高考数学压轴题大集合

(
x
1
,0)
2
，则P点到直线AF的距离为：
d
1
?
|x
1
|
1
;而直线BF的方程:y??
24
1
4
1
x
1
?0.

4
x
1
2?
x
1
1
4
x,

即
(x
1
2
?)x?x
1
y?
x
1
x
1
| x|
|(x
1
2
?)
1
?
1
|(x
1
2
?)
1
424
?
42
?
|x
1
|
所以P点到直线BF的距离为：
d
2
?
1
2
2
1
222
x?
(x
1
?)?(x
1< br>)
1
4
4
所以d
1
=d
2
，即得∠ AFP=∠PFB.
1
1
4
(x?0),即(x
2
?1
)x?xy?
1
x?0,
②当
x
1
x0
?0
时，直线AF的方程：
y??
000
4x
0?044
2
x
0
?
1
1
4
(x?0) ,即(x
2
?
1
)x?xy?
1
x?0,
直线B F的方程：
y??
111
4x
1
?044
x
12
?
所以P点到直线AF的距离为：
x?x
1
1
x? x
1
11
22
2
|(x
0
?)(
0
)?x
0
x
1
?x
0
||
0
)(x0
?)
42424
?
|x
0
?x
1
|
，同理可
d
1
??
1
2
2
1
2< br>2
2
x?
(x
0
?)?x
0
0
4< br>4
得到P点到直线BF的距离
d
2
?
2．（本小题满分12分 ）
设A、B是椭圆
3x?y?
?
上的两点，点N（1，3）是线段AB的 中点，线段AB的
22
|x
1
?x
0
|
，因此由d
1
=d
2
，可得到∠AFP=∠PFB.
2
垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定
?
的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的?
，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运 算能力和综合解决问
题的能力.
11 38

（Ⅰ）解法1 ：依题意，可设直线AB的方程为
y?k(x?1)?3,代入3x?y?
?
，
整理得
(k?3)x?2k(k?3)x?(k?3)?
?
?0.
①
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
,x
2
是方程①的两个不同的根，
∴
??4[
?
(k?3)?3(k?3)]?0,
②
且
x
1
?x
2
?

22
222
22
2k(k?3)
,
由N（1，3）是线段AB的中点，得
2
k?3
x
1
?x
2
?1,
2
? k(k?3)?k
2
?3.

解得k=－1，代入②得，
?
?12,即
?
的取值范围是（12，+∞）.
于是，直线AB的方程为
y?3??(x?1),即x?y?4?0.

解法2：设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则有
22
?
?
3x
1
?y
1
?
?

?
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0.

22
?
?
3x
2
?y
2
?
?
依题意 ，
x
1
?x
2
,?k
AB
??
3(x1
?x
2
)
.

y
1
?y
2
∵N（1，3）是AB的中点， ∴
x
1
?x
2
?2,y
1
?y
2
?6,从而k
AB
??1.

又由N（1，3）在椭圆内，∴
?
?3?1?3?12,

∴
?
的取值范围是（12，+∞）.
直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入椭圆方程，整理得
4x
2
?4x?4?
?
?0.

又设
C( x
3
,y
3
),D(x
4
,y
4
),CD的中点为
C(x
0
,y
0
),则x
3
,x
4
是方程③的两根，
∴
x
3
?x
4
?? 1,且x
0
?
22
11313
(x
3
?x
4
)??,y
0
?x
0
?2?,即M(?,).

22222
于是由弦长公式可得
|CD|?1?(?)?|x
3
?x
4
|?
1
k
2
2(
?
?3).
④
2
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得
4x?8x?16?
?
?0
⑤
12 38

同理可得
|AB|?1?k
2
?|x
1
?x
2
|?
∵当< br>?
?12
时，
2(
?
?3)?
2(
?
?12).
⑥
2(
?
?12),?|AB|?|CD|
< br>假设存在
?
>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
13
|???4|
|x?y
0
?4|
32
?
22
?.
⑦ 点M到直线AB的距离为
d?
0
2
22
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
AB
2
9
?
?12
?
?3CD
2
|????| |.

22222
|CD|
故当
?
>12时，A、B、C、 D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.
2
|MA|
2
?|MB|
2
?d
2
?|
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：） A、B、C、D共圆
?
△ACD为直角三角形，A为直角
?
|AN|2
=|CN|·|DN|，
|AB|
2
|CD||CD|
)?(?d)(?d).
⑧
222
?
?12
由⑥式知，⑧式左边
?,

2
即
(
由④和⑦知，⑧式右边
?(
2(
?
?3)
32
2(
?
?3)
32
?
?39
?
?12

?)(?)???,
2222222
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为
y?3?x?1
，代入椭圆方程，整理得
4x
2
?4x?4?
?
?0.
③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
4x
2
?8x?16?
?
?0.
⑤
解③和⑤式可得
x
1,2
?
2?
?
?12? 1?
?
?3
,x
3,4
?.

22
222 2
不妨设
A(1?
1
?
?12,3?
1
?
?12),C(
?1?
?
?3
,
3?
?
?3
),D(
?1?
?
?3
,
3?
?
?3
)

22
∴
CA?(
3?
?
?12?
??33?
?
?3?
?
?12
,)

22
13 38

DA?(
3?
?
?12 ?
?
?33?
?
?3?
?
?12
,)

22
计算可得
CA?DA?0
，∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
3．（本小题满分14分）
已知不等式
1111
?????[log
2
n],其中n
为大于2的整数，[log
2
n]
表示不超过
23n2
log
2
n
的最大整数. 设数列
{a
n
}
的各项为正，且满足
a< br>1
?b(b?0),a
n
?
na
n?1
,n?2,3 ,4,?

n?a
n?1
（Ⅰ）证明
a
n
?
2b
,n?3,4,5,?

2 ?b[log
2
n]
（Ⅱ）猜测数列
{a
n
}
是否 有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当
n?N< br>时，对任意b>0，都有
a
n
?
本小题主要考查数列、极限及不等式的 综合应用以及归纳递推的思想.
（Ⅰ）证法1：∵当
n?2时,0?a
n
?
1
.

