人教版高中数学特点-广西理科高中数学学哪几本书
高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解
1.已知数列
(Ⅰ)求数列的通项公式;
是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且?,
(Ⅱ)数列
①求数列
满足,
的通项公式;
,使得,,成等差数列?若存在,求出m,②是否存在正整数m,
n
的值;若不存在,请说明理由.
解:(I)设数列的公差为d,则
由?,,得,
计算得出
;
或(舍去).
(Ⅱ)①
,
,,
,
即,,,
,
累加得:,
也符合上式.
故,.
,使得,,成等差数列,
②假设存在正整数m、
则
又,,,
,即,
化简得:
当
当
,即
,即
存在正整数
解析
,
时,
时,
,(舍去);
,符合题意.
,使得,,成等差数列.
(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和
公差,代入等
差数列的通项公式得答案;
(Ⅱ)①把数列
可求得数列
的通项公式代入
的通项公式;
,然后
裂项,累加后即
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则
.由此列关于
m的方程,求计算得出答案.
2.在数列
(1)求证:数列
(2)记
的最小
项,求
解:(1)证明:
又
,
,
,
中,已知,
为等比数列;
,且数列
的取值范围.
,
的前n项和为,若为数列中
故,
是以3为首项,公比为3的等比数列
(2)由(1)知道
若为数列
,,
中的最小项,则对有
恒成立,
即对恒成立
当
当
当
时,有
时,有
时,
?;
;
恒成立,
对恒成立.
令
对恒成立,
,则
在
,即
综上,
解析
(1)由
时为单调递增数列.
,整理得:.由,
,可以知道
(2)由(1)求得数
列
是以3为首项,公比为3的等比数列;
,由为数列中的最通项公式及前n项和为
小项,则对
时和当
有
的取值范围,
恒成立,分类分别求得当
当时
,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得
的取值范围.
3.在数列
为
中,已知 , , ,设
的前n项和.
是等差数列; (1)求证:数列
(2)求
(3)是否存在正整数p,q,
出p,q,r的值;若不存在,说明理由.
,使 , , 成等差数列?若存在,求
(1)证明:由
得到
则
,
,,
又,
,
数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;
,
(2)由(1)可以推知:
所以,,
所以,①
,②
①-②,得
,
,
,
所以
(3)假设存在正整数p,q,
则,
,使,,成等差数列.
即
因为当
所以数列
又
所以
,
时,
单调递减.
,
且q至少为2,
所以,
①当时,,
又,
所以
②当时,
,等式不成立.
,
所以
所以
所以
,
,(数列单调递减,解唯一确定).
综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.
解析
(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列
,该数列是以
1为首项,以-2为公差的等差数列;
(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;
(3)根据等差数列的性质得到
4.已知n为正整数,数列 满足
,从而推知p,q,r的值.
, ,设数
列 满足
(1)求证:数列
(2)若数列
(3)若数列
在
值.
(1)证明:数列
为等比数列;
是等差数列,求实数t的值;
是等差数列,前n项和为 ,对任意的 ,均存
的,使得 成立,求满足条件的所有整数
满足,,
?
数列
,?,
,公比为2;
为等比数列,其首项为
(2)解:由(1)可得:?,
,
数列是等差数列,
,
,
计算得出或12.
时,
列.
,是关于n的一次函数,
因此数列是等差数
时,
因此数列
综上可得
,
不是等差数列.
;
,不是关于n的一次函数,
(3)解:由(2)得
对任意的
,
,均存在,使得成立,
即有??,
化简可得,
当
当
,
,
,
,当时,
,对任意的,符合题意;
,
对任意的
综上可得,当
使得
解析
,不符合题意.
,,对任意的
成立.
,均存在,
(1)根据题意整理可得,?,再由等比数列的定义即可得证;
,解方(2
)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得
程可得t,对t的值,检验即可得到所求值;
(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得
成立,即有??,讨论
为偶数和奇数,
化简整理,即可得到所求值.
