－3＝0.
22

14、（2017上海卷）

在平面直角坐标系
xOy中，对于直线
l:ax?by?c?0
和点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，记
?
?(ax
1
?by
1
?c)(ax
2
?by
2
?c)
. 若
?
?0
，则称点
P
1
,P
2
被直线
l
分割. 若曲线
C
与 直线
l
没有公共点，
且曲线
C
上存在点
P
1
,P
2
被直线
l
分割，则称直线
l
为曲线
C的一条分割线.
(1) 求证：点
A(1,2),B(?1,0)
被直线
x?y?1?0
分割；
(2) 若直线
y?kx
是曲线
x
2
?4y
2?1
的分割线，求实数
k
的取值范围；
(3) 动点
M
到点
Q(0,2)
的距离与到
y
轴的距离之积为
1
，设点
M
的轨迹为曲线
E
. 求证：通过原点的直
线中，有且仅有一条直线是
E
的分割线.
【答案】(1) 见解析；(2)
k??
11
或
k?
； (3)见解析
22
【解析】（1）将
A(1,2),B(?1,0)
分别代 入
x?y?1
，得
(1?2?1)?(?1?1)??4?0

∴点
A(1,2),B(?1,0)
被直线
x?y?1?0
分割
?
x
2
?4y
2
?1
22
（2）联立
?
，得
(1?4k)x?1
，依题意，方程无解，
?
y?kx
∴
1?4k
2
?0
，∴
k??
11
或
k?

22

15、（2017福建卷）

x
2
y< br>2
已知双曲线
E:
2
?
2
?1(a?0,b?0)< br>的两条渐近线分别为
l
1
:y?2x,l
2
:y??2x.
ab
（1）求双曲线
E
的离心率；
（2）如 图，
O
为坐标原点，动直线
l
分别交直线
l
1
,l
2
于
A,B
两点（
A,B
分别在第一，四象限），且
?OAB
的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线
l
有且只有一个公共点的双曲线
E
？若存在，求出双曲线
E
的方
程；若不存在，说明理由。
x
2
y
2
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
416
x
2
y
2
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲 线E：－＝1也满足条件．
416

函数与导数
16、（2017新课标卷1）
be
x?1
设函数
f(x)?ae lnx?
，曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?e(x?1)?2.

x
x
（I）求
a,b;

（II）证明：
f(x)?1.

【答案】（I）
a?1,b?2
；（II）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）由切点
(1,f(1))
在切线
y?e(x?1)?2.
上 ，代入得
f(1)?2
①．由导数的几何意义得
f(1)?e
②，联立①②求
a,b
；（II）证明
f(x)?1
成立，可转化为求函数
f(x)
的最小值，只要最小值大于1即可．该
题不易求函数
f(x)
的最小值，故可 考虑将不等式结构变形为
xlnx?xe
?x
?
'
2
，分别 求函数
g(x)?xlnx
和
e
2
11
h(x)?xe?x
?
的最值，发现
g(x)
在
(0,??)
的最小值 为
g()??
，
h(x)
在
(0,??)
的最大值为
ee
e
1
2
h(1)??
．且不同时取最值，故
xlnx ?xe
?x
?
成立，即
f(x)?1.
注意该种方法有局限性
e
e

f(x)
min
?g(x)
min
只 是不等式
f(x)?g(x)
的充分不必要条件，意即当
f(x)?g(x)
成立，最值之间不一定
有上述关系．


17、（2017新课标卷2）
已知函数f(x)＝e
x
－e
x
－2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
[来源:]
－

(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；
(3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．

18、（2017陕西卷）
设函数

f(x) ?ln(1?x),g(x)?xf'(x),x?0
，其中
f'(x)
是
f (x)
的导函数.
g(x),g
n?1
(x)?g(g
n
(x)),n?N
?
，求
g
n
(x)
的表达式； （1）< br>g
1
(x)?
（2）若
f(x)?ag(x)
恒成立，求实数
a
的取值范围；
（3）设
n?N
?
，比较
g(1 )?g(2)?L?g(n)
与
n?f(n)
的大小，并加以证明.

19、（2017四川卷）
已知函数
f(x)?e?ax?bx?1
，其中
a,b?R
，
e?2.71828L
为自然对数的底数.
（Ⅰ）设
g(x)
是函数
f(x)
的导函数，求函数
g(x)
在区间
[0,1]
上的最小值；
（Ⅱ）若
f(1)?0
，函数
f (x)
在区间
(0,1)
内有零点，求
a
的取值范围
x2

20、（2017天津卷）
设f(x)＝x－ae
x
(a∈R)，x∈R. 已知函数y＝f(x)有两个零点x
1
，x
2
，且x
1
2
.