5
na
n?1
1
n?a
n?1
11
,????,< br>
n?a
n?1
a
n
na
n?1
a
n?1
n
即
111
??,

a
n
a< br>n?1
n
111111111
??,??,?,??.

a< br>2
a
1
2a
3
a
2
3a
n
a
n?1
n
于是有
所有不等式两边相加可得
11111
??????.

a
n
a
1
2 3n
111
??[log
2
n].

a
n
a
1
2
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
a
1
? b,?
2?b[log
2
n]
111
??[log
2
n]?.
a
n
b22b
a
n
?
2b
.< br>
2?b[log
2
n]
14 38

证法 2：设
f(n)?
111
????
，首先利用数学归纳法证不等式
23n
a
n
?
b
,n?3,4,5,?.

1?f(n)b
（i）当n=3时， 由
a
3
?
3a
2
33b
???.

32?a
1
3?a
2
1?f(3)b
?1
3??1
a
2
2a
1
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时， 不等式成立，即
a
k
?
b
,

1?f(k)b则
a
k?1
?
(k?1)a
k
k?1k?1

??
(k?1)1?f(k)b
(k?1)?a
k
?1(k?1)? ?1
a
k
b
b
1?(f(k)?
1
)b
k ?1
?
b
,

1?f(k?1)b
?
(k?1)b
?
(k?1)?(k?1)f(k)b?b
即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i）、（ii）知，
a
n
?
b
,n?3,4,5,?.
1?f(n)b
又由已知不等式得
a
n
?
b1
1?[log
2
n]b
2
?
2b
,n?3, 4,5,?.

2?b[log
2
n]
（Ⅱ）有极限，且
lima
n
?0.

n??
（Ⅲ）∵
2b221
?,令?,

2?b[log
2
n][ log
2
n][log
2
n]5
10
则有
log< br>2
n?[log
2
n]?10,?n?2?1024,

故取 N=1024，可使当n>N时，都有
a
n
?
1
.

5
4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F
1
，F
2
在x轴 上，长轴A
1
A
2
的长为4，左准
线l与x轴的交点为M，|MA< br>1
|∶|A
1
F
1
|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F
1
PF
2
最大值．
15 38

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析 几何的基
本思想方法和综合解题能力.满分14分.
x
2
y
2解：(Ⅰ)设椭圆方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0?
，半焦距为
c
，则
ab
a
2
MA
1
??a,A
1
F
1
?a?c
c
?
a2
?
c
?a?2
?
a?c
?
?
?由题意,得
?
2a?4

?
a
2
?b
2
?c
2
?
?
?
? a?2,b?3,c?1
x
2
y
2
故椭圆方程为??1.
43
(Ⅱ)
设P?
?4,y
0
?
,y
0
?0

设直线 PF
1
的斜率k
1
??
y
0
y
,直线PF
2
的斜率k
2
??
0
35
Q
0??F
1
PF
2
??PF
1
M?
? ?F
1
PF为锐角。
?
2
,

2y2y
0
k?k
15
? tan?F
1
PF2
?
21
?
2
0
??.
1?k
1k
2
y
0
?15
215y
0
15
15
.
15
当y
0
?15，即y
0
=?15时，tan ?F
1
PF
2
取到最大值，此时?F
1
PF
2最大，
故?F
1
PF
2
的最大值为arctan
5．已知函数
f
?
x
?
和
g
?
x?
的图象关于原点对称，且
f
?
x
?
?x
2< br>?2x
．
(Ⅰ)求函数
g
?
x
?
的解析式；
(Ⅱ)解不等式
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1< br>；
(Ⅲ)若
h
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
f
?
x
?
?1
在?
?1,1
?
上是增函数，求实数
?
的取值范围．
本 题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合
运用所学知识分 析和解决问题的能力.满分14分.
解：(Ⅰ)设函数
y?f
?
x
?
的图象上任意一点
Q
?
x
0
,y
0
?< br>关于原点的对称点为
P
?
x,y
?
，则
16 38

?
x
0
?x
?0,
?
?x
0
??x,
?
2

即
??
y?yy ??y.
?
0
?0,
?
0
?
?
2
∵点
Q
?
x
0
,y
0
?
在函数
y ?f
?
x
?
的图象上
∴
?y?x
2
?2x，即y??x
2
?2x, 故g
?
x
?
??x
2
?2x

(Ⅱ)由< br>g
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1， 可得2x
2
?x?1?0

当
x?1
时，
2x?x?1?0
，此时不等式无解.
当< br>x?1
时，
2x?x?1?0
，解得
?1?x?
因此，原不等 式的解集为
?
?1,
?
.
2
2
2
1
.
2
?
?
1
?
?
（Ⅲ）
h
?
x
?
??
?
1?
?
?
x
2
?2
?
1?
?
?
x?1

①
当
?
??1时，h
?
x
?< br>?4x?1在
?
?1,1
?
上是增函数，

?
?
??1

②
当
?
??1时，对称轴的方程为x?
1?
?
.

1?
?
1?
?
ⅰ）< br>当
?
??1时,??1,解得
?
??1.

1??
1?
?
ⅱ）
当
?
??1时,??1,解得?1??
?0.

1?
?
综上，
?
?0.

6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满
分6分.
对定义域分别是D
f
、D
g
的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x∈D
f
且x∈D
g

规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈D
f
且x
?
D
g

g(x) 当x
?
D
f
且x∈D
g

(1) 若函数f(x) =
1
,g(x)=x
2
,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
x?1
(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一
17 38

个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
x
2
[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)
x?1
1 x=1
x
2
1
(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,
x?1
x?1
若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+
?