5.已知常数
(1)若
①求
,
的值;
的前n项和
中存在三项
;
, ,
依次成等差数
,数列
,
满足 ,
②求数列
(2)若数列
列,求
解:(1)①
的取值范围.
,
,
,
,
②
当
当时,
,
时,,
,
,即从第二项起,数列是以1
为首项,以3为公比的等比数列,
数列
显然当
的前n项和,,
时,上式也成立,
;
(2),
,即单调递增.
(i)当
,
若数列
有
即
时,有
,于是,
中存在三项
,
,,依次成等差数列,则
,
数列中不存在三项,,
.因此不成立.因此此时
依次成等差数列. 当
于是当
若数列
有
同(i)可以知道:
时,
时,有.从而
,,
.此时
中存在三项
,
依次成等差数列,则
.于是有,
,
与
是整数,
矛盾.
.于是,即.
故此时数列
数列.
中不存在三项,,依次成等差
当
于是
此时数列
时,有
中存在三项,,依次成等差数列.
综上可得:
解析
(1)①
同理可得
②,
,
,可得
,当
时,,当时,
,
,即从第二项起,数列
为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即
可得出
(2),可得,即单调递增.
是以1为首项,以3
(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法
即可得出不存在.
当
从而.
假设存在
时,有.此时
,同(i)可以知道:
.于是当时,.
.得出矛盾,因
此不存
在.
当时,有
和
.于是
的前n项和分别
,都
.即可得出结论.
6.已知两个无穷数列
为
有
(1)求数列
(2)若
, , , ,对任意的
的通项公式;
为等差数列,对任意的
,都有 .证明:
(3)若
值.
解:(1)由
即
由
所以数列
故
,
为等比数列, ,
,求满足 的n
,得
,所以
,可以知道
,
是以1为首项,2为公差的等差数列.
,
的公差为d,
的通项公式为
(2)证法一:设数列
则,
由(1)知,
因为
即
,所以
恒成立,
,
所以
又由
所以
,得
,即
,
,
所以
证法二:设
则
因为,所以
,得证.
的公差为d,假设存在自然数
,即
,使得
,
,
所以,
因为
这与“对任意的
所以
(3)由(1)知,
且
所以
,
,所以存在
,都有
,当
”矛盾!
时,恒成立.
,得证.
.因为
,
是以1为首项,3为公比的等比数列.
为等比数列,
所以,
则,
因为,所以,所以
而
当
当
则
,2时,时,设
,所以
式成立;
,即
,
,
所以
故满足条件的n的值为1和2.
解析
(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)方法一、设数列
求出
的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,
,
,判断符号即可得证;
的公差为d,假设存在自然数
,推出大于0,即可得证;
,使得方法二、运用反证法证明,设
,推理可得,作差
(3)运用等差数列和等比数列
的求和公式,求得,,化简,推出小
于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.
7.已知数列 , 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大
的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列
(1)设数列
若
(2)设
数列
,
,
分别为等差、等比数列,
,
,求
,若新数列 的首项为1,各项为正整数,
的前n项和
是等差数列,求
(3)设
得对任意的
是不小于2的正整数),
,在 与 之间数列
,是否存在等差数列
的项数总是
,使
若存在,请
给出一个满足题意的等差数列
解:(1)设等差数列
;若不存在,请说明理由.
的公比为q,
的公差为d,等比数列
根据题意得,
增,
所以
所以
所以
因为
,
,
,
,
(2)设等差数列
所以
因为
,所以
是
,
,
,
,计算得出或3,因数列,单调递
,
的公差为d,又
中的项,所以设
,且,
,即
当当
时,计算得出
时,,此时
,不满足各项为正整数;
,只需取
的项都,而等比数列
是等差数列
当时,
,中的项,所以
,此时
;
,只需取
,
由,得,是奇数, 是正偶数,m有正整数解,
所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以
综上所述,数列
(3
)存在等差数列
下证与
的前n项和
,只需首项
的项数为
,或
,公差
之间数列.即证对任意正整数n,都有
,
即
由
成立.