(1)求a的取值范围；
x
2
(2)证明：随着a的减小而增大；
x
1
(3)证明：x
1
＋x
2
随着a的减小而增大．

21、（2017安徽卷）
设函数
f(x)?1?(1?a)x?x?x
,其中
a?0
.
（1） 讨论
23
f(x)
在其定义域上的单调性；
[来源:学优高考网]

（2） 当
x?[0,1]
时，求
f(x)
取得最大值和最小值时的
x
的值.

22、（2017北京卷）
已知函数
f(x)?xcosx?sinx,x?[0,
（1）求证：
f(x)?0
；
?
2
]
.

（2）若
a?
?
sinx
?b
对
x?(0 ,)
恒成立，求
a
的最大值与
b
的最小值.
2
x

g(x)
、
g
?
(x)
在区间
(0,)
上的情况如下表：
2




?
x

g
?
(x)

(0,x
0
)

x
0

0


(x
0
,)

2
?
?

?

?

?

g(x)

23、（2017辽宁卷）
已知函数
f(x) ?(cosx?x)(
?
?2x)?(sinx?1)
，
g(x)?3(x? x)cosx?4(1?sinx)ln(3?
证明：（Ⅰ）存在唯一
x
0
? (0,
(Ⅱ)存在唯一
x
1
?(
8
3
2x
?
)
.
?
2
)
，使
f(x
0
)?0
；
?
2
,
?
)
，使
g(x
1
)?0
，且对（1）中的
x
0
?x
1
?
?
.

x
1
?
?
?t
1
,t
1
?x0
，所以
x
0
?x
1
?
?
，即命题得 证.

24、（2017山东卷）
e
x
2
设函数
f(x)?
2
?k(?lnx)
（
k
为 常数，
e?2.71828???
是自然对数的底数）.
xx
（Ⅰ）当
k?0
时，求函数
f(x)
的单调区间； < br>（Ⅱ）若函数
f(x)
在
(0,2)
内存在两个极值点，求
k
的取值范围.

（II）分
k?0
，
k? 0
，
0?k?1
，
k?1
时，
讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.
试题解析：（I）函数
y?f(x)
的定义域为
(0,??)
， < br>x
2
e
x
?2xe
x
21
f(x)??k( ??)

x
4
x
2
x
'
xe
x< br>?2e
x
k(x?2)
??

32
xx
(x?2)(e
x
?kx)
?

x
3
由
k?0
可得
e
x
?kx?0
， < br>所以当
x?(0,2)
时，
f(x)?0
，函数
y?f(x)
单调递减，
当
x?(2,??)
时，
f(x)?0
，函数
y?f(x)
单调递增.
所以
f(x)
的单调递减区间为
(0,2)
，单调递增区间为
(2,??)
.
'
'

?
g(0)?0
?
g(ln k)?0
?
当且仅当
?
，
?
g(2)?0
??
0?lnk?2
e
2
解得
e?k?
，
2< br>e
2
综上所述，函数在
(0,2)
内存在两个极值点时，k的取值范围 为
(e,)
.
2


25、（2017重庆卷）
已知函数
f(x)?ae
2x
?be
?2x
?cx(a,b,c? R)
的导函数
f'(x)
为偶函数，且曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线的斜率为
4?c
.
（Ⅰ）确定
a,b
的值；
（Ⅱ）若
c?3
，判断
f(x)
的单调性；

（Ⅲ）若
f(x)
有极值，求
c
的取值范围. c?c
2
?16
2
当
c?4
时，令
e?t，注意到方程
2t??c?0
有两根，
t
1,2
??0,

t
4
2x
即
f
?
?
x
??0
有两个根
x
1
?
11
lnt
1
或
x
2
?lnt
2
.
22
当
x
1
?x?x
2
时，
f
?
?
x
?
?0
；又当
x?x
2
时，
f
?
?
x
?
?0
从而
f
?
x
?
在
x?x
2< br>处取得极小值.

综上，若
f
?
x
?
有极值，则
c
的取值范围为
?
4,??
?
.