4
?
?
)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
44
?
,
2
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+
2
sin2x, α=
g(x)=f(x+α)= 1+
2
sin2(x+π)=1-
2
sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+
2
sin2x)( 1-
2
sin2x)=cos4x.
7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满
分6分.
在直角坐标平面中,已知点P
1
(1,2), P
2
(2,2
2
),┄,P
n
(n,2
n
),其中n是正整数.对平面上任一
点A
0
,记A
1
为A
0
关于点P
1
的对称点, A
2
为A
1
关于点P
2
的对称点, ┄, A
N
为A
N-1
关于
点P
N
的对称点.
(1)求向量
A
0
A
2
的坐标;
(2)当点A
0
在曲线C上移动时, 点A
2
的轨迹是函数y=f(x)的图 象,其中f(x)是以3为周期
的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为 图象的函数在(1,4]上的解析式;
(3)对任意偶数n,用n表示向量
A
0
A
n
的坐标.
[解](1)设点A
0
(x,y), A
0
为P
1
关于点的对称点A
0
的坐标为(2-x,4-y),
A
1
为 P
2
关于点的对称点A
2
的坐标为(2+x,4+y),
∴
A
0
A
2
={2,4}.
18 38

(2) ∵
A
0
A
2
={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
因此, 曲线C是 函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]
时,g(x) =lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
另解设点A
0
(x,y), A
2
(x
2
,y2
),于是x
2
-x=2,y
2
-y=4,
若3< x
2
≤6,则0< x
2
-3≤3,于是f(x
2
)=f( x
2
-3)=lg(x
2
-3).
当1< x≤4时, 则3< x
2
≤6,y+4=lg(x-1).
∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
(3)
A
0
A
n
=
A
0
A2
?A
2
A
4
???A
n?2
A
n< br>,
由于
A
2k?2
A
2k
?2P
2k?1
P
2k
,得
A
0
A
n
nn
2( 2?1)4(2?1)
n
3
}+┄+{1,2
n-1
})=2{=2 (
P
)=2({1,2}+{1,2,}={n,
P?PP???PP
123 4n?1n
33
2

}
1. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f
n
( x ) = x
n
– ( x + a)
n
( x > 0 )是关于x的函数.
(1) 判定函数f
n
( x )的单调性，并证明你的结论.
(2) 对任意n ? a , 证明f

`
n + 1
( n + 1 ) < ( n + 1 )f
n
`(n)
解: (1) f
n
`( x ) = nx
n – 1
– n ( x + a)
n – 1
= n [x
n – 1
– ( x + a)
n – 1
] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ f
n
`( x ) < 0 , ∴ f
n
( x )在（0，+∞）单调递减. 4分
（2）由上知：当x > a>0时, f
n
( x ) = x
n
– ( x + a)
n
是关于x的减函数,
∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )
n
– ( n + 1 + a)
n
? n
n
– ( n + a)
n
. 2分
又 ∴f

`
n + 1
(x ) = ( n + 1 ) [x
n
–( x+ a )
n
] ,
∴f

`
n + 1
( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )
n
–( n + 1 + a )
n
] < ( n + 1 )[ n
n
– ( n + a)
n
] = ( n
+ 1 )[ n
n
– ( n + a )( n + a)
n – 1
] 2分
( n + 1 )f
n
`(n) = ( n + 1 )n[n
n – 1
– ( n + a)
n – 1
] = ( n + 1 )[n
n
– n( n + a)
n – 1
], 2分
∵( n + a ) > n ,
∴f

`
n + 1
( n + 1 ) < ( n + 1 )f
n
`(n) . 2分
19 38

2. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，
都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x
2
– 1 是否满足题设条件？
?
1
?x
,
x?
[
?
1,0]
(2) 判断函数g(x)=
?
，是否满足题设条件？
1
?x
,
x?
[0,1]
?
解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u
2
– v
2
|=| (u + v )(u – v) |，
取u =
31
?[–1，1]，v = ?[–1，1],
42
5
| u – v | > | u – v |，
4
则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | =
所以p( x)不满足题设条件.
（2）分三种情况讨论：
1
0
. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；
2
0
. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；
3
0
. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设
条件;
4
0
若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) =
(1) 求证：| ac | ? 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.
(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
证：(1) ∵ t?R, t ? –1,
∴ ⊿ = (–c
2
a)
2
– 16c
2
= c
4
a
2
– 16c
2
? 0 ，
∵ c ? 0, ∴c
2
a
2
? 16 , ∴| ac | ? 4.
(2) 由 f ( x ) = 1 –
x
(x ? –1)的图象上，且有t
2
– c
2
at + 4c
2
= 0 ( c ? 0 ).
x?1
1
,
x?1
20 38

法1. 设–1 < x
1
< x
2
, 则f (x
2
) – f ( x
1
) = 1–
x
1
?x
2
11
–1 + = .
x2
?1x
1
?1(x
2
?1)(x
1
?1)< br>∵ –1 < x
1
< x
2
, ∴ x
1
– x
2
< 0, x
1
+ 1 > 0, x
2
+ 1 > 0 ,
∴f (x
2
) – f ( x
1
) < 0 , 即f (x
2
) < f ( x
1
) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增.
法2. 由f ` ( x ) =
1
> 0 得x ? –1,
2
(x?1)
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?
4
> 0 ,
|a|
4
4
4
|a|
∴f (| c | ) ? f () = =
4
|a|
|a|?4
?1
|a|
f ( | a | ) + f ( | c | ) =
|a|4|a|4
+ > +=1.
|a|?1
|a|?4|a|?4|a|?4
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
4．（本小题满分15分）
432
设定义在R 上的函数
f(x)?a
0
x?a
1
x?a
2
x?a
3
x?a
4
（其中
a
i
∈R，i=0,1,2,3 ,4），
当
x= －1时，f (x)取得极大值
（1） 求f (x)的表达式；
（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横
坐 标都在区间
?
?2,2
?
上；
2
，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
3
??
2
n
?12( 1?3
n
)
4
,y?(n?N)
（3） 若
x
n
?
，求证：
f(x)?f(y)?.

n+
nn
nn
23
3
解：（1）
f(x)?
1
3
x?x.
…………………………5分
3
??
2
?
2
?
（2）
?
0,0
?
,
?
2,?
?
??
或
?
0,0
?
,
?
?
?2,
3
?
?< br>.
…………10分
3
??
??
（3）用导数 求最值，可证得
f(x
n
)?f(y
n
)?f(?1)?f(1)?
5．（本小题满分13分）
4
.
……15分
3
21 38

x
2
y
2
??1
上的一点，P、Q、 T分别为M关于y轴、原点、x轴的对设M是椭圆
C:
124
称点，N为椭圆C上异于 M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆
C运动时，求动点E的轨迹方程． < br>解：设点的坐标
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)(x
1
y
1
?0),E(x,y),