,
所以首项
解析
(1)设等差数列
,公差的等差数列符合题意
的公差为d,等比数列的公比为q,根
据题意得,
,计算得出
,可得
(2)设等差数列
,
的公差为d,又<
br>.因为是
或3,因数列,单调递增,,
,利用通项公式即可得出.
,且,所以,所以
,即.中的项,所以设
当时,计算得出
时,即可得出.
,不满足各项为正整数当时,当
(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之
间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,
作差利用通项公式即可得出.
8.
对于数列
(其中,
,都有
,称
为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,则称数列为“趋稳数列”.
,
(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列
列”;
(3)已知数列
,,都有
的首项为1,各项均为整数,前k项的和为
,试计算:
.
.且对任意
的公比
,求证:是“趋稳数
解:(1)根据题意可得
即,两边平方可得
,
,
计算得出;
,
,
,,都有,
(2)证明:由已知,设
因且
故对任意的
,
因
,,,
,
,
,
,
,
,
,
即对任意的
(3)当时,
,,都有,故是“趋稳数列”;
当时,
同理,
因,
,
即
所以
,
或
,
,
所以 或
因为
所以
,且,所以,从而,
,
.
解析
(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;
(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可
得证; (3)由任意,,都有,可得
,由等比数列的通项公式,可得
,结合新定义和二项式定理,
化简整理即可得到所求值.
9.已知首项为1的正项数列{a
n
}满足+
<a
n+1
a
n
,n∈N
*
.
(1)若a
2
=,a
3
=x,a
4
=4,求x的取值范围;
(2)
设数列{a
n
}是公比为q的等比数列,S
n
为数列{a
n
}前n项的和,若
<S
n+1
<2S
n
,n∈N
*
,求q的取值范围;
S
n
(3)若a
1
,a
2
,
…,a
k
(k≥3)成等差数列,且a
1
+a
2
+…+a<
br>k
=120,求正整数k
的最小值,以及k取最小值时相应数列a
1
,
a
2
,…,a
k
(k≥3)的公差.
解:(1)由
题意,a
n
<a
n+1
<2a
n
,
∴<x<3,
<x<2x,
∴x∈(2,3).
(2)∵a
n
<a
n
+1
<2a
n
,且数列{a
n
}是公比为q的等比数列,a
1
=1,
∴q
n-1
<q
n
<2q
n-1
,
∴q
n-1
(q-)>0,q
n-1
(q-2)<0,
∴q∈(,1).
∵S
n
<S
n
+1<2S
n<
br>,当q=1时,S
2
=2S
1
,不满足题意,
当q≠1时,<<2?,
∴①当q∈(,1)时,
,即,
∴q∈(,1).
②当q∈(1,2)时,,即,无解,
∴q∈(,1).
(3)设数列a
1
,a
2
,…,a
k
(k≥3)的公差为d.
∵a
n
<a
n+1<2a
n
,且数列a
1
,a
2
,…,a
n
成等差数列,
∴a
1
=1,
∴[1+(n-1)d]<1+nd<2[1+(n-1)d],n=1,2,…,k-1,
∴,
∴d∈(-,1).
∵a
1
+a
2
+…+a
k
=120,
∴
S
k
=k
2
+(a
1
-)k=k
2
+(1
-)k=120,
∴d=,
∴∈(-,1),
∴k∈(15,239),k∈N*,
∴k的最小值为16,此时公差d=.
解析
【解题方法提示】
分析题意,对于(1),由已知结合完全平方公式可得a
n
<a
n+1
<2a
n
,由此
可得到关于a
2
,a
3
,a
4
的大小关系,据此列式可解得x的取值范围;
根据a
n
<a
n+1
<2a
n
,以及等比数列的通项公
式可得q∈(,1),再结合
S
n
<S
n+1
<2S
n以及等比数列的前n项和公式分类讨论可得q的取值范围;
设公差为d,根据a
n
<a
n+1
<2a
n
,以及等差数列的通项公式可得d∈(-,
1
),然后根据等差数列的前n项和公式结合题意可得d=,由此可
解得k的取值范围,进而得到k的最小
值和d的值.
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