26、（2017福建卷）
已知函数
f
?
x
?
? e?ax
（
a
为常数）的图象与
y
轴交于点
A
，曲 线
y?f
?
x
?
在点
A
处的切线斜率为-1. < br>x
（I）求
a
的值及函数
f
?
x
?
的极值；
（II）证明：当
x?0
时，
x
2
?e
x
；
??
?
，恒有
x
2
?ce
x
. （III ）证明：对任意给定的正数
c
，总存在
x
0
，使得当
x?< br>?
x
0
，

h(x
0
)?0
.即存在
x
0
?
16
,当
x?(x
0,??)
时，恒有
x
2
?ce
x
.
c
综上，对任意给定的正数c，总存在
x
0
,当
x?(x
0
,??)
时,恒有
x
2
?ce
x
.
考点：1.函 数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的< br>数学思想.有不同的方式，只要正确，均相应给分.
注:对c的分类不同

27、（2017湖北卷）
?
为圆周率，
e?2.71828???
为自然对数的底数.
（1）求函数
f(x)?
lnx
的单调区间；
x
3
（2）求
e
3
，
3
e
，
e
?
，
?
e
，
3
?
，
?
这6个数中的最大数与最 小数；
（3）将
e
3
，
3
e
，
e
?
，
?
e
，
3
?
，
?
这6个数 按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
3
【答案】（1）单调增区间为
(0,e )
，单调减区间为
(e,??)
；（2）最大数为
3
?
，最 小数为
3
e
；（3）
3
e
，
e
3
，
?
e
，
e
?
，
?
3
，
3
?
.
【解析】
试题分析：（1）先求函数
f(x)
的 定义域，用导数法求函数
f(x)
的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函

e3
ee3
（3）由（2）知，
3?
?
?
?
，
3?e
，又由（2）知，
ln
?
?
?
lne
，
e
故只需比较
e
3
与
?< br>e
和
e
?
与
?
3
的大小，
由（1 ）知，当
0?x?e
时，
f(x)?f(e)?
lnx1
1
?
， ，即
xe
e
在上式中，令
x?
e
2
?
，又
e
2
?
?e
，则
ln
e
2
?
?
e
?
，即得
ln
?
?2?
e
?
①

由①得，
eln
?
?e(2?
e
?
)?2.7?(2?
2.71
)?2.7?(2?0.88)?3.0 24?3
，
3.1
3e
即
eln
?
?3
，亦即
ln
?
e
?lne
3
，所以
e?
?
，
又由①得，
3ln
?
?6?
3e
?
? 6?e?
?
，即
3ln
?
?
?
，所以
e< br>?
?
?
3
，
综上所述，
3
e
?e
3
?
?
e
?e
?
?
?
3
?3
?
，即6个数从小到大的顺序为
3
e
，
e
3< br>，
?
e
，
e
?
，
?
3
，< br>3
?
.

28、（2017江苏卷）
已知函数
f
0
(x)?
（1）求
2f
1
()?
sinx
(x?0)
，设
f
n
(x)
为
f
n?1
(x)
的导数，
n?N
*

x
??
2
f
2
()
的值；
22
?
（2）证明：对任意
n?N
*
，等式
nf
n?1
()?
??
4
?
2
都成立.
f
n
()?
442

（1）
n?1
时命题已经成立，
（2）假设
n?k
时，命 题成立，即
kf
k?1
(x)?xf
k
(x)?sin(x?
对此式两边求导可得
kf'
k?1
(x)?f
k
(x)?xf'< br>k
(x)?cos(x?
即
(k?1)f
k
(x)?xfk?1
(x)?sin(x?

k
?
)
，
2
k
?
k?1
?
)
，
)
?si n(x?
2
2
k?1
?
)
，因此
n?k?1
时命题也成立.
2
n
?
综合（1）（2）等式
nf
n? 1
(x)?xf
n
(x)?sin(x?)
对一切
n?N*
都成立.
2
?
????
n?1
令
x?
，得
nf
n?1
()?f
n
()?sin(?
?
)
，
4
44442
所以
nf
n?1
()?
??
4
?
2
.
f
n
()?
442

29、（2017浙江卷）
已知函数
f
?
x
?
?x?3x?a(a?R).