则
P(?x
1
,y
1
),Q(?x
1
,? y
1
),T(x
1
,?y
1
),
……1分
?
x
1
2
?
?
?
12

?
2
?
x
2
?
?
?12
y
1
2
?1,
LLLL
(1)
4
……………………………… ………………………3分
2
y
2
?1.
LLLL
(2)< br>4
1
3
由（1）－（2）可得
k
MN
? k
QN
??.
………………………………6分
又MN⊥MQ，< br>k
MN
?k
MQ
??1,k
MN
??
x1
y
,
所以
k
QN
?
1
.

y
1
3x
1
直线QN的方程为
y?
分
从而得
x?
y
1
x
(x?x
1
) ?y
1
，又直线PT的方程为
y??
1
x.
……10
y
1
3x
1
11
x
1
,y??y
1.
所以
x
1
?2x,y
1
??2y.

22
x
2
?y
2
?1(xy?0),
此即为所求的轨迹方 程.………………13分 代入（1）可得
3
6．（本小题满分12分）
2< br>过抛物线
x?4y
上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
PA?P B?0.

（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数< br>?
使得
FA?FB?
?
(FP)
2
?0
？若 存在，求出
?
的值，若不存在，请说明理由.
2
x
1
2< br>x
2
解法（一）：（1）设
A(x
1
,),B(x
2
,),(x
1
?x
2
)

44
'
由
x?4y,
得：
y?
2
x

2
22 38

?k
PA
?
x
1
x
,kPB
?
2

22
?PA?PB?0,?PA?PB,?x
1
x
2
??4
………………………………3分
x
12
x
1
x
1
xx
1
2
?(x?x1
)
即
y??
直线PA的方程是：
y?
①
4224
2
x
2
xx
2
?
② 同理，直线PB的方程是：
y?
24
x
1
?x
2
?
x?
?
2
(x
1
,x
2
?R)
由①②得：
?
x
1
x
2
?
y???1,
4
?
∴点P的轨迹方程是
y??1(x?R).
……………………………… ……6分
2
x
1
2
x
2
x?x
?1), FB?(x
2
,?1),
P(
12
,?1)
（2）由（1 ）得：
FA?(x
1
,
44
2
FP?(
x
1
?x
2
,?2),x
1
x
2
??4
< br>2
22
x
1
2
x
2
x
1
2
?x
2
FA?FB?x
1
x
2
?(?1)(?1) ??2?
…………………………10分
444
2
(x
1
?x
2
)
2
x
1
2
?x
2
(FP )??4??2

44
2
所以
FA?FB?(FP)
2
?0

故存在
?
=1使得
FA?FB?
?
(FP)
2
? 0
…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且
PA?PB?0,

∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且
PA?PB,

设PA的直线方程是
y?kx?m(k,m?R,k?0)

?
y? kx?m
2
由
?
2
得：
x?4kx?4m?0
< br>?
x?4y
???16k
2
?16m?0
即
m??k
2
…………………………3分
即直线PA的方程是：
y?kx?k

23 38
2

同理可得直线PB的方程是：
y??
11
x?
2

kk
1
?
y?kx?k
2
?
?
?
x?k??R
由
?

11
得：
?
k
y??x?
?
?
?
y??1
kk
2
?
故点P的轨迹方程是
y??1(x?R).
……………………… ……………6分
（2）由（1）得：
A(2k,k),B(?
2
211,
2
),P(k?,?1)

kkk
21
FA?(2k ,k
2
?1),FB?(?,
2
?1)

k
k
1
FP?(k?,?2)

k
11
F A?FB??4?(k
2
?1)(
2
?1)??2?(k
2
?
2
)
………………………………10分
kk
11
(FP )
2
?(?k)
2
?4?2?(k
2
?
2
)

kk
故存在
?
=1使得
FA?FB?
?
(FP)
2
?0
…………………………………………12分
7．（本小题满分14分）
1?x
?lnx
在
[1,??)
上是增函数.
ax
（1） 求正实数
a
的取值范围；
设函数
f(x)?
（2） 设
b?0,a?1
，求证：
解： （1）
f(x)?
'
1a?ba?b
?ln?.

a?bbb
ax?1
?0
对
x?[1,??)
恒成立， < br>ax
2
?a?
又
1
对
x?[1,??)
恒成 立
x
1
?1

?a?1
为所求.…………………………4分
x
a?ba?b
（2 ）取
x?
，
?a?1,b?0,??1
，
b
b
1?x
?lnx
在
[1,??)
上是增函数， 一方面，由（1）知
f(x)?
ax
a?b
?f()?f(1)?0

b
a?b
1?
b
?ln
a?b
?0

?
a?b
b
a?
b
24 38

即
ln
a?b1
……………………………………8分
?
ba?b
另一方面，设函数
G(x)?x?lnx(x?1)

G
'
(x)?1?
1x?1
??0(?x?1)

xx
∴
G(x)
在
(1,??)
上是增函数且在
x?x0
处连续，又
G(1)?1?0

∴当
x?1
时，
G(x)?G(1)?0

a?ba?b

?ln
bb
1a?ba?b
综上所述，?ln?.
………………………………………………14分
a?bbb
∴
x?lnx
即
8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系
xOy
中，一直角三角形< br>ABC
，
?C?90
o
，
y
A
B
、
C
在
x
轴上且关于原点
O
对称，
D
在边< br>BC
上，
BD?3DC
，
若一双曲线
E
以
B
、
C
为焦点，且经过
A
、
!ABC
的周长为12．
x
D
两点．
(1) 求双曲线
E
的方程；
(2) 若一过点
P(m,0)
（
m
为非零常数）的直线
l
与双曲线
E
B
O
D
C
uuuruuur
相 交于不同于双曲线顶点的两点
M
、
N
，且
MP?
?
PN
，问在
x
轴上是否存在定
uuuruuuuruuur
点
G
，使
BC?(GM?
?
GN)
？若存在，求出所有这样定点G
的坐标；若不存在，
请说明理由．
x
2
y
2
解：(1) 设双曲线
E
的方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0)
，
ab
则
B(?c,0),D(a,0),C(c,0)
．
由
BD?3DC
，得
c?a?3(c?a)
，即
c?2a
．
y
A
?
|AB|?|AC|?16a,
?
∴
?
| AB|?|AC|?12?4a,

