高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答)

函数与导数相结合压轴题精选（二）
11、已知
f(x)?ax
3< br>?bx
2
?cx?d(a?0)
为连续、可导函数，如果
f(x)

既有极大值M，又有极小值N，求证：
M?N.

证 明：由题设有
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?3a(x?x< br>1
)(x?x
2
),
不仿设
x
1
?x
2
，
则由
a?0知:当x?(??,x
1
)时f
?(x)?0,当x?(x
1
,x
2
)时f
?
(x)?0 ,当x?(x
2
,??)时

f
?
(x)?0,故f(x) 在x
1
处取极大值，在x
2
处取极小值，
332
?f(x
1
)?f(x
2
)?a(x
1
?x
2
)? b(x
1
2
?x
2
)?c(x
1
?x
2< br>)

?(x
1
?x
2
)[a(x
1
?x
2
)
2
?ax
1
x
2
?b(x
1
?x
2
)?c]

?(x
1
?x
2< br>)[a?(?
?(x
1
?x
2
)[?
2
2b c?2b
)2?a??b??c]
3a3a3a
2
2
(b?3ac) ]
9a

由方程
3ax?2bx?c?0
有两个相异根，有
??(2b)
2
?12ac?4(b
2
?3ac)?0,

又
x
1
?x
2
?0,a?0,?f(x
1
)?f( x
2
)?0,即f(x
1
)?f(x
2
)
，得证.
12、已知函数
f(x)??x
3
?ax
在（0，1）上是增函数.
（1）求实数a的取值集合A；
（2）当a取A中最小值时，定义数列
{a
n
}
满足：
2a
n?1
?f(a
n
)
，且
a
1
?b(0,1)(b
为常
数），试比较
a
n?1
与a
n
的大小；
（ 3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C，使
0?
a
n
?c
?2
对一切
n?N
恒成立？
a
n
?c
2
（1 ）设
0?x
1
?x
2
?1,则f(x
1
)?f(x
2
)?(x
2
?x
1
)(x
1
?x
1
x
2
?x
2
?a)

由题意知：
f( x
1
)?f(x
2
)?0
，且
x
2
?x< br>1
?0

22
?x
1
2
?x
1x
2
?x
2
?a,则x
1
2
?x
1< br>x
2
?x
2
?(0,3)

2
?a?3,即A?{a|a?3}
（4分）
2
（注：法2：
f
?
(x)??3x?a?0,对x?(0,1)
恒成立，求出
a?3
）.
（2）当a=3时，由题意：
a
n?1
??< br>1
3
3
a
n
?a
n
,且a
1
?b?(0,1)

22

以下用数学归纳法证明：
a
n
?(0,1),对n?N
?
恒成立.
①当n=1时，
a
1
?b?(0,1)
成立；
②假设n= k时，
a
k
?(0,1)
成立，那么当
n?k?1
时， < br>1
3
31
a
k?1
??a
k
?a
k
，由①知
g(x)?(?x
3
?3x)

222
在 （0，1）上单调递增，
?g(0)?g(a
k
)?g(1)
?
即0 ?a
k?1
?1
，
由①②知对一切
n?N
都有
a
n
?(0,1)
（7分）
而
a
n?1
?a
n
??
1
3< br>11
2
a
n
?a
n
?a
n
(1?a
n
)?0

?a
n?1
?a
n
（9分）
222
（3）若存在正实数c，使
0?
a
n
?c
?2
恒成立 （10分
a
n
?c
令
y?
x?c2c
?1?,在(c,??)
上是减函数，
x?cx?c?
a
n
?c
随着a
n
增大，而小，
a
n
?c
a
n
?c
?2
恒成立，
a
n
?c
又
{a
n
}
为递增数列，所以要使0?
?
a
1
?c?0
?
只须
?
a1
?c
?
a?c
?2
?
1
13、已知
f(x)?
?0?c?
a
1
b
,即0?c?
（14分）
33
2x?a
(x?R)
在区间[－1，1]上是增函数. < br>2
x?2
1
的两根为
x
1
、
x
2< br>，试问：是否存在实数m，使得不等式
x
（1）求实数a的值所组成的集合A.
（2）设关于x的方程
f(x)?
m
2
?tm?1?|x1
?x
2
|
对任意
a?A及t?[?1,1]
恒成立？ 若存在，求出m的取值
范围；若不存在，请说明理由

?2(x
2
?ax?2)
（1）
f
?
(x)?