3
（1）若
f
?
x
?
在
?
?1, 1
?
上的最大值和最小值分别记为
M(a),m(a)
，求
M(a) ?m(a)
；
（2）设
b?R,
若
?
f
?
x
?
?b
?
?4
对
x?
?
?1,1?
恒成立，求
3a?b
的取值范围.
2

?x
3
?3x?3a,(x?a)
?
3x
2
?3,(x? a)
试题解析：（I）因为
f
?
x
?
?
?
3
，所以
f'
?
x
?
?
?
2
，由 于
?1?x?1
，
?
x?3x?3a,(x?a)
?
3x ?3,(x?a)
3
（i）当
a??1
时，有
x?a
，故< br>f
?
x
?
?x?3x?3a
，此时
f
?x
?
在
?
?1,1
?
上是增函数，因此
M?
a
?
?f
?
1
?
?4?3a
，m
?
a
?
?f
?
?1
?
??4?3a
，
M
?
a
?
?m
?
a
?
?4?3a?
?
?4?3a
?
?8

（ii）当
? 1?a?1
时，若
x?
?
a,1
?
，
f
?
x
?
?x?3x?3a
，在
?
a,1
?
上 是增函数，，若
x?
?
?1,a
?
，
3
f
?
x
?
?x
3
?3x?3a
，在
?
?1, a
?
上是减函数，所以
m
?
a
?
?max
?
f
?
?1
?
,f
?
1
?
?，
m
?
a
?
?f
?
a
?
?a
3
，由
于
f
?
1
?
?f
?
?1
?
??6a?2
，因此，当
?1?a?
11
3
时，
M
?
a
?
?m
?
a
?
?? a?3a?4
，当
?a?1
时，
33
M
?
a
?
?m
?
a
?
??a
3
?3a?2
，

（iii）当
1
?a?1
时，
h
?
x
?
在
?
?1,1
?
上的最大值是
h< br>?
?1
?
?3a?b?2
，最小值是
h
?
a
?
?a
3
?b
，所以
3
28
a
3
?b??2
，
3a?b?2?2
，解得
??3a?b?0
，
27
（iv）当
a?1
时，
h
?
x
?在
?
?1,1
?
上的最大值是
h
?
?1
?
?3a?b?2
，最小值是
h
?
1
?
??2? 3a?b
，所以
3a?b?2?2
，
?2?3a?b??2
，解得< br>3a?b?0
，综上
3a?b
的取值范围
?2?3a?b?0
.

30、（2017湖南卷）
已知常数
a?0
,函数
f
?
x
?
?ln
?
1?ax
?
?
( 1)讨论
f
?
x
?
在区间
?
0,??
?< br>上的单调性;
(2)若
f
?
x
?
存在两个极值点< br>x
1
,x
2
,且
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0
,求
a
的取 值范围.
[来源:]

2x
.
x?2

第二部分 高考数学理科必做36道压轴题
解析几何
1、过抛物线
C:y?2px
上的点
M(4,?4)
作倾斜角互补的 两条直线
MA、MB
，分别交抛物线于
A、B
两
点．
(1)若
AB?410
，求直线
AB
的方程；
(2)不经 过点
M
的动直线
l
交抛物线
C
于
P、Q
两 点，且以
PQ
为直径的圆过点
M
，那么直线
l
是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．
2

2、已知椭圆的两个焦点坐标分别是
?2,0,
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为
k
的直线
l
经过点
?
0,?2
?< br>，且与椭圆交于不同的两点
A,B
,求
?OAB
面积的最大值. < br>???
?
230
?
2,0
，并且经过点
?
?
2
,
6
?
?
.
??
?

2
3、在平面直角坐标系
xOy
中，已 知抛物线
C
：
y?2px(p?0)
，在此抛物线上一点N
(2,m )
到焦点的距
离是3.
（1）求此抛物线的方程；
（2）抛物线
C
的准线与
x
轴交于
M
点，过
M
点斜率为
k
的直线
l
与抛物线
C
交于
A
、
B
两点．是否存在
这样的
k
，使得抛物线
C
上总存在点
Q( x
0
,y
0
)
满足
QA?QB
，若存在，求
k
的取值范围；若不存在，说
明理由．

4、 已知圆
C:x?y?2x?2y?1?0
，直线
l:y?kx
，直线
l
与圆
C
交于
A、B
两点，点
M
的坐标为
22
uuuruuur
(0,b)
，且满足
MA?MB
．
（1）当
b?1
时，求
k
的值；
（2）当
b?(1,)
时，求
k
的取值范围．
3
2

x
2
5、已知A、B是椭 圆
?y
2
?1
上的两点，且
AF?
?
FB
，其中F为椭圆的右焦点.
2
（1）求实数
?
的取值范围;
（2 ）在x轴上是否存在一个定点M，使得
MA?MB
为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不 存在，说
明理由.