?
|AB|?|AC|?2a.
?222
B
O
D
C
x
（3分）
解之得
a?1
，∴
c?2,b?3
．
y
2
∴双曲线
E
的方程为
x??1
．
3
2
（5分）
25 38

uuuruuuuruuur
(2) 设在
x
轴上存在定点< br>G(t,0)
，使
BC?(GM?
?
GN)
．
y< br>设直线
l
的方程为
x?m?ky
，
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
．
uuu ruuur
由
MP?
?
PN
，得
y
1
?< br>?
y
2
?0
．
y
即
?
??
1

y
2
uuur
∵
BC?(4,0)
，
B
G
O
① （6分）
C
P
N
x< br>M
uuuuruuur
GM?
?
GN?(x
1
?t?
?
x
2
?
?
t,y
1
?
?
y
2
)
，
uuuruuuuruuur
∴
BC?(GM ?
?
GN)
?x
1
?t?
?
(x
2
?t)
．
即
ky
1
?m?t?
?
(ky
2
?m?t)
． ②
把①代入②，得
2ky
1
y< br>2
?(m?t)(y
1
?y
2
)?0

2
（8分）
③ （9分）
y
2
把
x?m?ky
代入
x??1
并整理得 3
(3k
2
?1)y
2
?6kmy?3(m
2
?1)?0

其中
3k
2
?1?0
且
??0
，即
k
2
?
1
且
3k
2
?m
2
?1
．
3
（10
?6km3(m
2
?1)

y
1
?y
2
?
2
．
,y
1y
2
?
3k?13k
2
?1
分）
代入③，得
6k(m
2
?1)6km(m?t)

??0
，
3k
2
?13k
2
?1
化简得
kmt?k
．
当
t?
1
时，上式恒成立．
m
（12
uuuruuuuruuur
1
因此，在
x< br>轴上存在定点
G(,0)
，使
BC?(GM?
?
GN)
．
m
分）
9．(本小题满分14分)
已知数列
?
a
n
?
各项均不为0，其前
n
项和为
S
n
，且对任意
n?N
*
都有
(1?p)S
n
?p?pa
n
26 38

2n
1?C
1
n
a1
?C
n
a
2
?
L
?C
n
a
n
（
p
为大于1的常数），记
f(n)?
．
2
n
S
n
(1) 求
a
n
；
(2) 试比较
f(n?1)
与
p?1
；
f(n)
的大小（
n?N
*
）
2p
2n?1
p?1
??
p?1
?
?
（
n?N
*
）．
?< br>1?
??
?
，
p?1
?
2p
?
?< br>?
?
?
(3) 求证：
(2n?1)f(n)
剟
f( 1)?f(2)?
L
?f(2n?1)
解：(1) ∵
(1?p)S
n
?p?pa
n
， ①
② ∴
(1?p)S
n?1
?p?pa
n?1
．
②－①，得
(1?p)a
n?1
??pa
n?1
?pa
n
，
即
a
n?1
?pa
n
． （3分）
在①中令
n?1
，可得
a
1
?p
．
∴< br>?
a
n
?
是首项为
a
1
?p
，公比 为
p
的等比数列，
a
n
?p
n
．
p(1?p
n
)p(p
n
?1)
?
(2) 由(1)可得
S
n
?
．
1?pp?1
2n122nnnn
1?C
1
n
a
1
?C
n
a
2?L?C
n
a
n
?1?pC
n
?pC
n
?L?C
n
p?(1?p)?(p?1)
．
（4分）
2n< br>1?C
1
p?
1(
p?
1)
n
n
a
1
?C
n
a
2
?
L
?C
n
a
n
??
∴
f(n)?
，
2
n
Sn
p2
n
(p
n
?1)
（5分）
p?1(p?1)
n?1
?
．
f(n?1)
?
p 2
n?1
(p
n?1
?1)
p?1(p?1)
n?1
p?1
?
n?1n?1
而，且
p?1
，
f(n)
?
p2(p?p)
2p
∴
p
n?1
?1?p
n? 1
?p?0
，
p?1?0
．
∴
f(n?1)
?< br>p?1
f(n)
，（
n?N
*
）．
2p
（8分）
(3) 由(2)知
f(1)?
p?1
p?1
f(n)
，，
f(n?1)
?
（
n?N
*
）．
2 p
2p
∴当
n…2
时，
f(n)?
p?1p?1
2
p?1
n?1
p?1
n
f(n?1)?()f(n?2)?L?() f(1)?()
．
2p2p2p2p
27 38

?p?1
?
p?1
?
p?1
?
?
?
∴< br>f(1)?f(2)?
L
?f(2n?1)
?
?
?
L
?
??
2p
?
2p
??
2p
?
2 n?1
p?1
?
?
p?1
?
?
?
?
1?
??
?
，
p?1
?
2p
?
?< br>?
?
?
22n?1

（10分）
（当且仅当
n?1
时取等号）．
另一方面，当
n…2
，
k?1,2,L,2n?1
时，
p ?1
?
(p?1)
k
(p?1)
2n?k
?
f(k )?f(2n?k)??
??

p
?
2
k
(pk
?1)2
2n?k
(p
2n?k
?1)
?
p ?1(p?1)
k
(p?1)
2n?k
…
?2
kk
?