22
(x?2)
?f(x)在[?1,1]
是是增函数
?f
?
(x)?0对,x?[?1,1]
恒成立.
设
?< br>(x)?x?ax?2,则有
?
2
?
?
(1)?0
? ?1?a?1

?
?
(?1)?0

?对x?[?1, 1],f(x)
是连续函数，且只有当
a?1时,f
?
(?1)?0
，
以及当
a??1时,f
?
(1)?0,?A?{a|?1?a?1}

（2）由
2x?a1
2
?,得x?ax?2?0

2
x?2
x
???a
2
?8?0,?x
1
,x
2< br>是方程
x
2
?ax?2?0
的两实根.
?
x
1
?x
2
?a
22
从而
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?a?8

?
?
?
x1
x
2
??2
??1?a?1?|x
1
?x
2
|?a
2
?8?3

要使不等式
m
2
?t m?1?|x
1
?x
2
|
对任意
a?A及t?[?1,1]
恒成立，
当且仅当
m
2
?tm?1?3对任意t?[?1,1]
恒成立，
即
m?tm?2?0
对任意
t?[?1,1]
恒成立.
设
g(t)?m
2
?tm?2?mt?m
2
?2

2
?
?
g(?1)?m?m?2?0
则有
?
2?
?
g(1)?m?m?2?0
2
?m?2或m??2

?
存在m，其范围为
{m|m?2或m??2}


14、已知二次函数y=g(x)的图象过原点和点（m，0）与点（m+1, m+1），
（1）求y=g(x)的表达式；
（2）设
f(x)
=(x－n)g(x)( m>n>0)且
f(x)
在x=a和x=b(b ①求证：b②若m+n=2
2
，则过原点且与曲线y=
f( x)
相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；
若不能，请说明理由？
（文科生做）设常数a>0, a≠1，函数
f(x)?log
a
．．．．
x?5
，
x?5
（1）讨论
f(x)
在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明；
（2） 设g(x)=1+log
a
(x－3),如果
f(x)
=g(x)有实数根， 求a的取值范围.
（理科生做）解：（1）设g(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)，由题意得 ．．．．

?
c?0,
?
a?1,
?
2< br>?
2
?
am?bm?0,解得
?
b??m,?g(x)?x? mx.
…………………………3分
?
a(m?1)?b?1,
?
c?0.
?
?
（2）∵f(x)=(x－n)g(x)=x(x－m)(x－n)=x
3
－(m+n)x2
+mnx, ∴f′(x)=3x
2
－2(m+n)x+mn.…………… 5分
①由题意知，a ,b为方程f′(x)=0的两个实根，
又f′(0)=m·n>0, f′(n)=n(n－m)<0, f′(m)=m(m－n)>0,
∴两根x=b，x=a分布在（0，n），（n，m）内.又b②设两切点的横坐标分别为x
1
, x
2
，则切线l
1
的方程为
y－f(x
1
)=[ 3
x
1
－2(m+n)x
1
+mn](x－x
1
) . 又l
1
过原点，∴－x
1
(x
1
－m)(x
1
－n)= [3
x
1
－2(m+n)x
1
+mn](－x
1
)
解得x
1
=0, 或x
1
=
22
m?nm?nm? n
,同理x
2
=0或x
2
=.∴x
1
=0, x
2
=.……………………12分
222
1
(m?n)
2
?mn.又m?n?22
，
4
1
(22)
2
?m?n]
=－1，得mn=1.
4
两切线的斜率分别为k
1
=mn，k
2
=
?
若 两切线相互垂直，则k
1
k
2
=－1，即mn
[?
?
m?n?22
?
?
m?2?1,
解方程组
?
得
?
?
?
mn?1,
?
n?2?1.
故存在过原点且与曲线y =f(x)相切的两条直线互相垂直.………………14分
（文科生做）解：（1）
．．．．
f(x)?log
a
(1?
10
)
.利用定义可以证明当a <1时，f(x)是
x?5
（－∞，－5）上的增函数；
当0（2）∵g(x)=1+log
a
(x－3), f(x)=g(x)有实根，即log
a
x?5
=1+log(x－3)有实根， < br>a
x?5
则实根大于5.又因为1+log
a
(x－3)=loga
[a(x－3)]，原方程有大于5的实根，即
方程
x?5
=a(x －3)有大于5的实数根.…………………………………………9分
x?5
x?5
(a>0)
x?5t11
??(令x?5?t?0) ??.
22
(x?5)(x?3)
20
x?2x?5t?12t?20
t??12
45?12
t
由此解得a=
当且仅当
t?25,即x? 5?25时取等号.?0?a?
3?5
………………14分
.
16
15、已知函数
f(x)??x?ax?b(a,b?R).