6、已知曲线
C
上 的动点
P(x,y)
，满足到定点
A(?1,0)
，的距离与到定点
B(1,0)
距离之比为
2

（1）求曲线
C
的方程。 < br>（2）过点
M(1,2)
的直线
l
与曲线
C
交于两点
M
、
N
，若
|MN|?4
，求直线
l
的方 程.


x
2
y
2
7、已知椭圆C:
2
?
2
?1(a?b?0)
短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直 线
ab

3x?4y?6?0
与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长 半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C与
x
轴负 半轴交于点
A
，过点
A
的直线
AM
，
AN
分别与椭圆C交于
M
，
N
两点,
k
AM
、kAN
分别为直线
AM
、
AN
的斜率，
k
AM
?k
AN
??
3
，求证：直线
MN
过定点,并求出 该定点坐标;
4
（3）在（2）的条件下，求
?AMN
面积的最大值. < br>解（1）由椭圆
C
短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则
a?2b
，
又∵以椭圆
C
的上顶点为圆心，以椭圆
C
的长半轴长为 半径的圆的方程为
x?(y?b)?a
，
222

x
2
y
2
3
8、已知椭圆：
2
?
2
?1(a?b?0)
上任意一点到两焦点
F
1
,F2
距离之和为
23
，离心率为，动点
P
3
ab
在直线
x?3
上，过
F
2
作直线
PF
2
的 垂线
l
，设
l
交椭圆于
Q
点．
（1）求椭圆
E
的标准方程；
（2）证明：直线
PQ
与直线
OQ
的斜率之积是定值；


x
2
y
2
9、已知椭圆
C:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
，过焦点垂直于长轴的弦长为1， 且焦点与短轴两端点构成等边三
ab
角形.
（1）求椭圆的方程；
[来源 :]
uuuruuuruuuruuur
（2）过点
Q
?
?1,0< br>?
的直线l交椭圆于A，B两点，交直线
x??4
于点E，
AQ??
QB，AE?
?
EB.
判断
?
?
?
是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.

10、如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB， 且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线< br>y??2x?m
（其中
m?2
）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R， 且
|PQ|?|PR|
，

求
|PR|
的取值范围．
|PQ|


?
y??2x?m
?
22
（ 2）由
?
2
y
2
，消去
y
并整理，得
x? 4mx?m?3?0(*)
，…………7分
?1
?
x?
3
?
由题意，方程
(*)
有两根且均在
(1,??)
内．设f(x)＝ x
2
－4mx＋m
2
＋3，
?
?4m
?
?
2
?1
?
?
22
∴
?
f(1)?1?4 m?m?3?0
，解得
m?1
，且
m?2
，……………9分
?
??(?4m)
2
?4(m
2
?3)?0
?
?
?
又∵
m?2
，∴
1?m?2
，…………………10分

11、已知抛物线
y?4x
．
(1) 若圆心在抛物线
y?4x
上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线
x?1?0
相切，求所有的圆
都经过的定点坐标；
2
2
uuuuruuur
(2) 抛物线
y?4x
的焦点为
F
,若过
F
点的直线与抛物线相交于
M,N
两点,若
FM??4FN
,求直线
2
MN
的斜率；
(3)若过
x
正半轴上
Q(t,0)
点的直线与该抛物线交于
M,N
两点,
P
为抛物线上异于
M,N
的任意一点,
记
PM,QP,PN
连线的斜率为
k
PM
,k
QP
,k
PN
,
试求满足
k
PM
,k
QP
,k
PN
成等差数列的 充要条件．

(3) （理）设直线
MN
的方程为
x?ky?t
,代入
y?4x
,得:
y?4ky?4t?0
,设
M(x< br>1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
, 则
22

y
1
?y
2
?4k,y
1< br>y
2
??4t,
LL
（11分）
若
k
PM
?k
PN
?2k
PQ
?
y
0
?y
1
y
0
?y
2
2y
0
??