p2(p?1)2
2n?k
(p
2n?k
?1)
p?12(p?1)
n
??
p2
n
p?12(p?1)
n
??
p2
n
1

(p
k
?1)(p
2n?k
?1)
1
．
p
2n
?p
k
?p
2n?k
?1
∵
pk
?p
2n?k
…2p
n
，∴
p
2n
?p
k
?p
2n?k
?1?p
2n
?2p
n
?1?(p
n
?1)
2
．
p?12(p?1)
n
??2f(n)
，
∴
f(k)?f(2n?k)
…
（当且仅当k?n
时取等号）．（13分）
p2
n
(p
n
?1)
∴
?
k?1
2n?12n?1
1
2n?1
f(k) ?
?
[f(k)?f(2n?k)]
…
?
f(n)?(2n?1)f (n)
．（当且仅当
n?1
时取等
2
k?1k?1
号）．
综上所述，
(2n?1)f(n)剟
?
f(k)
k?1
2n ?1
2n?1
p?1
?
?
p?1
?
?
（< br>n?N
*
）．（14分）
?
1?
??
?
，
p?1
?
2p
?
?
?
?
?
1．（ 本小题满分13分）
22
xy
1(a?0，b?0)
的右准线
l
1
与 如图，已知双曲线C：
2
?
2
?
ab
一条渐近线
l
2
交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
??
（I）求证：
O
；
M?MF
?
（II）若
|MF|?1
且双曲线C的离心率
e?
程；
28 38
6
，求双曲线C的方
2

（III）在（II） 的条件下，直线
l
3
过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、
? ?
Q且P在A、Q之间，满足
AP?
?
AQ
，试判断
?的范围，并用代数方法给出证明.
b
a
2
解：（I）
?
右准线
l
1
：x?
，渐近线
l
2
：y?x

c
a
2
2
?
a
aab
ab
2 22

?
，
?
M(，)，?F(c，0)，c?a?b
OM?(，)

cc

M
?
F??(c
a
2
c
，?
ab
c
)?(
b
2
ab
c
，?
c
)

222

?O
?
M?M
?
F?
abab
2
c
2
?c
2
?0?O
?
M?M
?
F

（II）
?e?
6
，?
b
?e
2
?1?
2
22
2a2
，?a?2b

4
?|M
?
F |?1，?
ba
2
b
2
b
2
(b
2
?a
2
)
c
2
?
c
2
?1，?
c
2
?1

??b
2
1，a
2
?1?
双曲线C的方程为：
x
2
2
?y
2
?1 ……7分
（III）由题意可得
0?
?
?1
……8分
证明：设
l
3
：y?kx?1
，点
P( x
1
，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)

由
?
?
x
2
?2y
2
?2< br>y?kx?1
得
(12?kx
2
)
2
?4kx??4 0

?

?l
3
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
?
?
1?2 k
2
?0
?
?
??16k
2
?161(?2k2
)?0
?
k??
2

?
?
?
?
?
?
2
?
x
1
?x
2
?
4k
?0
?
k
2
?1

?
1? 2k
2
?
?
4
?
k?0
?
x
1< br>x
2
??
1?2k
2
?0
?
?
1? 2k
2
?0

??1?k??
2
2
……11分
29 38
cc
……3分

??

?
，得
x
AP?AQ，?(x，y?1)(?x，y?1)
?
x
1
?
2

1122
4k4
2
?(1?
?
)x?，
?
x??
22
22
1?2k1?2k< br>
222
(1?
?
)16k4k2
???
2
?2?
22
?
?4(1?2k)2k?12k?1
2
2(1 ?)
2

?

?1?k??，?0?2k?1?1，??4
2
??
?
?

?(1??)4
??
22

??2?1?0
??

?
?
的取值范围是（0，1）
2．（本小题满分13分）
……13分
(x)?
已知函数
f
?
0(x?0)
?
n[x?(n?1)]??f(n1)
?
(n?1?x?n，n?N*)
，
数列
{a
n
}
满足
a

?f(n)(nN?*)
n
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）设x轴、直 线
x
与函数
y?f(x
?a
)
的图象所围成的封闭图形的面 积为
，求
S
；
S()a(a?0)
(nS)?(n?1)(n?N*)
（III）在集合< br>M
，且
1
中，是否存在正整数N，
?{N|N?2kkZ，?
000?k?1500}
使得不等式
a
对一切
n?
恒成立？若存在， 则这样的正整数N
N
?1005?S(n)??S(n1)
n
共有多少个？并 求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
im(b?b???b)
（IV）请构造一个与
{a
n
}
有关的数列
{b
n
}
，使得
l
存在，并求出
12n
n??
这个极限值.
解：（I）
?

nN?*

?

f(n)?n[n?()n?1]?f()nn?1??f()n?1

?

f()n?f(n?1)?n
……1分
?f(1)?f(0)?1

f(2)?f(1)?2

f(3)?f(2)?3
30 38

……

fn

()?fn(?1)?n
将这n个式子相加，得

f(nf)?(01)??2?3???n?
n(n?1)

2
?f(0)?0

n(n?1)

?f(n)?
2
n(n?1)
……3分
(n?N*)
2
（II）
S
为一直角梯形（
n?< br>时为直角三角形）的面积，该梯形的两底
()n?S(n?1)1

?a
n
?
边的长分别为
f(n?1)，f(n)
，高为1
S(n)??S(n1)?

?
?a
f(n?1)?f(n)
a
n?1n
?1?

22
……6分
1n(n?1)n(n?1)n
2
?]?

?[

2222
（III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)n
2
n
?1005???1005?n?2010

222
又
M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998}


?
均满足条件
N?2010，2012，……，2998
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则
2
，解得
m

010?2(m?12)?998
?495

?
中满足条件的正整数N存在，共有495个，
N

M
2010
min
?
（IV）设
b
n
?
……9分
1
211
，即
b??2(?)

n
a
n< br>n(n?1)nn?1
11111111
)?(?)?(?)???(?)]?2(1? )

22334nn?1n?1
1
im(b??b??b)?lim[2?]?2
显然，其极限存在，并且
l
……10分
12n
n??n??
n?1
则
b
1
?b< br>2
???b
n
?2[(1?
nn
c
1
n?1 n?
()，bq
1
(0??|q|1)
注：
b
n< br>?
（c为非零常数），
b
等都能使
n
?
n
?
a
n
2
2a2a
31 38

n??
存在.
lim(b?b???b)
12n
19. （本小题满分14分）
y
2
x
2
设双曲线
2
??1
的两 个焦点分别为
FF
1
、
2
，离心率为2.
3
a
（I）求此双曲线的渐近线
l
1
、l
2
的方程；
（II）若A、B分别为
l
1
、l
2
上的点，且
2|AB| ?5|FF|
，求线段AB的中点M的轨迹
12
方程，并说明轨迹是什么曲线； ??
（III）过点
N(1
使
l
与双曲线交于P、Q两点，且< br>O
.
，0)
能否作出直线
l
，
P·OQ?0
若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，说明理由.
解：（I）
?e?2，?c?4a