（1）若
a?1
，函数
f(x)
的图象能否总 在直线
y?b
的下方？说明理由；
（2）若函数
f(x)
在[0， 2]上是增函数，
x?2
是方程
f(x)
=0的一个根，
求证：
f(1)??2
；
（3）若函数
f(x)
图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a的取值范围.
32

解：（1）不能，取
x??1,则f(?1)?1?1?b?b,

y?b
的上方； （3分）
（2）由
x?2
是方程
f(x)?0
的一个根，得
f(2)??8?4a?b?0,
即
b?8?4a
（4分）
即存在点（－1，2+b）在函数图象上，且在直线
又
f?
(x)??3x
2
?2ax,令f
?
(x)?0,即?3x< br>2
?2ax?0.得x?0,x?
2a
.

12
3< br>又函数
f(x)
在[0，2]上是增函数，
?x
2
?
2a
?2,即a?3
， （7分）
3
f(1)??1?a?b??1?a?8?4a?7?3a??2
（9分）
（3）设任意不同的两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),且x
1
?x
2
，则
y
1
?y
2
?1.

x< br>1
?x
2
32
x
1
3
?ax
12
?x
2
?ax
2
2
??1,即?x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
?a(x
1
?x
2
)?1
x
1
?x
2
2
??x1
2
?(a?x
2
)x
1
?x
2
?a x
2
?1?0
?
x
1
?R
2
?
? ?(a?x
2
)
2
?4(?x
2
?ax
2
?1)?0

2
即?3x
2
?2ax
2
?a
2
?4?0(12分)
4
?a
2
3
(14分)
a
2
a
2
??3(x
2
?)??a
2
?4? 0,
33
故?3?a?3
16、（理）设
f(x)?(ax
2
?x?1)?e
?x
(e
为自然对数的底，a为常数且
a?0,x?R），
f(x)
取极小值
时，求x的值.
（文）函数
f(x)? ax?
3
3
(a?1)x
2
?3x(a
为常数且
a ?0,x?R
）取极小值时，求x的值.
2
理）解：
f
?
(x)?(2ax?1)?e
?x
?(ax
2
?x?1)?e
?x< br>?(?1)


??e
?z
?(ax?1)(x?2)
………………2分
………………4分
1
或2

a
11
（1）
当??2即??a?0
，由表
a2
令
f
?
(x)?0?x??
x
f
′
(x)
f（x）
（－∞，－2）
+
↗
－2
0
极大值

1
(?2,?)

a
－
↘
?
1

a
1
(?,??)

a
+
↗
0
极小值
1
?x??时,f(x)
取极小值.
a
（2）
当?

（3）
当?
x
………………7分
111
?2即a??时,f
?
(x)???e< br>?x
?(x?2)
2
?0
无极值.
a22
………………9分
11
?2即a??
时，由表
a2
11
?
（－∞，－）
a
a
1
(?,?2)

a
－2
(?2,??)

f
′
(x)
f（x）
+
↗
0
极大值
－
↘
0
极小值
+
↗
?x??2时,f(x)取极小值.

1 1
综上,当??a?0时,x??时,f(x)取极小值
2a
1
2
1

当a??时,f(x)
无极小值. ………………12分 2
(文)解:f
?
(x)?3ax
2
?3(a?1)x?3?3 (ax?1)(x?1)

………………3分

(一)当a?0时,f
?
(x)??3(x?1)

x??1时,f
?
(x)?0,x??1时,f
?
(x)?0

当a??时,x??2时,f(x)取极小值


?f(x)
无极小值.
（二）
当a?0时,f
?
(x)?3a(x?
x
f
′
(x)
f（x）
（－∞，－1）
+
↗
………………6分
1
)(x?1)令f
?
(x)?0?x?
a
1
(?1,)

－1
a
－
↘
1
或?1由表

a
11
(,??)

aa
+
↗
0
极大值
0
极小值
1
?当x?时,f(x)
取极小值
a
1
综上，当
a?0时,x?时,f(x)
取极小值
a
当
a?0时,f(x)
无极小值. ………………12分
17 、已知
b??1,c?0
，函数
f(x)?x?b
的图象与函数
g( x)?x
2
?bx?c
的图象相切.
（1）求b与c的关系式。（用c表示b）
（2）设函数F
(x)?f(x)?g( x)
在（－∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围.
解（1）由题知：
f
?
(x)?g
?
(x),得2x?b?1,x?
由
f(
1?b

2
1?b1?b
)?g()
得(b?1)
2
?4c
?
b??1,c?0,?b??1?2C
… 4分
22
(2)F(x)?f(x)?g(x)g(x)?x
3
?2bx< br>2
?(b
2
?c)x?bc
22

?F
?< br>(x)?3x
2
?4bx?b
2
?c
令F
?
(x)?0即3x?4bx?b?c?0
则??16
b
2
?12(
b
2
?
c
)?4(
b
2
?3
c
)< br>????????????????
6分
①若△=0，则
F
?
(x)?0
有一个实根
x
0
，且
F
?
(x)
变化如下：
x
(??,x
0
)

x
0

(x
0
,??)