22 2
2
y
0
y
0
y
1
2
y
0
y
2
???t
44444
?
2y
2y
0
?y
1
?y
2
2y
11
??
2
0
，即
2
?
2
0

y
0
?y
1
y
0
?y
2
y
0
?4t
y
0
?(y
1
?y
2
)y
0
?y
1
y
2
y
0
?4t
有
y
0
?2ky
0
22
，即：
(y
0
?2k)(y
0
?4t)?(y
0
?4ky
0
?4t)y
0

?
22y
0
?4ky
0
?4ty
0
?4t
22
由此得：
k(y
0
?4t)?0
，
Qy
0
?4t ?0
，
?k?0
LL
（15分）
所以当直线
MN
的方程为
x?t
时，也就是
k
PM
?k
PN
?2k
PQ
成立的充要条件是直线
MN
与
x
轴相垂直。
LL
（16分）

13、已知椭圆C的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，椭圆的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2） 线段
PQ
是椭圆过点
F
2
的弦，且
PF
2
?
?
F
2
Q
，求
?PF
1
Q
内切 圆面积最大时实数
?
的值.
13
，且椭圆经过点
P(1,)
．
22

?6k ?9k
2
??0.y
1
?y
2
?,y
1
? y
2
?
………………7分
3?4k
2
3?4k
2

14、 设抛物线
y?2px(p?0)
的焦点为
F
，点
A(0,2)
，线段
FA
的中点在抛物线上. 设动直线
2
l:y?kx?m
与 抛物线相切于点
P
，且与抛物线的准线相交于点
Q
，以
PQ
为直径的圆记为圆
C
．
（1）求
p
的值；
（2）试判断圆
C
与
x
轴的位置关系；
（3）在坐标平面 上是否存在定点
M
，使得圆
C
恒过点
M
？若存在，求出M
的坐标；若不存在，说明理由．

111?k
22
1?k
2
2
3?k
2
222
)?()]?( )
∵
(PQ)?d?[(
2
242k2k4k
3k
2?1
2
)

?(
2
4k
∵
k?0
，
∴ 当
k? ?
3
1
时，
(PQ)
2
?d
2
?0
，圆
C
与
x
轴相切；
3
2
当
k??
3
1
时，
(PQ)
2
?d
2
?0
，圆
C
与
x
轴相交；
3
2
[来源学优高考网]

x
2
y
2
3
15、已知椭 圆:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意一 点到两个焦点的距离之和为
23
,离心率为.左,右焦点
3
ab
分别 为
F
1
,F
2
,点
P
是椭圆右准线上一点,过F
2
作直线
PF
2
的垂线
F
2
Q交椭圆于
Q
点.
(1)求椭圆
E
的标准方程;
(2)证明:直线
PQ
与直线
OQ
的斜率之积为定值;
( 3)点
P
的纵坐标为3,过
P
作动直线
l
与椭圆交于两个不 同点
M,N
,在线段
MN
上取点
H
,满足
MPMH
,试证明点
H
恒在一定直线上.
?
PNHN

证明(3)根据题意可得点
P
在准线
x?3
且纵坐标为3,所以点
P
的坐标为
?
3,3
?
,不妨设

x
2
y
2
16、已知椭圆
C
：
2
?
2
?1 (a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
( ?3,0)
、
F
2
(3,0)
，椭圆上的点
P
满< br>ab
o
足
?PF
1
F
2
?90
，且 △
PF
1
F
2
的面积为
S
?PF
1
F
2
?
3
．
2
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设椭圆
C
的左 、右顶点分别为
A
、
B
，过点
Q(1,0)
的动直线
l
与椭圆
C
相交于
M
、
N
两点，直
线< br>AN
与直线
x?4
的交点为
R
，证明：点
R
总在直线
BM
上.

x
2
?
椭圆
C的方程为
?y
2
?1
．………………………………………………………4 分
4

x
2
y
2
17 、已知椭圆
C
：
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的焦距为
4
，且过点
A
ab
（1）求椭圆
C的方程和离心率；
?
2,3
.
?
（2）设
P
?
x
0
,y
0
?
（
x
0
y0
?0
）为椭圆
C
上一点，过点
P
作
x
轴的垂线，垂足为
Q
. 取点
B0,22
，连
结
BQ
，过点
B
作
BQ
的垂线交
x
轴于点
D，点
E
是点
D
关于
y
轴的对称点.试判断直线
PE
与椭圆
C
的
位置关系，并证明你的结论.
??

x
2
y
2
118、已知椭圆
C:
2
?
2
?1
(a?b?0)
的两个焦点分别为
F
1
，
F
2
，离心率为，过
F
1
的直线
l
与椭圆
C
ab
2
交于
P,Q
两点，且
?PQF
2
的周长为
8
．
(1)求椭圆
C
的方程；

(2)斜率为
13
的直线
l
与曲线
C
交于
A、B
两个不同点，若直线
l
不过点
P(1,)
，设直线
PA、PB
的斜率分
22< br>别为
k
PA
、k
PB
，求
k
PA
? k
PB
的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆
N
，与以动点M
为圆心，以
MD
为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆
的方程；若 不存在，说明理由．
x
2
y
2
【答案】（1）
??1（2）0（3）存在，
(x?1)
2
?y
2
?16

43
【解析】(1) 由题意知，
4a?8
，所以
a?2
．
b
2
a
2
?c
2
3
1
2
因为
e?
所以
2
?
，所以
b
2
?3
．
?1?e ?
2
aa4
2
x
2
y
2
所以椭圆
C
的方程为
??1
． ·············4分
43

函数与导数
19、已知函数
f(x)?
1
2
x,g(x)?elnx.