?

c?a?3，?a?1，c?2
2
x
3

?
，渐近线方程为
y??
双曲线方程为y??1
x

3
3
2
22
22
4分
，y
（II）设
A
，AB的中点
Mx
(x，y)，B(x，y)
1122
?2|AB|?5|F
1
F
2
|
55
?|AB|? |F
1
F
2
|??2c?10
22
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?10

33
x
1
，y
2
?? x
2
，2x?x
1
?x
2
，2y?y
1
? y
2
33
33
?y
1
?y
2
?(x
1
?x
2
)，y
1
?y
2
?(x
1?x
2
)
33
??
又y
1
?
?
?
3(y
1
?y
2
)
?
2
?
3
?
?
?
(x
1
?x
2
)
?
?10
?
3
?
2
22
1
2
x3y
3(2y)?(2x)?100，即??1

?

37525
2
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为
103
，短轴长为
（9分）
（III）假设存在满足条件的直线
l

32 38
103
的椭圆.
3

设
l

：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x，y)、Q(x，y)
1122
??
?O P·OQ?0

?xx
12
?y
1
y
2?0
?xx1)(x1)?0
12
?k(x
1
?
2?
2
?xx1
?
?0
12
?k
?
xx
12
?(x
1
?x
2
)?
2

( i)
y?k(x?1)
?
?
由得(3k?1)x
2
?6k< br>2
x?3k
2
?3?0
?
2
x
2
y ??1
?

3
?
6k
2
3k
2< br>?3
则x，xx(ii)
1
?x
2
?
12
?
3k
2
?13k
2
?1
由（i）（ii）得
k?

3?0
∴k不存在，即不存在满足条件的直线
l
.
3. （本小题满分13分）
已知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
对任意自然数都成
n?N)
，且
S?(m??1)ma
nn
n(
*
2
14分
立，其中m为常数，且
m
.
??1
（I）求证数列
?
a
n
?
是等比数列；
，bf(b)
（II）设数列
?
a
n
?
的公比
q?f(m)
，数列
?
b
n
?
满足：
b
1
?a
1n
?
n?1
*
imb(lga)l? im3(bb?bb?bb?

(n?2，n?N)
，试问当m为何值时，
l
nn122334
n??n??
1
3
…?bb)
成立？
n?1n
解：（I）由已知
S?(m?1)?ma
n?1n?1

S
（2）
?(m??1)ma
nn

(1)
1)?(2)
得：
a
由
(
，即
(
对任意
n?N
都成立
?ma?ma< br>m?1)a?ma
n?1nn?1
n?1n
?m为常数，且m??1
a
m

?
n?1
?
a
n
m?1
即等比数列
?
a
n
?
为
*

5分
（II）当
n?
时，
a

1
?(m??1)ma
11
33 38

?a1
?1，从而b
1
?
1
3
m
m?1

由（I）知q?f(m)?
?b
n
?f(b
n?1
)?b
n?1
(n?2，n?N
*
)
b
n?1
?1
1111
??1?，即??1
bbbb
nn?1nn?1
< br>?等差数列
??
为
?
1
?
n
??
b

11
??3?(n?1)?n?2，b?(n?N
*
)
n
bn?2
n
9分
?
m
?

?a
n
?
??
?
m?1
?
n?1

n?1mm
?limb(lga)?lim·lg?lg
n
n??
n
n??
n?2m?1m?1
(bbbb?bb

lim312
?
23
?…
n?1n
)
n??
11
??
1111
?lim3????…??
??
?1
n??
?
3445
?
n?1n?2
由题意知
lg

m
m10
?1
，
??10，??m?

m?1
m?19
13分
4．（本小题满分12分）
x
2
y
2
设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点为
F
，上顶点为
A
，过点
A
与
AF垂直的直
ab
线分别交椭圆和
x
轴正半轴于
P
，
Q
两点，且
P
分向量
AQ
所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过
A,Q,F
三点的圆恰好与直线
l
：
x?3y?3?0
相切，求椭圆方程．
解：（1）设点
Q( x
0
,0),F(?c,0),
其中
c?
由
P
分< br>AQ
所成的比为8∶5，得
P(
2
a
2
?b
2
,A(0,b)
．
85
x
0
,b)
， 2分
1313
8
2
x
5
2
3
∴
()
0
2
?()?1?x
0
?a
．①， 4分
13
a
132
而
FA?(c,b),AQ?(x
0< br>,?b),FA?AQ
，
34 38

b
2
∴
FA?AQ?0
．
?cx
0
?b?0,x
0
?
．②， 5分
c
2
由①②知
2b?3ac,?2c?3ac?2a?0
．
∴
2e?3e?2?0.?e?
2
222
1
． 6分
2
b
2
?c
2
,0)
， （2）满足条件的 圆心为
O
?
(
2c
b
2
?c
2
a
2
?c
2
?c
2
??c,?O
?
(c,0 )
， 8分
2c2c
b
2
?2
a
2
c
??a
． 10分 圆半径< br>r?
22c
由圆与直线
l
：
x?3y?3?0
相切得 ，
|c?3|
?a
，
2
x
2
y
2
??1
． 12又
a?2c,?c?1,a?2,b?3
．∴椭圆方程为
43
分
5．（本小题满分14分）
（理）给定正整数
n
和正数
b
，对于满足条件
a
1
?a
n?1
?b
的所有无穷等差数列< br>?
a
n
?
，
2
试求
y?a
n?1< br>?a
n?2
???a
2n?1
的最大值，并求出
y
取 最大值时
?
a
n
?
的首项和公差．
（文）给定正整数n
和正数
b
，对于满足条件
a
1
?a
n?1< br>?b
的所有无穷等差数列
?
a
n
?
，
2试求
y?a
n?1
?a
n?2
???a
2n?1
的最大值，并求出
y
取最大值时
?
a
n
?
的首项 和公差．
（理）解：设
?
a
n
?
公差为
d
，则
a
n?1
?a
1
?nd,nd?a
n?1
? a
1
． 3分
y?a
n?1
?a
n?2
??? a
2n?1
?a
n?1
?(a
n?1
?d)???(an?1
?nd)