F
?
(x)
+ 0 +
于是
x?x
0
不是函数的极值点………………………………………………………8分
②若
??0,则F
?
(x)?0
有两个不相等的实根
x1
,x
2
(x
1
?x
2
)
，且
F
?
(x)
变化如下：

x

(??,x
1
)

x
1
（
x
1
,x
2
）
x
2

(x
2
,??)


F
?
(x)
+ 0 － 0 +
?x?x
1
是F(x)
的极大值点，
x?x
2
是F(x)
的极小值点………………………10分
综上，当且仅当△>0时，F（x）在
(??,??)
上有极值点.
由??4(b
2
?3c)?0,得3c?b
2
,又b??1?2c

?3c?(?1?2c)
2
?2c?1??3c或2c?1?3c

?C的范围为(0,7?43)?(7?43,??)
……12分 解得
0?c?7? 43或c?7?43.
ax
2
?1
(a,b,c?N),g(?x)??g( x),g(1)?2,g(2)?3
18、已知函数
g(x)?
bx?c
（1）求
g(x)
的解析式；
（2）设数列
{a
n
}
的通项公式为
g(n)
其前n项的和为S
n
，试求
lim S
n
；
2
n???
(n?1)(n?1)
（3）设
f(x)?xg(x),
?
(x)?f[f(x)]?
?
f(x).
问：是否存在实数
?
，使
?
(x)在(??,?1)


上为减函数且（－1，0）上是增函数？若存在求出实数
以及
?
(x)
的极值；若不存在，请说明理由.
?
的值和
?
(x)
的单调区间，
①
c?0a?b ?1
1
n(n?1)
x
2
?1
?g(x)?

x
?limS
n
?1

n???
②
?a< br>n
?
42
③
?
(x)?x?2x?2
，列表分析知， 存在实数
?
?4
，
使
?
(x)在(?1,0)和(1,??)
递增 在
(??,?1)和(0,1)
递减
时
当
x??1
?
(x)
极小值－3

当
x?0时

?
(x)
极大值－2. ?
?
2
19、已知
a?(1,x),b?(x?x,?x)
，m 为常数且m
?
-2,求使
2
?
?
a?b?2?m(
?
?
?1)
成立的
x
的范围。
?
a?b
?











?
a?(1,x),b?(x
2
?x,?x)
?
?
?a?b?x
2
?x?x
2< br>?x
???
2分
?
?
2
故a?b?2?m(
?
?
?1)
a?b
2x?2
?x?2?m(?1)?(x?2)?m ?0
???
4分
xx
(x?2)(x?m)
??0?x(x?2)( x?m)?0
???
7分
x
（1）当m＝－2时，原不等式?x(x?2)< br>2
?0?x?0
原不等式的解集为{x|x?0}
???????
9分
（2）当m?－2时，原不等式的解集为{x|m?x??2或x?0}
???
12分
20、设函数
f(x)?e
x?m
?x,其中m?
R.


（I）求函数
f(x)
的最值；
（Ⅱ）给出定理：如果函数y?f(x)
在区间[
a,b
]上连续，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么，函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点，即存在x
0
?(a,b),使得f(x
0
)?0
.
运用上 述定理判断，当
m?1
时，函数
f(x)
在区间
(m,2m)
内是否存在零点.
解：（I）
?f(x)在(??,??)上连续,f
?
(x)?e
x?m
?1,

令
f
?
(x)?0,得x?m.
……………………2分
当x?(??,m)时,e
x?m
?1,f
?
(x)?0;

当x?(m,??)时,e
x?m
?1,f
?
(x)?0.
?f(x)
min
?f(m)?1?m;
所以,当x?m时,f(x)取极小值也是最 小值.
由①知f（x）无最大值.
（Ⅱ）函数f（x）在[m，2m]上连续.

①



……………………6分
而f(2m)?e
m
?2m,

令g(m)?e
m
?2m,
则
g
?
(m)?e
m
?2,
?
m ?1,?g
?
(m)?e?2?0,



?g(m)在(1,??)
上递增. ……………………8分
……………………10分 由
g(1)?e?2?0得g(m)?g(1)?0,即f(2m)?0,

又
f(m)?1?m?0,?f(m)?f(2m)?0,

根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点. ………………12分