2
（1）设函数
F(x)?f(x)?g(x),
求
F(x)
的单调区间；
（2）若存在常数
k,m,
使得
f(x)?kx?m
对
x?R
恒成立，且
g(x)?kx?m
对
x?(0,??)恒成立，则称
直线
y?kx?m
为函数
f(x)
与
g( x)
的“分界线”，
试问：
f(x)
与
g(x)
是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)函数
F
?
x
?
的单调减区间是（0，
e
），单调增区间是（e
，＋
?
）；

20、为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8 时
至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷 电价”的居
民用户电价为每千瓦时为0.53元.若总用电量为
S
千瓦时，设高峰时段 用电量为
x
千瓦时．
（1）写出实行峰谷电价的电费
y
1
?g
1
(x)
及现行电价的电费的
y
2
?g
2(S)
函数解析式及电费总差额
f(x)?y
2
?y
1
的解析式；
（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷 电价的计费方法
后是否能省钱？说明你的理由．

21、已知函数
f(x)
定义域是
?
xx?
?
?
?
1
k
，当
,k?Z,x?R
?
，且
f(x)? f(2?x)?0
，
f(x?1)??
f(x)
2
?
1?x?1
时，
f(x)?3
x
.
2
（1）证明：
f(x)
为奇函数；
（2）求
f(x)
在
?
?1,?
?
上的表达式；
?
?
1
?
2
?
（3）是否存在正整数
k< br>，使得
x?
?
2k?
若不存在说明理由.
?
?1
?
,2k?1
?
时，
log
3
f(x)?x
2
?kx?2k
有解，若存在求出
k
的值，
2
?< br>

22、函数
f(x)?
a
3< br>1
2
x?x?ax?1(a?R)
的导函数为
f'(x)
.< br>32
[来源学优高考网]

(1)若函数
f(x)
在< br>x?2
处取得极值,求实数
a
的值;

2
(2)已知不等式
f'(x)?x?x?a
对任意
a?(0,??)
都成立, 求实数
x
的取值范围.
[来源学优高考网gkstk]



32
23、已知函数
f(x)?ax?bx?(b?a)x
(a、b
是不同时为零的常数)，导函数为
f
?
(x)
．
（1）当
a?
1
时，若存在
x?[?3,?1]
，使得
f
?
(x)?0
成立，求
b
的取值范围；
3

（2）求证：函数
y?f
?
(x)
在
(?1,0)
内至少有一个零点；
（3）若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?1
处的切线垂直于直线
x?2y?3?0
，关于
x
的方程
f(x)??
在
[?1,t](t??1)
上有且只有一个实数根，求实数
t
的取 值范围．
1
t
，
4

24
、已知函数
f(x)?xx?a?2x
．

（1）当
a?3
时，求函数
f(x)
的单调递增区间；
（ 2）求所有的实数
a
，使得对任意
x?[1,2]
时，函数
f(x)
的图象恒在函数
g(x)?2x?1
图象的下方；
（3）若存在
a ?[?4,4]
，使得关于
x
的方程
f(x)?tf(a)
有三个不 相等的实数根，求实数
t
的取值范围．

2
25、已知函数
f(x)?ax?ln(1?x)

( 1)当
a?
4
时,求函数
f(x)
在
(0,??)
上的极值;
5
2
(2)证明:当
x?0
时,
ln(1?x )?x
;
(3)证明:
(1?
111
?
(n?N,n?2 ,e为自然对数的底数）
.
)(1?)L(1?)?e
444
23n1258
【答案】
(1)
f(x)
极大值
=f()??ln, f(x)
极小值
=f(2)??ln5,
(2)
详见解析
(3)
详见解析

2545
【解析】

3
26、已知函数f(x)＝ax
3
－x
2
＋1(x∈R) ，其中a＞0.
2
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
11
－，
?
上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围． (2)若在区间< br>?
?
22
?
3
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x
3
－x
2
＋1，f(2)＝3；
2
f′(x)＝3x
2< br>－3x，f′(2)＝6.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－ 2)，即y＝6x－9.