?(n?1)a
n?1
?(1?2???n) d
?(n?1)a
n?1
?
n(n?1)
d
4分
2
a?a
1
nd
)?(n?1)(a
n?1
?
n?1
)

22
?(n?1)(a
n?1
?
35 38

?
n?1
(3a
n?1
?a
1
)
． 7分
2
22
又
a
1
?a
n?1
?b,? ?a
1
??b?a
n?1
．
∴
3a
n?1
?a
1
??a
n?1
?3a
n?1
?b??(a
n?1
?)?
2
3
2
2
9?4b9?4b
，当且仅 当
?
44
a
n?1
?
3
时，等号成立． 11分
2
n?1(n?1)(9?4b)
∴
y?
． 13分
(3a
n?1
?a
1
)?
28
9
4b?3(n?1)(9?4b)
当数列
?
a
n
?
首项a
1
?b?
，公差
d??
时，
y?
，
4
4n8
(n?1)(9?4b)
∴
y
的最大值为． 14分
8
（文）解：设
?
a
n
?
公差为
d
，则
a
n?1
?a
1
?nd,nd?a
n?1< br>?a
1
． 3分
y?a
n?1
?a
n?2???a
2n?1
?a
n?1
(a
n?1
?d)??? (a
n?1
?nd)
?(n?1)a
n?1
?(1?2???n)d
?(n?1)a
n?1
?
n(n?1)nd
d?(n?1)(an?1
?)
22
a
n?1
?a
1
n?1
)?(3a
n?1
?a
1
)
， 6分
22
2

?(n?1)(a
n?1
?
2
又
a
1
?a
n?1
?b,??a
1
??b?a
n?1
．
∴
3a
n?1
?a
1
??a
n?1
?3a
n?1
?b??(a
n?1
?)?
当且仅当< br>a
n?1
?
2
3
2
2
9?4b9?4b．
?
44
3
时，等号成立． 11分
2
n?1(n?1)(9?4b)
∴
y?
． 13分
(3a
n?1
?a
1
)?
28
9
4b?3(n?1)(9?4b)
当数列
?
a
n
?
首项a
1
?b?
，公差
d??
时，
y?
．
4
4n8
(n?1)(9?4b)
∴
y
的最大值为． 14分
8
6．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线
x?2y ?2
于M、N不同两点，A
1
、A
2
分别为双曲线的
左顶点 和右顶点，设直线A
1
M与A
2
N交于点P（x
0
，y0
）
22
（Ⅰ）证明：
x
0
?2y
0
为定值;

22
36 38

（Ⅱ）过P作斜率为
?
x
0
的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
2y
0
解（Ⅰ） 证明：
设M(x
1
,?y
1
),则N(x
1
,?y
1
),?A
1
(?2,0),A
2
(2,0)
< br>?直线A
1
M的方程为y?
y
1
x
1
?2< br>(x?2)
①
直线A
2
N的方程为
y?
? y
1
x
1
?2
(x?2)
②……4分
① ×②，得
y?
2
?y
1
2
x
1
?2
2
(x
2
?2)

1
?x
1
2
?2y
1
2
?2,?y
2
??(x
2
?2),即x
2
?2y
2
?2
2
?P(x
0
,y
0
)是直线A
1
M与A
2
N的交点

22
?x
0
?2y
0
?2为定值??8分
（Ⅱ）
l的方程为y ?y
0
??
x
0
22
(x?x
0
),结合 x
0
?2y
0
?2整理得x
0
x?2y
0
y?2?0

2y
0
于是d?
2
22
x
0
?4y
0
?
2
2
2?2y
0
?
2
……10分
2
1?y
0
22
?x
0
?2 y
0
?2
2
?y
0
?1
2
?1?y
0
?2?d?
2
?1

2
1?y
0
2< br>当
y
0
??1时,y
0
?1,d取最小值1
……12 分
7．（本小题满分14分）
已知函数
f(x)?x?sinx




（Ⅰ）若
x?[0,
?
],试求函数f(x)的值域;

（ Ⅱ）若
x?[0,
?
],
?
?(0,
?
),求证:
（Ⅲ
2f(
?
)?f(x)2
?
?x
?f();< br>
33
）若
x?[k
?
,(k?1)
?
],
?
?(k
?
,(k?1)
?
),k?Z,猜想
关系 （不必写出比较过程）.
2f(
?
)?f(x)2
?
?x
与f()
的大小
33
解：（Ⅰ）
当x?(0,
?
)时,f< br>?
(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数

37 38

又f(x)在区间[0,
?
]上连续

所以f(0)?f(x)?f(
?
),求得0?f(x)?
?
即f(x)的值域为[0,
?
]??4分
（Ⅱ）设
g(x)??
2f(
?
)?f(x)2
?
?x2f(
?
)?sinx2< br>?
?x

?f()
，
即g(x)???sin
333 3
12
?
?x
g
?
(x)?(?cosx?cos)
……6分
33
?x?[0,
?
],
?
?(0,
?
)
2
?
?x

?(0,
?
)
3
由g
?
(x)?0,得x?
?
?
?当x?(0,
?
)时,g
?
(x)?0,g(x)为减函数.
当x?(
?
,
?
)时,g
?
(x)?0,g(x)为增函数??8分

? g(x)在区间[0,
?
]上连续
则g(
?
)为g(x)的最小值< br>
对x?[0,
?
]有g(x)?g(
?
)?0
2f (
?
)?f(x)2
?
?x
因而?f()?10分
332f(
?
)?f(x)2
?
?x
（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶 数时
?f()

33
2f(
?
)?f(x)2
?< br>?x
当k为奇数时
?f()
……14分
33

38 38