结合①和②，可知a的取值范围为0＜a＜5.

27、已知函数f(x)＝x
2
＋alnx.
( 1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；
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2
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
x



28、已知a∈R，函数f(x)＝4x
3
－2ax＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0.
解：(1)由题意得f′(x)＝12x
2
－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0，f′(x)＝12
?
x－
?
a
??
x＋
6
??
a
?
，此 时函数f(x)的单调递增区间为
?
－∞，－
6
??
a
??
和

6
??
a?
，＋∞
，
6
?

单调递减区间为
?－
?
a
，
6
a
?
.
6
?


29、设0＜a＜1，集合A＝{x∈R|x＞0}，B ＝{x∈R|2x
2
－3(1＋a)x＋6a＞0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x
3
－3(1 ＋a)x
2
＋6ax在D内的极值点．

1
③当0＜a＜时，Δ＞0，此时方程h(x)＝0有两个不同的解
3
3＋3a－3
x
1
＝
3＋3a＋3
x
2
＝
3a－1
4
3a－1
4
a－3
a－3
，
.
∵x
1
＜x
2
且x
1
＞0，∴B＝( －∞，x
1
)∪(x
2
，＋∞)．
又∵x
1
＞0?a＞0，
∴D＝A∩B＝(0，x
1
)∪(x
2
，＋∞)．


30、如图所示，四边形ABCD表示一正方形空地，边长为30 m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分
别为9 m，3 m．某广告公司计划在此空地上竖一块 长方形液晶广告屏幕MNEF，MN∶NE＝16∶9.线段MN
必须过点P，端点M，N分别在边AD ，AB上，设AN＝x(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m
2
)．

(1)用x的代数式表示AM；
(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
(3)当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？


31、设 函数
f
?
x
?
?ax?2x?e
,其中
a?0
2x
??
（I）当
a?
4
时,求
f
?
x
?
的极值点;
3
（II）若
f
?
x
?
在
?
?1,1
?
上为单调函数,求
a
的 取值范围．

试题解析：对
f(x)
求导得
f '(x)?ax?2
?
a?1
?
x?2?e
① ……………2分
2x
??
?
4
?
f'(x)?ax
2
?2
?
a?1
?
x?2?e
x
?
?< br>x
2
?2
?
a?1
?
x?2
?
?e
x
4
（I）若
a?
，由
?
3
?
3
??

x
2
2
32、已知
f(x)?
x
?x,g(x)?x? x?a
.
e
（1）求
F(x)?f(x)?x
的单调区间和极值；
（2）是否存在
x
0
，使得
f(x),g(x)
在
x?x
0
的切线相同？若存在，求出
x
0
及
f(x),g( x)
在
x?x
0
处的切线；
若不存在，请说明理由；
（3 ）若不等式
f(x)?g(x)
在
x?(0,??)
恒成立，求
a< br>的取值范围.

33、已知函数
f(x)?x?x
．
(I)求函数
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程；
3
ax
2
?ax
1
(Ⅱ)令
g(x)??lnx
，若函数
y?g(x)
在
(0,)
内有极值，求实数
a的取值范围；
e
f(x)
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，对任意
t?(1 ,??),s?(0,1)
，求证：
g(t)?g(s)?e?2?.

1
e

34、已知函数f(x)＝2e
x
－ax－2(a∈R)
(1)讨论函数的单调性；
(2)若f(x)≥0恒成立，证明：x
1
＜x
2
时，
f(x
2
)?f(x
1
)
?2(e
x
1
?1)

x
2
?x
1

f(x
2
)－f(x
1
)
所以＞2(e
x
1
－1)．
x
2
－x
1


…12分

35、已知函数
f(x)?lnx?bx?ax
（
a< br>、
b
为常数），在
x?1
时取得极值
3
.
（I）求实数
a,b
的值；
（II）求函数
f(x)
的最小值；
（III）当
n?N
*
时，试比较
(
?1
1
n
n(n?1)
与
()
n?2
的大小并证明.
)
e
n?1


36、已知函数
f
?
x
?
?e?ax
(
a
为常数)的图像与
y
轴交于点
A
，曲线
y?f
?
x
?
在点
A
处的切线斜率为
x

?1
.
(1)求
a
的值及函数
f
?
x
?
的极值； (2)证明：当
x?0
时，
x
2
?e
x
．